Số hóa bởi trung tâm học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
––––––––––––––––––––––––––






NGUYỄN THANH HOA







ĐA THỨC TRỰC GIAO TRONG C
n

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC














THÁI NGUYÊN – 2013


Số hóa bởi trung tâm học liệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
––––––––––––––––––––––––––






NGUYỄN THANH HOA






ĐA THỨC TRỰC GIAO TRONG C
n


Chuyên ngành: GIẢI TÍCH
Mã số: 60.46.01.02






LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC







Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: GS.TSKH NGUYỄN QUANG DIỆU









THÁI NGUYÊN – 2013


Số hóa bởi trung tâm học liệu

i
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu
trích dẫn đều có nguồn gốc rõ ràng, các kết quả trong luận văn là trung thực và
chưa từng được ai công bố ở bất kỳ công trình nào khác.

Tác giả luận văn




Nguyễn Thanh Hoa



Số hóa bởi trung tâm học liệu

ii

LỜI CẢM ƠN

Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH. Nguyễn Quang Diệu. Nhân
dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn Thầy về sự hướng dẫn tận tình, hiệu quả với
những kinh nghiệm trong quá trình nghiên cứu để hoàn thành luận văn.
Xin cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa
Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện
Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện
thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên,
Trường Trung cấp nghề Cao Bằng cùng các đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ
tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy
rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học
viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.

Tác giả

Nguyễn Thanh Hoa






Số hóa bởi trung tâm học liệu


iii
MỤC LỤC

Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Mục lục iii
MỞ ĐẦU 1
Chƣơng 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2
1.1. Hàm đa điều hòa dưới 2
1.2. Dung tích tương đối 14
1.3. Đa thức trực giao trong C
n
20
Chƣơng 2: MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÀM GREEN CỦA HÀM ĐỘ ĐO


VÀ DÃY CÁC ĐA THỨC TRỰC GIAO CỦA ĐỘ ĐO

23
Định lý 2.1. 23
Định lý 2.2 24
Định lý 2.3 26
Định nghĩa 2.4 28
Định lý 2.5 28
KẾT LUẬN 33
TÀI LIỆU THAM KHẢO 34







Số hóa bởi trung tâm học liệu

1
MỞ ĐẦU
Chúng tôi chọn đề tài ''Đa thức trực giao trong C
n
". Cụ thể, cho µ là một
độ đo Borel dương, hữu hạn trên tập hợp compact K  C
n
. Chúng ta nói rằng
(K, µ) thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein - Markov nếu, với mọi
0


, tồn tại
hằng số
( ) 0cc


sao cho, với mọi đa thức P

Kí hiệu
p

là các đa thức trực giao nhận được nhờ phép trực giao hóa
Gram-Schmidt, thì theo một kết quả của Green chúng ta có thể biểu diễn hàm
Green đa phức của một tập compact chính quy thông qua dãy các đa thức
p



nói trên.
Nội dung chính của luận văn là nghiên cứu các biến dạng của định lý
Zeriahi. Blocki nhưng trong bối cảnh

là một độ đo dương với giá compact
(ta không giả sử

không thỏa mãn bất đẳng thức Bernstein-Markov), chúng
tôi cũng đưa ra các ví dụ cụ thể về những độ đo

thỏa mãn các yêu cầu của
định lý chính và các điều kiện đủ để

có tính chất Bernstein-Markov. Đây là
những kết quả được lấy ra từ một bài báo của Bloom.
Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương nội dung chính, Kết luận và
Tài liệu tham khảo.
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Trước hết trình bày các khái niệm hàm đa
điều hòa dưới, dung tích tương đối, hàm Green đa phức
Chương 2: Nghiên cứu mối liên hệ giữa hàm Green của hàm độ đo

và
dãy các đa thức trực giao của độ đo

(Định lý 2.1, định lý 2.2 và định lý 2.3)
ngoài ra chúng tôi cũng chỉ ra lớp các độ đo

thỏa mãn bất đẳng thức

Bernstein-Markov.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.




Số hóa bởi trung tâm học liệu

2
Chƣơng 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hòa dƣới
1.1.1. Hàm điều hòa dưới
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử
X
là không gian tôpô. Hàm

:,uX


  

gọi là nửa liên tục trên trên
X
nếu với mỗi
R


tập:
 

: ( )X x X u x


  

là mở trong
X
. Hàm

:,vX


  
gọi là nửa liên tục dưới trên
X
nếu
v

là nửa liên tục trên trên
X
.
Định nghĩa trên tương đương với định nghĩa mang tính địa phương sau:
Giả sử

:,uX


  
. Ta nói hàm
u

là nửa liên tục trên tại
xX

nếu
0


tồn tại lân cận
0
U
x
của
0
x
trong
X
sao cho
0
xU
x

ta có:

0
( ) ( )u x u x


nếu
0
()ux  



1
()ux


nếu
0
()ux  

Hàm u gọi là nửa liên tục trên trên X nếu u nửa liên tục trên tại mọi
0
xX
.
Mặt khác nếu ta cho định nghĩa sau: Giả sử
EX
và

:,uE


  

là hàm trên E. Giả sử
0
xE
. Ta định nghĩa

 
 

