Dùng Phương tích trong bài toán tứ giác nội tiếp - Thầy Quang Baby
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (317.09 KB, 7 trang )
DÙNG PHƯƠNG TÍCH XỬ LÝ CÁC BÀI TOÁN TỨ
GIÁC NỘI TIẾP
THẦY QUANG BABY : Face Mẫn Ngọc Quang
PHƯƠNG TÍCH – HÌNH OXY
Dẫn nhập : Trong một số bài toán việc chứng minh một tứ giác nội tiếp khó
khăn khi sử dụng phương pháp (2 góc cùng nhìn một cung , 2 góc đối nhau ,
góc ngoài tứ giác nội tiếp ) người ta thường dùng đến phương tích như sau :
Tứ giác CDHM nội tiếp khi : IH.ID = IM.IC
Ngược lại , nếu có IH.ID = IM.IC thì tứ giác CDHM nội tiếp
BÀI TOÁN ÁP DỤNG
Bài 1: Cho tam giác nhọn ABC ( AB
Gọi K là giao điểm của EF và AH. I là trung điểm của AH, IC cắt đường tròn
(Q) tại M khác C. Cho I(1,2), C(0,1), biết S(4,3) thuộc đường thẳng KM. Tìm
tọa độ điểm B biết nó thuộc đường tròn (x+2)2 + (y+2)2 = 9 và yB nguyên.
Đ/S: B(-2,5)
Tính chất : B, K, M thẳng hang
Chứng minh công thức phương tích IE2 = IM.IC = IH.ID
Tam giác IEM đồng dạng ICE suy ra IE2 = IM.IC
Tương tự IE2 = IH.ID
Do đó IM.IC = IH.ID
Thayquang.edu.vn
Page 1
Chứng minh IE là tiếp tuyến E1 = A2 ; E2 = C2
Lại có C2 + A1 = 900 suy ra E1 + E2 = 900 do đó IEO = 900
Ta chứng minh B, K, M thẳng hàng bằng tiên đề Ơ-clit:
chắn nửa đường tròn)
BM IC ( M
KM IC ( khó hơn cả)
KM IC KMCD nội tiếp IM.IC = IK.ID (sẽ chứng minh sau đây)
Cần chứng minh IE2 = IK.ID
Đã có IE2 = IM.IC
Cần chứng minh IEK đồng dạng IDE. Tứ giác DCEK nội tiếp D1 = C1 = E1
Bài 2: Cho đường tròn (C1) tâm K dây AB. Điểm M thuộc cung lớn AB. Vẽ
1
2
đường tròn (C2) qua M, nhận AB là tiếp tuyến tại A(-1,-2), E(0, ) là trung
điểm AB; ME giao (C2) tại N, đường tròn ngoại tiếp tam giác MBN có tâm I
thuộc đường thẳng x+3y-1=0. Viết phương trình đường tròn tâm I.
Thayquang.edu.vn
Page 2
Cách 2: dùng phương tích
Xét E nằm ngoài đường tròn (C2), tính chất phương tích có AE2 = EM.EN. lại
có EB = EA BE2 = EM.EN EB là tiếp tuyến của đường tròn tâm I.
Bài 3: Cho (Q,R) đường kính AB cố định, đường kính CD thay đổi, CD AB.
Các tia BC, BD cắt các tiếp tuyến của (Q) tại A lần lượt ở E, F. đường tròn qua
3 điểm Q, D, F và đường tròn đi qua 3 điểm Q, E, C cắt nhau ở G (khác Q).
4 17
), K(5,-2) thuộc GA, BQ. Tìm A, B.
