Việc giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình, bằng các
phương pháp như: Biến đổi tương đương, đặt ẩn phụ, lượng giác hóa, hình học, khá quen thuộc đối với các
bạn chuẩn bị thi vào đại học. Tuy nhiên đối mặt với một bài toán dạng này các bạn ít nhiều còn lúng túng, chưa
tìm được lời giải hoặc xác định được đường lối nhưng lại không đưa ra được kết quả cuối cùng!
Trong phạm vi bài giảng này tôi muốn bàn về một phương pháp để giải quyết các bài toán về phương trình,
bất phương trình, hệ phương trình và hệ bất phương trình, khi mà các phương pháp nêu trên gặp khó khăn
hoặc bế tắc! Đó là "Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số".
Tính chất 1: Giả sử hàm số liên tục và đơn điệu trên tập thì phương trình có nhiều nhất một
nghiệm thuộc .
Tính chất 2: Nếu phương trình có một nghiệm trên tập thì phương trình có nhiều
nhất hai nghiệm trên .
Ứng dụng của đạo hàm
Tính chất 3: Nếu liên tục, đồng biến trên và liên tục, nghịch biến (hoặc hàm hằng) trên thì
phương trình có nhiều nhất một nghiệm trên .
Tính chất 4: Nếu hàm số liên tục và đơn điệu trên thì với ta có: .
Tính chất 5: Nếu đơn điệu trên thì là nghiệm của hệ phương trình:
Tính chất 6: đồng biến trên thì
nghịch biến trên thì với mọi .
Chỉ cần nắm được định nghĩa về hàm số đồng biến, nghịch biến các bạn dễ dàng suy ra tính chất 1, 2, 3, 4
và 6. Riêng tính chất 5 SGK không đề cập, do đó mỗi khi sử dụng kết quả này các bạn phải chứng minh lại. Tôi
sẽ nói chi tiết hơn và đồng thời chứng minh tính chất này trong Ví dụ 2.2 của Vấn đề 2!
Vấn đề 1. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình
Ví dụ 1.1. Giải các phương trình sau:
a)
b)
Nhận định: Đối với câu 1, có thể bạn nghĩ đến việc biến đổi tương đương hoặc sẽ bình phương, tuy nhiên

bạn sẽ gặp khó trong biến đổi. Câu 2, các phương pháp "truyền thống" không khả thi.
Nếu bạn chịu khó quan sát và chuyển vế đơn giản thì vế trái đều là những hàm số đồng biến (trên một tập
nào đó). Lúc này, sử dụng tính đơn điệu để giải quyết bài toán đã nảy ra trong đầu bạn. Vấn đề còn lại là đoán
nghiệm! Công việc này không khó, nhưng nếu bạn cứ thử từng số thì sẽ mất thời gian. Hãy ưu tiên những giá trị
của sao cho các biểu thức dưới dấu căn nhận giá trị là số chính phương!
Lời giải.
a) Điều kiện:
Phương trình đã cho
Xét hàm số trên . Ta thấy rằng:
+ Hàm số liên tục trên
+ Có đạo hàm với .
Do đó hàm đồng biến trên .
+
Kết luận: là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho. (Xem tính chất 1!)
b) Điều kiện:
Phương trình đã cho
Xét hàm số trên . Ta thấy rằng:
+ Hàm số liên tục trên
+ Có đạo hàm với .
Do đó hàm đồng biến trên .
+
Kết luận: là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Ví dụ 1.2. Giải phương trình:
Nhận định: Cũng với tư duy như trong Ví dụ 1.1 nhưng sẽ khó khẳng định được hàm số liên tục, đơn
điệu trên TXĐ của nó. Tuy nhiên, quan sát kỹ thì thấy các biểu thức dưới dấu căn ở 2 vế có chung một mối liên
hệ:
Do đó, nếu đặt và thì phương trình đã cho trở thành:
Đến đây, ta chỉ việc xét một hàm số có dạng và vận dụng tính chất 4, bài toán được giải
quyết!
Lời giải. Tập xác định:

Đặt và thì phương trình đã cho trở thành:
Xét hàm số trên . Ta thấy:
+ là hàm liên tục trên
+ Có đạo hàm trên nên là hàm đồng biến trên trên .
Do đó
$$f(u) = f(v) & \Leftrightarrow u = v$$
Kết luận: Nghiệm của phương trình là: và .
Bài tập
Bài tập 1.1. Giải các phương trình sau:
a)
b)
c)
d)
e)
Bài tập 1.2. Giải các phương trình sau:
a)
b)
Bài tập 1.3. Giải các phương trình sau:
a)
b)

Vấn đề 2. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình, hệ phương trình
Ví dụ 2.1. Giải các bất phương trình sau:
a)
b)
c)
Nhận định: Câu 1, bạn hoàn toàn có thể sử dụng phương pháp bình phương hoặc biến đổi tương đương để
giải. Tuy nhiên, tôi muốn hướng bạn đến việc sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải quyết, tuy nhiên đoán
được một nghiệm của phương trình này mất khá nhiều thời gian (bạn chú ý chọn những số sao cho biểu thức
dưới dấu căn là số chính phương).

Câu 2, có thể đặt ẩn phụ, nhưng biến đổi khá rối. Bài toán đơn giản nếu sử dụng tính đơn điệu của hàm số.
Câu 3, khá phức tạp và cũng có thể đặt ẩn phụ. Song nếu quan sát kỹ thì thấy có mối quan hệ tương tự như Ví
dụ 1.2.
Lời giải.
a) Điều kiện:
Bất phương trình đã cho tương đương với
Xét hàm số trên .
Ta có hàm số là hàm số liên tục và có đạo hàm
nên đồng biến trên .
Hơn nữa .
Do đó, miền nghiệm của bất phương trình đã cho phải thỏa mãn:
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là: .
b) Điều kiện:
Đặt .
Khi đó liên tục trên và có đạo hàm
nên nó nghịch biến trên .
Hơn nữa .
Do đó, tập nghiệm của phương trình phải thỏa mãn:
Kết luận: Tập nghiệm của bất phương trình là:
c) Điều kiện:
Bất phương trình đã cho tương đương:
Đặt và thì (1) thành hay .
Xét hàm số trên .
Khi đó là hàm liên tục trên và có đạo hàm trên nên hàm
đồng biến trên .
Vì tính đồng biến nên từ suy ra hay .
Kết hợp với điều kiện ta có:
Kết luận: Tập hợp nghiệm của bất phương trình là: .
Bài tập 2.1. Giải các bất phương trình sau:
a)

b)
c)
d)
Ví dụ 2.2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)
Nhận định: Hệ thứ nhất biến đổi và chọn xét một hàm số đặc trưng.
Hệ thứ hai có dạng hoán vị vòng quanh:
Giả sử và cùng đồng biến (hoặc cùng nghịch biến) trên miền thì khi đó, nếu là
nghiệm thì .
Lời giải.
a) Ta có
Xét hàm số với .
Khi đó là hàm sơ cấp nên liên tục trên TXĐ của nó, hơn nữa đạo hàm
nên tăng trên
Do đó
Hệ đã cho tương đương với hệ:
Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất:
b) Xét hàm số đặc trưng .
Khi đó hệ đã cho trở thành:
Và có: với mọi
Vậy là hàm số đồng biến trên
(Chứng minh tính chất 5 bắt đầu từ đoạn này!)
Giải sử là một nghiệm của hệ vậy thì chúng phải thỏa mãn hệ (*)!
Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử .
Vậy .
(Kết thúc chứng minh tính chất 5)
Thay vào hệ đã cho, ta có:
Kết luận: Hệ có nghiệm duy nhất là:
Chú ý: Khi thay trở lại hệ ta thu được một phương trình bậc 3 với ẩn và việc giải phương trình đó

khá dễ dàng. Tuy nhiên, khi giải phương trình này gặp khó khăn thì các bạn nhớ đặt hàm, khảo sát, đoán
nghiệm và khẳng định phương trình có nghiệm duy nhất như đã trình bày ở Vấn đề 1.
Các bạn có thể xem Bài tập 2.2 câu d)!
Bài tập 2.2. Giải các hệ phương trình sau:
a)
b)
ì à à ă ê
c)
d)
e) (D-2006). Chứng minh rằng với mọi hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất


Vấn đề 3. Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để chứng minh bất đẳng thức

I.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
Như các bạn đã biết ,tính đơn điệu của hàm số phụ thuộc vào đạo hàm của hàm số đó.Dùng đạo hàm,ta có thể
xét được tính đồng biến và nghịch biến của 1 hàm số trên 1 miền nào đó,do đó chúng có thể ứng dụng để chứng
minh khá nhiều Bất đẳng thức(BĐT).Ta xét phương pháp cụ thể như sau:
Xét hàm số trên đoạn .
* Nếu hàm số đồng biến trên .Suy ra:
* Nếu hàm số nghịch biến trên .Suy ra:
Lưu ý: Khi ta sử dụng điều kiện hay thì ta phải đảm bảo
phương trình chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm,tức là phương trình này chỉ có hữu hạn nghiệm mà
thôi.Lưu ý trên đặc biệt quan trọng khi ta xét đến các hàm số lượng giác.Điều này cũng dễ hiểu bởi khi ta đề
cập đến “nghiệm” của 1 phương trình lượng giác,ta chỉ sử dụng khái niệm “tập nghiệm” để biểu diễn các giá trị
thỏa mãn phương trình lượng giác cho trước.Nói một cách nôm na,phương trình lượng giác luôn có vô hạn
nghiệm.Do đó khi ta muốn chứng minh các BĐT liên quan đến các hàm lượng giác phức tạp,ta phải sử dụng
đến phương pháp đại số hóa,vấn đề đó sẽ được trình bày trong chuyên đề lượng giác.



II.VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP:
Ví dụ 3.1: Cho $0<x<\frac{\pi}{2}$. Chứng minh
1.
2.

Định hướng giải: Với các hàm số đơn giản như ví dụ trên thì ta nên đưa BĐT về dạng hay $f(x)

Lời giải:
Xét hàm số
Đạo hàm:
Hàm số nghịch biến trên . Nên:
Bài dưới làm tương tự.

Lưu ý: Đôi khi ta không thể kết luận ngay được hay ,ví dụ như
hàm số: ta có
,rõ ràng là ta không thể xác định được dấu của trên khoảng .Khi ta
gặp phải các dạng bài như thế này,ta phải sử dụng thủ thuật lien tiếp đạo hàm để hạ bậc dần dần của hàm số
ẩn x.Ta sẽ xem xét điều này trong ví dụ sau đây:

Ví dụ 3.2: Chứng minh rằng:
Lời giải:
Xét hàm số
Đạo hàm:
$$f'(x)=1-\frac{x^2}{2}-\cos{x}; f''(x)=\sin{x}-x$$.
Ta đã chứng minh trong ví dụ 1 BĐT: nên ta có nghịch biến trên .Suy ra:
nghịch biến trên .
Suy ra:

Nếu bạn nào đã từng tìm hiểu sâu về BĐT này thì có thể thấy ngay nó chỉ là hệ quả của định nghĩa chuỗi cho
:



Ví dụ 3.3: Chứng minh rằng trong mọi tam giác nhọn ABC ta đều có:


Định hướng giải: Ta phải để ý đến giả thuyết là 3 góc tam giác nên ta có thể thay
,như vậy cả 2 vế của BĐT đều xuất hiện các số hạng chứa A,B,C, nên ta có thể nhóm BĐT về
dạng sau: với
. Ta sẽ chứng minh: .