0
lim sup ( ) inf sup ( ):
xE
u x u y y V
xx




ở đó inf lấy trên các V chạy qua các lân cận của
0
x
. Khi đó có thể thấy rằng
hàm

:,uE


  
là nửa liên tục trên tại
0
xX
nếu
0
0
lim sup ( ) ( )u x u x
xx


. Ta định nghĩa hàm điều hòa dưới:

Định nghĩa 1.1.2. Giả sử

là tập mở trong C. Hàm

:,u


   

gọi là điều hòa dưới trên

nếu nó nửa liên tục trên trên

và thỏa mãn bất


Số hóa bởi trung tâm học liệu

3
đẳng thức dưới trung bình trên

, nghĩa là với mọi


tồn tại Q > 0 sao
cho với mọi 0 < r < Q ta có:
 
2
0
1

()
2
it
u u re dt





(1.1)
Chú ý: Với định nghĩa trên thì hàm đồng nhất

trên

được xem là
hàm điều hòa dưới trên

.Ta kí hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên

là
SH(

). Sau đây là các ví dụ đáng chú ý về hàm điều hòa dưới.
Bổ đề 1.1.3. Nếu
:fC
là hàm chỉnh hình trên

thì
log f
là hàm

điều hòa dưới trên

.
Chứng minh. Trường hợp
0f 
trên

thì kết quả là rõ ràng. Giả sử
0f 
trên

, Khi đó rõ ràng
log f
là hàm nửa liên tục trên trên

. Giả sử


. Nếu
 
0f


thì chọn
0


sao cho
0f 
trên

 
( , ) :B z z
   
   
. Khi đó
log f
là hàm điều hòa trên
 
( , ) :B z z
   
   
nên (l.l) được thỏa mãn với dấu đẳng thức. Trường
hợp
 
0f


. Khi đó
log f  
và do đó (l.l) luôn đúng. □
Bổ đề 1.1.4. Giả sử u,v là các hàm điều hòa dưới trên tập mở

trong
C. Khi đó:
(i) max(u,v) là hàm điều hòa dưới trên

.
(ii) Tập các hàm điều hòa dưới trên

là một nón, nghĩa là nếu

, ( )u v SH
và
,0


thì
uv


cũng thuộc
()SH 
.
Định lý 1.1.5. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền bị chặn

trên
C. Khi đó:
(i) Nếu u đạt cực đại toàn thể tại một điểm trên

thì u là hằng số trên

.
(ii) Nếu
 
limsup 0uz
z



đối với mọi



thì
0u 
trên

.
Chứng minh: (i) Giả sử u nhận giá trị cực đại M tại điểm
0
z 
. Đặt

 
 
:A z u z M  
và
 
 
:B z u z M 



Số hóa bởi trung tâm học liệu

4
Khi đó A là tập mở vì u là hàm nửa liên tục trên. Từ bất đẳng thức dưới trung
bình ta thấy B cũng là tập mở. Ta có
,A B A B     
. Do đó hoặc
A


hoặc
B
. Nhưng theo giả thiết
B 
nên
B
và (i) được chứng minh.
(ii) Mở rộng u lên

nhờ đặt
   
limsupu uz
z




,
 


. Do

là tập
compact nên u đạt cực đại tại


. Nếu



thì do giả thiết
 
0u


. Do
đó
0u 
trên

. Trường hợp


theo (i) u là hằng số trên

. Do đó nó
hằng số trên

và vậy thì
0u 
trên

. □
Sau đây là tiêu chuẩn nhận biết khi nào một hàm nửa liên tục trên là hàm
điều hòa dưới.
Định lý 1.1.6. Giả sử

là tập mở trong C và u là hàm nửa liên tục trên

. Khi đó các phát biểu sau là tương đương:

(i) u là hàm điều hòa dưới trên

.
(ii) Với mọi


, tồn tại
0


sao cho
 
,0

   
và với mọi
0 ,0 2rt

   
ta có:
 
 
 
22
2
22
0
1
2 2 cos
it i

r
u re u e d
r t r



   
   

  
  


ở đó
 
 
, 0 :zz
   
     
là đĩa đóng tâm

bán kính

.
(iii) Với mọi miền D compact tương đối trong

và h là hàm điều hòa
trên D, liên tục trên
D
thỏa mãn:

 
limsup ( ) 0u h z
z




 
D



ta có
uh
trên D.
Hệ quả 1.1.7. Nếu u là hàm điều hòa dưới trên tập mở

và nếu
 
,

  
thì:
 
 
2
0
1
2
i

u u e d


   






Số hóa bởi trung tâm học liệu

5
Định lý 1.1.8. Giả sử
 
2
uC
. Khi đó u là điều hòa dưới trên

khi
và chỉ khi
0u
trên

ở đó
22
22
uu
u
xy


  

là Laplace của u.
Chứng minh. Giả sử
0u
trên

. Lấy D là miền compact tương đối
trong

và h là hàm điều hòa trên D, liên tục trên D sao cho:
 
limsup ( ) 0u h z
z



đối với mọi
D


. Với
0


, xác định
2
2
( ) ( )

