1

Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học s phạm hà Nội 2






Nguyễn Thị Tuý







Đa thức trực giao và ứng dụng

Luận văn thạc sĩ toán học







nGUYễN tHị túY tOáN GIảI TíCH kHOá 2006 - 2009


2


Hà Nội, 2009
Bộ giáo dục và đào tạo
Trờng Đại học s phạm hà Nội 2





Nguyễn Thị Tuý



Đa thức trực giao và ứng dụng





Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số : 60 46 01



Luận văn thạc sĩ toán học



Ngời hớng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Huy Lợi

Hà Nội, 2009




3

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình,
chu đáo và tỉ mỉ của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi, người thầy đã hướng
dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên
cứu khoa học. Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đến PGS.
TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Khoa Toán, Phòng sau
đại học của Trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2, đã tạo điều kiện thuận lợi để
tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình cao học và hoàn thành luận văn tốt
nghiệp.

Tác giả xin trân trọng cảm ơn sở GD - ĐT Vĩnh Phúc, Trường THPT
Yên Lạc đã tạo mọi điều kiện để tác giả học tập và hoàn thành tốt luận văn.

Hà Nội, tháng 8 năm 2009
Tác giả










4

LỜI CAM ĐOAN

Tác giả xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự
hướng dẫn của PGS.TS.NGƯT Nguyễn Huy Lợi. Các kết quả trong luận văn
được trích dẫn rõ ràng, trung thực và luận văn không trùng lặp với những đề
tài khác .

Hà Nội, tháng 8 năm 2009
Tác giả




















5

MỤC LỤC

Mở đầu 5
Chương 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ 7
1.1. Hàm giải tích 7
1.2. Tích phân Cauchy 12
1.3. Một số tính chất quan trọng của hàm giải tích 19
1.4. Không gian Hilbert 22
Chương 2: ĐA THỨC TRỰC GIAO 28
2.1. Hệ trực giao 28
2.2. Lý thuyết về sự trực giao 30
2.3. Đa thức trực giao 33
2.4. Sự biểu thị qua tỷ trọng. Hàm sinh 39

Chương 3: MỘT SỐ ỨNG DỤNG 49
3.1. Ứng dụng để giải quyết một số vấn đề lý thuyết 49
3.1.1. Đa thức Legiandr có vai trò quan trọng trong lý thuyết
thế 49
3.1.2. Công thức truy toán đối với đa thức Legiandr 49
3.1.3. Biểu diễn tích phân của đa thức Legiandr 50
3.1.4. Công thức tiệm cận đối với đa thức Legiandr 51
3.1.5. Hàm Legiandr 54
3.2. Ứng dụng để giải quyết một số bài toán 56
3.2.1. Hàm cầu 56
3.2.2. Tính chất cực trị của đa thức Chebyshev 58


6

3.2.3. Đa thức Jakobi và chuỗi bội 59
3.2.4. Phương trình sóng của hàm Chebyshev – Ermit 60
3.2.5. Hàm Chebyshev - Ermit và toạ độ parabol 61
KẾT LUẬN 63
TÀI LIỆU THAM KHẢO 64

























7

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Kết quả của những nghiên cứu về lý thuyết hàm biến phức và lý thuyết
giải tích hàm có nhiều ứng dụng trong việc giải quyết một số vấn đề của toán
học cũng như trong thực tiễn. Ngay từ những năm đầu của thế kỷ XX nhiều
nhà toán học đã có những thành công trong việc ứng dụng lý thuyết hàm biến
phức để giải quyết các bài toán về thuỷ động học và khí động học. Nhờ những
ứng dụng bước đầu to lớn đó lý thuyết hàm biến phức đã thu hút nhiều sự
quan tâm nghiên cứu của các nhà toán học. Đặc biệt trong lý thuyết này có đa
thức trực giao với các tính chất đặc trưng của nó đã được ứng dụng nhiều
trong việc giải quyết một số vấn đề lý thuyết, giải toán cũng như trong thực
tiễn.
Việc nghiên cứu đa thức trực giao giúp chúng ta tìm hiểu sâu sắc hơn
về lý thuyết hàm biến phức, lý thuyết hệ trực giao, đồng thời sử dụng các kết

