WWW.ToanCapBa.Net
ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM
Biên soạn: Bùi Văn Ngọc, giáo viên THPT chuyên Chu Văn An.
Trong nội dung chương trình môn Toán lớp 12 THPT, đạo hàm và ứng dụng của
đạo hàm có vai trò rất quan trọng nó chiếm một khối lượng lớn kiến thức và thời gian
học của chương trình, nó có mặt ở hầu hết các đề thi tốt nghiệp và đề thi tuyển sinh vào
Đại học, Cao đẳng. Vì vậy việc sử dụng đạo hàm thuần thục để giải toán là điều cần
thiết đối với HS lớp 12 trung học phổ thông. Bài viết này nhằm giới thiệu một số dạng
toán cơ bản về ứng dụng của đạo hàm.
A. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTNN, GTLN CỦA HÀM SỐ
1. Các kiến thức cơ bản
Định nghĩa GTNN, GTLN của hàm số
Cho hàm số y=f(x) xác định trên miền D
Số M gọi là GTLN của hàm số y=f(x) trên D nếu :
0 0
f (x) M, x D
x D,f(x ) M
≤ ∀ ∈


∃ ∈ =

Số m gọi là GTNN của hàm số y=f(x) trên D nếu :
0 0
f (x) m, x D
x D,f(x ) m
≥ ∀ ∈


∃ ∈ =


2. Các kĩ năng cơ bản
Kĩ năng tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) trên một khoảng, một đoạn
Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) liên tục trên khoảng (a;b)
- Tính đạo hàm f’(x).
- Tìm các nghiệm
1
x
,
2
x
, …,
n
x
của f’(x) trên (a;b).
- Lập bảng biến thiên của f(x) trên (a,b).
Căn cứ vào bảng biến thiên suy ra GTLN, GTNN của f(x) trên (a;b)
Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=f(x) liên tục trên [a;b]
- Tính đạo hàm f’(x).
- Tìm các nghiệm
1
x
,
2
x
, …,
n
x
của f’(x) trên [a;b].
- Tính
f (a)

,
f (b)
,
1
f (x )
, …,
n
f (x )
.
Chọn số M lớn nhất trong n+2 số trên
⇒
x [a;b]
M maxf (x)
∈
=
.
Chọn số m nhỏ nhất trong n+2 số trên
⇒
x [a;b]
m min f (x)
∈
=
.
3. Hệ thống bài tập sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm GTLN,
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
GTNN của hàm số.
Dạng 1. Khảo sát trực tiếp
Nếu hàm số y=f(x) trên miền D cho ở dạng đơn giản , ta có thể khảo sát trực tiếp hàm số
đó và rút ra kết luận GTNN, GTLN của hàm số.

Để giải quyết tốt các bài toán dạng này, HS cần có các kĩ năng sau:
- Tính f’(x) chính xác.
- Biết cách tìm nghiệm của phương trình f’(x)=0.
- Biết cách lập bảng biến thiên của f(x) trên D để rút ra kết luận GTNN, GTLN của
hàm số.
Bài 1.Tìm GTNN, GTLN của hàm số
2
y x 4 x= + −
Lời giải
TXĐ D=[-2,2]
2
x
y' 1
4 x
= −
−
; y’=0
⇔
2
4 x x− =

⇔
2 2
x 0
4 x x
≥


− =



⇔
x=
2
y(-2)=-2 ; y(2)= 2 ; y(
2
)=2
2
Vậy
x D
max f (x) 2 2
∈
=
;
x D
min f (x) 2
∈
=−
Bài 2.Tìm GTNN, GTLN của hàm số
y =
2
x+1
x +1
trên đoạn
[ ]
2;1−
.
Lời giải
Ta có :
( )

,
3
2
-x+1
y =
x +1

⇒
,
y
= 0
⇔
x=1.
Do y(-1) = 0, y(1) =
2
, y(2) =
5
3
nên
[ ]
1;2
max y
−
= y(1) =
2
,
[ ]
y
2;1
min

