CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO
HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI:
/>
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
TÀI LIỆU VẬN DỤNG CASIO GIẢI NHANH VIẾT PHƯƠNG TRÌNH
TIẾP TUYẾN ĐƯỢC CẬP NHẬT TẠI
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

I. TIẾP TUYẾN CỦA MỘT ĐƯỜNG CONG
Tiếp tuyến của đường cong là một chuyên đề quan trọng trong chương trình toán
phổ thông.
Đặc biệt các bài toán về tiếp tuyến thường “có mặt” trong các kỳ thi tốt nghiệp, thi
tuyển sinh vào các trường đại học, cao đẳng và trung học chuyên nghiệp
Đa số học sinh rất dễ mắc sai lầm hoặc thiếu sót khi giải bài toán về tiếp tuyến.
CHO ĐƯỜNG CONG (C): y = f(x).

Cho
M  x; y    C 
M 0  x0 ; y0    C 

Từ hình vẽ:

 MM 0 gọi là cát tuyến


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO
HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI:

/>
Hệ số góc của cát tuyến MM0 là: k  tan MM 0 N 

y  y0
x  x0

Bây giờ để tạo thành tiếp tuyến (là đường thẳng tiếp xúc với đườg cong tại 1 điểm
duy nhất) do đó M sẽ phải dịch chuyển đến M0
Ta có :

y  y0
lim
 y '  x0   k
x  x0
Hệ số góc của tiếp tuyến TẠI M0 là:
x  x0
Đây chính là ứng dụng đầu tiên của đạo hàm trong việc xác định hệ số góc k của
tiếp tuyến từ đó viết được phương trình tiếp tuyến tại M0:
1. Dạng toán 1:
Viết phương trình tiếp với đường cong (C): y= f(x) TẠI điểm M0(x0,y0) thuộc
(C), hoặc biết hoành độ tiếp điểm, hoặc biết tung độ tiếp điểm.
* Phương pháp:
CÔNG THỨC PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN TẠI M0 (x0;y0):
Phương trình tiếp tuyến có dạng: y = y’(x0)( x – x0) + y0.
Ta tìm x0 , y0 , y’(x0) rồi thế vào phương trình trên .
Ví dụ: Cho đường cong (C): y = x3 – x .
a.Viết phương trình tiếp với đường cong (C) tại điểm có hoành độ x0 = 2 .
b.Viết phương trình tiếp với đường cong (C) tại giao điểm của (C) với trục
hoành
c.Viết phương trình tiếp với đường cong (C) tại điểm có tung độ y0 = -6

Giải:
+ TXĐ: D = R .
+ y’ = 3x2 – 1


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO
HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI:
/>
a.Ta có
+ x0 = 2 => y0= 6.
Tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến và (C) là M(2;6).
+ y’(2) = 11
Phương trình tiếp tuyến tại M(2;6) là:
y = y’(2) ( x – 2 ) + 6
= 11 ( x – 2 ) + 6
hay: y = 11x – 16 .
CASIO Tính y’(2) :
NHẬP: qy máy sẽ hiện: Y
Khi đó ta nhập:

d
X3  X
 11

dx
X 2

Vậy Phương trình tiếp tuyến tại M(2;6) là:

y = 11 ( x – 2 ) + 6= 11x – 16
b.Phương trình hoành độ giao điểm của(C) với trục hoành:
x  0
x3 – x  0  
 x  1

Do đó (C) cắt trục hoành tại ba điểm A( 0;0 ), B(1;0 ), C(-1;0) .
* Tại điểm A(0;0) có y’(0) = -1.
Nên phương trình tiếp với (C) tại A(0;0) là: y = y’(0)( x – 0 ) + 0 = -x
Tương tự :
Phương trình tiếp với (C) tại B(1;0) là: y = 2x -2 .
Phương trình tiếp với (C) tại C(-1;0) là: y = 2x +2 .
c. Ta có:


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO
HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI:
/>
y0 = -6 => 6  x3  x  x3  x  6  0  x  2
Tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến và (C) là N(-2;-6).
Phương trình tiếp tuyến tại N(-2;-6) là:
y = y’(-2) ( x + 2 ) - 6
= 11 ( x +2 ) - 6
hay: y = 11x +16 .
2. Dạng toán 2:
Viết phương trình tiếp với đường cong (C): y= f(x) khi biết:
+) hệ số góc của tiếp tuyến
+) tiếp tuyến song song hay vuông góc với một đường thẳng nào đó.