()
u z h z z
vz
z










êu
ê
n
nu
zD
zD



Khi đó,
v

nửa liên tục trên
D
nên nó đạt cực đại trên
D

. Tuy nhiên do
40vu


    
trên D nên
v

đạt cực đại trên
D
. Do đó
2
sup
D
u h z




trên D. Cho
0


ta được u

h trên D và do đó u điều hòa dưới trên D.
Ngược lại, giả sử u là hàm điều hòa dưới trên

. Giả thiết tại



ta
có
( ) 0u


. Do đó có
0


sao cho
0u
trên
 
,


. Do đó u là hàm
điều hòa trên
 
,


. Vậy
( ) 0u


và gặp mâu thuẫn. Do đó
0u
và định

lí được chứng minh. □
Định lý 1.1.9. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập mở
1

và v là hàm
điều hòa dưới trên tập mở
21
  
. Giả thiết
   
limsupv z u
z




, với mọi
12

 
. Khi đó hàm

u
xác định trên
1

:

 
ax ,m u v

u
u







ê
ê
tr n
tr n

2
12
\



là điều hòa dưới trên
1

.
Chứng minh. Từ điều kiện
   
limsupv z u
z





, với mọi
12

 
suy
ra hàm

u
nửa liên tục trên trên
1

. Dễ thấy

u
thỏa mãn bất đẳng thức dưới
trung bình tại mọi
2


. Do

uu
trên
1

nên

u

cũng thỏa mãn bất đẳng
thức dưới trung bình tại mọi
12
\

 
. Định lí được chứng minh. □


Số hóa bởi trung tâm học liệu

6
Định lý 1.1.10. Giả sử
 
u
n
là dãy giảm các hàm điều hòa dưới trên tập
mở

trên C và
lim
n
uu
n


. Khi đó u là điều hòa dưới trên

.
Chứng minh. Đầu tiên ta chứng minh u nửa liên tục trên trên


. Với mỗi
R


, tập
 
 
 
: : ( )
n
n
z u z z u z


    


Do đó nó là tập mở. Vậy u nửa liên tục trên trên

. Do mỗi
u
n
thỏa mãn bất
đẳng thức dưới trung bình nên dùng định lí hội tụ đơn điệu suy ra u cũng thỏa mãn
bất đẳng thức dưới trung bình trên

. Do đó u là điều hòa dưới trên

. □

Định lý 1.1.11. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền

với
u  

trên

. Khi đó u khả tích địa phương trên

, nghĩa là với mọi
K 
ta có:
 
,
u dV

 


(1.2)
Chứng minh. Do định lí Heine-Borel chỉ cần chứng minh với mỗi



tồn tại
0


sao cho:
 

,
u dV





Đặt

:A

 
tại

có tính chất
 

1.2
và
\BA
. Ta chứng minh
A, B là các tập mở trên

và
u  
trên B. Do đó
B 
và định lí được
chứng minh.
Giả sử

A


. Chọn
0


sao cho (1.2) đúng. Với mỗi

 
,
  

, đặt


   
  
. Khi đó


 
 
,,
   
  
. Do đó:
 
,
u dV








Số hóa bởi trung tâm học liệu

7
Vậy
 
, A


và A là tập mở. Giả sử
1
B


. Chọn
0


sao cho
 
1
,2

  

. Do
1
B


nên
 
1
,
u dV





Với mỗi
 
'
1
,
  

, đặt
''
1
   
  
. Khi đó
 
 

''
1
,,
   
  

và do u bị chặn trên trên
 
''
,


nên
 
''
,
udV


 


Ta có bất đẳng thức:
   
2
''
0
it
u u re dt





,
 
'
0 r



Nhân bất đẳng thức trên với
2 r

và tích phân theo r từ 0 tới
'

ta được
 
 
'
'2 '
',
u udV

 

  


Do đó

u  
trên
 
1
,


. Điều này chứng tỏ B là tập mở và
u  

trên B. □
Hệ quả 1.1.12. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên miền
C
sao cho
u  
trên

. Khi đó tập
 
; ( )E z u z   

có độ đo Lebesgue bằng 0.
Định nghĩa 1.1.13. Giả sử
ab    
và
 
:,a b R


là hàm trên

(a, b). Hàm

gọi là lồi trên khoảng (a, b) nếu nó thỏa mãn điều kiện sau:
 
 
     
1 2 1 2
11t t t t
     
    

với mọi
 
12
,,t t a b
với mọi
01


.
Định lý 1.1.14. (Bất đẳng thức Jensen)
Giả sử
ab    
và
 
:,a b R


là hàm lồi. Nếu
 

,


là
không gian đo với
 
1


và
 
:,f a b
là hàm khả tích thì ta có bất
đẳng thức:
fd fd
   










Số hóa bởi trung tâm học liệu

8
Chứng minh. Đặt

c fd




. Khi đó
 
,c a b
. Từ Định nghĩa 1.1.13 ta có

     
21
12
2 1 2 1
t c c t
c t t
t t t t
  




Do đó

 
   
 
   
2
1

12
,
,
12
sup inf
t c b
t a c
c t t c
c t t c
   






Do đó có M sao cho

     
t c M t c

  
,
 
 
,t a b

Thay
 
tf



vào tích phân theo độ đo

ta được

 
 
   
 
 
f d c d M f c d c
       
  
   
  