−
= y(-1) = 0.
Bài 3. Tìm GTNN, GTLN của hàm số
2
2
x 8x 7
y
x 1
− +
=
+

(x R)∈
Lời giải
2
2 2
8x 12x 8
y'
(x 1)
− −
=
+
;
y' 0=

⇔
x 2=
;
1
x

2
= −
Bảng biến thiên
t
-
∞

1
2
−

2
+
∞
y’ + 0 - 0 +
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
y
9 1
1 -1
Vậy
x R
min y 1
∈
= −
khi
x 2=
;
x R
max y 9

∈
=
khi
1
x
2
= −

Bài 4. Tìm GTNN, GTLN của hàm số
y 5cos x cos5x= −
với
x [- ; ]
4 4
π π
∈
Lời giải
y' 5sin x 5sin5x= − +
k
x
5x x k2
2
y' 0 sin5x sin x
k
5x x k2
x
6 3
π

=


= + π

= ⇔ = ⇔ ⇔


π π
= π − + π


= +


*)
k
x
2
π
=
Do
x
4 4
π π
− ≤ ≤

⇒
k
4 2 4
π π π
− ≤ ≤
⇒

1 1
k
2 2
− ≤ ≤
⇒
k=0
⇒
x=0.
*)
k
x
6 3
π π
= +
Do
x
4 4
π π
− ≤ ≤
⇒
k k 5 k
4 6 3 4 4 6 3 4 6 12 3 12
π π π π π π π π π π π π
− ≤ + ≤ ⇒ − − ≤ ≤ − ⇒ − ≤ ≤
x
k 1
5 1
6
k
k 0

4 4
x
6
π

= −

= −

⇒ − ≤ ≤ ⇒ ⇒


= π


=


y(0) 4=
;
y( ) y( ) 3 3
6 6
π π
− = =
;
y( ) y( ) 3 2
4 4
π π
− = =
Vậy Miny=4 ; Maxy =

3 3

Bài 5. Tìm GTNN của
2
y x 2x 1= + +

(x R)∈
Lời giải
2
2x
y' 1
2x 1
= +
+
;
2
2 2
x 0
1
y' 0 2x 1 2x x
2x 1 4x
2
≤

= ⇔ + = − ⇔ ⇔ = −

+ =

Bảng biến thiên
x

-
∞

1
2
−
+
∞
y’ - 0 +
+
∞
+
∞

WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
y

1
2

Vậy
1
Miny
2
=
khi
1
x
2

= −
Dạng 2. Khảo sát gián tiếp
Trong nhiều bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số nếu ta khảo sát trực tiếp có thể gặp
nhiều khó khăn , chẳng hạn như tìm nghiệm của f’(x), xét dấu của f’(x). Do đó thay vì
khảo sát trực tiếp f’(x) ta có thể khảo sát gián tiếp hàm số đã cho bằng cách sau:
- Đặt ẩn phụ t, chuyển hàm số đã cho về hàm số mới g(t).
- Tìm điều kiện của ẩn phụ t ( Bằng cách khảo sát hàm số, dùng bất đẳng thức…)
- Khảo sát hàm số g(t) suy ra GTNN, GTLN của hàm số.
Để giải quyết tốt dạng toán này HS cần phải có những kĩ năng sau:
- Kĩ năng chọn ẩn phụ t : Chọn ẩn phụ t thích hợp sao cho hàm số ban đầu có thể
qui hết về biến t.
- Kĩ năng tìm điều kiện của ẩn phụ : Để tìm điều kiện của t, tùy theo từng bài toán
cụ thể ta có thể dùng phương pháp đạo hàm, dùng bất đẳng thức, đánh giá trực tiếp…
Bài 6. Tìm GTNN , GTLN của
8 4
S 2sin x cos 2x= +
, x
∈
R
Lời giải
Do
2
1 cos2x
sin x
2
−
=
nên ta qui S về cos2x
S=
4 4

1 cos2x
2( ) cos 2x
2
−
+
=
4 4
1
(1 cos2x) cos 2x
8
− +
Đặt t= cos2x ,
1 t 1− ≤ ≤
Bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số
4 4
1
S g(t) (1 t) t
8
= = − +
với
1 t 1− ≤ ≤
Ta có
3 3
1
g'(t) (1 t) 4t
2
= − − +
; g’(t) = 0
⇔
3 3

(1 t) 8t− =

⇔
1-t =2t
⇔
1
t
3
=
g(1) =1 ; g(-1)=3 ; g(
1
3
)=
1
27
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Vậy MinS=
1
27
; MaxS= 3
Bài 7: Tìm GTNN, GTLN của hàm số y=
1 sin x 1 cos x+ + +