quả đó để giải quyết một số vấn để của lý thuyết toán học và đây cũng là kiến
thức cơ sở để giải quyết một số bài toán thực tiễn khác.
Bởi vậy, tôi đã chọn đề tài “Đa thức trực giao và ứng dụng” để thực
hiện luận văn của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu đa thức trực giao.
Nghiên cứu ứng dụng của đa thức trực giao.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu các định nghĩa, tính chất của đa thức trực giao.
Nghiên cứu các ứng dụng của đa thức trực giao.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài tập trung nghiên cứu lý thuyết đa thức trực giao và một số ứng
dụng của nó.


8

Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, kết luận và tài liệu tham khảo.
Trong đó:
Chương 1: Một số kiến thức bổ trợ
Chương 2: Đa thức trực giao
Chương 3: Một số ứng dụng
5. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu chuyên khảo.
Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu.
6. Giả thuyết khoa học
Nghiên cứu sâu một khái niệm của Toán học, nâng nó lên thành đề tài
nghiên cứu và đề xuất các ứng dụng của nó trong việc giải quyết một số vấn
đề của lý thuyết, giải toán.
Luận văn là tài liệu tham khảo hữu ích cho sinh viên, học viên cao học

và người yêu thích toán về đa thức trực giao và ứng dụng của nó.















9

CHƯƠNG 1
MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

1.1. Hàm giải tích
Ta kí hiệu

là trường số phức, được đồng nhất với mặt phẳng toạ độ
và được gọi là mặt phẳng phức.

là không gian véctơ trên trường

với các

phép toán thông thường.

cũng là không gian định chuẩn với chuẩn
.
là
modul của số phức.
Cho
0
z 
và
0.r 
Ta ký hiệu
 
0 0
( , ) :
B z r z z z r   


là hình tròn tâm
0
z
bán kính
.r

Định nghĩa 1.1.1. Giả sử
D 

là một tập tuỳ ý cho trước. Một hàm biến
phức trên
D

với giá trị phức là một ánh xạ
: .f D  

Hàm như vậy ký hiệu là
( ), .f z z D

 

Khi
:f D  
là đơn ánh, thì hàm
f
được gọi là đơn diệp. Có thể xảy
ra trường hợp
f
không đơn diệp trên
,D
nhưng có thể chia nhỏ
D
thành các
tập con
i
D
lớn nhất trên đó
f
là đơn diệp. Khi đó mỗi
i
D
được gọi là miền
đơn diệp của

.f

Bằng cách viết
u iv

 
,
Re , Imu v
 
 

hàm
f
có thể viết dưới dạng
f(z) = u(z) + iv(z);

Hai hàm
u
và
v
được gọi là phần thực và phần ảo của
.f



10

( ) Re ( ) (Re )(z)u z f z f 



( ) Im ( ) (Im )( )v z f z f z 
.
Bằng cách đồng nhất
z
với
( , ),x y

Re ,x z
Im ,y z
hàm
f
có thể coi
như hàm của hai biến thực
,x

y
và vậy thì hai hàm
u
và
v
cũng được coi
như thế.
Định nghĩa 1.1.2. Cho hàm số
f
xác định trên miền
D  
. Xét giới hạn
( ) ( )
; ,
lim

0
f z z f z
z z z D
z
z
  
  

 
.
Nếu tại điểm
z
giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức
của
f
tại
,z
ký hiệu là
'
( )f z
hay
( )
df
z
dz
. Như vậy
'
( ) ( )
( )
lim

0
f z z f z
f z
z
z
  


 
.
Hàm
f
có đạo hàm phức tại
z
cũng được gọi là khả vi phức hay

-
khả vi tại
.z

Nhận xét 1.1.1. Bởi vì
( ) ( )
( ) ( )
lim lim
0 0
f z z f z
f z z f z z
z
z z
 

 
  
    

   

do đó nếu
f
khả vi phức tại
z
thì
( ) ( ) 0
lim
0
f z z f z
z
 
 
   