Định lí dưới đây nói rằng tích của một hàm lồi tăng với một hàm điều
hòa dưới là một hàm điều hòa dưới.
Định lý 1.1.15. Giả sử

là tập mở trong C và


:,u a b
là hàm điều
hòa dưới trên

, ở đó
ab    

. Giả sử
 
:,a b R


là hàm lồi tăng.
Khi đó
u


là hàm điều hòa dưới trên

.
Chứng minh. Chọn dãy
   
,
n
a a b
sao cho
n
aa
.Với mỗi n đặt
 
ax ,
nn
u m u a
. Khi đó
n
u
là hàm điều hòa dưới trên


. Do

tăng và
n
u
là
nửa liên tục trên nên
n
u


là hàm điều hòa dưới trên

. Nếu
 
,

  
thì
từ tính điều hòa dưới của
n
u
và tính tăng của

cùng với bất đẳng thức Jensen
ta có:

 
   

22
00
11
22
ii
n n n
u u e d u e d


         


   





Do đó
n
u


là hàm điều hòa dưới trên

. Nhưng
n
uu

  

nên
kết luận của định lí được suy ra từ Định lí 1.1.10 ở trên. □


Số hóa bởi trung tâm học liệu

9
Định nghĩa 1.1.16: Giả sử

là tập mở của C. Với mỗi r > 0 đặt
 
 
:,
r
z d z r    

Giả sử


:,u    
là hàm khả tích địa phương trên và giả sử
:CR


là hàm khả tích địa phương với
 
supp 0,r


. Khi đó ta đã xác

định được tích chập
:
r
uR

  
theo công thức
             
CC
u z u z dV u z dV
        
    


Nếu

là hàm trơn thì
u


cũng là hàm trơn
Định lý 1.1.17. Giả sử u là hàm điều hòa dưới trên tập mở
C
với
u  
. Giả sử
:
n
RR



là hàm được cho bởi
 
2
1
1
0
x
ke
x










ê
ê
nu
nu

1
1
x
x




ở đó
 
2
1
1
, , , , 0
n
n
in
i
x x x x x R k

   

được chọn sao cho
 
1
n
R
x dV




với dV là độ đo Lebesgue trên
n
R
, với n = 2,

2
RC
. Với mỗi r > 0 đặt
 
2
1
r
z
z
rr






 
zC

Khi đó
r
u


là hàm điều hòa dưới trơn trên
r

và
r
uu


 
trên


khi
0r 

Chứng minh. Từ tính khả tích địa phương của u suy ra
r
u


có nghĩa và
đó là hàm trơn trên
r

. Ta thấy
r
u


là hàm điều hòa dưới trên
r

. Cố định


. Với
 

0,rd

  
ta có
 
 
 
2
2
00
r
it
r
s
u u se r sdsdt
t

   

  


Đổi biến
s
r


và đặt
   
v z u z



ta được
     
1
0
2
rv
u C r d
       





Số hóa bởi trung tâm học liệu

10
Ta lại có
 
v
Cr

giảm tới
 
0v
khi
0r 
. Dùng định lý hội tụ đơn điệu
 

r
u


giảm tới
       
1
0
20
C
v d u dV u
       



Vậy
r
uu

 
trên

.
1.1.2. Hàm đa điều hòa dưới
Định nghĩa 1.1.18. Giả sử
n
C
là tập mở,



:,u    
là hàm
nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng

trên mọi thành phần liên thông
của

. Hàm u gọi là hàm điều hòa dưới trên

(viết
()u PHS
) nếu với mọi
a
và
n
bC
, hàm
 
ub
  

là hàm điều hòa dưới hoặc bằng


trên mọi thành phần liên thông của tập
 
:Cb
  
  
.

Định lý 1.1.19. Giả sử


:,u    
là hàm nửa liên tục trên, không
đồng nhất bằng

trên mọi thành phần liên thông của
n
C
. Khi đó
()u PHS
khi và chỉ khi với mọi
a
và
n
bC
sao cho:
 
,1bC
   
     
. Ta có
 
 
 
2
0
1
: , ,

2
i
u a u re b d l u a b




  

(1.3)
Chứng minh. Điều kiện cần được suy ra từ Định nghĩa 1.1.16 ở trên.
Điều kiện đủ: Giả sử
a
,
n
bC
và xét
 
:Cb
  
  
khi đó U là tập
mở trên C. Đặt
   
,v u b U
   
  
. Cần chứng minh
()v


là điều hòa
dưới trên U. Muốn vậy chỉ cần chứng tỏ nếu
0
U


tồn tại
0


sao cho với
0 r


thì
 
 
2
00
0
1
2
i
v v re d


  





Từ
0
bU


nếu có
0


sao cho


thì
0
bb
  
  
. Với
0 r


ta có
 
0
:1b rb
   
    
. Do đó từ giả thiết



Số hóa bởi trung tâm học liệu

11

 
 
2
00
0
1
2
i
u b u b rbe d


    

   


ta có
 
 
2
00
0
1
2
i

v v re d


  