(x R)∈

Lời giải
Hàm số xác định với
x∀
và y>0 với

x∀
, do đó y đạt GTNN, GTLN đồng thời với
2
y
đạt GTNN, GTLN.
Ta có: y
2
=
2 + sinx+ cosx+ 2 1+ sinx+ cosx+sinxcosx
Đặt t= sinx+ cosx =
2 sin x+
4
π
 
 ÷
 
= t
( )
- 2 t 2≤ ≤
Thì y
2
= f(t) =
2
t -1
2 + t+ 2 1+ t+
2
=
2
t + 2t+1
2 + t+ 2

2
=
2 + t+ 2 t+1
Vậy
2
2 t 2(t 1)
y f (t)
2 t 2(t 1)

+ − +
= =

+ + +


với
- 2 t -1
-1 t 2
≤ ≤
≤ ≤
1 2 , ( 2 t 1)
f '(t)
1 2 , ( 1 t 2 )

− − ≤ ≤ −
⇒ =

+ − < ≤



Bảng biến thiên:
t
−∞

2−
1
2

+∞
f’(t) - 0 +
f(t)
4 2 2−

4 2 2+



1
Từ bảng biến thiên ta có
[ 2; 2 ]
max f (t)
−
= 4+2
2
;
[ 2; 2 ]
min f (t)
−
= 1
⇒

x R
max y 4 2 2
∈
= +
;
x R
min y 1
∈
=
Bài 8. Tìm GTNN của biểu thức
20 20
S sin (x) cos (x)= +
Lời giải
Nhận xét : Ta quy S về hết
2
sin x
Ta có
2 10 2 10
S (sin x) (1 sin x)= + −
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Đặt
2
t sin x=

(0 t 1)≤ ≤
. Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số
10 10
S f (t) t (1 t)= = + −
với

t [0;1]∈
9 9
f '(t) 10t 10(1 t)= − −

9 9
f '(t) 0 t (1 t)= ⇔ = −

⇔

1
t
2
=
1 1
f (0) 1; f ( ) ; f (1) 1
2 512
= = =
. Vậy
1
MinS
512
=
;
MaxS 1
=

Bài luyện tập 1. Tìm GTNN , GTLN của biểu thức sau:
2012 2012
S sin (x) cos (x)= +
Bài 9. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức

S x 4 4 x 4 (x 4)(4 x) 5= + + − − + − +
Lời giải
Điều kiện
4 x 4− ≤ ≤
Đặt
t x 4 4 x= + + −

2
t x 4 4 x 2 (x 4)(4 x)⇒ = + + − + + −

2
t 8
(x 4)(4 x)
2
−
⇒ + − =
Ta có
2
2
t 8
S t 4( ) 5 2t t 21
2
−
= − + = − + +
Tìm điều của t:
Xét hàm số
g(x) x 4 4 x= + + −
với
x [ 4;4]∈ −


1 1
g'(x)
2 x 4 2 4 x
= −
+ −
;
g'(x) 0=

⇔
x=0
g( 4) 2 2; g(0) 4; g(4) 2 2− = = =
⇒

x [ 4;4]
ming(x) 2 2
∈ −
=
;
x [ 4;4]
max g(x) 4
∈ −
=

⇒

t [2 2;4]∈
S' 4t 1 0 t [2 2;4]= − + < ∀ ∈

⇒
S là hàm nghịch biến trên

[2 2;4]
MinS S(4) 7 ; MaxS S(2 2) 5 2 2= = − = = +
Bài luyện tập: Tìm GTNN, GTLN của biểu thức sau:
S x 1 8 x 4 (x 1)(8 x) 5= + + − − + − +
với
x [ 1;8]∈ −
Bài 10. Tìm GTNN, GTLN của
2010 2011
S sin (x).cos (x)=
với
x [0; ]
2
π
∈
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Lời giải
Nhận xét:
i,
S 0≥
với mọi
x [0; ]
2
π
∈

