Khóa luận tốt nghiệp

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU...........................................................................................................1
Chương 1: Cơ sơ lí thuyết...............................................................................2
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.
1.5.

Tích vô hướng...............................................................................2
1.1.1 Định nghĩa............................................................................2
1.1.2 Một số tính chất của tích vô hướng .........……....................2
Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz.................................................2
Đa thức trực giao..........................................................................3
Bài toán Sturm – Liouville............................................................5
Tích phân Euler loại 1,2................................................................5
1.5.1 Tích phân Euler loại 1.........................................................5
1.5.2 Tích phân Euler loại 2.........................................................5
1.5.3 Liên hệ B và là......................................................6

Chương 2: Các đa thức trực giao....................................................................7
2.1. Đa thức Legendre.................................................................................7
2.1.1. Định lí 1..............................................................................8
2.1.2. Định lí 2.............................................................................11
2.1.3. Định lí 3............................................................................13
2.1.4. Định lí 4............................................................................14
2.1.5. Định lí 5............................................................................15
2.1.6. Định lí 6............................................................................18

2.2. Tọa độ cầu và phương trình Legendre..........................................19
2.2.1. Định lí 7.........................................................................23
2.2.2. Định lí 8.........................................................................27
2.2.3. Định lí 9.........................................................................28

Bùi văn lăng – k32g toán

1


Khóa luận tốt nghiệp

Bùi văn lăng – k32g toán

2


2.2.4. Định lí 10..........................................................................29
2.3. Đa thức Hermite...........................................................................30
2.3.1. Định lí 11...........................................................................31
2.3.2. Định lí 12.......................................................................... 32
2.3.3. Hệ quả……………………….……………………………33
2.3.4. Định lí 13.......................................................................... 33
2.3.5. Định lí 14......................................................................... 35
2.4. Đa thức Laguerre............................................................................37
2.4.1. Định lí 15.......................................................................... 37
2.4.2. Định lí 16.......................................................................... 40
2.4.3. Định lí 17.......................................................................... 42
2.5. Đa thức Chebyshev........................................................................43
2.6. Đa thức Jacobi...............................................................................44

KẾT LUẬN.....................................................................................................47
TÀI LIỆU THAM KHẢO...............................................................................48



MỞ ĐẦU

Giải tích là ngành Toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong khoa học kỹ thuật,
nhất là trong lĩnh vực Vật lý.
Đặc biệt, qua quá trình nghiên cứu các phương trình đạo hàm riêng thường gặp
trong Vật lý, đã dẫn đến việc hình thành một ngành giải tích mới là Phương trình
toán lí vào thế kỷ thứ XVIII. Ngành toán học mới này giúp liên hệ giữa các đại
lượng vật lí trong tự nhiên rất phức tạp nhưng có quy luật.
Trong quá trình đi tìm nghiệm của phương trình vi phân đạo hàm riêng bằng
phương pháp tách biến, ta sẽ gặp một số phương trình vi phân thông thường mà
nghiệm của nó là các hàm cầu, hàm Betsen,..., đậc biệt là các đa thức trực giao là đa
thức Legendre, Đa thức Hermite, Đa thức Laguerre,Đa thức Chebyshev, Đa thức
Jacobi...
Tuy nhiên, trong quá trình học tập và nghiên cứu, bản thân em cũng như các bạn
sinh viên cùng khoá để hiểu một cách sâu sắc các đa thức trực giao, các tính chất
của chúng, và các ứng trong vật lí là rất khó.
Từ những suy nghĩ trên, và dưới sự hướng dẫn của thầy TS.BÙI KIÊN
CƯỜNG. Em dã chọn đề tài “Các đa thức trực giao” làm đề tài luận văn tốt nghiệp
của mình.
Khoá luận của em gồm các nội dung sau:
Chương1: Cơ sở lí thuyết
Chương2: Các đa thức trực giao
Qua đây, em xin bày tỏ lời cảm ơn sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn TS. BÙI
KIÊN CƯỜNG người đã hướng dẫn, giúp đỡ em hoàn thành khoá luận này.
Cuối cùng em xin cảm ơn các thầy cô trong tổ giải tích, các thầy cô trong khoa

toán đã giúp đỡ em trong 4 năm học qua !
Hà Nội, Ngày 9 tháng 5 năm 2010
Sinh viên
BÙI VĂN LĂNG



Chương 1
cơ sở lí thuyết

1.1. Tích vô hướng
1.1.1. Định nghĩa:
Cho không gian tuyến tính X trên trường K (K là trường số thực R hoặc
trường số phức C). ta gọi là tích vô hướng trên không gian X với mọi ánh xạ
từ tích Descartes X X vào trường K, ký hiệu .,. , thỏa mãn tiên đề:

x, y, x  x, y
y X

i.

