Nội suy toán tử
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (881.02 KB, 50 trang )
Lời cảm ơn
Để hoàn thành khoá luận này, em đã nhận được sự giúp đỡ tận
tình, tỉ mỉ của Thầy giáo - Tiến sĩ Bùi Kiên Cường, cũng như các
thầy, cô giáo trong tổ Giải tích, khoa Toán, trường Đại học sư phạm
Hà Nội 2.
Qua đây, em xin được gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc
nhất tới thầy Bùi Kiên Cường, người đã trực tiếp hướng dẫn và chỉ
bảo em trong suốt quá trình làm khoá luận. Đồng thời em cũng xin
chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa đã dạy dỗ em trong
bốn năm qua để em hoàn thành bài khoá luận này.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 05 năm 2007
Sinh viên
Khổng Thị Thuý Hồng.
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
Lời cam đoan
Khoá luận này là kết quả của bản thân em trong quá trình học tập, nghiên
cứu ở bậc Đại học.
Bên cạnh đó em cũng nhận được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy
cô giáo trong khoa Toán, đặc biệt là sự hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình của
thầy Bùi Kiên Cƣờng.
Vì vậy, em xin khẳng định kết quả của đề tài “Nội suy toán tử “ không có
sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2007
Sinh viên
Khổng Thị Thuý Hồng
1
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
MỤC LỤC
Phần mở đầu…………………………………………………………….
1
Một số kí hiệu sử dụng trong luận văn………………………………….
2
Chương 1. Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị………………………
3
Đ1. Không gian định chuẩn………………………………………..
3
Đ2. Không gian Hilbert……………………………………………
5
Đ3. Không gian Lp n ………………………………………......
6
Đ4. Không gian các hàm khả vi vô hạn giảm nhanh………………
9
Đ5. Tích chập……………………………………………………
12
Chương 2. Phép biến đổi Fourier……………………………………….
15
Đ1. Phép biến đổi Fourier trong không gian L1 n …………......
15
Đ2. Phép biến đổi Fourier trong không gian S n ……………....
19
Đ3. Phép biến đổi Fourier trong không gian L2 n ……………..
23
Đ4. Hàm suy rộng và phép biến đổi Fourier
của hàm suy rộng tăng chậm……………………………………
25
Chương 3. Nội suy toán tử ……………………………………………..
34
3.1 Định lý Riesz – Thorin……………….......................................
34
3.2 Phép nội suy của họ các toán tử giải tích……………………
40
3.3 Phương pháp thực………………….…………………………..
41
Kết luận…………………………………………………………………
45
Tài liệu tham khảo………………………………………………………
46
2
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Giả sử Xt, 0 t 1 là một họ các không gian định chuẩn, T là ánh xạ
tuyến tính từ Xt vào Y thoả mãn T liên tục đối với t = 0 và t = 1. Khi đó nội
suy toán tử chính là việc nghiên cứu tính liên tục của T trên các không gian
Xt, t 0,1 . Đây là một vấn đề rất lý thú của Giải tích. Để có thể nghiên cứu
vấn đề này, chúng ta cần phải nắm được về biến đổi Fourier, tích chập, hàm
suy rộng, và lý thuyết không gian Lp , …
Thời gian qua, em đã học được chuyên đề “Một số phép biến đổi tích
phân”, qua đó, chúng em đã được làm quen với một số vấn đề cơ sở của Giải
tích hiện đại. Bởi vậy, khi được giới thiệu đề tài khoá luận tốt nghiệp, em thấy
rất phù hợp với đề tài “Nội suy toán tử”. Vì vậy, em đã chọn đề tài này để
thực hiện khoá luận tốt nghiệp.
2. Mục đích nghiên cứu
Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và tìm hiểu sâu
hơn về Giải tích đặc biệt là phép biến đổi Fourier trong một số không gian và
phép nội suy toán tử.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các đặc trưng, các tính chất của phép biến đổi Fourier trong
không gian L1 n , S n , L2 n và của hàm suy rộng tăng chậm.
Nghiên cứu về định lý nội suy Riesz – Thorin và các ứng dụng của nó.
4. Phƣơng pháp nghiên cứu
Nghiên cứu lý luận, phân tích, tổng hợp và đánh giá.
5. Cấu trúc của khoá luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khoá luận
gồm 3 chương.
Chương 1. Một số khái niệm và kết quả chuẩn bị.
Chương 2. Phép biến đổi Fourier.
Chương 3. Nội suy toán tử.
