1

PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ, HÀM SỐ BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY VÀ
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP HẠN CHẾ MÁY TÍNH CẦM TAY

Ngày này khi hình thức thi mơn tốn thay đổi từ tự luận chuyển sang trắc nghiệm đã làm thay
đổi ít nhiều phương pháp dạy và học mơn tốn. Phần giới hạn dãy số, giới hạn hàm số là một phần
khơng khó nhưng nhiều bài tốn cũng phải làm nhiều học sinh lúng túng khi tìm lời giải tự luận của
bài tốn. Tuy nhiên khi sử dụng máy tính cầm tay thì ta lại có thể giải một cách nhanh chóng bài tốn
mà khơng cần phải suy nghĩ nhiều. Điều này làm cho nhiều học sinh chủ quan khơng học một cách
bài bản kiến thức cơ sở mà chỉ chú trọng việc bấm máy tính. Trong bài viết này, tác giả sẽ trình bầy
một số dạng bài tốn giới hạn dãy số, giới hạn hàm số có thể sử dụng máy tính cầm tay để giải và
một số dạng bài tập hạn chế việc sủ dụng máy tính cầm tay của học sinh.

I. PHƯƠNG PHÁP TÍNH GIỚI HẠN DÃY SỐ, HÀM SỐ BẰNG MÁY TÍNH CẦM TAY
Trong bài viết này, tác giả sử dụng trên máy tính casio fx 570vn plus. Đối với các dòng máy
tính khác cũng được thực hiện các thao tác tương tự.
* Phương pháp tính:
* Cách tính giới hạn dãy số
Để tính giới hạn dãy số lim f ( n )
Bước 1: Nhập vào máy tính biểu thức f ( X )
Bước 2: Bấm phím CALC máy tính hỏi X = ?. Ta nhập giá trị đủ lớn, ví dụ 108 (vì n → +∞ )
* Cách tính giới hạn hàm số
Để tính lim f ( x )
x → xo

Bước 1: Nhập vào máy tính biểu thức f ( X )
Bưới 2: Bấm phím CALC. máy tính hỏi X = ?. Ta nhập vào giá trị xấp xỉ bằng xo
* Chú ý

- Nếu xo là một số hữu hạn ta nhập X = xo + 10−8 hoặc xo − 10 −8
- Nếu x → xo + ta nhập X = xo + 10−8
- Nếu x → xo − ta nhập X = xo − 10 −8
- Nếu xo là +∞ ta nhập một giá trị đủ lớn, ví dụ X = 108
- Nếu xo là −∞ ta nhập một giá trị âm đủ nhỏ, ví dụ X = −108
Bây giờ ta cùng làm các bài tập sau: Chọn đáp án đúng trong các câu hỏi sau

Giáo Viên: Thân Văn Dự

ĐT: 0984 214 648



Cõu hi 1 Tớnh lim
A. 2

2

n 2 + n 2 3n + 2
n 2 + 3n
B.

1
2

D. 1

C. 3

Gii :

Nhp vo mỏy tớn biu thc

X 2 + X 2 3X + 2
X 2 + 3X

Bm CALC mỏy hi X = ? ta nhp 108 , ta c kt qu 0,99999998. Ta chn ỏp ỏn D.
Cõu hi 2 Tớnh I = lim

x +

A.

x3 2 x 2 + 1
, ta c I bng
2 x3 + x 1

1
2

Gii: Nhp vo mỏy tớnh biu thc

D.

C. +

B. 1
X 3 2X 2 +1
2 X 3 + X 1

Bm CALC mỏy hi X = ? ta nhp 108 , ta c kt qu 0, 4999999 . Suy ra ỏp ỏn ỳng l A.


2 x x2 x + 2
x
2x 1

Cõu hi 3 Tớnh I = lim
A.

B. +

Gii : Nhp vo mỏy tớnh biu thc

C.

1
2

D.

3
2

2X X 2 X + 2
2 X 1

Bm CALC mỏy hi X = ? ta nhp 108 , ta c kt qu 1,499999995, suy ra ỏp ỏn ỳng l D.
Cõu hi 4 Bit lim

x +


A. 4

x 2 2017 x + 2018 a
= ( a, b l hai s nguyờn v ( a, b ) = 1 ). Tớnh S = a + b
3x 2 + 6
b

B. 2014

Gii : Nhp vo mỏy tớnh biu thc

C. 5

D.

1
3

X 2 2017 X + 2018
3X 2 + 6

Bm CALC mỏy hi X = ? ta nhp 108 , ta c kt qu 0,33332661. Suy ra
x 2 2017 x + 2018 1
lim
= . Suy ra chn ỏp ỏn A
x +
3x 2 + 6
3

Giaựo Vieõn: Thaõn Vaờn Dửù


ẹT: 0984 214 648




3

)

(

Cõu hi 5 Bit I = lim x + 1 + x 2 + 3x + 2 . Tớnh I
x

A.

1
2

B.

