Chuyên đề tích phân & ứng dụng H Văn ồ
Hoàng
1. Bảng nguyên hàm của các hàm số.
2. Các phương pháp tính tích phân:
a) Phương pháp đổi biến số:
* Loại 1:
 Dạng:
2 2
β
α
−
∫
a x dx
,
2 2
β
α
−
∫
dx
a x
đặt x = asint.
 Dạng:
2 2
β
α
+
∫
dx
x a
đặt x = atant,

2 2
( )
β
α
+ +
∫
dx
ax b c
đặt
tan+ =ax b c t
* Loại 2:
( ( )) '( ) .
∫
b
a
f u x u x dx
Đặt t = u(x).
+ Nhiều khi phải biến đổi mới xuất hiện u’(x)dx.
+ Ta cũng có thể biến đổi:
( ( )) '( ) ( ( )) ( ( ))=
∫ ∫
b b
a a
f u x u x dx f u x d u x
b) Phương pháp tích phân từng phần:
 Dạng:
( )sin ,
∫
b
a

P x xdx ( )cos ,
∫
b
a
P x xdx ( ) ,
∫
b
x
a
P x e dx

Đặt u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = e
x
dx).
 Dạng:
2 2
, ,
cos sin
∫ ∫
b b
a a
x x
dx dx
x x
Đặt u = x, dv =
2
cos
dx
x
hoặc dv =

2
sin
dx
x
.
3. Một số tích phân thường gặp:
a) Tích phân hữu tỉ:
( )
( )
∫
b
a
P x
dx
Q x
P(x), Q(x) là các đa thức.
+ Nếu bậc P(x) ≥ bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x).
+ Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) dùng phương pháp đổi biến hoặc
phương pháp hệ số bất định.
b) Tích phân chứa các hàm số lượng giác.
+ Nắm vững các công thức biến đổi.
c) Tích phân hồi quy:
 Dạng
sin ,
∫
b
x
a
e xdx
cos .

∫
b
x
a
e xdx
Đặt u = sinx (u = cosx), dv = e
x
dx. Tích phân từng phần 2 lần.
 Dạng:
sin(ln ) , cos(ln ) .
∫ ∫
b b
a a
x dx x dx
Đặt u = sin(lnx)(u=cos(lnx)), dv=dx. Tích phân từng phần 2 lần.
d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ:
Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] và:
+ y = f(x) chẵn thì
0
( ) 2 ( )
−
=
∫ ∫
a a
a
f x dx f x dx
.
+ y = f(x) lẻ thì:
( ) 0
−

=
∫
a
a
f x dx
.
e) Tích phân dạng
( )
1
α
α
−
+
∫
x
f x
dx
a
trong đó f(x) là hàm số chẵn.
Cách giải: Tách thành 2 tích phân :
0
0
( ) ( ) ( )
1 1 1
α α
α α
− −
= +
+ + +
∫ ∫ ∫

x x x
f x f x f x
dx dx dx
a a a
Xét tích phân
0
( )
1
α
−
+
∫
x
f x
dx
a
đổi biến số x = -t.
Kết quả ta được
0
( )
( )
1
α α
α
−
=
+
∫ ∫
x
f x

dx f x dx
a
.
f) Tích phân dạng:
0 0
( ) ( )− =
∫ ∫
a a
f a x dx f x dx
trong đó f(x) là hàm
số liên tục trên [0; a].
Đổi biến x = a - t.
Bài 1: Tính tích phân
1
3
2
0
1
=
+
∫
x
I dx
x
. ĐS I =1/2(1-ln2).
Bài 2: Tính tích phân
ln3
3
0
( 1)

=
+
∫
x
x
e
I dx
e
HD: đưa về dạng

α
∫
b
a
u du
. ĐS
2 1= −I
Bài 3: Tính tích phân
0
2
3
1
( 1 )
−
= + +
∫
x
I x e x dx
HD Tách thành 2 tích phân. ĐS I=3/4e
-2

- 4/7
Bài 4: Tính tích phân
2
6
3 5
0
1 cos .sin .cos
π
= −
∫
I x x dx

HD: t =
6
3
1 cos− x
⇒
cos
3
x = 1- t
6
. ĐS I =12/91
Bài 5: Tính tích phân
2 3
2
5
1
. 4
=
+

∫
I dx
x x
HD: nhân tử và mẫu với x rồi đặt
2
4= +t x
. ĐS I=1/4.ln5/3
Bài 6: Tính tích phân
4
0
1 cos 2
π
=
+
∫
x
I dx
x
HD:Đưa về dạng tích phân từng phần. ĐS I =
π
/8-1/4.ln2
Bài 7: Tính tích phân
1
3 2
0
1= −
∫
I x x dx