3
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
MỘT SỐ KÍ HIỆU SỬ DỤNG TRONG LUẬN VĂN
C n : Không gian các hàm khả vi vô hạn trong n .
C0 n : Không gian các hàm khả vi vô hạn có giá compact trong n .
C0 n : Không gian các hàm liên tục có giá compact trong n .
D n : Không gian các hàm cơ bản.
D n : Không gian các hàm suy rộng.
Tx f y f x y , y n , x n .
My f x e f x ,
Da f x f ax , a
ixy
1
x n .
n
.
2
n
...
, 1 ,..., n
x
x
x
1 2
n
1 2 ... n .
1
D .
i
h.k.n: Hầu khắp nơi.
đpcm: Điều phải chứng minh.
4
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
CHƢƠNG 1
MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CHUẨN BỊ
Đ1. KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN
1.1 Định nghĩa chuẩn và không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.1.1
Ta gọi không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) là
không gian tuyến tính X trên trường P ( P = hoặc P = ) cùng với một
ánh xạ từ X vào tập số thực , kí hiệu là . và đọc là chuẩn, thoả mãn các
điều kiện sau đây:
1) x X x 0, x 0 x (kí hiệu phần tử không là );
2) x X P x x ;
3) x,y X x y x y .
Số x gọi là chuẩn của vectơ x. Ta kí hiệu không gian định chuẩn là X.
Các tiên đề 1), 2), 3) gọi là hệ tiên đề chuẩn.
Định nghĩa 1.1.2
Ta gọi là một nửa chuẩn trên không gian vectơ X, nếu với mỗi x thuộc X,
tồn tại số thực x thoả mãn :
1) x X x 0;
2) x X P x x ;
3) x,y X x y x y .
Định lý 1.1.1
Cho không gian định chuẩn X. Đối với hai vectơ bất kì x, y X, ta đặt:
d x, y x y .
5
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
Khi đó d là một metric trên X.
Định nghĩa 1.1.3
Dãy điểm (xn) của không gian định chuẩn X gọi là hội tụ tới điểm x X
xn x 0 . Kí hiệu: lim xn x hay xn x (n ) .
nếu lim
n
n
Định nghĩa 1.1.4
Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi là dãy cơ bản, nếu:
lim xn xm 0 .
m,n
Định nghĩa 1.1.5
Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu mọi dãy cơ bản
trong X đều hội tụ.
1.2 Toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.1.6
Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P ( P = hoặc P =
). Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ
A thoả mãn các điều kiện:
1) x, x X A x x Ax Ax ;
2) x X P A x Ax .
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính. Khi Y = P thì toán
tử tuyến tính A thường gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.1.7
Cho không gian định chuẩn X và Y. Toán tử tuyến tính A từ không gian X
vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số C 0 sao cho:
Ax C x , x X .
Định nghĩa 1.1.8
6
(1.1)
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y. Hằng số C 0 nhỏ nhất thoả mãn hệ thức (1.1) gọi
là chuẩn của toán tử A và kí hiệu là A .
Từ định nghĩa dễ dàng thấy chuẩn của toán tử có các tính chất:
1) x X
Ax A x ;
2) 0 x X
A x
Ax .
Định lý 1.1.2 (Định lý ba mệnh đề tương đương về toán tử tuyến tính liên tục)
Cho toán tử tuyến tính A từ không gian định chuẩn X vào không gian
định chuẩn Y. Ba mệnh đề sau đây tương đương:
1) A liên tục;
2) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X;
3) A bị chặn.
Đ2. KHÔNG GIAN HILBERT
2.1 Tích vô hƣớng
Cho không gian tuyến tính X trên trường P ( P = hoặc P = ). Ta
gọi là tích vô hướng một ánh xạ f : X X P , kí hiệu f(x,y) = (x,y) thoả mãn
các điều kiện sau với mọi x, y, z thuộc X, với mọi thuộc P :
1) x, y y, x ;
2) x y, z x, z y, z ;
3) x, y x, y ;
4) x, x 0, x X; x, x 0 x .
Với x X đặt x
x, x . Công thức trên cho một chuẩn trên
gọi
7
X và
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
là chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
2.2 Không gian Hilbert
Tập hợp H được gọi là không gian Hilbert nếu H thoả mãn các
điều kiện:
1) H là một không gian tuyến tính trên trường P ;
2) Trên H xác định một tích vô hướng;
3) H là không gian Banach theo chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
Đ3. KHÔNG GIAN LP ( n )
3.1 Không gian Lp (X), 1 p
Định nghĩa 1.3.1
Giả sử X là một tập đo được Lebesgue bất kì trong n , 1 p . Ta kí
hiệu Lp (X) là K không gian vectơ tất cả các hàm f từ X vào K sao cho f
p
khả tích Lebesgue trên X.
