Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt

ðIỂM UỐN CỦA ðỒ THỊ. PHÉP TỊNH TIẾN HỆ TỌA ðỘ

TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. ðiểm uốn của ñồ thị :
Giả sử hàm số
f
có ñạo hàm cấp một liên tục trên khoảng
(
)
;
a b
chứa ñiểm
0
x
và có ñạo hàm cấp hai trên
khoảng
(
)
0
;
a x
vì
(
)
0
;
x b
.Nếu
''

f
ñổi dấu khi
x
qua ñiểm
0
x
thì
(
)
(
)
0 0
;
I x f x
là một ñiểm uốn của ñồ thị
của hàm số
(
)
y f x
=
Nếu hàm số
f
có ñạo hàm cấp hai tại ñiểm
0
x
thì
(
)
(
)

0 0
;
I x f x
là một ñiểm uốn của ñồ thị hàm số thì
(
)
0
'' 0
f x
=

2. Phép tịnh tiến hệ tọa ñộ :
Công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tình tiến theo vectơ
OI

là
0
o
x X x
y Y y

= +


= +


,
(
)

(
)
0 0
;
I x f x
.
Ví dụ 1 : Cho hàm số
( )
3 2
1 1
4 6
3 2
f x x x x
= − − +

)
a

Giải phương trình
(
)
' sin 0
f x
=

)
b

Giải phương trình
(

)
'' cos 0
f x
=

)
c

Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị hàm số ñã cho tại ñiểm có hoành ñộ là nghiệm của phương
trình
(
)
'' 0
f x
=
.
Giải :
Hàm số ñã cho xác ñịnh trên
ℝ
.
)
a

( ) ( )
2
1 17
' 4 ' 0
2
f x x x f x x
±

= − − ⇒ = ⇔ = . Cả hai nghiệm
x
ñều nằm ngoài ñoạn
1;1
 
−
 
.
Do ñó phương trình
(
)
' sin 0
f x
=
vô nghiệm.
)
b

( ) ( )
1
'' 2 1 '' 0
2
f x x f x x
= − ⇒ = ⇔ =
. Do ñó phương trình
( )
1
'' cos 0 cos 2 ,
2 3
f x x x k k

π
π
= ⇔ = ⇔ = ± + ∈
ℤ
.
)
c

( ) ( )
1 1 47 1 17
'' 2 1 '' 0 , , '
2 2 12 2 4
f x x f x x f f
   
= − ⇒ = ⇔ = = = −
   
   

Phương trình tiếp tuyến cần tìm là :
17 1 47 17 145
4 2 12 4 24
y x hay y x
 
= − − + = − +
 
 


Ví dụ 2 : Cho hàm số
(

)
3 2
3 1
f x x x
= − +
có ñồ thị là
(
)
C

1. Xác ñịnh ñiểm
I
thuộc ñồ thị
(
)
C
của hàm số ñã cho , biết rằng hoành ñộ của ñiểm
I
nghiệm ñúng
phương trình
(
)
'' 0
f x
=
.
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt

2. Viết công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tuyến theo vectơ
OI


và viết phương trình ñường
cong
(
)
C
ñối với hệ
IXY
. Từ ñó suy ra rằng
I
là tâm ñồi xứng của ñường cong
(
)
C
.
3. Viết phương trình tiếp tuyến của ñường cong
(
)
C
tại ñiểm
I
ñối với hệ tọa ñộ
Oxy
.Chứng minh rằng
trên khoảng
(
)
;1
−∞
ñường cong

(
)
C
nằm phía dưới tiếp tuyến tại ñiểm
I
của
(
)
C
và trên khoảng
(
)
1;
+∞
ñường cong
(
)
C
nằm phía trên tiếp tuyến ñó.
Giải :
1. Ta có
(
)
(
)
(
)
2
' 3 6 , '' 6 6 '' 0 1
f x x x f x x f x x

= − = − = ⇔ =
. Hoành ñộ ñiểm
I
thuộc
(
)
C
là
(
)
1, 1 1.
x f
= = −
Vậy
(
)
(
)
1; 1
I C
− ∈
.
2. Công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tuyến theo vectơ
OI

là
1
1
x X
y Y


= +


= −



Phương trình của
(
)
C
ñối với hệ tọa ñộ
IXY
là :
( ) ( )
3 2
3
1 1 3 1 1 3 .
Y X X Y X X
− = + − + + ⇔ = −

Vì ñây là một hàm số lẻ nên ñồ thị
(
)
C
của nó nhận gốc toạ ñộ
I
làm tâm ñối xứng .
3.

(
)
(
)
2
' 3 6 ' 1 3
f x x x f
= − ⇒ = −
. Phương trình tiếp tuyến của ñường cong
(
)
C
tại ñiểm
I
ñối với hệ
tọa ñộ
Oxy
:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
' 1 1 1 3 1 1 3 2
y f x f x y g x x

= − + = − − − ⇔ = = − +
.
Xét hàm
( ) ( ) ( )
(
)
( ) ( )
3
3 2
3 1 3 2 1
h x f x g x x x x x= − = − + − − + = −
trên
ℝ

Dễ thấy
(
)
( )
0, 1
0, 1
h x x
h x x

< <


> >


. ðiều này chứng tỏ trên khoảng

(
)
;1
−∞
ñường cong
(
)
C
nằm phía dưới tiếp
tuyến tại ñiểm
I
của
(
)
C
và trên khoảng
(
)
1;
+∞
ñường cong
(
)
C
nằm phía trên tiếp tuyến ñó.