Lời giải: Do tam giác ABC nhọn nên .
Xét hàm số $f(x)=2\sin{x}+\tan{x}-3x \left(0<x
Đạo hàm:
.
Do $0

Vậy : đồng biến trên

.Như vậy:

Lưu ý: Trong lời giải trên,để chứng minh ,ta đã sử dụng đến BĐT Cauchy 3
số.Như vậy,ta có thể thấy không phải lúc nào ta cũng chỉ có thể dựa vào tính đơn điệu của hàm số để chứng
minh BĐT mà còn phải dựa trên các BĐT khác như :BĐT Cauchy;BĐT BCS;….Ta đi đến 1 ví dụ minh họa:


Ví dụ 3.4: Chứng minh rằng với

Định hướng giải: Nếu ta trực tiếp khảo sát hàm số

Thì ta không thể nào nhận xét được dấu của ,hon nua ta áp dụng thủ thuật đạo hàm lien tiếp thì cũng

không giúp ta đi đến đâu.Vậy ta phải làm sao ?
Bây giờ ta để ý thấy rằng các số hạng của 2 vế BĐT đều có chung 1 cơ số 2,do đó ta sẽ nghĩ ngay đến đưa
BĐT này về dạng bất phương trình mũ.Nhưng phải làm sao để có thể gộp 2 số mũ lại với nhau ?
Ta nhớ đến công thức :
.Như vậy chỉ cần ta có thể “biến” tổng 2 số hạng bên vế trái(VT) của BĐT về dạng tích
thì ta đã có thể giải quyết bài toán,ta phải làm gì để giải quyết điều này ?May thay BĐT Cauchy sẽ giúp ta vượt
qua vấn đề đó.

Lời giải:
Sử dụng BĐT Cauchy 2 số,ta có:

Như vậy ta chỉ cần chứng minh:

BĐT này đã được chứng minh trong ví dụ 3 nên ta giải quyết xong bài toán.


Ví dụ 3.5. Chứng minh rằng: (1), với mọi
Lời giải. (1) .
Đặt , ta sẽ chứng minh hàm số , với
Ta có: là hàm liên tục trên và
$$f'(x) &= 2x - \frac{2}{x} = \frac{2(x^2- 1)}{x}$$
trên .
Lập bảng biến thiên của hàm trên như sau:


Từ bảng biến thiên suy ra


Ví dụ 3.6. Chứng minh rằng với mọi số thực , ta đều có:
Lời giải. Với , bất đẳng thức (1) tương đương với:

Xét hàm số trên
Ta thấy hàm liên tục trên và có:
$$f'(x) &= \frac{1}{x} - x^{ - \frac{1}{2}} + \frac{1}{2}(x - 1){x^{ - \frac{3}{2}}}= \frac{2\sqrt x - x - 1}{2x\sqrt x }: =
\frac{g(x)}{2x\sqrt x }$$
Dấu của là dấu của với , với
Hàm số liên tục trên và có .
Do đó hàm nghịch biến trên và suy ra
Từ đó ta có nên hàm số nghịch biến trên và
Vậy:


Ví dụ 3.7. Chứng minh rằng với mọi , ta đều có:
Lời giải. Xét hàm số trên khoảng
Ta có với mọi
Do đó hàm số đồng biến trên khoảng
Từ đó suy ra với mọi
tức là với mọi
Mặt khác ta có
\begin{align*}
\frac{{\left| a \right| + \left| b \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right|}} &= \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right| +
\left| b \right|}} + \frac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| a \right| + \left| b \right|}}\\
& \leqslant \frac{{\left| a \right|}}{{1 + \left| a \right|}} + \frac{{\left| b \right|}}{{1 + \left| b \right|}} \quad (2)
\end{align*}
Từ (1) và (2) ta có


Ví dụ 3.8. Cho hai số thực sao cho $0<a<b
Nhận định: Nếu sử dụng tính đơn điệu để giải thì bạn phải xác định cho được hàm số cần xét là hàm nào? Ở
đây để ý rằng cho nên và , do đó có thể biến đổi bất đẳng thức đã cho
để chứng minh bất đẳng thức dạng:

Lời giải.
Do nên và . Vậy
Xét hàm số thì bài toán trở thành:
"Cho sao cho . Hãy chứng minh rằng: ".
Như vậy theo định nghĩa của tính đơn điệu của hàm số ta chỉ cần chứng minh đồng biến trên .
Thật vậy, ta có:
Dấu của là dấu của hàm trên . Ta lại có:
Do đó đồng biến và .
Vậy tức là đồng biến trên .