Trong không gian này ta đồng nhất các hàm bằng nhau h.k.n.
1
p
p
Với mọi p 1 và f Lp X đặt f p f d .
X
3.1.1 Bất đẳng thức Holder
Giả sử p >1, q >1 là các số thực thoả mãn
f Lp X , g Lq X thì fg L1 X và fg 1 f p . g q .
3.1.2 Bất đẳng thức Minkovski
Giả sử p 1 và f , g Lp X .
Khi đó f g Lp X và f g p f
8
p
g p.
1 1
1 . Nếu
p q
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
Bổ đề 1.3.1
Nếu f Lp X và K thì f Lp X và f
p
f p.
3.1.3 Nhận xét
Nếu f 0 h. k. n thì
f d 0 , p 1 . Do đó hàm f f
p
p
là một
X
chuẩn trong không gian Lp X theo bổ đề 1.3.1 và bất đẳng thức Minkovski.
Vậy Lp X là không gian định chuẩn.
1
Khi X n thì ta có không gian Lp n . Khi đó:
f
p
p
p
f dx
n
Khi p = 2 thì L2(X) là không gian Hilbert. Thật vậy:
Với mọi f, g L2(X), đặt:
f , g f gd .
X
Công thức trên cho ta một tích vô hướng trên L2(X). Tích vô hướng này
sinh ra chuẩn của không gian L2(X)
f
2
2
f , f , f L2 X .
Định lý 1.3.1
Với mọi p 1, Lp(X) là không gian Banach.
Định lý 1.3.2 (Định lý Fubini)
Giả sử f L1 n m thế thì:
1) Với hầu khắp x n , f x, y L1y m và
f x, y dy L ;
n
1x
n
2) Với hầu khắp y m , f x, y L1x n và
f x, y dx L
m
1y
n
Hơn nữa
9
;
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
3)
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
dx f x, y dy dy f x, y dx f x, y dxdy .
n
m
m
n
n m
Định lý 1.3.3 (Định lý Tonelli)
Giả sử X, M , và Y, N , là hai không gian có độ đo - hữu hạn, f
là hàm đo được không âm trên không gian tích X Y . Khi đó:
y f x, y là đo được với độ đo ,
Với mỗi y Y , hàm x f x, y là đo được với độ đo ,
Với mỗi x X , hàm
hàm x f x, y d y là đo được trên X ,
Y
hàm y
f x, yd x là đo được trên Y ,
X
và d x d y f x, y d y d x f x, y .
X
Y
Y
X
3.2 Không gian L n
Định nghĩa 1.3.2
Giả sử X, M, là một không gian độ đo. Hàm số f đo được trên X gọi
là chủ yếu giới nội trên X nếu tồn tại một tập hợp P M có độ đo không sao
cho f giới nội trên tập X \ P, tức là tồn tại một số K sao cho:
f x K , x X \ P.
(3.2.1)
Cận dưới đúng của tập các số K thoả mãn (3.2.1) trong đó P là tập có độ
đo không gọi là cận dưới đúng chủ yếu của f, kí hiệu esssup f x .
xX
Định lý 1.3.4
Nếu f là hàm chủ yếu giới nội trên X thì f x esssup f x h. k. n
xX
trên X.
10
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
Chứng minh
Giả sử Kn là dãy số thực đơn điệu giảm đến K esssup f x . Khi đó
xX
tập hợp Pn x X : f x Kn có độ đo không với mọi n. Hiển nhiên tập
P U Pn có độ đo không và f x K , x X \ P .
n1
Định nghĩa 1.3.3
Giả sử X, M, là một không gian độ đo. Gọi L X là tập hợp các
hàm số chủ yếu giới nội trên X. Với mỗi phần tử f của L X đặt:
f
esssup f x .
xX
Dễ thấy chuẩn này có các tính chất sau: Với mọi f, g L X :
1) f
2) f
0; f
f
3) f g f
0 f 0 h. k. n;
, thực hoặc phức;
g .
Nhận xét:
L X
f
là không gian định chuẩn với chuẩn xác định bởi
esssup f x .
xX
Định lý 1.3.5
L X là không gian Banach.