;

,
ii.

x, y, z x 
y, z
X ,


iii.

x, y X

K

x, z

,

,
iiii.

x
0 ;

x

X,

x, x 
0

y, z

;

x, y x, y

;



nếu

x
0,

1.1.2. Một số tính chất đơn giản của tích vô hướng:

i. x  X

x, x 
0

nếu


,

0, x 0
ii.

x, y 
X , 

K

x,y

x, y


.



,
iii.

x, y, z
X ,

x, y
z


1.2. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
Đối với mỗi

x X ta đặt:

x, y


x, z


x  x, x
Khi đó

x,

y
X

ta có bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

x, y 

xy

1.3. Đa thức trực giao
Cho (a,b) là khoảng mở trong R, hữu hạn hoặc vô hạn, hàm
b

trên khoảng (a,b) , sao cho



xn(x)

(x)
0

(n 0,1, là hội tụ tuyệt đối. Tồn
2...)

dx
tại duy nhất dãy P
có dạng

a


các đa thức

n 0

0

2

P2 x b1 x b0
; P3 x
là trực giao với hàm trọng
(x) 0
Pn , Pm

 c3
x

2

1

0

c2 x c0 ;...

trên khoảng (a,b); nghĩa là

b


Pn P
dx 0

nếu m n


m

3

x a ;

P
1;
P

a

Thật vậy, tìm điều kiện a0 để

P1

trực giao P0 :
0 P1, P0


b
b

 (x a

)(x)dx
0
0
 
a 
a

x(x)dx
.
a
b

 ((x)dx
a

Tiếp theo nhờ tính trực giao của đa thức P2 với đa thức P0
và

P2 , P1

0 và P2 , P0



0


P1 , nên

 ,


giải hệ phương trình ta xác định được hệ số b0 và b1 trong đa thức P2 .
Tương tự như trên ta giải hệ ba phương trình


P3 , P2



 P3 , P1



P3 , P0

ta xác định được hệ số c0 , c1 , c3 trong đa
thức



 ,

0
P3 .

Tiếp tục quá trình trên ta xác định được hệ số của
giao. Pn

nhờ điều kiện trực


Như vậy, hàm (x) ở trên là hàm trọng trên khoảng (a,b), tồn tại
duy
nhất
dãy P của các đa thức xác định bởi điều kiện:
n 0

i. Pn là đa thức bậc n.
ii. P ,
n

0 với mọi m n .

Pm



iii. Hệ số của
n
x

trong Pn là 1.

Bổ đề 1: Giả sử P là dãy các đa thức,
sao cho

P là đa thức bậc n
n

n 0


với mọi n. Khi đó mọi đa thức bậc k (k=1,2,3,...) là tổ hợp tuyến tính của
P1 ,..., Pk .
Chứng minh:
Nếu f là đa thức bậc k, chọn hằng số ck
của
k
x

.Do đó f
c
P
k

sao cho f và ck Pk có cung hệ số
sao cho và c

là đa thức bậc k-1, ta chọn
c
k

f ck Pk có cùng hệ số
của x

k 1

k 1

.Do đó f ck Pk
ck 1 Pk 1


Chúng ta tiếp tục quá trình này cho

ck 1,...,c0

P

k 1 k 1

là đa thức bậc k-2.


sao cho
k

f  cn Pn 0 .
n0

Bổ đề được chứng minh.

Pn xác đinh bởi công thức:


Pn (x)  cn

d

n

(x)P(x)n 


(x)
n
dx

trong đó c là hằng số,
n

(x) >0 là hàm trọng,

(1)

là đa thức trực giao ,

Pn (x)

P(x) là đa thức cố định đã có.
Với m n
thì

b

Pn (x), Pm
(x)

 ( x)Pn (x)Pm (x)dx

 a

b


Với m=n thì Pn (x)

Pn (x), Pn
(x)



  (x)Pn (x)Pm (x)dx

 a

1.4. Bài toán Sturm- Liouville :

y" y 0, 0 x T
;
Dạng 1: 
y(0) 0; y(T ) 0
y"
T x T
Dạng 2:
 y
0,

'
'
y(T ) y(T ); y (T ) y (T )
1.5.Tích phân Euler loại 1,2:
1.5.1.Tích phân Euler loại 1:
1


B(a,b) =
0

x

a1

(1x)

b1

dx, a 0,b 0.

1.5.2.ch phân Euler loại 2:





(a) xa 1e xdx, a 0.
0


(a 1) a(a), a 0
(n 1) n!


(
2


1

)


1.5.3.ên hệ B và là:

(
a
).
 