* Phương pháp:


Tìm hệ số góc k của tiếp tuyến (nếu giả thiết chưa cho).



Gọi (x0;y0) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến và (C).
Khi đó: y’(x0) = k (1)



Giải phương trình (1) tìm x0 ; y0.



Thay vào phương trình y = y’(x0)( x – x0) + y0.

Chú ý:
d : y  kx  b
d / / d   k  k 

d ' : y  k ' x  b '  d  d   k .k   1

Cho 

Ví dụ: Cho hàm số y 

x3
(C). Viết phương trình tiếp với (C) trong các trường

x 1

hợp sau :
a.Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -x + 3.
b.Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 4x + 10 .


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO
HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI:
/>
Giải :
+ TXĐ: D = R\{1}.
+ y' 

 x  1   x  3  4
2
2
 x  1
 x  1

Gọi (x0;y0) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến và (C).
a. Theo giả thiết, tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -x + 3 nên có hệ số
góc k = -1
Khi đó:
k  y’  x0   1 

4


 x0  1

 1   x0  1  4
2

2

 x0  1  2
 x0  3


 x0  1  2
 x0  1

Với x0= 3=> y0 = 3. Ta có phương trình tiếp tuyến: y = -1( x -3)+3
hay: y = -x + 6 .
Với x0= -1=> y0 = -1. Ta có phương trình tiếp tuyến: y= -1( x +1)-1
hay: y = -x -3.
b. Theo giả thiết, tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = 4x + 10
nên hệ số góc k của tiếp tuyến thỏa mãn: k.4  1  k 

1
4

Khi đó:
k  y’  x0  

1
4
1

2


  x0  1  16
2
4
 x0  1 4

 x0  1  4
 x0  5


 x0  1  4
 x0  3

Với x0= 5 => y0 = 2. Ta có phương trình tiếp tuyến: y =

1
( x - 5)+2
4


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO
HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI:
/>
hay: y =
Với x0= -3 => y0 = 0. Ta có phương trình tiếp tuyến: y =


1
13
x+
4
4
1
( x + 3)
4

hay: y =

1
3
x .
4
4

3. Bài toán 3
Viết phương trình tiếp với đường cong (C) : y = f (x) biết tiếp tuyến ĐI QUA
(kẻ từ, xuất phát từ,…) điểm A(xA; yA ), CHÚ Ý: có thể ( A  (C) hoặc A  (C) ) .
Phương pháp giải :
+) Gọi d là đường thẳng đi qua A(xA; yA ) có hệ số góc k.
Khi đó, d: y = k(x – xA ) + yA

(*)

+) d là tiếp tuyến của (C) khi đó d tiếp xúc (C) tại 1 điểm thì hệ sau có nghiệm:
 f  x   k .  x  x A   y A

 f '  x   k


+ Giải hệ trên ta tìm được x, có x thế vào (2) tìm được k.
+ Thế k vào (*) ta được phương trình tiếp tuyến d cần tìm .

Chú ý :
- Điểm A(xA; yA ) có thể thuộc (C) hoặc không thuộc (C) đều phải giải theo dạng
toán 3.
Nhiều em lầm tưởng dạng toán 3 là dạng toán 1 nên giải theo dạng toán 1.
Như vậy, dẫn đến kết quả không đầy đủ.
- Cần phân biệt:
Dạng toán 1 yêu cầu viết phương trình tiếp tại điểm M0 (C) nghĩa là M0 là tiếp
điểm. Còn bài toán 2 yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến đi qua điểm A(x A; yA )
không cần phải biết A có là tiếp điểm hay không.