1. Gọi I là ñỉnh của parabol
(
)
P

. Viết công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tiến theo vectơ
OI

và
viết phương trình của parabol
(
)
P
ñối với hệ tọa ñộ
IXY
.
(
)
2
) 4 3
a f x x x
= − +

( )
2
7
) 2 3
8
b f x x x
= + −

(
)
2
) 2 3 1

c f x x x
= − +

( )
1
)
2 3
x
d f x
x
+
=
−

( )
2
1
) 3
2
e f x x x
= − −

(
)
2
) 2 5
f f x x
= −

2. Gọi I là ñiểm uốn cuả ñồ thị

(
)
C
. Chứng minh rằng I là tâm ñối xứng của
(
)
C
.
(
)
3 2
) 3 2
a f x x x x
= − + +

(
)
3 2
) 6 12
b f x x x x
= + + −

(
)
4 2
) 12 3
c f x x x
= − +

(

)
4 2
) 24 20
d f x x x
= − + −

(
)
3 2
) 3 4
e f x x x
= + −

(
)
3 2
) 3 1
f f x x x
= − +


Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt

3. Gọi I là giao ñiểm của hai ñường tiệm cận của ñường cong
( ) ( )
5
2 3
x
f x G
x

−
=
+
. Viết công thức
chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tiến theo vectơ
OI

và viết phương trình của
(
)
G
ñối với hệ tọa ñộ
IXY
. Từ ñó suy ra rằng I là tâm ñối xứng của
(
)
G
.
Cùng câu hỏi ñối với ñồ thị của các hàm số sau :
( )
2
2 3 3
)
2
x x
a f x
x
− −
=
−



( )
2
) 3 4
1
b f x x
x
= + +
+


( )
5
)
2 1
x
c f x
x
+
=
+


( )
3 2
)
1
x
d f x

x
−
=
+


( )
1
) 2
2
e f x
x
= −
+


( )
2
) 1
1
f f x
x
= −
+


( )
2
2 3
)

3
x x
g f x
x
− +
=
−


( )
2
4
)
2
x x
h f x
x
+ −
=
+


( )
2
8 19
)
5
x x
i f x
x

− +
=
−



4. Cho hàm số
(
)
3 2
3 2 1
f x x x x
= − + −
có ñồ thị là
(
)
C
.
)
a

Gọi I là ñiểm uốn cuả ñồ thị
(
)
C
.Viết công thức chuyển hệ tọa ñộ trong phép tịnh tiến theo vectơ
OI

và viết phương trình của
(

)
C
ñối với hệ tọa ñộ
IXY
. Từ ñó suy ra rằng I là tâm ñối xứng của
(
)
C
.
)
b

Viết phương trình tiếp tuyến của ñồ thị
(
)
C
tại ñiểm uốn . Chứng minh rằng tiếp tuyến tại ñiểm uốn
có hệ số góc nhỏ nhất .

5.Cho hàm số
(
)
3 2
3 4
f x x x
= − +
có ñồ thị là
(
)
C

.
)
a

Viết phương trình tiếp tuyến
(
)
t
tại ñiểm uốn I của ñường cong
(
)
C
.
)
b

Xét vị trí tương ñối cuả ñường cong
(
)
C
và tiếp tuyến
(
)
t
(tức là xác ñịnh khoảng trên ñó
(
)
C
nằm
phía trên hoặc phía tiếp tuyến

(
)
t
).
6.
)
a

Vẽ ñồ thị
(
)
C
của hàm số
( )
2
1
1
1
1
2 2
x
khi x
x
f x
x x
khi x

+
< −



−
=


+ ≥ −




.
)
b

Tìm ñạo hàm cuả hàm số
(
)
f x
tại ñiểm
1
x
= −
.
)
c

Chứng minh rằng
(
)
1;0

I − là ñiểm uốn của ñường cong
(
)
y f x
= .
)
d

Từ ñồ thị
(
)
C
suy ra cách vẽ ñồ thị của hàm số
( )
2
1
1
1
1
2 2
x
khi x
x
y f x
x x
khi x

+
− < −



−
= − =


− − ≥ −





Hướng dẫn :
Nguyễn Phú Khánh – ðà Lạt

)
b

( )
(
)
(
)
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
1
1
1
1

lim
1
1 2
1
lim
1 1 2
1
lim
1 2
x
x
x
f x f
f x f
x
f x f x
x
−
+
→ −
→−
→ −

− −

= −
− −
+

⇒ = −


− − +

= −

+

. Hàm số
(
)
f x
tại ñiểm
1
x
= −
và
( )
1
1
2
f
− = −
.
)
c

( )
( )
( )
( )

2
3
2
1
1
4
1
1
' 1 ''
1
2
1 1
1
1
2
khi x
x
khi x
f x khi x f x
x
khi x
x khi x

− < −

−



< −


 
= − = − ⇒ =
−
 
 
> −



+ > −









Dễ thấy
(
)
'
f x
liên tục trên
ℝ
và
(
)

( )
( )
'' 0 1
1;0
'' 0 1
f x khi x
I
f x khi x

< < −

⇒ −

> > −




là ñiểm uốn của ñồ thị của
(
)
C
.
7.
)
a

Vẽ ñồ thị
(
)

C
của hàm số
( )
2
1
1
1 1
khi x
f x
x
x x khi x

≤ −

=


+ − > −



.
)
b

Chứng minh rằng
(
)
1; 1
I

− −
là ñiểm uốn của ñường cong
(
)
C
. Viết phương trình của ñường cong
(
)
C
tại ñiểm
I
. Từ ñồ thị
(
)
C
suy ra cách vẽ ñồ thị của hà số .
(
)
y f x
=