5 5
Biết Q(1,2), D( ,
Ta có BQC QCB EFB DCEF là tứ giác nội tiếp BC.BE=BD.BF
Gọi M là giao của BA và (QCE) QCEM là tứ giác nội tiếp
Thayquang.edu.vn
Page 3
BQ.BM=BC.BE=BD.BF QDFM là tứ giác nội tiếp M (QDF)
M G G,A,Q,B thẳng hàng
AB qua K(5,-2) và Q(1,2) AB: x+y-3=0
1 7
2
2
QD( , ) (Q,QA): (x-1) + (y-2) = 2
5 5
x y 3 0
Tọa độ A là nghiệm hệ phương trình:
2
2
x 1 y 2 2
Do A nằm giữa K và Q A(2,1) B(0,3)
Bài 4: (Thpt - Tình Gia) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC. Trên
hai đoạn thẳng AB, AC lần lượt lấy hai điểm E, D sao cho ABD ACE . Đường
tròn ngoại tiếp tam giác ADB cắt tia CE tại M(1;0) và N(2;1). Đường tròn
ngoại tiếp tam giác AEC cắt tia BD tại I(1;2) và K. Viết phương trình đường
tròn ngoại tiếp tam giác MNK.
Đáp số (x-1)2 + (y-1)2 = 1
Theo giả thiết ABD ACE , suy ra BCDE là tứ giác nội tiếp.
Gọi H là giao điểm của BD và CE.
Do BEH đồng dạng CDH nên HD.HB= HE.HC
Do HBN đồng dạng với HMD nên HD.HB= HM.HN
Do HIE đồng dạng với HCK nên HEHC = HI.HK
Do đó HM.HN = HI.HK suy ra IHN đồng dạng với MHK nên NIH KHM
NIMK là tứ giác nội tiếp. Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác MNI cũng là đường
tròn ngoại tiếp tam giác MNK, có pt (x-1)2 + (y-1)2 = 1
Cách 2 : Học sinh có thể sử dụng phương tích trong bài toán này
Thayquang.edu.vn
Page 4
Bài 5: Cho đường tròn tâm I, dây CD cố định, điểm M thuộc tia đối của tia CD. Qua
M ta kẻ 2 tiếp tuyến MA, MB tới đường tròn, A thuộc cung lớn. nối IM cắt AB tại H.
1
2
biết AB: 2x+y-1=0, điểm N(2, ) thuộc đường thẳng HC, điểm D(0,3). Tìm tọa độ
điểm H.
Tính chất: BH là đường phân giác của CHD .
Chứng minh:
Ta có MC.MD=MA2, trong tam giác vuông IAM có MA2=MH.MI
MH.MI = MC.MD
Tứ giác CDIH nội tiếp
Ta đi chứng minh H1 = H2 (do IM vuông góc AC)
Góc D3= C3 = H3= H3* ( D3= C3 do ICD cân tại I, H3= H3* là góc ngoài, C3 = H3 vì
cùng chắn cung DI)
Do góc H1+H3=900, H2+H3*=900 nên H1= H2
Tính toán: từ việc AB là phân giác góc DHC ta lấy điểm D’ đối xứng với D qua AB
như sau: phương trình (d) qua D vuông góc AB: 1.(x-0) – 2.(y-3)=0 x-2y+6=0
4 13
8 11
Tìm ra giao điểm (d) và AB: K( 5 , 5 ) D’( 5 , 5 )
Phương trình CH qua N, D’ là -8x+6y+19=0
5
3
Vậy tìm ra H=AB giao CH: H( 4 , 2 )
Cách 2: phương tích
MA2=MH.MI
MC.MD=MA2
MH.MI = MC.MD
Thayquang.edu.vn
Page 5
Tứ giác CDIH nội tiếp
Dùng như trên ….
HB là phân giác của góc CHD
Tính toán:
Lấy D’ đối xứng với D qua AB
Viết phương trình CH qua N, D’
THÊM BÀI NỮA :
Bài 6:
/>84299.1073741829.100007039652223&type=3&theater
Bài 7 :
/>84299.1073741829.100007039652223&type=3&theater
Thayquang.edu.vn
Page 6
Thayquang.edu.vn
Page 7