, đó là điều phải chứng minh. □
Định lý 1.1.20. (Định lí xấp xỉ cho các hàm đa điều hòa dưới)
Giả sử
n
C
là tập mở và
()u PSH
. Nếu
0


sao cho
 
 
: : ,z d z


      
thì
 
u C PSH




   
.
Họ
 
:0u



là đơn điệu giảm khi
0


và
   
0
limu z u z






xảy ra cho mọi
z
.
Để chứng minh định lí trên ta cần bổ đề sau:
Bổ đề 1.1.21. Giả sử
n
C

là tập mở và
 
1
loc
uL
. Khi đó với mọi
,
n
z b C 
sao cho
 
: , 1z b C
  
    
, ta có
( ( , , ) )( ) ( , , )l u b z l u z b


  

ở đó l(u, z, b) xác định như trong (1.3).
Chứng minh bổ đề. Ta có:

 
 
 
 
   
2
0

1
, ,
2
n
i
C
l u b z u z e b d d



      


   





 
   
 
2
0
1
2
n
i
C
u z e b d d




     

  



 
 
2
0
1
2
i
u z e b d





  



 
,,l u z b




□
Chứng minh định lý 1.1.20. Từ cách xác định tích chập, rõ ràng
 
uC



  
. Giả sử
,
n
bC


 
sao cho
 
: , 1bC

   
    
.
Khi đó với
,,
n
C
    
   
và

 
: 1,bC
   
    
.


Số hóa bởi trung tâm học liệu

12
Theo bổ đề 1.1.21 ta có

   
 
 
; , , ,l u a b l u b

  
  


 
   
2
0
1
2
n
i
C

u z e b d d



     


  





        
n
C
u d u

       
   


Định lý 1.1.20 cho ta
()u PHS


  
. Do đó
 
()u C PHS

  


    
.
Ta chứng minh họ
 
u



giảm khi
0


và với mọi
  
0
,lim ( )z u z u z




  
.
Giả sử
21
0



. Khi đó
12

  
và
 
1 2 1
,u u C
  


   
. Ta
chứng minh với
1
z


thì
12
( ) ( )u z u z


  
(1.4)
Bất đẳng thức (1.4) được chứng minh bằng quy nạp theo n . Với n = 1 thì
(1.4) được chứng minh ở định lý 1.1.19. Khi đó có thể viết (1.4) dưới dạng
           
12
CC

u z d u z d
           
  


Với
1
,z C C


  
. Ta chứng minh trường hợp n = 2 (trường hợp với
n tùy ý được chứng minh bằng quy nạp).
Nếu
   
1
2
1 2 1 2
, , ,z z C


 
thì

     
 
 
1
1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 2
( , ) , ,

CC
u z z u z z d d

           
   



     
 
 
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
,,
CC
u z z d d
          
  



     
 
 
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
,,
CC
u z z d d
          
  




       
1 2 1 2 2 2 1 2 1 2
,,
CC
u z z d d
          

  



   
2
1 2 1 2
,,u z z u z z


  

Tiếp theo ta chứng minh
   
0
limu z u z






,
z
. Giả sử
z
, bởi
tính nửa liên tục trên tại z nên với
0


có
1
0


sao cho
1
z


và
( ) ( )u z u z


,
 
1
,x B z


. Từ đó nếu

1


ta có


Số hóa bởi trung tâm học liệu

13

       
 
0,
()
B
u z u z u z y y d y


  
   



 
 
     
 
0,
.
B

u z y d y u z


   
   

□
Định nghĩa 1.1.22.(Toán tử Monge-Ampère). Giả sử T là một dòng
dương có bậc (q,q) trên tập mở
n
C
và
   
1
loc
u PSH L

  
. Khi đó
,
,
2
q
K
JK
JK
i
T T dzj d z






với
JK
T
là các độ đo phức trên

. Vậy từ
   
1
loc
u PSH L

  
nên hàm u khả tích đối với các
JK
T
. Do đó
,
,
2
q
K
JK
JK
i
uT uT dzj d z






là (q,q)-dòng với hệ số độ đo. Ta đưa ra định
nghĩa sau:
 
cc
dd u T dd uT

Định nghĩa 1.1.23.(Hàm cực trị tương đối): Giả sử
n
C
là tập mở và
E
. Hàm cực trị tương đối của E đối với

, được kí hiệu là
,E
u

, và được
xác định bởi công thức:

,
sup ( ): ( ), 1

   
E
u v z v PSH v
trên E,

0v 
trên



Hàm
 
,E
u PSH



và
 
,,
1 0, , 1
EE
u z u z


     
khi
zE

Đôi khi ta gọi
,E
u




là độ đo điều hòa của E đối với


Định nghĩa 1.1.24.(Lớp Lelong): Hàm
 
u PSH
được gọi là có độ
tăng logarit nếu tồn tại hằng số
u
c
sao cho với mọi
n
zC
:
 
log
u
u z z c

Với
 
2
12
1
, , , ,
n
jn
j
z z z z z z





Kí hiệu tập các hàm điều hòa dưới trên
n
C
có độ tăng logarit là
()
n
LC

hay L nếu không có gì nhầm lẫn. Như vậy

 
 
 
( ):sup log
n
z
L u PSH C u z z    



Số hóa bởi trung tâm học liệu

14
Lớp L được gọi là lớp Lelong. Ta còn xét lớp con của lớp Lelong, kí hiệu
là
L


được xác định như sau:

 

 
12
( ): ,
n
L u PSH C C u C u

  
sao cho khi

     

12
, log logz C u z u z C u z     

Định nghĩa 1.1.25.(Hàm Green phức có cực tại ∞). Giả sử E là tập bị
chặn. Hàm

   
 
sup : , | 0 ,
n
E
V z u z u L u E z C   

gọi là hàm Green phức của tập E (với cực tại ∞). Hàm
E

V
đôi khi còn được gọi
là L - hàm cực trị của E hay hàm cực trị Siciak-Zakhariuta.
1.2. Dung tich tƣơng đối
Tồn tại một số khái niệm khác nhau về dung tích theo nhiều biến phức.
Khái niệm mà chúng tôi sẽ dùng là dung tích tương đối. Ta nhắc lại định nghĩa
và một số tính chất cơ bản của dung tích tương đối (xem [B-TI] hoặc [K]).
Các tính chất cốt yếu của dung tích, mà chúng ta sẽ dùng, được nêu trong
Định lý 1.2.1 và Mệnh đề 1.2.1. Bất kỳ dung tích nào khác thỏa mãn các kết
quả này cũng đều có thể dùng. Thực vậy, chúng ta sẽ dùng dung tích của tập
hợp Borel F liên quan tới một hình cầu cố định, nhưng dung tích ứng với các tập
hợp mở siêu lồi
C
F
(xem [K] trang 80 về định nghĩa của siêu lồi) cũng có
thể được dùng. Tuy nhiên, xem Chú ý 1.2.4, nơi chỉ ra rằng Định lý 1.2.1
không thỏa mãn đối với dung tích logarit trong
 
1
n
Cn
.
Đối với u, một hàm đa giả điều hòa và bị chặn cục bộ trên tập hợp con
mở
n
C
, chúng tôi ký hiệu
 
dd
n

c
u
là toán tử Monge-Ampère phức trên u.
 
dd
n
c
u
là độ đo Borel dương. Nó đặt khối lượng không lên các tập hợp điểm
cực ([K] Mệnh đề 4.6.4)
Giả sử F là một tập hợp con của tập hợp mở
n
C
. Hàm cực trị tương
đối
,F
U

được định nghĩa bởi


Số hóa bởi trung tâm học liệu

15

,
sup |
F
U v v



là psh. trên Ω v | F ≤ -1, v ≤ 0}, (1.2.1)
Ký hiệu
,F
u


là chính quy hóa nửa liên tục trên của nó, nghĩa là
 
, , ,
lim ,
z
F F F
u u u




  

là psh. trên Ω ([K], trang 158)
Với tập hợp compact tương đối F và tập hợp đa lồi

, ta đặt
 
 
,
, dd
c
F

C F u





(1.2.2)
Khi đó hàm
 
,F C F


là một dung tích Choquet ([K], Hệ quả
4.7.11). Đặc biệt, tất cả các tập hợp Borel là có thể chứa, và trên các tập có thể
chứa,
 
,CF


bằng với dung tích tương đối (của F trong

). (Xem [K] trang
120 đối với một định nghĩa khác về dung tích tương đối)
Chúng ta sẽ cố định một quả cầu
BF
và ký hiệu dung tích tương đối
ứng với quả cầu đó là Cap(F) và hàm cực biên tương đối bởi
F
u


.
Chúng ta ký hiệu L là lớp các hàm psh. có mức tăng nhiều nhất là logarit
ở vô cực. Điều đó có nghĩa là L = {u | u là psh. trên C
n
và đối với hằng số
u
c

nào đó
 
 
log 1
u
u z c z  
đối với mọi
n
zC
}. (1.2.3)
Hàm Green đa phức của F được định nghĩa bởi
   

sup | , 0
F
V z v z v L v  
trên

F

và ký hiệu
F

V

là chính quy hóa nửa liên tục trên của nó.
Một kết quả của Siciak ([Si2] hoặc [K], Định lý 5.1.7) nói rằng khi F là
compact thì

 
 
 
1
sup log
deg
F
V z P z
P






, P là một đa thức,
1P





Các độ đo
 

,
dd
n
c
F
u


và
 
,
dd
n
c
F
V


có giá nằm trong
F
(xem [K])
Định lý 1.2.1. Giả sử F, G là các tập hợp Borel với
FB
và
GF
.
Thế thì các điều kiện sau là tương đương
(1.2.4)
( ) ( )Cap F Cap G




Số hóa bởi trung tâm học liệu

16
(1.2.5)
FG
uu



(1.2.6)
FG
VV



F là đa cực nếu và chỉ nếu
( ) 0Cap F 
([K], Định lý 4.7.5) ,
0
F
u


([K],
Hề quả 4.7.3) và
F
V


 
([K], Hệ quả 5.2.2). Như vậy, Định lý 1.2.1 thỏa mãn
trong trường hợp này, bây giờ ta giả thiết rằng F không phải là đa cực.
Khi đã cho F, ta sẽ xét tập hợp phụ F’ được định nghĩa như sau
(1.2.7)
 
 
' | 1
F
F z B u z

   