Bài 8: Cho hàm số

3
( ) .
( 1)
= +
+
x
a
f x bx e
x
.
Tìm a,b biết rằng f’(0) = -22 và
1
0
( ) 5=
∫
f x dx

Bài 9: Tính tích phân
3
2
4
cos . 1 cos
π
π
=
+
∫
tgx
I dx
x x

HD: Biến đổi về dạng
3
2 2
4
tg
cos . tg 1
π
π
=
+
∫
x
I dx
x x
.Đặt
2
1 tg= +t x
ĐỀ THI ĐẠI HỌC
Năm 2002 A:
2
? : | 4 3 |; 3S y x x y x= − + = +
B:
2 2
? : 4 ;
4
4 2
x x
S y y= − =
; D:
3 1

? : ; ; .
1
x
S y Ox Oy
x
− −
=
−
Năm 2003
1
Chuyên đề tích phân & ứng dụng H Văn ồ
Hoàng
A:
2 3
2
5
4
dx
x x +
∫
; B:
/4
2
0
1 2sin
1 sin2
x
dx
x
π

−
+
∫
; D:
2
2
0
| |x x dx−
∫
Năm 2004
A:
2
1
1 1
x
dx
x+ −
∫
; B:
1
1 3ln
ln
e
x
xdx
x
+
∫
;D:
3

2
2
ln( )x x dx−
∫
Năm 2005 A:
/2
0
sin2 sin
1 3cos
x x
dx
x
π
+
+
∫
B:
/2
0
sin2 cos
1 cos
x x
dx
x
π
+
∫
D:
/2
sin

0
( cos )cos
x
e x xdx
π
+
∫
Năm 2006 A:
/2
2 2
0
sin2
cos 4sin
x
dx
x x
π
+
∫
B:
ln5
ln3
2 3
x x
dx
e e
−
+ −
∫
D:

1
2
0
( 2)
x
x e dx−
∫
Năm 2007 A:
? : ( 1) ; ( 1)
x
S y e x y x e= + = +
B:
? : ln ; 0; .Vox y x x y x e= = =
D:
3 2
1
ln
e
x xdx
∫
.
Năm 2007 (Dự bị – A, B, D).
A
1
:
1
0
2 1
1 2 1
x

dx
x
+
+ +
∫
A
2
:
2
? : 4 ; .
Ox
V y x y x= =
B
1
:
−
= =
+
2
(1 )
? : ; 0.
1
x x
S y y
x
B
2
:
= = −
2 2

? : ; 2 .S y x y x
D
1
:
−
−
∫
1
2
0
( 1)
4
x x
dx
x
; D
2
:
π
∫
/ 2
2
0
cosx xdx
2
Chuyên đề tích phân & ứng dụng H Văn ồ
Hoàng
DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ
TRÒN XOAY.
1) Miền (D) giới hạn bởi các đường : y = f(x); y =

g(x);
x = a; x = b có diện tích: S
D
=
−
∫
( ) ( )
b
a
f x g x dx
2) Miền (D) giới hạn bởi các đường:
y=f(x);y=0;x=a;x=b khi quay quanh trục Ox nó
tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích :
V
Ox
=
π
∫
2
( )
b
a
f x dx
3) Miền (D) giới hạn bởi các đường:
x=f(y);x=0;y=a;y=b khi quay quanh trục Oy nó
tạo ra vật trể tròn xoay có thể tích :
V
Oy
=
π

∫
2
( )
b
a
f y dy
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
1) y=
2
4 3x x− +
;y=3 (ĐS: 8(đvdt))
2) y=
2
1 ; 5x y x− = +
(ĐS:
73
(
3
đvdt))
3) x=
y
; x+y-2=0 ;y=0. (ĐS:
5
(
6
đvdt))
4) y=x
2
; y=
2

8
;
8
x
y
x
=
(ĐS: 8ln3)
5) y=x
2
; y=
2
27
;
27
x
y
x
=
(ĐS: 27ln3)
6) y=x
2
; x=y
2
.
7) y=e
x
; y=e
-x
;x=1.

Bài 2 : Tính thể tích của vật thể tròn xoay sinh ra khi quay
miền (D) giới hạn bởi các đường:
1) y=4-x
2
; y=2+x
2
quanh Ox. (ĐS : 16
)
π
2) y=x
2
; x=y
2
quanh Ox.
3) y=2x-x
2
; y=x
2
-2x quanh Ox. (ĐS :
16
)
5
π
.
4) y=-x
2
+4x ; trục Ox :
a) Quanh Ox. (ĐS :
512
)