Đ4. KHÔNG GIAN CÁC HÀM KHẢ VI VÔ HẠN GIẢM NHANH
Ta kí hiệu C n là tập hợp các hàm f khả vi vô hạn xác định trên n .
Định nghĩa 1.4.1
Giá của hàm liên tục f xác định trên X, kí hiệu là suppf, là tập hợp K xác
định bởi:
11
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
K x X : f x 0 .
Ta nói f có giá compact nếu K là tập compact.
Kí hiệu C0 n là tập hợp tất cả các hàm f khả vi vô hạn xác định trên
n và có giá compact.
Định lý 1.4.1
C0 n trù mật trong Lp n .
Định nghĩa 1.4.2
Không gian các hàm khả vi vô hạn giảm nhanh Schwartz, kí hiệu S hoặc
S n , tập hợp tất cả các hàm C n thoả mãn:
Với mọi đa chỉ số , n , sup x x .
x
Với tôpô xác định bởi: dãy j S n hội tụ về 0 nếu với mọi đa chỉ
số , n , x j x 0 trong n khi j .
Ví dụ : Mọi hàm C0 n đều thuộc S n .
Định lý 1.4.2
C0 n trù mật trong S n .
Chứng minh
Lấy f S n và C0 n sao cho x 1 với mọi x thoả mãn
x 1. Khi đó 0 , hàm f x f x x thuộc C0 n .
Áp dụng công thức Leibniz về đạo hàm của một tích ta có :
f x f x f x x 1 là tổ hợp tuyến tính của các số
hạng dạng f x x với ,
là các đa chỉ số thoả mãn
, 0 và số hạng dạng f x x 1 . Như vậy dễ dàng
12
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
thấy f x hội tụ tới f(x) theo tôpô của S n khi 0 .
Hệ quả 1.4.1
Không gian S n trù mật trong không gian Lp n ( 1 p ).
Chứng minh
Theo định lý 1.4.1
C0 n trù mật trong
Lp n
Lp n C0 n .
suy ra
(4.1)
Mặt khác: C0 n S n Lp n
suy ra C0 n S n .
(4.2)
Từ (4.1) và (4.2) suy ra Lp n S n .
Vậy S n trù mật trong Lp n .
Định lý 1.4.3
Không gian S n không trù mật trong không gian L n .
Chứng minh
Ta sử dụng phản chứng, giả sử ngược lại rằng S n trù mật trong
L n . Khi đó với mỗi hàm f L n , tồn tại dãy j x S n sao cho
j f trong L n nghĩa là esssup j f 0 khi j .
x n
Với hàm f x 1 L n , gọi j S n sao cho j f khi
j . Ta có j f j 1 liên tục, j 1, 2...
Và esssup j x f x sup j x 1 0 j x 1 khi x vµ j đủ
x n
x n
lớn. Điều này mâu thuẫn với j S n .
Vậy không gian S n không trù mật trong không gian L n .
13
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
Đ5. TÍCH CHẬP
Bổ đề 1.5.1
Nếu các hàm f, g L1( n ) thì h x
f x y g y dy L .
n
1
n
Chứng minh
Theo định lý Fubini ta có:
h x dx f x y g y dy dx
n
n n
f x y g y dy dx
n
n
g y f x y dx dy
n
n
g y dy f
n
1
g1 f 1.
Vậy h L1( n ).
Định nghĩa 1.5.1
Giả sử f, g L1( n ). Tích chập của hai hàm f và g là một hàm được xác
định bởi:
f g x f x y g y dy .
n
Định lý 1.5.1(Bất đẳng thức Young)
Giả sử f L1( n ), g Lp( n ) với 1 p . Khi đó f g Lp n và
f g p f
1
g p.
Chứng minh
+ Với p = 1 ta có: f g 1 f
+ Với 1 < p < đặt hp x
1
g 1 theo bổ đề trên.
f x y g y dy .
p
n
14
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
Khi đó như đã chứng minh trong bổ đề hp x với hầu khắp x n .
Gọi là p là số mũ liên hợp của p (nghĩa là
1 1
1 ).
p p'
Áp dụng bất đẳng thức Holder, ta có:
f x y g y dy
1
n
1
f x y p' f x y p g y dy
n
1
p'
f x y dy f x y g y dy
n
f
Như vậy
p
n
1
p'
1
h x .