 
.
Nói cách khác
f
liên tục tại
.z

Cũng như đối với biến thực bằng quy nạp ta viết
( ) ( 1) '
( )
k k

f f



nếu vế phải tồn tại và gọi là đạo hàm cấp
k
của
f
trên
.D



11

Định lý 1.1.1. Nếu
( )f z
và
( )g z
khả vi phức tại
0
z
thì
( ) ( ), ( ) ( ),f z g z f z g z
 

và
0
( )
, ( ( ) 0)

( )
f z
g z
g z

cũng khả vi tại
0
z
với mọi
,
 


và
(i)
' ' '
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )f g z f z g z
   
  

(ii)
' ' '
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fg z f z g z f z g z 

(iii)
' '
'
0 0 0 0

0
2
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
f z g z f z g z
f
z
g g z



(iv) Nếu
( )f z


khả vi phức tại
0
,
z
còn
( )g

khả vi phức tại
0 0
( )f z


thì hàm hợp

0
g f
khả vi phức tại
0
z
và
' ' '
0 0 0 0
( ) ( ) ( ( )) ( )g f z g f z f z
.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử
( ) ( , ) ( , )f z u x y iv x y 
và
z x iy 
xác định trong
miền
D  
. Hàm
f
được gọi là
2

- khả vi tại
z x iy 
nếu các hàm
( , )u x y
và
( , )v x y
khả vi tại
( , )x y

theo nghĩa thực đã biết.
Định lý 1.1.2. Để hàm
f


- khả vi tại
z x iy 
D
điều kiện cần và đủ là
f

2

- khả vi tại
z
và điều kiện Cauchy – Riemann sau đây được thoả mãn
( , ) ( , )
x
u v
x y x y
y
 

 

( , ) ( , ).
u v
x y x y
y x
 

 
 

Định nghĩa 1.1.4. Hàm
f
xác định trên
D
được gọi là giải tích tại điểm
0
z D
nếu tồn tại
0r 
sao cho
0
( , )B z r D
và
f
khả vi tại mọi điểm
0
( , )z B z r
.
Hàm
f
gọi là giải tích trên miền
D
nếu nó giải tích tại mọi điểm
.z D

Hàm giải tích còn gọi là hàm chỉnh hình hay hàm chính quy.



12

Nhận xét 1.1.2. Ta có thể mở rộng định nghĩa nêu trên tới trường hợp
D
là
miền tuỳ ý trong

còn
f
là ánh xạ từ
D
vào

bởi phép nghịch đảo. Như
vậy khi
0
z
hữu hạn còn
0
( )f z  
ta nói
f
chỉnh hình tại tại
0
z
nếu
1
( )f z


chỉnh hình tại
0
z
, còn khi
0
z  
ta nói
f
chỉnh hình tại
0
z
nếu
1
( )f
z
chỉnh
hình tại 0.
Định lý 1.1.3. Giả sử
D  
là một miền và
( )H D
là tập các hàm chỉnh hình
trên
.D
Khi đó
(i)
( )H D
là một không gian véc tơ trên



(ii)
( )H D
là một vành
(iii) Nếu
( )f H D
và
( ) 0 ,f z z D  
thì
1
( )H D
f


(iv) Nếu
( )f H D
và
f
chỉ nhận giá trị thực thì
f
là hàm
không đổi.
Định lý 1.1.4. Nếu
: *f D D
và
: *g D  
là các hàm chỉnh hình, ở đây
D
và
*
D

là các miền trong các mặt phẳng
( )z
và
( ),

thì hàm
0
:g f D  

là hàm chỉnh hình.
Định lý 1.1.5. Giả sử chuỗi luỹ thừa
0
n
n
n
c z



có bán kính hội tụ là
0
R

. Khi
đó tổng
( )f z
của nó chỉnh hình tại mọi
z
với
z R

và đạo hàm phức của nó
là
1
1
n
n
n
nc z




.
Chứng minh.
Trước hết ta chứng minh chuỗi
1
1
n
n
n
nc z




cũng có bán kính hội tụ
là R.