Ví dụ 3.9. Chứng minh rằng nếu thì:

Lời giải.
Do nên đều là các số dương. Áp dụng BĐT Cauchy ta có:
Khi đó BĐT đã cho trở thành: . Hay
Đặt và xét hàm số trên
Như vậy để chứng minh BĐT đã cho ta chỉ cần chỉ ra rằng:
Thật vậy, ta có
Ta sẽ đánh giá sau:
Theo BĐT Cauchy thì
bởi vậy
Vậy, hàm số đồng biến trên
Suy ra với thì .


Bài tập tự luyện:
Bài tập 3.1. Chứng minh rằng:
a) với mọi
b) với mọi

Bài tập 3.2. Chứng minh:
Bài tập 3.3. Chứng minh:
Bài tập 3.4. Chứng minh:
ớ ọ
ớ ọ
Bài tập 3.5. (D-2007). Chứng minh:


Vấn đề 4. Ứng dụng tính đơn điệu để biện luận phương trình và bất phương trình
Bài toán về biện luận số nghiệm, có nghiệm trên một tập hợp cho trước là bài toán mà hầu như trong đề thi
năm nào cũng có. Ngoài việc yêu cầu học sinh nắm vững các kiến thức cơ sở, bài toán còn đòi hỏi óc tư duy,
sáng tạo. Đối với dạng toán này cũng có nhiều phương án giải quyết, trong đó phương án sử dụng tính đơn điệu
của hàm số sẽ cho ta lời giải ngắn gọn, độc đáo và được đánh giá rất cao!
Ví dụ 4.1. Cho hàm số
a) Tìm để phương trình: có nghiệm
b) Tìm để bất phương trình: nghiệm đúng
c) Tìm để bất phương trình: có nghiệm
Nhận định: Một cách rất tự nhiên, khi biện luận phương trình hoặc bất phương trình có chứa tham số thì việc
đầu tiên cần làm là cố gắng đưa tham số về một vế độc lập. Sau đó sử dụng các tính chất đơn điệu của hàm số
mà bạn đã biết. Để tiện đối sánh, tôi xin nhắc lại một số "hằng đẳng thức" sau:
a) Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với đồ thị
b) Nghiệm của bất phương trình là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị nằm
ở phía trên so với phần đồ thị
c) Nghiệm của bất phương trình là phần hoành độ tương ứng với phần đồ thị nằm
ở phía dưới so với phần đồ thị
d) Nghiệm của phương trình là hoành độ giao điểm của đường thẳng với đồ thị
e) Bất phương trình đúng với
f) Bất phương trình đúng với
g) Bất phương trình có nghiệm
h) Bất phương trình có nghiệm