15
π
b) Quanh Oy. (ĐS :
128
)
3
π
5) y=(x-2)
2
;y=4
a) Quanh Ox (ĐS :
256
)
5
π
b) Quanh Oy (ĐS :
128
)
3
π
6) y=x
2
+1 ; Ox ; Oy ; x=2.
a) Quanh Ox (ĐS :
206
)
15
π

b) Quanh Oy (ĐS : 12

)
π
3
Chuyên đề tích phân & ứng dụng H Văn ồ
Hoàng
Một số bí quyết tìm nguyên hàm và tích phân
CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN
Các bạn cần nắm chắc các phương pháp được trình bày
dưới đây.
1. Sử dụng định nghĩa (định lý Newton - Leibnitz)
 Định lý : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên
[a ; b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì
b
b
a
a
f (x)dx F(x) F(b) F(a)= = −
∫
 Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục trên [a ; b] là điều kiện bắt
buộc phải có để được sử dụng định lý. Nhiều bạn cứ tưởng
có được F(x) là tính được tích phân. Chẳng hạn, có bạn viết
:
3
3
4
4
0
2
0
dx

I tgx 1
cos x
π
π
= = = −
∫
(?)
Lưu ý :
2
1
f (x)
cos x
=
không xác định tại
3
x 0;
2 4
π π
 
= ∈
 
 
nên I không tồn tại.
Thí dụ 1 : Tính
7
3
3
0
(x 1)dx
I

3x 1
+
=
+
∫
(Đề ĐH Ngoại ngữ HN -
1999)
Giải :
7 7
2 1
3 3
3 3
3
0 0
1 [(3x 1) 2]dx 1
I [(3x 1) 2(3x 1) ]d(3x 1)
3 9
3x 1
−
+ +
= = + + + +
+
∫ ∫
7
5 2
3
3 3
0
1 3 46
(3x 1) 3(3x 1)

9 5 15
 
 
= + + + =
 
 
Thí dụ 2 : Tính
1
2 2
0
dx
I
(x 3x 2)
=
+ +
∫
(Đề ĐH Ngoại
thương HN - 1999)
Giải :
1 1 1 1
2 2
0 0 0 0
1 1 dx dx 1 1
I dx 2 dx
x 1 x 2 x 1 x 2
(x 1) (x 2)
   
= − = + − −
   
+ + + +   

+ +
∫ ∫ ∫ ∫
1
1 1
0
x 1 2 3
(x 1) (x 2) 2ln 2ln
x 2 3 4
− −
 
+
= − + − + − = +
 
+
 
.
Chú ý : Khi gặp các hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần
tách cận tích phân để khử dấu trị tuyệt đối.
Thí dụ 3 : Tính
3
2
1
I x x 2x .dx
−
= −
∫
Giải :
3 0 2 3
2 2 2 2
1 1 0 2

I x x 2x .dx x x 2x .dx x x 2x .dx x x 2x .dx
− −
= − = − + − + −
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
0 2 3
2 2 2
1 0 2
4 3 4 3 4 3
x x 2x .dx x x 2x .dx x x 2x .dx
0 2 3
x 2x x 2x x 2x
4
1 0 2
4 3 4 3 4 3
−
= − + − + + −
     
= − + − + + − =
 ÷  ÷  ÷
 ÷  ÷  ÷
−
     
∫ ∫ ∫
2. Phương pháp biến đổi số :
Nếu t = u(x) đơn điệu trên [a ; b] thì
u(b)
b
a u(a)
f[u(x)].u'(x)dx f (t)dt=

∫ ∫
Thí dụ 4 : Tính
4
2
7
dx
I
x x 9
=
+
∫
(Đề Học viện KTQS -
1999)
Giải : Đặt
1
t
x
=
⇔
1
x
t
=
⇒
2
dt
dx
t
= −
.

Đổi cận :
x 7=
⇒
1
t
7
=
; x = 4 ⇒
1
t
4
=
.
Do đó :
1
1
1
7
4
7
2
2 2
1
1 1
4
4
7
dt 1 d(3t) 1 1 7 1 7
I ln (3t) 1 3t ln ln
3 3 3 2 6 4

9t 1 (3t) 1
−
 
= = = + + = =
 
+ +
∫ ∫
Thí dụ 5 : Tính
1
4
x
1
x dx
I
1 2
−
=
+
∫
(Đề Học viện BCVT - 1999)
Giải : Đặt t = −x ⇔ x = −t ⇒ dx = −dt.
Đổi cận : x = −1 ⇒ t = 1 ; x = 1 ⇒ t = −1 ta có :
1 1 1 1
4 t 4 4
1
4 5
1
4 t t
1 1 1 1
( t) .( dt) 2 .t dt t dt 1 2

I t dt t I I
5 5
1 2 1 2 1 2
−
−
− − −
− −
= = = − = − = −
+ + +
∫ ∫ ∫ ∫

⇒
1
I
5
=
.
Chú ý : - Để tính
b
a
f (x)dx
∫
không nhất thiết phải tìm
nguyên hàm F(x) của f(x).
- Cách tích phân dạng
x
g(x)dx
a 1
α
−α

+
∫
với a > 0 và g(x) là hàm
số chẵn, đều làm như trên.
4
Chuyên đề tích phân & ứng dụng H Văn ồ
Hoàng
Thí dụ 6 : Tính
1
1
2 x
ln dx
2 x
−
−
+
∫
Giải : Đặt t = - x thì dx = - dt. Với x = -1 thì t = 1, với x = 1
thì t = -1.Do đó :

1 1 1
1 1 1
1 1
1
1 1
2 x 2 t 2 t
I ln dx ln ( dt) ln dt
2 x 2 t 2 t
2 t 2 t
ln dt ln dt I.