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO
HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI:
/>
Bài toán sau minh chứng cho điều nói trên .
Ví dụ:
Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = -x3 – 3x2 + 4, biết tiếp tuyến qua
P(1;0).
Giải :
+ TXĐ: D = R.
+ y’ = -3x2 – 6x.
Gọi d là đường thẳng đi qua P(1;0 ) có hệ số góc k
Khi đó d có phương trình: y = k ( x – 1 ) + 0
d là tiếp tuyến của (C) thì hệ sau có nghiệm:

 x3 – 3 x 2  4  k  x –1 +0

2
3 x – 6 x  k

(1)
(2)

Thế (2) vào (1) ta được:
x  1
2 x3  6 x  4  0  
 x  2


Với x = 1 thế vào (2) => k = -9. Ta có phương trình tiếp tuyến: y = -9x + 9 .



Với x = -2 thế vào (2) => k = 0. Ta có phương trình tiếp tuyến: y = 0 .

4 . Bài toán 4
SỐ LƯỢNG TIẾP TUYẾN QUA MỘT ĐIỂM
+) Với hàm số bậc 3 và phân thức:
Thì số tiếp điểm là số tiếp tuyến
+) Với hàm trùng phương (y=ax4+bx2+c):
Thì số hệ số góc là số tiếp tuyến.
Chú ý: một hệ số góc có thể có nhiều tiếp điểm.
BÀI TẬP VÍ DỤ:



CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO
HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI:
/>
Cho (C): y = x3 - 12x + 12
Tìm trên đường thẳng y = - 4 các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C).
GIẢI
Ta có : y’= 3x2-12
Lấy M  y  4  M  m; 4 
Đường thẳng ĐI QUA M có hệ số góc k là:
y  k  x  m  4

Đường thẳng là tiếp tuyến của (C ) khi hệ sau có nghiệm: ( quay về dạng 3 viết pt
tiếp tuyến đi qua 1 điểm)
 x 3  12 x  12  k  x  m   4
 2
3 x  12  k

(1)
(2)

Thế (2) vào (1) suy ra:
x3  12 x  12  (3x 2  12)  x  m   4
 2 x3  3mx 2  12m  16  0

(*)

Vì số tiếp điểm là số tiếp tuyến nên để kẻ được 3 tiếp tuyến với (C ) thì pt (*) phải
có 3 nghiệm x phân biệt.

Ta có:
2 x3  3mx 2  12m  16  0   x  2   2 x 2   4  3m  x  8  6m   0
x  2
 2
 2 x   4  3m  x  8  6m  0

(**)

Để (*) có 3 nghiệm phân biệt thì (**) phải có 2 nghiệm phân biệt x  2 khi đó:
  m  4
 m  4
2
  0    4  3m   4.2.  8  6m   0



   m  4 3   m  4 3
 2

 f (2)  0 2.2   4  3m  .2  8  6m  0
m  2

 m  2

Chú ý: m là hoành độ điểm M mà ta đã đặt ban đầu.


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO

HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI:
/>
Kết luận:
Vậy tất cả các điểm thuộc đường y = - 4 mà có hoành độ là m thỏa mãn:
 m  4

 m  4 3 thì kẻ được 3 tiếp tuyến từ điểm đó đến (C)
 m  2

VÍ DỤ 2:
Tìm trên đường thẳng y = 2 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C): y 

3x  4
4x  3

GIẢI
Ta có : y’ 

25

 4 x  3

2

Lấy M  y  2  M  m; 2 
Đường thẳng ĐI QUA M có hệ số góc k là:
y  k  x  m  2

Đường thẳng là tiếp tuyến của (C ) khi hệ sau có nghiệm: ( quay về dạng 3 viết pt
tiếp tuyến đi qua 1 điểm)

 3x  4
 4x  3  k  x  m  2

 25

k
2
  4 x  3

Thế (2) vào (1) suy ra:

(1)
(2)


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO
HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI:
/>
3x  4
25

 x  m  2
4 x  3  4 x  32
 3x  4  4 x  3  25 x  25m  2  4 x  32


3
x 


4
4 x 2  16 x  5m  6  0


3
x 

4

(*)

Vì số tiếp điểm là số tiếp tuyến nên để kẻ được tiếp tuyến với (C ) thì pt (*) phải có
nghiệm x 

3
4

TH1: pt (*) có nghiệm kép x 

3
4

 '  82  4.  5m  6   0
 '  0
m  2






3
3
3
 x1  x2  4
 x1  x2 
 x1  x2  2  4

4

TH2:
Pt (*) có 2 nghiệm phân biệt ( khi đó chắc chắn có ít nhất 1 nghiệm khác 3/4)
 '  0  m  2

