Tính lồi, lõm và điểm uốn của đồ thị
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (292.27 KB, 8 trang )
Y
O X
M
M
C
A
B
a c
b
1. Khái niệm về tính lồi, lõm và điểm uốn.
Xét đồ thò ACB của hàm số y = f(x) biểu diễn trong hình dưới
đây.
Ta giả thiết rằng tại mọi điểm của nó, đồ thò đã cho đều có tiếp
tuyến .
Gọi a, b, c tương ứng là hoành độ của các điểm A, B, C .
Y
O
M
M
C
A
B
a c
b
AC là một cung lồi, khoảng (a;c) được gọi là khoảng lồi của đồ thò.
CB là một cung lõm, khoảng (c;b) được gọi là khoảng lõm của đồ thò.
Điểm phân cách giữa cung lồi và cung lõm được gọi là điểm uốn.
Điểm C của đồ thò trong hình vẽ trên là một điểm uốn.
X
2. Dấu hiệu lồi, lõm và điểm uốn.
Đònh lí 1. Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm đến cấp hai trên
Khoảng (a;b).
1) Nếu f’’(x) < 0 với mọi x
(a;b) thì đồ thò của hàm số lồi trên
khoảng đó.
2) Nếu f’’(x) > 0 với mọi x
(a;b) thì đồ thò của hàm số lõm trên
Khoảng đó .
Đònh lí 2. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên một lân cận nào đó
của điểm x
0
và có đạo hàm tới cấp hai trong lân cận đó (có thể
trừ tại điểm x
0
). Nếu đạo hàm cấp hai đổi dấu khi x đi qua x
0
thì
M
0
(x
0
; f(x
0
)) là điểm uốn của đồ thò hàm số đã cho.
Chứng minh đ/ lí 2
Giả sử f’’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x
0
x
f’’(x)
Đồ thò của
hàm số
x
0
-
x
0
x
0
+
_
+
M
0
(x
0
;f(x
0
))
lồi lõm
Vậy điểm M
0
(x
0
;f(x
0
)) là điểm uốn của đồ thò .
Chú ý: Tại điểm uốn tiếp tuyến phải xuyên qua đồ thò .