ii, Để tìm GTNN, GTLN của S ta tìm GTNN, GTLN của
2
S
(vì khi đó

2
S
có thể
quy hết về
2
sin x
hoặc
2
cos x
).
Ta có
2 4020 4022
S sin (x).cos (x)=
=
2 2010 2 2011
(sin x) .(1 sin x)−
Đặt
2
t sin x=
(0
≤
t
≤
1). Khi đó
2 2010 2011
S f (t) t .(1 t)= = −
2009 2011 2010 2010
f '(t) 2010t (1 t) 2011.t (1 t)= − − −
2009 2010
f '(t) t (1 t) [2010 4021t]= − −

t 0
f '(t) 0 t 1
2010
t
4021


=

= ⇔ =


=


f (0) 0 ;f (1) 0= =
;
2010 2011
4021
2010 (2010) .(2011)
f ( )
4021 (4021)
=

Vậy Min S =0 ;
2010 2011
4021
(2010) .(2011)
MaxS
(4021)

=

Bài luyện tập. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
15 20
S sin x.cos x=
với
x [0; ]
2
π
∈
Bài 11. Tìm GTNN, GTLN của hàm số :
6 6
y sin x cos x 2cos4x sin 2x 5= + + + −
, với x
∈
R
Lời giải
Nhận xét :
6 6 2
3
sin x cos x 1 sin 2x
4
+ = −


2
cos4x 1 2sin 2x= −
Do đó ta đưa y về hết sin2x
Do đó y =
2

3
1 sin 2x
4
−
+2(
2
1 2sin 2x−
)+sin2x-5
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net

2
19
y sin 2x sin 2x 2
4
=− + −
Đặt
t sin 2x=

( 1 t 1)− ≤ ≤
. Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số
2
19
y t t 2
4
=− + −
với
1 t 1
− ≤ ≤
19 2

y' t 1 ;y' 0 t
2 19
= − + = ⇔ =
Ta có
31 23 2 37
y( 1) ;y(1) ;y( )
4 4 19 19
− = − = − = −
Do đó
x R
31
min y
4
∈
= −
;
x R
37
max y
19
∈
= −
Bài luyện tập: Tìm GTNN, GTLN của hàm số :
6 6 4 4
y sin x cos x 4(sin x cos x) 2cos2x 2= + − + − +
, với x
∈
R
Bài 12. Tìm GTNN, GTLN của hàm số
1

y 2(1 sin 2x.cos 4x) (cos4x cos8x)
2
= + − −
Lời giải
Ta có
y 2 2sin 2x.cos4x sin 6x.sin 2x= + −

2 3
2 sin 2x.(1 2sin 2x) (3sin 2x 4sin 2x).sin 2x= + − − −

4 3 2
4sin 2x 4sin 2x 3sin 2x 2sin 2x 2= − − + +

Đặt
t sin 2x=

( 1 t 1)− ≤ ≤
Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN, GTLN của hàm số
4 3 2
y 4t 4t 3t 2t 2= − − + +
với
t [ 1;1]∈ −

3 2
y' 16t 12t 6t 2= − − +
;
1 1
y' 0 t 1;t ;t
2 4
= ⇔ = = − =

y( 1) 5− =
;
1
y( ) 1
2
− =
;
1 145
y( )
4 64
=
;
y(1) 1=
Vậy
min y 1=
;
max y 5
=
Bài 13. Tìm GTNN của hàm số
y x(x 2)(x 4)(x 6) 5= + + + +
với
x 4≥ −
.
Lời giải
Ta có
2 2
y (x 6x)(x 6x 8) 5= + + + +
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Đặt

2
t x 6x= +
Khi đó
2
y t 8t 5= + +
Xét hàm số
2
g(x) x 6x= +
với
x 4≥ −

g'(x) 2x 6;g'(x) 0 x 3= + = ⇔ = −
x -
∞
-4 -3 +
∞
g’(x) - 0 +
g(x)
-8 +
∞

-9
Suy ra
t [ 9; )∈ − +∞
Yêu cầu bài toán trở thành tìm GTNN của hàm số
2
y t 8t 5= + +
với
t [ 9; )∈ − +∞
.