13


Thật vậy chuỗi
1
1
n
n
n
nc z




hội tụ tại
0z 
nếu và chỉ nếu chuỗi
1
1 1
n n
n n
n n
z nc z nc z
 

 

 

hội tụ. Do đó bán kính hội tụ của nó là
n
1 1

limsup lim limsup
n
n n
n n
n n
nc n c



.R

Lấy
0
z
tuỳ ý
0
z R
. Đặt
0 0
0 0
( ) ( )
( , ) ( )
f z z f z
z z S z
z

 
 





ở đây
1
1
( ) , .
n
n
n
S z nc z z R



 


Để hoàn thành chứng minh định lý, ta chỉ cần chỉ ra rằng
0
0
lim ( , ) 0.
z
z z

 
 

Chọn
r
sao cho
0

z r R 
. Xét
z
đủ bé sao cho
0
.z z r  

Ta thấy rằng
0 0
0
( , ) ( , )
n
n
z z z z
 


  


với

1
0 0
0 0
( )
( , )
n n
n
n n

n n
c z z c z
z z nc z
z


  
  



1 2 1 1
0 0 0 0 0
( ) ( ) .
n n n n
n
c z z z z z z nz
   
 
 
        

Chú ý rằng
1
0
( , ) 2 .
n
n n
z z n c r



 

Với
0


tuỳ ý chuỗi số
1
1
n
n
n
n c r




hội tụ nên tồn tại
( )N N


sao cho


14

1
2 .
2

n
n
n N
n c r







Vì
1
0
0
0
lim ( , ) 0
N
n
z
n
z z


 

 


nên với

z
đủ bé ta có
1
0
0
( , ) .
2
N
n
n
z z




 


Từ đó với
z
đủ bé ta có
1
0 0 0
0
( , ) ( , ) ( , ) .
N
n n
n n N
z z z z z z
   

 
 
     
 

1.2. Tích phân Cauchy
Định nghĩa 1.2.1. Cho

là một đường cong trong mặt phẳng phức không
khép kín và hàm
( )f z
xác định trên

với điểm đầu
A
và điểm cuối
B
. Chia

thành các phần nhỏ bởi các điểm chia
0 1 2
, , , ,
n
A B
   
 
và lập
tổng tích phân

1

1
0
*
( )( )
n
n
S f
  

  



 

(1.1)
ở đây
*


là các điểm của đường cong

nằm giữa


và
1




,
0, 1, , 1n

 

Nếu khi
1
max
 
 


0

tồn tại giới hạn của họ tổng( 1.1) thì giới hạn
đó gọi là tích phân của hàm
( )f z
theo đường cong

và ký hiệu là
( )f z dz


,
1
1
1
0
max 0
*

( ) ( )( )
lim
n
f z dz f
 
  

 
  




 
 


(1.2)
Nếu đặt
( ) ( ) ( ),f z u z iv z 


1 1 1
( ) ( )x x i y y
     
 
  
    



; 0, 1x i y n
 

     

thì tổng (1.1) có thể viết dưới dạng


15


 
1
0
* *
( ) ( )
n
n
S u iv x i y
   

 


 
 
 
    




1 1
0 0
* * * *
( ) ( ) ( ) ( ) .
n n
u x v y i u y v x
       
 
   
 
 
   
   
   
       
 
(1.3)
Phần thực và phần ảo trong (1.3) là tổng các tích phân đường loại 2 dọc
theo đường cong
.

Do đó tích phân (1.2) tồn tại nếu và chỉ nếu tồn tại các
tích phân đường loại 2.
udx vdy



và
.udy vdx





Như vậy

trơn từng khúc và
f
liên tục trên

thì tích phân (1.2) tồn
tại và

( ) .f z dz udx vdy udy vdx
  
   
  
(1.4)
Tính chất 1.2.1. Giả sử


là đường cong lấy theo chiều ngược lại (
B
là điểm
đầu còn
A
là điểm cuối).Khi đó
.fdz fdz




 
 
(1.5)
Tính chất 1.2.2. Nếu
f
và
g
là các hàm khả tích trên
,

thì
f g
 

khả
tích trên

với mọi
,
 

và
( ) .f g dz fdz gdz
  
   
  
  
(1.6)
Tính chất 1.2.3. Nếu


được phân lần lượt thành
1

và
2

thì
1 2
.fdz fdz fdz
  
 
  