Chứng minh của Định lý 1.2.1 dùng đến hai bổ đề sau :
Bổ đề 1.2.1. Giả sử F là tập hợp Borel không đa cực với
FB
. Thế thì
(i)
'FF
uu



(ii)
 
dd
n
c
F
u


không trọng trên
\'FF
.
Bổ đề 1.2.2. Giả sử F là tập hợp Borel không đa cực với
FB
. Thế thì
(i)
 
 
' | 1
F
F z B V z

   

(ii)
'FF
VV



(iii)
 
dd
n
c
F
V


không trọng trên
\'FF
.
Chứng minh của Bổ đề 1.2.1. Từ định nghĩa của F’ và kết quả về hàm
cực biên tương đối, ta có
'FF
uu


. Để chứng minh (i) chúng ta cần phải chứng
minh bất đẳng thức ngược lại. Vì
1
F
u


trên F trừ khả năng trên tập hợp đa
cực, ta có
'F F A
đối với đa cực A. Vì thế (Xem [K])
''F F A F
u u u
  


và
chứng minh của (i) kết thúc.
Bây giờ (ii) suy ra từ (i) nhờ dùng Mệnh đề 10.1 của [B-T1]. 
Chứng minh của Bổ đề 1.2.2. (i) suy ra từ [K], Mệnh đề 5.3.3. Chứng
minh của hai kết quả còn lại là tương tự như chứng minh của các khẳng định

tương ứng trong Bổ đề 1.2.1. 


Số hóa bởi trung tâm học liệu

17
Chú ý 1.2.1. Chứng minh của Định lý 2.1 khi F compact chính là Định
lý 5.1 trong [B-T2]. Trong [B-T2], Hệ quả 3.5, Bedford và Taylor chứng minh
một kết quả liên quan đến Bổ đề 1.2.1 (ii), cụ thể là
 
dd
n
c
F
u

không trọng trên
\
f
FF
trong đó
f
F
ký hiệu bao đóng mịn của F.
Chú ý 1.2.2. Kết quả của Levenberg về tính liên tục tuyệt đối đồng thời
của
 
dd
n
c

F
u

và
 
dd
n
c
F
V

trên F compact ([L] hoặc [K] Hệ quả 5.6.7) đã được
suy rộng [B-K-L] cho trường hợp F là tập hợp Borel không đa cực.
Hệ quả 1.2.1. Giả sử F là tập con Borel của B với
FB
. Thế thì
(1.2.8)
 
( ) dd
n
c
FF
B
Cap F u u



.
Chứng minh. Sử dụng (1.2.2) và (ii) của Bổ đề 1.2.1. 
Chứng minh của Định lý 1.2.1.

(1.2.4)

(1.2.5). Vì
GF
,
GF
uu


. Ta cần chứng minh bất đẳng thức
ngược lại. Theo Hệ quả 12.1
(1.2.9)
   
( ) dd dd
nn
cc
F F G F
BB
Cap F u u u u
   
   

.
Bây giờ chúng ta sử dụng tích phân từng phần như trong ([B-T2], Bổ đề
5.2 và chứng minh của Định lý 5.3):
(1.2.10)
     
1
dd dd dd
n n n

c c c
G F F G F
BB
u u u u u

    
   



   
1
dd dd
nn
cc
G G F
B
u u u

  
  


Tiếp tục sử dụng tích phân từng phần và sử dụng bất đẳng thức
 
1
FG
u u n

   

nhiều lần, ta nhận được
(1.2.11)
   
( ) dd dd ( )
nn
cc
F F G G
BB
Cap F u u u u Cap G
   
    


Giả sử rằng
( ) ( )Cap F Cap G
, ta cần phải có dấu bằng trong (1.2.10),
(1.2.11), và và tại mỗi một
 
1n 
bước liên tiếp. Cụ thể, từ sự bằng nhau ở
(1.2.9) chúng ta có
(1.2.12)
  
dd 0
c
F G F
B
u u u
  



.


Số hóa bởi trung tâm học liệu

18
Điều đó kéo theo
(1.2.13)
 
 
|u
dd 0
FG
n
c
F
z B u
u





.
Do đó, theo [K], Hệ quả 3.7.5,
FG
uu

  

trong B.
(1.2.5)

(1.2.4). Điều này suy ra nhờ dùng (2.3).
Để chỉ ra rằng (1.2.5) và (1.2.6) là tương đương, chúng ta sẽ chỉ ra rằng
mỗi điều kiện đó tương đương với sự bằng nhau của các tập hợp phụ (xem
(1.2.7)). Điều đó có nghĩa là
(1.2.14)
''FG

Chiều (1.2.5)

(1.2.14) là tầm thường. Ngược lại, nếu có (2.14) thì
1
G
u


trên F’ nên
'G F F
u u u
  

theo Bổ đề 1.2.1 (i). Bất đẳng thức ngược lại
suy ra từ
GF
và do đó chứng minh kết thúc. Chứng minh rằng (1.2.6) tương
đương với (1.2.14) là tương tự. 
Hệ quả 1.2.2. Giả sử
GF

và
\FG
là đa cực.Thế
thì
( ) ( )Cap F Cap G
.
Chứng minh.
FG
VV


theo [K], Hệ quả 5.2.5. Do đó kết quả suy ra từ
(2.6) của Định lý 1.2.1. 
Chú ý 1.2.3. Nếu F và G đều compact và G

F thì
FG
VV


khi


1
\G F A

trong đó
1
A
là đa cực (và kết quả tương tự cũng thỏa mãn đối với G’).