Lời giải.
a) Biến đổi phương trình sao cho tham số nằm về một vế độc lập:
ớ ọ
Đặt
Để có nghiệm thì phải lớn hơn hoặc bằng GTNN và nhỏ hơn hoặc bằng GTLN của hàm
trên đoạn (Xem "hằng đẳng thức" (d) và hình 1), tức là:
Bây giờ xét hàm trên tương tự như ở vấn đề 1, cụ thể như sau:
Vì là hàm liên tục trên , có đạo hàm
nên là hàm nghịch biến trên .
Do đó,
$$ \mathop {min }\limits_{x \in [1;2]} g(x) = g(2) = \frac{3}{8}\\ \mathop {Max}\limits_{x \in [1;2]} g(x) = g(1) = 1$$
Kết luận: Giá trị thỏa mãn bài toán là:
b) Với , ta có:
$$f(x) \leqslant 0 \Leftrightarrow m{x^2} + 2mx - 3 \leqslant 0\\ \Leftrightarrow m(x^2+2x) \leqslant
3\\ \Leftrightarrow g(x):= \frac{3}{x^2+2x} \geqslant m,\forall x \in [1;4]$$
Để nghiệm đúng với mọi thì , điều này có được khi
(xem (e) và hình 1)
Vì hàm liên tục và có đạo hàm trên đoạn [1;4] nên là hàm nghịch
biến trên .
Do đó
Kết luận: Giá trị thỏa mãn bài toán là:
b) Với , ta có:
$$ f(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow m({x^2+2x}) \geqslant 3 \Leftrightarrow m \geqslant \frac{3}{x^2+ 2x} \ \ (1) $$
Đặt và xét hàm số (2)
Ở đây ta gặp chút rắc rối là đoạn chứa điểm "đặc biệt" mà làm cho không xác định là điểm
. Kỹ thuật là ta sẽ tách ra làm hai đoạn và đi xét riêng điểm . Cụ thể:
Xét các khả năng sau:
Nếu , thay trực tiếp vào (1), bất phương trình trở thành . Vô nghiệm!

Nếu thì
$$\text{bất phương trình đã cho } \Leftrightarrow g(x) \leqslant m \text{ có nghiệm } x \in (0;3] \Leftrightarrow
\mathop {min}\limits_{x \in (0;3]} g(x) \leqslant m $$
Do nghịch biến trên nên
Nếu thì nên
$$ \text{bất phương trình đã cho }\Leftrightarrow g(x) \geqslant m \text{ có nghiệm }x \in [-1;0)\\ \Leftrightarrow
\mathop {Max}\limits_{x \in [-1;0)} g(x) \geqslant m $$
Do nghịch biến trên nên .
Kết hợp các trường hợp ta đi đến kết luận:

Ví dụ sau đây tương tự như câu 1 của Ví dụ 4.2, cung cấp cho các bạn một kỹ thuật khi gặp khó khăn trong
việc khẳng định tính đơn điệu của một hàm số bằng công cụ đạo hàm.
Ví dụ 4.2. Tìm để pt: có nghiệm.

Lời giải.
Điều kiện:
Biến đổi phương trình đã cho và đặt hàm như sau:
Việc tính đạo hàm là khá phức tạp, tuy nhiên ta dễ suy ra và là hàm tăng trên TXĐ, còn
và là hàm giảm (tức là và là hàm tăng) trên TXĐ.
Suy ra là một hàm số tăng trên đoạn .
Như vậy:
có nghiệm
Kết luận:
Ví dụ 4.3. Tìm để phương trình có nghiệm thực.
Lời giải.
Điều kiện:
Biến đổi phương trình (1) và xét hàm như sau:
ó ệ
Có thể đặt ẩn phụ thì , với .
Khi đó (2) trở thành: .

Đó là một hàm số bậc hai, việc khảo sát không có gì khó khăn!\par
Ta có .
Lập bảng biến thiên cho hàm như sau:


Nhìn vào bảng biến thiên dễ dàng suy ra giá trị của cần tìm là: .
Ghi chú:
a) Đối với ẩn phụ ở trên, các bạn buộc phải tìm miền giá trị của nó, chớ có để sót bước này.
b)Bài toán này ở đề thi khối A-2007 và còn một số cách giải khác, các bạn tự tìm hiểu thêm!


