Tich phan (LT)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (56.7 KB, 3 trang )
CHUYÊN ĐỀ 5: Tích phân.
1. Đònh nghóa:
Giả sử f(x) là một hàm số liên tục trên một khoảng K, a và b là hai phần tử bất kỳ
của K, F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Hiệu số F(b) - F(a) được gọi là tích
phân từ a đến b của f(x) và được ký hiệu là
∫
b
a
dxxf )(
. Ta cũng dùng ký hiệu
b
a
xF )(
để chỉ hiệu số F(b) - F(a).
Theo đònh nghóa ta có:
)()()()( aFbFxFdxxf
b
a
b
a
−==
∫
: công thức Newton - Laipnit.
Trong đó:
+ f(x)dx: biểu thức dưới dấu tích phân.
+ f(x): hàm số dưới dấu tích phân.
+ f(x)dx: vi phân của mọi nguyên hàm của f(x).
+ a, b: các cận của tích phân, a: cận trên, b: cận dưới.
+ x: biến số tích phân.
2. Các tính chất của tích phân:
2.1.
0dxxf
a
a
=
∫
)(
2.2.
∫∫
−=
a
b
b
a
dxxfdxxf )()(
2.3.
)()(.)(. Rkdxxfkdxxfk
b
a
b
a
∈∀=
∫∫
2.4.
[ ]
∫∫ ∫
±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
2.5.
∫∫∫
+=
c
b
b
a
c
a
dxxfdxxfdxxf )()()(
2.6. f(x) ≥ 0 trên đoạn [a;b] ⇒
0dxxf
b
a
≥
∫
)(
2.7. f(x) ≥ g(x) trên đoạn [a;b] ⇒
∫∫
≥
b
a
b
a
dxxgdxxf )()(
2.8. m
≤
f(x)
≤
M trên đoạn [a;b] ⇒ m(b - a)
≤
∫
b
a
dxxf )(
≤
M(b - a)
2.9. t biến thiên trên đoạn [a;b] ⇒ G(t) =
∫
t
a
dxxf )(
là một nguyên hàm của f(t) và
G(a) = 0.
3. Các phương pháp tính tích phân:
3.1. Phương pháp đổi biến số:
3.1.1. Phương pháp đổi biến số dạng 1:
+ B1: Đặt x = u(t) sao cho u(t) là một hàm số có đạo hàm liên tục trên
đoạn [α;β] và u(α) = a, u(β) = b.
+ B2: Biến đổi f(x)dx = f[u(t)].u'(t)dt = g(t)dt.
+ B3: Tìm một nguyên hàm G(t) của g(t).
+ B4: Tính
β
α
β
α
=
∫
)()( tGdttg
.
3.1.2. Phương pháp đổi biến số dạng 2:
+ B1: Đặt t = v(x), v(x) là một hàm số có đạo hàm liên tục.
+ B2: Biểu thò f(x)dx theo t và dt. Giả sử: f(x)dx = g(t)dt.
+ B3: Tìm một nguyen hàm G(t) của g(t).
+ B4: Tính
)(
)(
)(
)(
)()(
bv
av
bv
av
tGdttg
=
∫
.
3.2. Phương pháp tích phân từng phần:
Đònh lý: Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b] thì:
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
dxxuxvxvxudxxvxu )(')())().(()(')(
hay
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
duxvxvxudvxu )())().(()(
* Chú ý:
+ Nếu hàm số dưới dấu tích phân có hàm ln(fx) thì ta đặt u = lnf(x), phần
còn lại là dv.
+ Nếu hàm số dưới dấu tích phân có hàm đa thức P(x) và một hàm số khác
(lượng giác, hàm số mũ,…) thì ta đặt u = P(x), phần còn lại là dv.
4. Ứng dụng của tích phân:
4.1. Tính diện tích hình phẳng:
Diện tích hình phẳng của hình được giới hạn bởi đồ thò của hai hàm số y = f
1
(x),
y = f
2
(x) và các đường x = a, x = b, được cho bởi công thức:
S =
=−
∫
dxxx
b
a
21
ff
)()(
S =
dxxxdxxxdxxx
b
2121
a
21
ffffff
∫∫∫
β
β
α
α
−=−=− ))()(())()(())()((
(với α, β ∈[a;b] là các nghiệm của phương trình f
1
(x) - f
2
(x) = 0)
4.2. Diện tích của hình tròn và hình elip:
S =
R
x
R
x
R
2
R
0
2
2
R
R
2
2
dx4dx2
π==−=−
∫∫
−
...)()(.
S =
abdx
a
b
4
a
0
22
xa
==
...)(
4.3. Theồ tớch cuỷa vaọt theồ troứn xoay:
=
b
a
2
dxS
y
(vaọt theồ quay xung quanh Ox)
hay
=
b
a
2
dyS
x
(vaọt theồ quay xung quanh Oy)