Vậy tất cả các điểm thuộc đường y = 2 mà có hoành độ là m thỏa mãn:
m  2 thì kẻ được tiếp tuyến từ điểm đó đến (C)

II. MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN:
1. Bài 1: Cho hàm số (C) : y = x3 – 3x2 + 2 .
a. Qua điểm A(1;0) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến đến đồ thị (C).
Hãy lập phương trình các tiếp tuyến ấy .
b. CMR không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị song song với tiếp tuyến đi qua
A(1;0) của đồ thị .


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO
HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI:
/>

Giải :
+ TXĐ: D = R .
a. Đường thẳng (d) qua A(1;0) có hệ số góc k có phương trình: y = k(x – 1) .
(d) tiếp xúc (C) hệ sau có nghiệm :
 x 3 – 3 x 2 2  k  x –1
 2
(3 x – 6 x)  k

(1)
(2)

Thế (2) vào (1) ta được:
x3- 3x2 +2 = (3x2 – 6x)(x-1) <=> 2x3 - 6x2 + 6x – 2 = 0 x = 1, thế vào (2) ta
được k = -3 .
Vậy qua A tồn tại duy nhất một tiếp tuyến (d) tới đồ thị (C).
Phương trình tiếp tuyến của (d) là: y = -3x + 3 .
b. Giả sử trái lại, tồn tại điểm B khác A có hoành độ x0  (C) sao cho tiếp tiếp
tuyến tại B song song với (d): y = -3x + 3 .
Khi đó x0 là nghiệm khác 1 của phương trình:
y’(x0) = -3  3x02 – 6 x0  3  x02 – 2 x0  1  0  x0  1 (loại)
Vậy không có tiếp tuyến nào khác của đồ thị song song với tiếp tuyến đi qua A
của đồ thị.
2 Bài 2 : Cho đường cong (C) : y = -x3 + 3x2 +2x + 3 .
Tìm trên (C) những điểm mà tại đó tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất .
Giải :
Gọi M0(x0 ; y0) là tiếp điểm
+ TXĐ: D = R .
+ y’ = 3x2 + 6x + 2 .
Ta có hệ số góc của tiếp tuyến là: y’  x0   3x0 2  6 x0  2
Đặt: g ( x)  3x02  6 x0  2



CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO
HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI:
/>
g’(x0) = - 6x0 +6
Cho g’(x0) = 0 => 6x0 + 6 = 0 => x0 = -1; y0 = 3
Bảng biến thiên:

x0

-∞

g’(x0)

+∞

-1
-

0

+

+∞

+∞


g(x0)
-1
Vậy hệ số góc tiếp tuyến nhỏ nhất là: -1 tại M(-1; 3).
Kết luận: M( -1; 3) là điểm mà tại đó tiếp tuyến với (C) có hệ số góc nhỏ nhất.
III. MỘT SỐ BÀI TẬP THAM KHẢO .
Bài 1. Cho hàm số y  2 x3  3x 2  9 x  4 (1)
Viết phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (1) với :
a) Đường thẳng y= 7x + 4 .
b) Parabol y= - x2 + 8x - 3 .
c) Đường cong (C): y  x3  4 x 2  6 x  7
Bài 2. Cho hàm số : y  x3  3x 2  mx  1. , có đồ thị là (Cm) .
a) Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1) ; D; E.
b) Tìm m để các tiếp tuyến tại D và E vuông góc với nhau.
Bài 3:
1
2

Cho (C ) : y  x 4  3x 2  3 2
Viết pt tiếp tuyến qua A(0;3/2) đến (C)
Bài 4:


CHIA SẺ TÀI LIỆU MIỄN PHÍ CHO HỌC SINH TỪ MẤT GỐC ĐẠT 8-9 ĐIỂM
TRẦN HOÀI THANH
FB.COM/TRANHOAITHANHVICKO
HỌC ONLINE CASIO FREE TẠI:
/>
Tìm trên đường thẳng x = 3 các điểm kẻ được tiếp tuyến đến (C): y 

2x 1

x2