(1.7)
Tính chất 1.2.4. Với
l
là độ dài của đường cong
,

và
f dz


được hiểu là
tích phân đường loại 1 của hàm
f
trên

ta có


( ) ( )
sup
z
fdz f z dz f z l
 


 
 
(1.8)
Tính chất 1.2.5. Nếu
( )z
 

là khả vi liên tục ánh xạ 1-1đường

lên

thì


1
6

'
( ) ( ( )) ( )f z dz f d

    



 
(1.9)
Nói riêng
( ),z z t

;t a b
 
 

là phương trình của đường cong trên

thì
'
( ) ( ( )) ( )
b
a
f z dz f z t z t dt


 
(1.10)
Tích phân của hàm
f
lấy dọc theo đường cong

nối
A
và
B
đôi khi

cũng được viết là
.
B
A
fdz


Tính chất 1.2.6. Nếu

là đường cong khép kín, không tự cắt, trước hết theo
lẽ thông thường định hướng

theo chiều dương sau đó chọn tuỳ ý hai điểm
khác nhau
A
và
B
thuộc

sao cho chiều từ
A
đến
B
cùng chiều với

. Khi
đó với
f
là hàm bất kỳ trên


ta đặt


.
AB
Ba
fdz fdz fdz


 
  

Tính chất 1.2.7. Trong trường hợp

là đường cong tự cắt ta phân ra một số
hữu hạn các đường cong khép kín và xác định như ở tính chất 1.2.6. sao cho
khi khép lại là hợp lý.
Nếu tồn tại hàm chỉnh hình
g
trong miền
D
chứa

sao cho
'
( ) ( )g z f z
với mọi
z



, thì
g
được gọi là một nguyên hàm của
f
.
Giả sử
( ),z z t

;t a b
 
 

là phương trình của

thì theo (1.10) ta có
' ' '
( ) ( ( )) ( )
b
a
fdz g z dz g z t z t dt
 
 
  


( ( ( ))) ( ( )) ( ( )).
b
a
d g z t g z b g z a
  



Vậy

( ) ( ).fdz g B g A

 

(1.11)


17

Đây là công thức Niutơn-Leibniz, trong đó
A
là điểm đầu còn
B
là
điểm cuối của
.


Từ (1.11) ta thấy rằng nếu

là đường cong đóng (
A
trùng với
B
) thì
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.f z dz g B g A g A g A


    

(1.12)
Định lý 1.2.1. Giả sử các hàm
n
f
liên tục trên miền
D
và chuỗi hàm
1n
f
n




hội tụ đều trên
D
tới hàm
.f
Khi đó với mọi đường cong trơn (hay trơn từng
khúc)
D


ta có
1 1
( ) .
n n

n n
fdz f dz f dz
  
 
 
 
 
  
(1.13)
Định lý 1.2.2. (Bổ đề Goursat). Nếu hàm
( )f z


liên tục trong miền đơn
liên
D
và

là một đường cong đóng trơn từng khúc nằm trong
D,
thì với
mọi
0


tồn tại một hình đa giác
P D
có các đỉnh nằm trên

sao cho

.
P
fdz fdz
 

 
 

Định lý 1.2.3. Nếu hàm
( )f z


chỉnh hình trong miền đơn liên
D
thì với
mọi chu tuyến, trơn từng khúc
D


ta có
0.fdz




Định lý 1.2.4. Giả sử
D
là miền đơn liên bị chặn với biên
D
là một chu

tuyến trơn từng khúc. Khi đó nếu
f
là hàm liên tục trên
D D D 
và chỉnh
hình trên
,D
thì
0.
D
fdz




Định lý 1.2.5. Nếu
D
là một miền n-liên,
f
liên tục trên
D
chỉnh hình trên
D
thì
0.
D
fdz







18

Định lý 1.2.6. Giả sử
f
là hàm liên tục trên miền đơn liên
D
sao cho tích
phân của
f
dọc theo mọi chu tuyến bất kỳ nằm trong
D
đều bằng 0. Khi đó
với mọi
0
z D
cố định, hàm
0
( ) ( )
z
z
z f d
  



là chỉnh hình trong miền
D

và
( ) ( ), .z f z z D

  