Chú ý 1.2.4. Các điều kiện (1.2.4) và (1.2.6) của Định lý 1.2.1 không
tương đương (với
1n 
) nếu trong (1.2.4) ta sử dụng dung tích logarit. Với K là
tập hợp compact trong
n
C
, dung tích logarit của nó được định nghĩa bởi
(1.2.15)
   
 
expC K K



trong đó
(1.2.16)
   
 
lim log .
K
z
K V z z





Ta sẽ đưa ra một ví dụ về các tập hợp compact chính quy
n

F E C

có
( ) ( )C F C E
nhưng
EF
VV
.


Số hóa bởi trung tâm học liệu

19
Giả sử D(r) là đĩa đóng trong mặt phẳng, tâm 0, bán kính r. Giả sử
( ) ( )E D r D s
và
( ) ( )F D r D t
trong đó
r t s
. Khi đó, theo một kết
quả của Siciak về các hàm Green đa phức của tập hợp tích ([K] Định lý 5.1.8),
ta có
12
ax 0,log ,log
E
zz
VM
rs





và
12
ax 0,log ,log
F
zz
VM
rt





cho nên
EF
VV
. Tuy nhiên, sử dụng (1.2.15) và (1.2.16) chỉ đơn giản thấy rằng
( ) ( )C E C F r
.
Trong nghiên cứu về điều kiện trù mật khối lượng đối với bất đẳng thức
Bernstein-Markov, tính chất cốt yếu của dung tích tương đối được cho bởi
mệnh đề ngay sau đây.
Mệnh đề 1.2.1. Giả sử E là tập hợp compact, chính quy trong
n
C
và giả
sử
12
FF

là một dãy tăng các con tập Borel của E, thỏa mãn
 
lim ( )
ss
Cap F Cap E
. Khi đó tồn tại một họ tăng các tập compact
12
LL
với
jj
LF
với j = 1, 2, sao cho khi cho
0


tồn tại
()JJ



sao cho với mọi
jJ

j
LE
VV



.

Chứng minh. Cap(E) là dung tích Choquet và do vậy tất cả các tập hợp
Borel là khả chứa. Từ đó, với mỗi j tồn tại tập compact
jj
LF
với
 
'
1
( ) ( )
j
jj
Cap L Cap F
.
Giả sử
'
1
s
sj
j
LL



và
1
s
s
LL





. Thế thì
ss
LF
với
1,2, s 
và
( ) ( )Cap L Cap E
. Theo Định lý 1.2.1
LE
VV


. Vì
j
L
là họ tăng các tập hợp
compact,
lim
j
L j L
VV



([K] Hệ quả 5.2.6).
E
V
liên tục (và đồng nhất bằng 0)

trên E nên, vì
j
L
V

là họ các hàm u.s.c. đơn điệu giảm, giảm tại từng điểm đến
E
V
, nên tồn tại, theo Định lý Dini,
()JJ


sao cho
j
L
V



trên E đối với


Số hóa bởi trung tâm học liệu

20
jJ
. Do đó, Mệnh đề 1.2.2 suy ra từ việc định nghĩa tính chất của hàm
Green đa phức. 
1.3. Đa thức trực giao trong C
n


Giả sử μ là một độ đo Borel dương, hữu hạn, có giá compact E trong
n
C
. Chúng ta sẽ cần đến khái niệm hàm Green kết hợp với độ đo

.
Định nghĩa 1.3.1. Giả sử
 


là tập hợp tất cả các điểm trong giá cốt
yếu của

. Điều đó có nghĩa là
(1.3.1)
  
|D E D

  
là tập hợp Borel và
  
\0ED



Định nghĩa 1.3.2. Dung tích kết hợp với độ đo

được định nghĩa như sau
(1.3.2)

   
 
inf |c Cap D D


 
.
Hiển nhiên là
()c Cap E


.
Định nghĩa 1.3.3. Giả sử
 
0


là tập hợp tất cả các điểm kết hợp với
độ đo

. Điều đó có nghĩa là
(1.3.3)
     
 
0
|D c Cap D


   


Mệnh đề 1.3.1. Giả sử
 
i
A


(tương ứng là
 
0


) với
1,2,3 i 

Thế thì
 
1
i
i
A





(tương ứng là
 
0



).
Chứng minh. Kết quả này suy ra từ tính công tính đếm được của μ và
tính đơn điệu của Cap. 
Mệnh đề 1.3.2. Giả sử
 
D


. Tồn tại
 
00
D


với
0
DD
. Đặc
biệt,
 
0


không rỗng.
Chứng minh. Tồn tại
 
12
D ,D ,



với
 
lim
nn
Cap D c



. Lấy
0
1
i
i
D D D




. 
Định nghĩa 1.3.4. Hàm Green kết hợp với độ đo

được định nghĩa là
D
VV



trong đó D là bất kỳ kết hợp với độ đo

. Đặc biệt,

V

 
nếu và chỉ
nếu
0c


([K], Hệ quả 5.2.2).