Ta có
y' 2t 8 ; y' 0 t 4= + = ⇔ = −
Bảng biến thiên
t -
∞
-9 -4 +
∞
y’ - 0 +
y
14 +
∞

-11
Vậy Miny=-11.
Trong nhiều bài toán tìm GTNN, GTLN của hàm số khi đề bài có nhiều hơn hai biến ta
phải tìm cách qui về một biến , sau đó tìm GTNN, GTLN của hàm số theo biến số mới.
Sau đây là các bài toán minh họa
Bài 14. Tìm GTNN, GTLN của
2 2
2 2
2 2
x xy y
S (x y 0)
2x y
+ +
= + >
+
Lời giải
Vì tử số và mẫu số của S là các biểu thức đẳng cấp bậc hai đối x, y nên ta xét TH y=0 và
y

≠
0 để chia tử số và mẫu số của S cho
2
y
, sau đó chuyển về biến số
x
t
y
=
.
TH1: y= 0
⇒

2
2
x 1
S
2x 2
= =
TH2:
y 0≠
. Chia cả tử số và mẫu số của S cho
2
y
ta được :
2
2
2
2
x x

1
y y
S
x
2 1
y
+ +
=
+
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Đặt
x
t
y
=
. Khi đó
2
2
t t 1
S
2t 1
+ +
=
+
2
2 2
2t 2t 1
S'
(2t 1)

− − +
=
+
;
2
1 3
S' 0 2t 2t 1 0 t
2
− ±
= ⇔ + − = ⇔ =
Bảng biến thiên
t
-
∞

1 3
2
− −

1 3
2
− +
+
∞
S’ - 0 + 0 -
S

1
2


3
2 3 2−


3
2 3 2+

1
2
Kết hợp TH1 và TH2 ta có :
3
2 3 2+
≤
S
≤
3
2 3 2−
Vậy MinS =
3
2 3 2+
khi
x 1 3
y 2
− −
=
; Max S =
3
2 3 2−
khi
x 1 3

y 2
− +
=

Bài luyện tập : Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau:
a,
2 2
2 2
2 2
x xy y
M (x y 0)
3x y
+ −
= + >
+
b,
2 2
2 2
2 2
x xy 2y
N (x y 0)
4x y
− −
= + >
+
Bài 15. Cho
a.b 0≠
. Tìm GTNN của
4 4 2 2
4 4 2 2

a b a b a b
y ( )
b a b a b a
= + − + + +

Lời giải
Đặt
a b
t
b a
= +
. Ta có
a b a b
| t | | | | | | | 2
b a b a
= + = + ≥
( Theo Cô Si )
⇒

2 2
2
2 2
a b
t 2
b a
+ = −

⇒

4 4

4 2
4 4
a b
t 4t 2
b a
+ = − +
⇒

4 2 2
y t 4t 2 (t 2) t= − + − − +
=
4 2
t 5t t 4− + +

3
y'(t) 4t 10t 1= − +


2
y''(t) 12t 10 0= − >
với mọi t
≥
2
Bảng biến thiên của y’(t)
t -
∞
-2 2 +
∞
y’’(t) + +
WWW.ToanCapBa.Net

WWW.ToanCapBa.Net
y’(t)
-11
-
∞

+
∞
13
Suy ra
y'(t) 0<
với
t 2
∀ ≤ −
;
y'(t) 0>
với
t 2
∀ ≥ −
Bảng biến thiên của f(t)
t -
∞
-2 2 +
∞
y’(t) - +
y
-
∞

-2

+
∞
2
Vậy Miny=-2 ; Maxy=2 .
Nhận xét
i, Đặt
a b
t
b a
= +
giúp ta chuyển y về hết biến t.
ii, Để xét dấu của y’ ta tính y’’ , lập bảng biến thiên của y’, sau đó suy ra dấu của
y’ trên các khoảng
( ; 2]−∞ −
và
[2; )+∞
.
Bài 16. Cho x, y, z > 0 và x +y+z
≤
1. Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
3 3 3
3 3 3
S x y z
x y z
= + + + + +
Lời giải
Nhận xét: Ta quy S về “ x+ y +z ”
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
2 2 2 2 2 2 2

(x y z )(1 1 1 ) (x y z)+ + + + ≥ + +

⇒

2 2 2 2
1
x y z (x y z)
3
+ + ≥ + +
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có:
3
3 3 3 3 3 3 3
3
3 3 3 3 3 3 9 9 81
3 . .
x y z
x y z x y z xyz (x y z)
( )
3
+ + ≥ = ≥ =
+ +
+ +
Vậy
2
3
(x y z) 81
S
3 (x y z)
+ +
≥ +