Định lý 1.2.7. Giả sử
D
là miền đơn liên còn
f
là hàm chỉnh hình trên
D

khác không tại mọi điểm. Khi đó tồn tại hàm
g
chỉnh hình trên
D
để
.
g
e f

Định lý1.2.8. Giả sử
f
là hàm chỉnh hình trên miền
D
và
0
z D
. Khi đó với
mọi chu tuyến

D


, sao cho
0
z D D

 
ta có công thức tích phân Cauchy

0
0
1 ( )
( ) .
2
f
f z d
i z



 



(1.14)
Nếu thêm
f
liên tục trên
D

và
D
là một chu tuyến, thì với mọi
z D

ta có

1 ( )
( ) .
2
D
f
f z d
i z


 




(1.15)
Định lý 1.2.9. Giả sử

là đường cong trơn từng khúc,
( )f

là hàm liên tục
trên


.Với mọi
\ ,z C 
hàm
( )
( )
f
z

 



(1.16)
liên tục trên
.
Do đó nếu đặt

1 ( )
( )
2
f
F z d
i z


 





(1.17)
ta được hàm
F
xác định trên
\ .C 

Hàm
( )F z
được gọi là tích phân loại Cauchy.


19

Giả sử
( )f

là hàm liên tục trên dường cong Jordan trơn từng khúc

.
Khi đó tích phân (1.17) là một hàm chỉnh hình trên
\C 
. Hơn nữa trên
\C 

hàm
( )F z
có đạo hàm mọi cấp, chúng được cho bởi công thức
( )
1
! ( )

( ) , 0, 1,
2 ( )
n
n
n f
F z dz n
i z

 


 


(1.18)
Ở đây là định nghĩa quy nạp
 
( ) ( 1) '
( ) ( )
n n
F z F z



với
(0)
( ) ( ).F z F z

Chứng minh. Bằng cách đặt
( 1)! ( )

( , )
2 ( )
k
k
k f
z
i z

 
 




ta có
1
1
( , )
! ( )
( , )
2 ( )
k
k
k
z
k f
z
z i z
 


 
 



 
 

và công thức (1.18) trở thành
( )
1
( ) ( , ) , 0, 1,
n
n
F z z d n
  


 

(1.19)
Ta chứng minh (1.19) quy nạp theo
.n
Khi
0,n 
(1.19) hiển nhiên
đúng vì theo (1.17)
(0)
1
( ) ( ) ( , ) .F z F z z d

  

 


Giả sử (1.19) đúng với
1,n
tức là có đẳng thức

( 1)
( ) ( , ) .
n
n
F z z d
  




(1.20)
Ta sẽ chứng minh
( )
1
( ) ( , ) .
n
n
F z z d
  






Đặt


20

i
  
 
,
z x iy 

( , ) ( , , , ) ( , , , )
n
z u x y iv x y
     
 


( 1)
( ) ( , ) ( , )
n
F z U x y iV x y

 

Khi đó từ đẳng thức (1.20) ta được
( , )U x y ud vd

 

 

và
( , ) .V x y vd ud
 

 

(1.21)
Với

cố định (


) hàm
( , )
n
z
 
có đạo hàm mọi cấp trên
\ ,

do
đó nói riêng
u
và
v
là các hàm có đạo hàm riêng liên tục. Mặt khác

u
và
v
là
các hàm liên tục theo tập các biến
, , , x y
 
. Vì thế ta có thể lấy các đạo hàm
riêng các tích phân (1.21) dưới dấu tích phân
U
,
x
u u U u v
d d d d
x x y y y
   
 
     
   
 
     

, .
V v u V v u
d d d d
x x x y y y
   
 
     
   

 
     

Vì
n



- khả vi theo
z
nên
u
và
v
thoả mãn điều kiện Cauchy -
Riemann theo
x
và
.y
Do đó hai tích phân cuối có thể viết thành
V u v U
d d
x y y y
 

   
    

   


.
V u v U
d d
y x x x
 

   
  

   

Điều đó có nghĩa
( , )U x y
và
( , )V x y
thoả mãn điều kiện Cauchy -
Riemann trên
\ 

tức là hàm
( 1)
n
F



- Khả vi trên
\ 

. Ta còn phải

chứng minh
( )
( 1) '
1
( ) ( ) ( ) ( , )
n
n
n
F z F z Z d
  



 