1
p
(5.1)
p
f x y g y dy là tồn tại với hầu khắp x
n
.
n
Hơn nữa theo (5.1), ta có:
f g p
n
1
p
f x y g y dy dx
p
n
1
p
p
f x y g y dy dx
n
n
f
n
f
1
p'
1
1
p'
1
dx
p
h x
1
p
p
1
p
hp x dx f
n
1
p
1
p'
1
f
f
1
p
p'
1
p
h
x
dx
p
n
G 1 ,
p
1
với G x g x , x n .
p
Như vậy f g p f
1
1
p
g p với 1 p .
+ Cuối cùng ta chứng minh định lý đúng với p = .
15
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Ta có
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
f x y g y dy
n
Như vậy
g
f x y dy
g f 1.
f x y g y dy là tồn tại với mọi x
(5.2)
n
n
.
n
Hơn nữa, từ (5.2) ta có:
f g f
1
g .
Vậy định lý được chứng minh.
Nhận xét:
Tích chập có tính chất giao hoán và tính chất kết hợp
+ Nếu f g x được xác định thì:
f g x g f x .
+ Nếu f, g và h thuộc L1 thì:
f g h f g h .
16
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
CHƢƠNG 2
PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
Đ1. PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRONG KHÔNG GIAN L1 ( n )
1.1 Định nghĩa 2.1.1
Giả sử f L1 n , chúng ta định nghĩa phép biến đổi Fourier của hàm f
bởi:
fˆ e ix. f x dx,
n .
n
Kí hiệu: fˆ , F f .
1.2 Các tính chất
Mệnh đề 2.1.1
^
Giả sử f , g L1 n . Khi đó: f g fˆ .gˆ .
Chứng minh
Sử dụng định nghĩa phép biến đổi Fourier và định lý Fubini, ta có:
f g e
ix .
^
f g x dx
n
e ix. f x y g y dy dx
n
n
e i x y f x y e iy g y dy dx
n
n
e iy g y e i x y f x y dx dy
n
n
e iy g y dy fˆ
n
17
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
gˆ fˆ .
^
Vậy f g fˆ .gˆ .
Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 2.1.2
Giả sử f L1 n . Khi đó nếu f j f trong L1 n thì fˆj hội tụ đều
về fˆ trên n .
Chứng minh
Giả sử f j f trong L1 n khi j . Thế thì với mọi n , ta có:
fˆj fˆ
e
ix
n
f j x dx e ix f x dx
n
e f x f x dx
ix
j
n
f j x f x dx
n
fj f 1 .
Suy ra fˆj hội tụ đều về fˆ trên n .
Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 2.1.3(Bổ đề Riemann - Lebesgue)
fˆ 0 .
Giả sử f L1 n . Khi đó lim
Chứng minh
Giả sử S n , khi đó ˆ S n (xem chứng minh trong phần phép
biến đổi Fourier trong không gian S n ).
18
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
Vì S n trù mật trong L1 n ta suy ra tồn tại j S n sao cho
j f trong L1 n . Điều này chứng tỏ hàm giới hạn fˆ liên tục trên n và
fˆ 0 .
hội tụ tới 0 khi hay lim
Mệnh đề 2.1.4
Giả sử f L1 n . Khi đó các hàm Ty f, My f và Da f tương ứng thuộc
L1 n , trong đó:
T f x f x y ;
y
M f x e f x ;
ixy
y
D f x f ax .
a
Hơn nữa, ta có:
2. M f ^ T fˆ ,
1. Ty f ^ My fˆ , n ;
y
y
n
;
n
3. Da f ^ a D1 fˆ , n .
a
Chứng minh
Hiển nhiên các hàm Ty f, My f, Da f thuộc L1 n .
1. Ta có:
T f ^ e T f x dx e
ix
y
ix
y
n
f x y dx
n
Đặt x + y = t, ta được:
T f ^ e
i t y
y
n
f t dt eiy e ix f x dx
n
19
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
eiy fˆ = My fˆ .
2. Ta có:
M f ^ = e . M f x dx e
ix
ix
y
y
n
.eixy f x dx
n
e ix y f x dx fˆ y T y fˆ .
n
3. Ta có:
D f ^ e D f x dx
ix
a
a
n
e ix . f ax dx .
n
Đặt t = ax x
t
n
dx a dt , ta có:
a
t
i .
a
D f ^ e
a
. f t . a dt
n
n
a
n
x
i .
a
e
f x dx
n
a
n
fˆ
a
n
a D1 fˆ ,
a
n.
Mệnh đề được chứng minh.
Mệnh đề 2.1.5
x
4
Giả sử x e
2
, khi đó ˆ
Chứng minh
20
4
n
2
e .
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
Áp dụng định lý Fubini để viết ˆ dưới dạng tích của các tích phân 1
2
e
chiều:
x
4
ix .