1
2

D.

C. +

Gii : Nhp vo mỏy tớnh biu thc X + 1 + X 2 + 3 X + 2


1
Bm CALC mỏy tớnh hi X = ? ta nhp vo 108 , ta c kt qu . Suy ra chn ỏp ỏn B.
2
Cõu hi 6 Tớnh I = lim+
x2

A.

1
2

x2 2x + 3
2x 4

B.

1
2

C. +

Gii : Nhp vo mỏy tớnh biu thc

D.

X 2 2X + 3
2X 4

Bm CALC mỏy hi X = ? ta nhp 2 + 108 , ta c kt qu 150000001 , Suy ra chn ỏp ỏn C.


II. MT S DNG BI TP GII HN DY S, GII HN HM S HN CH MY
TNH CM TAY
1. Dng 1

2017 n + 6.2018n
Cõu hi 1 Bit I = lim
. Khi ú I bng
2015n 2018n
A. 1

C. +

B. 6

D.

Gii:
n
2017 n

2017


2018
+ 6

+6
2018n
2017n + 6.2018n

2018



lim
= lim
= lim
= 6 . Ta chn ỏp ỏn B.
n
n
2015n 2018n

2015

n 2015
2018
1
n

1
2018
2018

n

x 2018 3 x 2017 + 2
. Khi ú I bng
x +
4 x 2018 + x 1


Cõu hi 2 Bit I = lim
A.

1
4

B. +

C.

D. 2

Gii:

Giaựo Vieõn: Thaõn Vaờn Dửù

ẹT: 0984 214 648



x 2018 3 x 2017 + 2
I = lim
= lim
x +
x +
4 x 2018 + x 1

4

3

2
+ 2018 )
3
2
1 + 2018
x x
1
x x
1
1 = lim
=
2018
x 4 + 2017 2018 x +
1
1
4 + 2017 2018 4
x
x

x
x
x 2018 (1

Ta chn ỏp ỏn A.
2. Dng 2 : S dng tham s
Cõu hi 1: Bit I = lim
x 1

A. 1


x 2 + ax + b
1
= ( a, b ). Tớnh S = a 2 + b 2
2
x 1
2

B. 13

D. 4

C. 9

Gii:

x 1 x 2 1 0 m lim
x 1

0
x 2 + ax + b
1
= l mt giỏ tr hu hn. Suy ra õy l gii hn dng
2
x 1
2
0

1 + a + b = 0 b = a 1

I = lim

x 1

( x 1)( x + a + 1) = lim x + a + 1 = a + 2
x 2 + ax + b
x 2 + ax a 1
=
lim
= lim
2
2
x 1
x 1
x 1
x 1
x 1
x +1
2
( x 1)( x + 1)

1
a+2
1
= a = 3 b = 2 . Vy S = a 2 + b2 = 13 . Ta chn ỏp ỏn B.
M I =
2
2
2
Cõu hi 2 Bit I = lim

x +


A. 3

(

)

ax 2 + x + 1 x 2 + bx 2 = 2 ( a, b ). Tớnh P = ab
D. 2

C. 2

B. 3

Gii :
Ta thy khi x + ta cú

ax 2 + x + 1 x 2 + bx 2 = 2 l mt s hu hn nờn ta suy ra a = 1

(

x + x + 1 x + bx 2

x +

x +

= lim

x +


)

(

m I = lim

I = lim

ax 2 + x + 1 +; x 2 + bx 2 +

2

2

(1 b ) x + 3
x 2 + x + 1 + x 2 + bx 2

M I = 2

)

(x
= lim
x +

+ x + 1) ( x 2 + bx 2 )

x 2 + x + 1 + x 2 + bx 2


(1 b ) +

= lim

x +

2

1+

3
x

1 1
b 2
+ 2 + 1+ 2
x x
x x

=

1 b
2

1 b
= 2 b = 3 . Suy ra P = 3 . Ta chn ỏp ỏn A.
2

Giaựo Vieõn: Thaõn Vaờn Dửù


ẹT: 0984 214 648




5

ax + x 2 + x + 1
= 2. Khi ú
x +
2x 1

Cõu hi 3 Bit lim
A. a < 1

B. 1 a < 1

C. 1 a < 2

D. a 2

Gii :
ax + x + x + 1
= lim
x +
x +
2x 1
2

1 1

+
x x2 = a + 1
1
2
2
x

a + 1+

lim

ax + x 2 + x + 1
a +1
M lim
=2
= 2 a = 3 . Ta chon ỏp ỏn D.
x +
2x 1
2

* LUYN TP

KIM TRA 1 TIT

TRNG THPT LNG GIANG S 1

MễN: I S V GII TCH 11
Thi gian lm bi: 45 phỳt;
(25 cõu trc nghim)
Mó thi 111

H, tờn thớ sinh:..........................................................................
S bỏo danh:...............................................................................