Thật vậy

( )
( )
n
U V
F z
x x
 
 
 




21


1
( )( )
( , )
( , ) .
n
u u
i d id
x x
n
z d
z
z d
 

 
  




 
  

 








Định lý 1.2.10. Giả sử
f
là hàm chỉnh hình trên miền
.D
Khi đó
f
có đạo
hàm mọi cấp trên
.D
Và các đạo hàm này cũng là các hàm chỉnh hình trên
.D

Ngoài ra các đạo hàm của
f
tại
z D
cho bởi công thức
( )
1
! ( )
( ) , 0, 1, 2,
2 ( )
n
n
n f
f z d n

i z



 

 


(1.22)
Trong đó


là chu tuyến tuỳ ý vây quanh
z
sao cho
.D D



1.3. Một số tính chất quan trọng của hàm giải tích
Định lý 1.3.1. (Bất đẳng thức Cauchy). Nếu
f
là hàm chỉnh hình trong miền
;D
Điểm
a D
,
0 ( , )r d a D  
và

( , ) ( ) .
sup
z a r
M a r f z
 


Khi đó ta có bất đẳng thức sau đây
( )
! ( , )
( ) , 0, 1, 2,
n
n
n M a r
f a n
r
 
(1.23)

Chứng minh. Ta có
( )
n+1
! f( )
( )
2 ( -a)
n
n
f a d
i




 




1
! ( , )
2
n
n M a r
r






! ( , )
, 0, 1,
n
n M a r
n
r
 

Định lý 1.3.2. (Định lý Liouville). Nếu hàm
( )f z
chỉnh hình và bị chặn trên

,
thì
.f const



22

Chứng minh. Giả sử
z
tuỳ ý. Theo bất đẳng thức Cauchy với
1n 

ta có
'
( )
M
f z
R

với mọi
0R 

ở đây
sup ( )
z
M f z

  



Cho
,R  
ta có
'
( ) 0.
f z

Vì thế
.f const

Định lý 1.3.3. (Định lý D’alembert). Mọi đa thức bậc
1m 
có đúng
m

nghiệm nếu mỗi nghiệm được tính một số lần bằng đúng bội của nó.
Chứng minh. Giả sử đa thức
P
bậc
1m 
không có nghiệm. Khi đó
1
( )P z
là hàm chỉnh hình và bị chặn trên

do đó
1
( )P z
là hằng số hay

( )P z

là hằng số, trái với giả thiết
1m 
.
Vậy
( )P z
có ít nhất một nghiệm
0
z z 
.Khi đó
1
0
( )
( )
P z
P z
z z


là đa
thức bậc
1m
. Nếu
1 0m  
thì
1
( )P z
lại có ít nhất một nghiệm. Tiếp tục lập
luận như trên ta thu được

m
nghiệm của
.P

Định lý 1.3.4. (Định lý về giá trị trung bình). Nếu
f
là hàm chỉnh hình trên
miền
D
và hình tròn
0
( , )B z r D
thì
2
0 0
0
1
( ) ( )
2
i
f z f z re d




 

(1.24)
Chứng minh . Ta có
0

0
( , )
0
1 ( )
( ) .
2
D z r
f z
f z dz
i z z






Viết
0 0
, ( , )
i
z z re z D z r

  
ta được
2
0 0
0
1
( ) ( ) .
2

i
f z f z re d




 




23

Định lý 1.3.5. (Nguyên lý môđun cực đại). Giả sử
f
là hàm chỉnh hình trên
miền bị chặn
D
và liên tục trên
D.
Khi đó hoặc
f const
hoặc
( )f z
chỉ đạt
cực đại trên biên
D
của
.D


Định lý 1.3.6. (Bổ đề Schwarz). Giả sử
f
là hàm chỉnh hình biến hình tròn
đơn vị
(0,1)B
vào chính nó, hơn nữa
(0) 0.f 
Khi đó
(i)
( )f z z
với mọi
(0,1)z B

(ii) Nếu
0 0
( )
f z z
với điểm
0
z
nào đó trong
(0,1)B
khác không thì
( )f z z


trong đó
1.