+ +
Đặt t= x+y+z
(0 t 1)< ≤
Khi đó
2
3
t 81
S f (t)
3 t
≥ = +
;
5
4 4
2t 243 2t 729
f '(t) 0 t (0;1]
3 t 3t
−
= − = < ∀ ∈
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
⇒
f(t) nghịch biến trên (0;1]
⇒

t (0;1]
244
minS min f (t) f(1)
3
∈
= = =

Bài 17. Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác. Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
A B C A B C
P sin sin sin cot cot cot
2 2 2 2 2 2
= + + + + +
Lời giải
Ta có
2 2 2
A B C 1 1 1
P sin sin sin 3
A B C
2 2 2
sin sin sin
2 2 2
= + + + + + −
Trong tam giác ABC ta có
A B C 3
sin sin sin
2 2 2 2
+ + ≤
Ta đánh giá các biểu thức theo
A B C
t sin sin sin
2 2 2
= + +
với
3
t (0; ]
2

∈
Áp dụng bất đẳng thức Cô Si ta có:
2 2 2 2
2 2 2
3
1 1 1 3 27
A B C A B C
A B C
sin sin sin (sin sin sin )
sin .sin .sin
2 2 2 2 2 2
2 2 2
+ + ≥ ≥
+ +
Vậy
2
27
P t 3 f (t)
t
≥ + − =
3
54
f '(t) 1 0
t
= − <
với mọi
3
t (0; ]
2
∈

Bảng biến thiên
t
0
3
2
f’(t) -
P=f(t)

+
∞


21
2

Vậy
21
MinP
2
=

3
t
2
⇔ =

Bài 18: Cho
0,0 ≥≥ yx
và x + y = 1. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
P =

2 x y
3 + 3
.
Lời giải
Do
x 0,y 0≥ ≥
và x + y = 1
⇒
y = 1- x và
0 x 1
≤ ≤
Ta có P =
2 x y
3 + 3
=
2 x
x
3
3 +
3
.
Đặt t = 3
x

⇒
1 t 3
≤ ≤
. Khi đó
2
3

P f (t) t
t
= = +
với
[ ]
t 1;3∈
.
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
2
3
f '(t) 2t 0
t
= − =

3
3
t =
2
⇔
Bảng biến thiên
t
−∞
1
3
3
2
3
+∞
f’(t) - 0 +

f(t)
4 10

3
9
3
4

Từ bảng biến thiên ta có maxP = 10
⇔
3
x
= 3
⇔
x = 1
y = 0



minP =
3
4
9
3

⇔
3
x
=
3

2
3

⇔
3
3
3
3
3
x = log
2
3
y =1- log
2







Bài 19: Cho
x 0,y 0≥ ≥
và x + y = 1. Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
P =
x y
+
y+1 x+1
.
Lời giải

Ta có: P =
x y
+
y+1 x+1
=
( )
2
x+ y - 2xy+1
2x+ xy
=
2 - 2 xy
2 + xy
.
Đặt xy = t , vì x+ y =1,
x 0,y 0≥ ≥

⇒
xy 0
1 2 xy
≥



≥


⇔
1
0 xy
4

≤ ≤

⇔
1
0 t
4
≤ ≤
Khi đó P = f(t) =
2 - 2 t
2 + t
với
1
0 t
4
≤ ≤
.
Do
( )
2
-6
f '(t) < 0
2 + t
=
với
1
t 0;
4
 