.e
x2j
n
dx e 4 .e
ix j . j
j 1
n
dx j .
Để đánh giá các tích phân 1 chiều chúng ta dùng giải tích phức. Cuối
cùng ta thu được kết quả:
x
4
2
ix.
e .e dx e
2
x
i
2
e
2
dx e
2
x
4
2
e dx 4 e .
2
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 2.1.6 (Công thức liên hợp)
Giả sử f , g L1 n . Khi đó
fˆ x g x dx f x gˆ x dx .
n
n
Chứng minh
Ta thấy: fˆ
f x dx
e
ix .
n
f x dx
n
f 1.
(6.1)
Do đó fˆ là hàm bị chặn trên n , tương tự gˆ cũng bị chặn trên n .
Như vậy tích phân (6.1) tồn tại, hơn nữa:
fˆ x g x dx e
ixy
n
n
n
f y dy g x dx
f y e
ixy
n
n
g x dx dy f x gˆ x dx .
n
Mệnh đề được chứng minh.
Đ2. PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRONG KHÔNG GIAN S n
Do không gian S n trù mật trong không gian L1 n , nên ta cũng
định nghĩa phép biến đổi Fourier của hàm f S n bởi:
21
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
fˆ e ix f x dx,
n .
n
Các tính chất của biến đổi Fourier trong S n .
Mệnh đề 2.2.1
Giả sử S n . Khi đó:
1) D ^ ˆ với mọi đa chỉ số ;
2) Dˆ x ^ với mọi đa chỉ số ;
3) ˆ S n .
Chứng minh
1) Ta có:
D ^ e D x dx .
ix
n
Sử dụng công thức tích phân từng phần bằng cách đặt:
u e i x du i .e i x dx
dv D x dx
và do uv
1
1
x dx do đó v x
i
i
1
x e i x bằng 0 ở vô tận nên ta có:
i
D ^
n
.e i x x dx e i x x dx ˆ .
n
2) Ta có: D ˆ D e i x x dx .
n
Do tích phân trên hội tụ đều theo biến trên n nên lấy đạo hàm qua
dấu tích phân theo biến và do x S nên ta có:
D ˆ x
e i x x dx x ^ .
n
22
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
3) Giả sử , là hai đa chỉ số bất kì, khi đó theo phần 1) và phần 2) ta
có:
D ˆ x ^ D x ^ .
Vì D
x S
n
do đó thuộc L , suy ra:
n
1
sup D ˆ sup D
n
n
sup e i x D
n n
e i x
1
D
x ^
x x dx
x
D
1
x
Do đó ˆ S n . Mệnh đề được chứng minh.
.
1
Định lý 2.2.1 (Công thức Fourier ngược)
fˆ
f f S n .
Trong đó toán tử xác định bởi:
f x
1
ix
f S n .
n f e d ,
2
n
Hàm f được gọi là biến đổi Fourier ngược của hàm f.
Chứng minh
Ta có
fˆ
x
1
ix ˆ
f d .
n e
2
n
Giả sử 0 . Đặt I x 2
n
ix
e
n
ix 2
Giả sử g e
2
2
2
e .e
ix
2
2
(2.2)
23
.
2
2
2
fˆ d .
(2.1)
Kho¸ luËn tèt nghiÖp
Khæng ThÞ Thuý Hång K29G - To¸n
Nếu đặt e
2
thì g eix
2
eix D Mx D .
Từ mệnh đề (2.1.4) và mệnh đề (2.1.5) ta có:
gˆ Mx D T x D
n
2
T x D1 e
2
2
T
x
n
2
T x e
2
2
n
D1ˆ
n 2x
e
2
2
. (2.3)
Như vậy từ (2.1), (2.2), (2.3) và mệnh đề (1.2.6), ta có:
I x 2
n
g fˆ d
n
2
n
gˆ f d
n
n
2 e
n
x
2 2
2
f d
n
2
n
f * x ,
(2.4)
x
trong đó x n .
Vì f S n suy ra f Lp n , 1 p .
Do đó nhờ (2.2), (2.4) và định lý 1.1.2, ta có:
2x
n
e dx f f trong Lp khi 0 .
2
I 2
n
n
Như vậy tồn tại một dãy số thực dương n sao cho I x f x với
n
hầu khắp x n khi n 0 .
Nhờ (2.3) và định lý hội tụ trội Lebesgue thì :
I x 2
n
e
ix
fˆ d , x n khi 0 .
n
24