Chứng minh. Với
r
tuỳ ý,
0 1r 
theo công thức tích phân Cauchy ta
có
(0, )
1 f( )
( )
2 -z
B r
f z d
i


 




đặc biệt
(0, )
1 f( )
0 (0) .
2
B r
f d
i



 

 


Vì vậy

(0, )
1 1 1
( ) ( )
2
B r
f z f d
i z
 
  

 
 
 
 



(0, )
( )
2 ( )
B r
z f

d
i z


  





tức là hàm
(0, )
( ) 1 ( )
( )
2
B r
f z f
z d
z i z

 
 

 



chỉnh hình trên hình tròn
(0, )B r
. Vì

1r 
tuỳ ý nên

chỉnh hình trên
(0,1)B
.
Khi
1z r 
thì
( )
1
( ) .
f z
z
z r

 



24

Nên theo nguyên lý môđun cực đại
1
( ) , .z z r
r

  

Cho

1r 
ta nhận được
( )
( ) 1; (0,1)
f z
z z B
z

   

hay
( ) ; (0,1).
f z z z B
  

Nếu
0
0
0
( )
( ) 1
f z
z
z

 
với
0
(0,1)z B
,

0
0z 
thì theo nguyên lý môđun
cực đại
( )f z
const
z


tức là
( )f z z


với
(0,1)z B
và
1.



1.4. Không gian Hilbert
Định nghĩa 1.4.1. Cho không gian tuyến tính
X
trên trường
P
(
P
là trường
số thực hoặc trường số phức ). Ta gọi là tích vô hướng trên không gian
X


mọi ánh xạ từ tích Descartes
X X
vào trường
,P
ký hiệu
(.,.),
thoả mãn tiên
đề:
(i)
( , ) ( , )y x x y


,x y X 

(ii)
( , ) ( , ) ( , )x y z x z y z  

, ,x y z X 

(iii)
( , ) ( , )x y x y
 


, ,x y X P

   

(iv)

( , ) 0,x x 
nếu
x


(

là phần tử không),
( , ) 0x x 
nếu
.x



Định lý 1.4.1. Đối với mỗi
x X
ta đặt

( , ).x x x

(1.25)
Khi đó
,x y X 
ta có bất đẳng thức Schwarz


25




( , ) .x y x y
(1.26)
Chứng minh. Nếu
( , ) 0x y 
thì bất đẳng thức (1.26) hiển nhiên đúng.
Nếu
( , ) 0,x y 
thì với mọi số thực

ta có

0 ( ( , ) , ( , ) )x x y y x x y y
 
  

kjfasfhsfs
2
( , )( , ) ( , )( , ) ( , )( , )( , )x x y y x x y y x x y x y y y
  
   


2 2
2 2
2
2 ( , ) ( , ) .x x y x y y
 
  

Ta nhận được một tam thức bậc hai đối với


không âm với mọi giá trị
thực của

. Do đó

4 2 2
2 2 2 2
( , ) ( , ) 0 ( , )
x y x y x y x y x y
   



( , ) .x y x y 

Vì vậy

( , ) ,x y x y

, .x y X 

Bất đẳng thức được chứng minh.
Hệ quả 1.4.1. Công thức (1.25) xác định một chuẩn trên không gian
.X

Định nghĩa 1.4.2. Không gian tuyến tính trên trường
P
cùng với một tích vô
hướng gọi là không gian tiền Hilbert.

Theo hệ quả 1.4.1. mọi không gian tiền Hilbert đều là không gian định
chuẩn với chuẩn (1.25).
Hệ quả 1.4.2. Tích vô hướng
( , )x y
là một hàm liên tục của hai biến
x
và
y

theo chuẩn (1.25).
Định nghĩa 1.4.3. Ta gọi một tập
H


gồm những phần tử
, , , x y z
nào
đấy là không gian Hilbert, nếu tập
H
thoả mãn các điều kiện:
(i)
H
là không gian tuyến tính trên trường
P

(ii)
H
được trang bị một tích vô hướng
(.,.)


(iii)
H
là không gian Banach với chuẩn
( , ),x x x

.x H