∀ ∈
 

 
nên hàm số f(t) luôn nghịch biến trong đoạn






4
1
;0

⇒
maxP = f(0) = 1 khi t = xy = 0
x = 0,y = 1
y = 0,x = 1

⇔


minP = f(
4
1
) =
3
2
khi t =
4
1


⇔
x = y =
2
1
.
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Trong các kì thi chọn HS giỏi thường có bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số có nhiều
biến phụ thuộc lẫn nhau. Để giải những bài toán dạng này ta có thể dùng phương pháp
khảo sát lần lượt từng biến, nghĩa là : tìm GTNN ( hoặc GTLN ) của hàm số với biến thứ
nhất và các biến còn lại coi là tham số , rồi tìm GTLN (GTNN) của hàm số với biến thứ
hai và ứng với giá trị đã xác định của biến thứ nhất mà các biến còn lại coi là tham số…
Bài 20. Cho miền
{
D (x,y) |0 x 1;0 y 2}= ≤ ≤ ≤ ≤
Tìm GTNN của hàm số
f (x, y) (1 x)(2 y)(4x 2y)= − − −
Lời giải
f (x, y) (1 x)(2 y)[2(2-y)-4(1-x)]= − −
Đặt u=1-x ; v=1-y
u [0;1] ;v [0;2]⇒ ∈ ∈
f (x, y) g(u, v) uv(2v 4u)⇒ = = −

2 2
2uv 4u v= −
Coi u là ẩn , v là tham số . Ta có
2
g'(u,v) 8uv 2v= − +
v
g'(u,v) 0 u

4
= ⇔ =
Bảng biến thiên
u
-
∞
0
v
4
1 +
∞

g'(u,v)
+ 0 -

g(u, v)

3
v
4

0
2
2v 4v−
Vì
2
2v 4v 2v(v 2) 0 v [0;2]− = − ≤ ∀ ∈
nên
2 2
g(u, v) 2v 4v 2(v 1) 2 2≥ − = − − ≥ −

Vậy Min
g(u, v)
=-2
u 1
v 1
=

⇔

=

Suy ra Minf(x,y)=-2
x 0
y 1
=

⇔

=

Bài 21. Cho hàm số
f (x, y,z) xy yz zx 2xyz= + + −
trên miền
{ }
D (x,y,z) |0 x, y, z và x y z 1= ≤ + + =
Tìm GTNN, GTLN của f(x,y,z)
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
Lời giải
*) Tìm GTNN của f(x,y,z)

Giả sử
1
z min{x,y,z} z [0; ]
3
= ⇒ ∈
f (x, y,z) xy (x y)z 2xyz xy(1 2z) z(1 z)= + + − = − + −


2
3 2
(1 z) 1
(1 2z) z(1 z) (2z z 1)
4 4
−
≤ − + − =− − −

Xét hàm số
3 2
1
F(z) (2z z 1)
4
= − − −
với
1
z [0; ]
3
∈
2
1 z(1 3z) 1
F'(z) (6z 2z) 0 z [0; ]

4 2 3
−
= − − = > ∀ ∈
z -
∞
0 1 +
∞
F’(z) +
F(z)

7
27

1
4

Vậy Max f(x,y,z) =
7
27

1
x y z
3
⇔ = = =

*) Tìm Min f(x,y,z)
f (x, y,z) (1 y z)y yz z(1 y z) 2(1 y z)yz= − − + + − − − − −

2 2 2 2
y y z zy z 2yz 2y z 2z y= − + − − − + +


Xét
2 2 2
G(z) z (2y 1) z(1 3y 2y ) y y= − + − + + −

2
G '(z) 2(2y 1)z 1 3y 2y
2(2y 1)z (2y 1)(y 1)
= − + − +
= − + − −
Giả sử
1
y min{x,y,z} y [0; ]
3
= ⇒ ∈
1 y
G '(z) 0 z
2
−
= ⇔ =
Bảng biến thiên
z
-
∞
0
1 y
2
−
1 +
∞

G’(z) + 0 -
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
G(z)

1 y
G( )
2
−


2
y y−

2
y
Vì
2 2 2
y (y y ) 2y y y(2y 1) 0− − = − = − ≤

2
G(z) y 0⇒ ≥ ≥
;
y 0
G(z) 0
z 1
=

= ⇔


=

Vậy Min f(x,y,z)=0
x y 0
z 1
= =

⇔

=

Bài luyện tập 1: Cho
x,y,z 0≥
và x+y+z=1. Tìm GTLN của biểu thức:
1 1 1 1 1 1
S xyz[x( ) y( ) z( )]
y z x z y x
= + + + + +
Bài luyện tập 2: Cho x, y, z thỏa mãn
0 x,y,z 1≤ ≤
Tìm GTLN của biểu thức
3 3 3 2 2 2
P 2(x y z ) (x y y z z x)= + + − + +
Bài 22. Cho x, y, z >0 thỏa mãn
x y z 4
xyz 2
+ + =