Cõu 1: Bit lim
x2

x 2 2ax + 4a 4
= 2 , khi ú
x2

A. a < 1
Cõu 2: Tỡm lim
A.

B. 2 a < 4

C. 1 a < 2

2n 1
3n + 2

2
3

C.

B. 2

( 1)
1 1 1

Cõu 3: Cho tng S = 1 + + +
2 4 8
2n
A.

1
2

Cõu 4: Tỡm lim

D. a 4

B.

(

2
3

2n 2 n 2n 2 + 3n 1

Giaựo Vieõn: Thaõn Vaờn Dửù

1
2

D.

1
3


n +1

C.

+ , khi ú giỏ tr S xp x bng

3
4

D.

1
3

)
ẹT: 0984 214 648



A. 0

B. 2

6
C. 2

D. -2

C. 1 < a < 3


D. a 3

x 2 ( a + 1) x + a 1
Cõu 5: Bit lim
= , khi ú
x a
2 x 2a
2

A. a 0

B. 0 < a 1

Cõu 6: Bit lim

x +

(

A. a 2 + b 2 = 5

B. a 2 + b 2 = 9

x 1

A. 0

B. 1


Cõu 8: Tỡm lim
x2

C. a 2 + b 2 = 2

D. a 2 + b 2 = 10

x + 2 3 4 + 3x
3x + 3

Cõu 7: Tỡm lim

A.

)

x 2 + ax + 2 bx = 1 , khi ú

C.

1
6

D.

1
6

x 3 x3 + x 2
x2


1
12

B.

1
12

C. 0

D. 1

C. 1

D. 0

C. 1

D. +

3x 2 + 2 x 1
Cõu 9: Tỡm lim
x 1
x +1

A. 2

B. -1


Cõu 10: Tỡm lim ( n3 3n 2 + 2 )
A.

B. 0

2 x + a ax + 2
1
=
, khi ú
x 1
2 5

Cõu 11: Bit lim
x 1

A. 0 a < 1

B. a 1

Cõu 12: Tỡm lim

x 2 3x + 2
2x 2

1
2

B.

x 1


A.

Cõu 13: Tỡm lim

1
2

C. a < 1

D. 1 a < 0

C. 1

D. -1

1+ 2 + 3 + + n
2n 2 + n + 1

A. 0

B. 1

C.

1
2

D.


1
4

Cõu 14: Tỡm lim ( x3 3 x 2 + 5 )
x

A. 5

B. - 3

Giaựo Vieõn: Thaõn Vaờn Dửù

C. +

D.

ẹT: 0984 214 648




7

x x+2
khi x > 2

Cõu 15: Hm s y = x 2
cú gii hn ti x = 2 khi
mx
khi x 2


A. m =

3
4

B. m =

Cõu 16: Tỡm lim

3
4

C. m =

B.

1
3

C.

(

)

Cõu 17: Gi s lim n + 1 n2 n =
A. 2

A.


B. 3

(

2
3

3

3
2

D.

3
8

n 3 2n 2 + 1 n

2
3

a a
( l phõn s ti gim), khi ú a + b bng
b b
C. 1

D. 5


)
C.

B. -1

Cõu 19: Tỡm lim

D. m =

n + n2 n + 1
3n + 1

A. 2

Cõu 18: Tỡm lim

3
8

2
3

D. 1

3n + 2.4n
3n + 4n

A. 1

B. 2


C. 0

D. -1

C. 1

D.

Cõu 20: Tỡm lim ( x3 3 x 2 + 1)
x +

B. +

A. 3

Cõu 21: Trong cỏc hm s sau, hm s no liờn tc ti x = 1
x 2 3x + 2
khi x > 1

A. y = x 1

khi x 1
2

B. y =

x2 + 2
khi x > 1


C. y = x 1

2 x 1 khi x 1

x2 2 x + 1
khi x > 1

D. y = x 1
2
khi x 1
x 1

x2 2x + 3
x 1

x 2 3x + 2
khi x > 1

Cõu 22: Hm s y = 3 x 3
liờn tc trờn khi

khi x 1
mx + 2

A. m =

7
3

B. m =


Giaựo Vieõn: Thaõn Vaờn Dửù

7
3

C. m =

1
3

D. m =

1
3

ẹT: 0984 214 648



Cõu 23: Bit lim

x +

(

3

)


x 3 + ax 2 + 1 bx = 1 , khi ú

B. a + b = 0

A. 2a + b = 5

(

Cõu 24: Tỡm lim 2 x + 4 x 2 x + 1
x

A.

8

C. a + 2b = 4

D. a b = 2

)

B. +

C.

1
4

D. 0


Cõu 25: Trong cỏc hm s sau, hm s no liờn tc trờn
A. y = tan 2 x

x 2 3x + 1
y=
x2 + 1
B.

x2 + 1
y= 2
x 1
C.



y = cot x +
3

D.

--------------------------------------------------------- HT ----------

Giaựo Vieõn: Thaõn Vaờn Dửù

ẹT: 0984 214 648