Ví dụ 4.4. Tìm để bất phương trình:
Lời giải.
Đặt thì (1) trở thành:
$$mt^2+ 4(m-1)t+m-1 > 0 \Leftrightarrow m(t^2+ 4t + 1) > 4t + 1\\ \Leftrightarrow \frac{4t + 1}{t^2 + 4t + 1} <
m$$
Đặt với .
Khi đó (1) đúng với khi và chỉ khi $g(t)
Dễ thấy là hàm nghịch biến trên , theo "hằng đẳng thức" (f) thì
Kết luận:
đú
ê ầ ủ à á
Ví dụ 4.5. Tìm để hệ phương trình sau có nghiệm: $\left\{ \begin{gathered} x+\frac{1}{x}+y+ \frac{1}{y}=5 \\
x^3+ \frac{1}{x^3}+y^3+ \frac{1}{y^3} = 15m-10 \\ \end{gathered} \right. \quad \,(1)$
Nhận định: Đây là hệ đối xứng loại I, nếu đề bài yêu cầu giải hệ thì bài toán đơn giản, song ở đây xuất hiện
và yêu cầu tìm giá trị để hệ có nghiệm. Nhiều bạn sẽ chọn cách đặt ẩn phụ và cố gắng biến đổi sao cho
sử dụng được Định lý Viète rồi biện luận theo .
Lời giải sau cũng đi theo hướng đó nhưng bước cuối cùng lại rẽ sang hướng khác!



Lời giải.
Đặt và .
Khi đó:
Tương tự ta cũng tìm được:
Ta lại có:
$$ x^3+ \frac{1}{x^3} = {(x + \frac{1}{x})^3} - 3x^2.\frac{1}{x} - 3x.({\frac{1}{x}})^2$$
$$ = {({x + \frac{1}{x}})^3} - 3( {x + \frac{1}{x}})\\ = {u^3} - 3u$$
Tương tự,
Thay vào hệ (1):
\[\left\{ \begin{gathered} u + v = 5 \\ {u^3} + {v^3} - 3\left( {u + v} \right) = 15m - 10 \\ \end{gathered} \right.
\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} u + v = 5 \\ uv = 8 - m \\\end{gathered} \right.\]
Suy ra phải là nghiệm của phương trình bậc hai
Như vậy, hệ phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi phương trình
có hai nghiệm sao cho và .
Bây giờ công việc còn lại là khảo sát hàm số trên tập .
Ta sẽ nhìn thấy kết quả của việc khảo sát hàm qua bảng biến thiên sau:

Kết luận: Hệ (1) có nghiệm hoặc .


Bài tập 4.1. Tìm để bất phương trình: nghiệm đúng

Bài tập 4.2. Tìm để bất phương trình: có nghiệm.

Bài tập 4.3. Tìm để bất phương trình: nghiệm đúng

Bài tập 4.4. Tìm để bất phương trình: đúng
.

Bài tập 4.5. Tìm để phương trình: có nghiệm.


Bài tập 4.6. Chứng minh rằng: Với mọi phương trình luôn có đúng hai
nghiệm phân biệt.

Bài tập 4.7. Tìm để phương trình: có đúng hai nghiệm thực
phân biệt.

Bài tập 4.8. Tìm để bất phương trình: đúng với

Bài tập 4.9.(A-2002). Tìm để phương trình: có ít nhất một nghiệm
thuộc đoạn


Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn
Từ định nghĩa đạo hàm ta thấy có thể
sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn của hàm số. Cụ thể
Để tính: biết
Ta viết Khi đó nếu có đạo hàm tại thì:
A=
Để tính: biết
Ta viết và
Nếu hai hàm số có đạo hàm tại và thì:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:




Lời giải:
Đặt và
Đặt

và
Đặt
Đặt
Ví dụ 2: Tìm các giới hạn sau:



Lời giải:
Đặt
và
Khi đó
Đặt
và
Khi đó:
Đặt và
Khi đó:
Trong một số trường hợp ta chưa thể sử dụng trực tiếp được mà phải thực hiện
một số phép biến đổi hoặc đặt ẩn phụ rồi mới áp dụng được dạng trên.
Ví dụ 3: Tìm giới hạn
Lời giải:
Ta có:
Mà
Đặt
Vậy .
Bài tập:
Tìm các giới hạn sau:





\