=


Tìm GTNN, GTLN của biểu thức
4 4 4
S x y z= + +

( Đề thi chọn HSG QG năm 2004 )
Lời giải
Đặt
1
2
3
S x y z 4
S xy yz zx
S xyz 2
= + + =


= + +


= =

Ta biểu diễn S theo
2
f (S )
. Căn cứ vào đề bài, tìm miền biến thiên của
2
S
. Sau đó ta khảo
sát

2
f (S )
để tìm GTNN, GTLN của S.
*) Ta biểu diễn
2
S
theo z
2
2
2 2
S xy yz zx z(4 z) 4z z
z z
= + + = + − = − +
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
*) Ta tìm miền biến thiên của z
Do
x y 4 z
2
xy
z
+ = −



=



⇒


2
8
(4 z)
z
− ≥

2
(z 2)(z 6z 4) 0⇒ − − + ≥
z
-
∞

3 5−
2
3 5+
+
∞

z-2 - - 0 + +
2
z 6z 4− +

+ 0 - - 0 +
VT - + - +
Vậy
z [3 5;2] [3 5; )∈ − ∪ + + ∞
Từ giả thiết suy ra
z (0;4)∈
Do đó

z [3 5;2]∈ −
Xét
2
2
2
S 4z z
z
= − +
với
z [3 5;2]∈ −
2
'
2
2 2
2 (1 z)(2z 2z 2)
S 4 2z
z z
− − −
= − − =
Bảng biến thiên
z
-
∞

1 5
2
−

3 5−
1

1 5
2
+
2 +
∞

'
2
S
0 - 0 + 0 -

2
S
5 5 1
2
−

5 5 1
2
−


5 5
Suy ra
2
S
5 5 1
[5; ]
2
−

∈
Khi đó
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x y z (x y z ) 2(x y y z z x )+ + = + + − + +
2 2 2
1 2
[S 2S ] 2[(xy yz zx) 2xyz(x y z)]= − − + + − + +
=
2 2 2
1 2 2 1 3
[S 2S ] 2[S -2S .S ]− −
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
=
2 2
2 2
[16 2S ] 2[S 16]− − −
=
2 2
2 2 2
256 64S 4S 2S 32− + − +
=
2
2 2
2S 64S 288− +
=
2
f (S )
2 2
f '(S ) 4S 64 0= − <


∀
2
S
5 5 1
[5; ]
2
−
∈
. Bảng biến thiên

2
S

5
5 5 1
2
−
f’(
2
S
)
-
f(
2
S
)

18



383 165 5−

Vậy MinS=
383 165 5−
; MaxS=18.
Để rèn luyện kĩ năng giải các bài toán dạng trên, ta có bài toán sau:
Bài luyện tập: Cho x, y, z >0 thỏa mãn
x y z 4
xyz 2
+ + =


=

Tìm GTNN, GTLN của các biểu thức sau:
a,
2 2 2
M x y z= + +
b,
3 3 3
N x y z= + +
c,
3 3 3 3 3 3
P x y xy x z xz y z yz= + + + + +
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1. Tìm GTNN của hàm số:
y x 2 2 x 4 (x 2)(2 x) 5= + + − − + − +
(
x [ 2;2]∈ −

)
Bài 2. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
2
2
x x 3
y
2x 1
− −
=
+
Bài 3. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
2 2
2 2
x xy y
y
2x y
− +
=
+
(
2 2
x y 0+ >
)
Bài 4. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
WWW.ToanCapBa.Net
WWW.ToanCapBa.Net
y (x 2)(x 4)(x 6)(x 8) 5= + + + + +
(
x [ 4;2]∈ −
)

Bài 5. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
6 6
y sin x cos x 2cos4x sin 2x 5= + + + +
Bài 6. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
x y
y 9 3= +
với x, y
≥
0 và x+y=1
Bài 7. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
y 4cosx cos4x= −
với
x [ ; ]
2 2
π π
∈ −
Bài 8. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
4 2
4 2
3cos x 4sin x
y
3sin x 2cos x
+
=
+

Bài 9. Tìm GTNN, GTLN của hàm số:
x x
x x
1 1

S 9 4(3 ) 5
3 9
= + − + +
với
x [ 1;1]∈ −

WWW.ToanCapBa.Net