2 t 2 t
−
− −
−
− −
− + +
= = − =
+ − −
− −
   
= = − = −
 ÷  ÷
+ +
   
∫ ∫ ∫
∫ ∫
Suy ra : I = 0.
Chú ý : + Tích phân trên một miền đối xứng của một hàm số
lẻ luôn bằng 0.
+ Tích phân không phụ thuộc ký hiệu đối số :
b b b
a a a
f (x)dx f (u)du f (t)dt= =
∫ ∫ ∫
= ...
Thí dụ 7 : Tính
0
x
dx
1 sinx

π
+
∫
Giải : Đổi biến số u =
x x uπ − ⇔ = π−
. Ta có :
x 0 u ; x u 0.= ⇒ = π = π ⇒ =
Mặt khác : dx = -du.
( )
( )
0
0
0 0
x 1
I dx u ( du)
1 sinx 1 sin u
u
du du
1 sinu 1 sinu
π
π
π π
= = π − −
+ + π−
π
= −
+ +
∫ ∫
∫ ∫
2

0
2
0
1 u
2 d I
2
u u
sin cos
2 2
1 u
d I
u
2 4
cos
2 4
π
π
 
= π −
 ÷
 
 
+
 ÷
 
π
 
= π − −
 ÷
π

 
 
−
 ÷
 
∫
∫
Do đó : I =
u
tg 2
0
2 4
π
π
 
= π − = π
 ÷
 
.
Chú ý : Nếu gặp tích phân
b
a
f (x)dx
∫
mà tính mãi không
được, các bạn nên nghĩ đến phép đổi biến số u = a + b - x.
Các thí dụ trên cũng chứng tỏ phép đổi biến này khá có tác
dụng.
Thí dụ 8 : Chứng minh rằng : Nếu f(x) là hàm số liên tục,
tuần hoàn với chu kỳ T thì với mọi a ta có :

a T T
a 0
f (x)dx f (x)dx
+
=
∫ ∫
Giải : Ta có
a T T a T
a a T
f (x)dx f(x)dx f (x)dx
+ +
= +
∫ ∫ ∫
(*)
Xét
a T
T
J f (x)dx
+
=
∫
, đặt u = x - T ⇔ x = u + T ⇒ dx = du.
Đổi cận : x = T ⇒ u = 0 ; x = a + T ⇒ u = a, do đó :
a a a
0 0 0
J f (u T).du f (u)du f (x)dx= + = =
∫ ∫ ∫
.
Thay vào (*) ta có đpcm.
Chú ý : Có thể áp dụng kết quả trên để tính các tích phân

của hàm số tuần hoàn.
Thí dụ 9 : Tính
2007
0
sinx dx
π
∫
Giải : Chứng minh dễ dàng hàm số y =
sinx
là hàm số
tuần hoàn với chu kỳ là
π
.Do đó :
2007 2 2007
0 0 2006
0 0
sinx dx sinx dx sinx dx ... sinx dx
2007 sinx dx 2007 sinx.dx 2007cosx 5014
0
π π π π
π π
π π
= + + +
π
= = = − =
∫ ∫ ∫ ∫
∫ ∫
3. Sử dụng công thức tích phân từng phần :
Ta có :
b b

b
a
a a
udv u.v vdu= −
∫ ∫
Nguyên tắc chọn u, v các bạn tương tự như khi sử dụng
phương pháp nguyên hàm từng phần, chỉ lưu ý thêm có khi
các bạn phải kết hợp với phương pháp đổi biến :
Thí dụ 10 : Tính
2
0
I sin xdx
π
=
∫
(Đề ĐH Đà Lạt - 1999)
Giải : Đặt
t x=
⇔
2
x t=
⇒ dx = 2tdt. Đổi cận x = 0 ⇒
t = 0 ;
2
x = π
⇒ t = π nên :
0
0 0 0
I 2 t sin tdt 2 t.d(cos t) 2 t cos t cos tdt
π π π

π
 
 
= = − = − −
 
 
 
∫ ∫ ∫

=
0
2 sin t 2
π
 
− −π − = π
 
.
Thí dụ 11 : Tính I =
1
5 x
0
x .e .dx
∫
5