 (
b
)

B(a,b)(a
 b)



Chương 2
Các đa thức trực giao

2.1. Đa thức Legendre
Đa thức Legendre, kí hiệu Pn , được xác định bởi:

P (x) 

n


1

(2)

dn

(x 2
1) n

2n n! dxn

Hàm số (x 2
n
1)

2n

là đa thức bậc 2n, với số hạng cao nhất là

vậy Pn là một đa thức bậc n.
Một vài đa thức Legendre bậc nhỏ:

P0 (x) 1
P1 (x) x
1
2
P (x)  3x 1




2



21
P (x)  5x 3 3x





3

2 1
4
2
P (x)  (35x 30x 3)
4

8 1
5
3
P (x)  63x 70x 15x



5




81
6
4
2
P (x)  231x 315x 105x 5
6



8

Pn
§a thøc (x)



®•îc tÝnh b»ng c«ng thøc

x . Như


j

1
(1) (2n 2 j)!
n 2
P (x)

x
n 

2 nn j!(n j)!(n 2 j)!
j

2

j


§©y lµ ®Þnh lÝ nhÞ thøc.
Tõ (2) ta thÊy

1 d n 2n
P (x) 
(x ...)
n
n
n
2 n! dx
1

((2n)(2n 1)...(n 1)
n
x ...) 2n n!
(2n)! 2
x ...
2n
2
(n!)
(3)
2.3.Đa thức Hermite

Đa thức hermine thứ n kí hiệu là

H n (x) được xác định bởi:

d nx
H (x) (1) e x n .
e
dxn
2

2

n

(29)

Tính toán đơn giản ta thấy:

H0 (x) 1,
H1 (x) 2x,
H2 (x) 4x 2 2,
H3 (x) 8x3 12x,
H4 (x) 16x4 48x2 12.
Nói chung ta có:
x

2

e H n (x) 
(1)


n
2
x

Bùi văn lăng – k32g toán

d
n

dx

n



e

d


x

2

[e H
(x)]
dx
n1
10



2

= e x  2xH n1 (x) H n1 (x) ,

Bùi văn lăng – k32g toán

10


Hoặc

H n (x) 2xHn1 (x) 
H n1 (x),

(30)

Hn là chăn hoặc lẻ tùy vào n là chẵn hay lẻ ( vì

x2



e

là hàm chẵn ).

n


Hn là đa thức bậc n, số hạng cao nhất là (2x) .
Xét trong không gian

2

L2
(R)

vµ L2
(R)

với hàm trọng



e

x

(x)

.

Lưu ý rằng


e


2 x




dx 2 e



2


x

dx y

0

1eydy (


1/2

.

)

2

0

2.3.1Định lí 11:



Đa thức

H n

là trực giao trên R với hàm trọng (x) e

và
0

x

2

n

H2n 2 .n!

.

Chứng minh:
Nếu f là đa thức bất kì, ta có:


f , Hn










f (x)H n (x)e
x



u 

f
(x)
Bùi văn lăng – k32g toán



2

d n 
f (x) dx e x dx
n
2

dx 
(1) n 




du  f ' (x)dx

2

11


Đặt 

ta có 

n

d
dv
e x

 dx dx

n

x
v d
 n1 e

dxn
2

1


d

n1

x

2



e


=

dx
 '







Bùi văn lăng – k32g toán

f

x
'


2

d
n1



f (x)

f , Hn



n1



f


( x)

e n1 dx
dx

d n1x
(x) dx en1
dx


2

12


Tích phân tiếp tục (n-1) lần ta được:

,
f Hn



(n)

)

f



2

( x .
x e dx








Nếu f=Hn với m < n thì

nên

f (n)
0

0 . Điều này chứng

f,
Hn



minh được tính trực giao của đa thức Hermite.
Mặt khác, Nếu f=Hn ta có f (x) (2x)n ...
Nên f

(n)

2n n!


H2 n2n n!

e

 x


2



dx
.
n
2 n!



2.3.2Định lí 12:
Giả sử f là một hàm trên R sao cho
tất cả t
R

2

f (x) e
x
e

nếu:


 f (x)P(x)e

2




dx 0

x



với tất cả đa thức P thì f=0 ( hầu khắp nơi)
Chứng minh:


(itx)

n

Từ eitx

tx

là khả tích trên R với


 và

n!

0

n


N


(itx)
0

n!

tx



tx


n

e với
tất cả

N 0 ,


n!

0

Theo định lí hội tụ trội thì:



2x

e f (x)e

itx





dx (it)
0

n 

n!

n
x
 f (x)e



2x

dx.


Do giả thuyết trên các tích phân ở bên phải đều triệt tiờu. Theo định lí
2


đảo Fourier thì f

(x)e

0 , do đó f(x)=0 hầu khắp nơi.

 x

2.3.3.Hệ quả 2:

H n



của
0

là cơ sở trực giao L2 (R) .


Chứng minh:
Nếu f L

(R) và

2

 với tất cả n
thì0



f,
Hn

f,
Hn

0 với tất



cả đa thức P. Và


 f (x) e e
tx

2

x



dx

(






2

f (x) e

2x

) ( e
1/2





2 tx

2

e

x

dx)1/2 



( Theo bất đẳng thức cauchy – Schwar)
2.3.4Định lí 13:
Với bất kì x R và zC ta có:


H


n

(x)

0

zn
n!

e2 xz
2

Chứng minh:
Đặt u=x-z
du= 

và ở đó:

d

dz
d

n

dx


n2

n

z

.

(31)