TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA GIÁO DỤC TIỂU HỌC

NGUYỄN THỊ THU HƢƠNG

DẠY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC
Ở TIỂU HỌC THEO TIẾP CẬN
NĂNG LỰC CỦA HỌC SINH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Phƣơng pháp dạy học toán ở tiểu học

HÀ NỘI - 2016


LỜI CẢM ƠN
Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trƣờng Đại học Sƣ
phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Giáo dục Tiểu học đã tạo điều kiện cho
em trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại trƣờng.
Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS. Nguyễn Văn Đệ,
ngƣời đã hƣớng dẫn, động viên, tận tình giúp đỡ em hoàn thành khóa luận
này.
Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo, các em học sinh
trƣờng Tiểu học Nam Hồng đã giúp đỡ em trong quá trình thực nghiệm sƣ
phạm.
Do thời gian và trình độ cò hạn chế nên đề tài không tránh khỏi những
thiếu sót. Em rất mong nhận đƣợc sự đóng góp của quý thầy cô và các bạn để
đề tài đƣợc hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 04 năm 2016
Ngƣời thực hiện

Nguyễn Thị Thu Hƣơng


LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp: Dạy học khái niệm toán học ở tiểu học theo tiếp
cận năng lực của học sinh là kết quả nghiên cứu của riêng tôi dƣới sự hƣớng
dẫn của ThS. Nguyễn Văn Đệ. Kết quả khóa luận này chƣa đƣợc công bố
dƣới bất kỳ hình thức nào.
Tôi xin cam đoan những điều trên đây là đúng sự thật, nếu sai tôi hoàn
toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 4 năm 2016
Ngƣời thực hiện
Nguyễn Thị Thu Hƣơng


DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT
Từ, cụm từ

Kí hiệu viết tắt

DH

Dạy học

HS

Học sinh

GV


Giáo viên

GDTH

Giáo dục Tiểu học

NLTH

Năng lực Toán học

PP

Phƣơng pháp

VD

Ví dụ


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài ........................................................................................ 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 2
3. Đối tƣợng nghiên cứu ............................................................................... 2
4. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 2
5. Phạm vi nghiên cứu ................................................................................... 2
6. Phƣơng pháp nghiên cứu........................................................................... 3
7. Cấu trúc khóa luận .................................................................................... 3
Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN ............................................... 4
1.1. Dạy học theo tiếp cận năng lực .............................................................. 4

1.1.1. Nguồn gốc của năng lực.................................................................. 4
1.1.2. Một số khái niệm............................................................................. 4
1.1.3. Dạy học theo tiếp cận năng lực ..................................................... 14
1.2. Một số vấn đề về dạy học khái niệm.................................................... 16
1.2.1. Khái niệm ...................................................................................... 16
1.2.2. Con đƣờng hình thành khái niệm .................................................. 16
1.2.3. Nội hàm và ngoại diên của khái niệm .......................................... 18
1.2.4. Các yêu cầu của một định nghĩa khái niệm .................................. 19
1.2.5. Vị trí, yêu cầu của dạy học khái niệm ........................................... 20
1.2.6. Phân loại khái niệm ....................................................................... 20
Tiểu kết chƣơng 1……………………………………………………………22
Chƣơng 2: DẠY HỌC KHÁI NIỆM TOÁN HỌC Ở TIỂU HỌC THEO TIẾP
CẬN NĂNG LỰC CỦA HỌC SINH ............................................................. 23
2.1. Hệ thống khái niệm toán học ở tiểu học .............................................. 23
2.1.1. Số tự nhiên .................................................................................... 23
2.1.2. Phân số .......................................................................................... 23
2.1.3. Số thập phân .................................................................................. 24


2.1.4. Các khái niệm về hình học ............................................................ 25
2.2. Thiết kế tình huống dạy học các khái niệm theo tiếp cận năng lực của
học sinh ....................................................................................................... 26
2.2.1. Ví dụ 1 ........................................................................................... 26
2.2.2. Ví dụ 2 ........................................................................................... 32
2.2.3. Ví dụ 3 ........................................................................................... 37
Tiểu kết chƣơng 2…………………………………………………………....41
Chƣơng 3: THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM........................................................ 42
3.1. Mục đích thực nghiệm ......................................................................... 42
3.2. Đối tƣợng thực nghiệm ........................................................................ 42
3.3. Lớp thực nghiệm .................................................................................. 43

3.4. Giáo viên .............................................................................................. 44
3.5. Thời gian thực nghiệm, khảo sát .......................................................... 44
3.6. Kết quả ................................................................................................. 45
KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT ............................................................................ 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 50


MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Công cuộc đổi mới của đất nƣớc đã và đang đặt ra cho ngành Giáo dục và
Đào tạo nhiệm vụ to lớn và hết sức nặng nề đó là đào tạo nguồn nhân lực chất
lƣợng cao đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất
nƣớc. Để thực hiện nhiệm vụ này, bên cạnh việc đổi mới mục tiêu, nội dung
chƣơng trình và sách giáo khoa ở mọi bậc học, chúng ta đã quan tâm nhiều
đến việc đổi mới phƣơng pháp dạy học. Từ các vị lãnh đạo Đảng, Nhà nƣớc,
lãnh đạo các cấp của ngành Giáo dục và Đào tạo đến các nhà nghiên cứu, các
nhà giáo đều khẳng định vai trò quan trọng và sự cần thiết của việc đổi mới
phƣơng pháp dạy học nhằm nâng cao chất lƣợng giáo dục toàn diện của nhà
trƣờng. Điều này đã đƣợc thể chế hóa trong Luật Giáo dục: "Phương pháp
giáo dục phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, tư duy sáng tạo của
người học; bồi dưỡng cho người học năng lực tự học, khả năng thực hành,
lòng say mê học tập và ý chí vươn lên".
Để theo kịp xu thế phát triển chƣơng trình tiểu học của các nƣớc trong khu
vực và các nƣớc phát triển trên thế giới, cũng nhƣ góp để đảm bảo nguồn
nhân lực Việt Nam có đủ sức cạnh tranh và hợp tác khi hội nhập quốc tế. Nền
giáo dục Việt Nam đã định hƣớng và thực hiện bƣớc chuyển từ chƣơng trình
giáo dục tiếp cận nội dung sang tiếp cận năng lực của ngƣời học - từ chỗ quan
tâm tới việc học sinh “học đƣợc gì” đến chỗ quan tâm tới việc học sinh “làm
đƣợc gì thông qua việc học” nhằm giúp học sinh thấy đƣợc sợi dây gắn kết
giữa việc học với áp dụng vào thực tế.

Dạy học môn Toán theo hƣớng tiếp cận năng lực ngƣời học là một trong
những vấn đề mới mẻ và đang đƣợc quan tâm nhiều, đặc biệt đối với giai
đoạn giáo dục cơ sở, bắt buộc nhƣ GDTH. Với định hƣớng trên, hiện nay,
việc tổ chức dạy và học môn Toán ở trƣờng tiểu học khiến cho giáo viên gặp
1


nhiều khó khăn trong việc tìm ra phƣơng pháp dạy học phù hợp, đặc biệt là
trong dạy học khái niệm toán học. Thực tiễn cho thấy, việc dạy học khái niệm
toán học ở tiểu học hiện nay hầu hết các giáo viên đều chọn cách truyền thụ
tri thức bằng cách giảng giải là chủ yếu, giáo viên đóng vai trò là trung tâm
của quá trình dạy học mà không phát huy đƣợc vai trò tích cực của ngƣời
học.Vì vậy, trong quá trình học Toán, rất nhiều học sinh còn bộc lộ những yếu
kém, hạn chế về phát triển năng lực.
Từ các lý do trên chúng tôi xin mạnh dạn đi sâu nghiên cứu đề tài giáo dục
“Dạy học khái niệm toán học ở tiểu học theo tiếp cận năng lực của học sinh”.
Nhằm đề xuất một số biện pháp dạy học môn Toán ở tiểu học, giúp tháo gỡ
một phần khó khăn trong dạy học môn Toán ở trƣờng tiểu học.
2. Mục đích nghiên cứu
Thiết kế một số tình huống dạy học khái nệm toán học ở tiểu học nhằm
phát triển các năng lực của học sinh nói chung, năng lực toán học nói riêng,
hình thành kĩ năng giải quyết vấn đề trên cơ sở kiến thức đã học.
3. Đối tƣợng nghiên cứu
Việc dạy học khái niệm toán học ở tiểu học theo tiếp cận năng lực của học
sinh.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu cơ sở lý luận của việc dạy học theo tiếp cận năng lực,
nội dung dạy học khái niệm toán học ở tiểu học.
- Thiết kế một số tình huống dạy học khái niệm toán học ở tiểu học
theo tiếp cận năng lực cho học sinh.

- Thực nghiệm khoa học.
5. Phạm vi nghiên cứu
- Nội dung dạy học khái niệm toán học ở tiểu học.
- HS trƣờng tiểu học Xuân Hoà, Phúc Yên, Vĩnh Phúc.
2


6. Phƣơng pháp nghiên cứu
- Phƣơng pháp nghiên cứu lí luận.
- Phƣơng pháp điều tra, quan sát.
- Phƣơng pháp tổng kết kinh nghiệm.
- Phƣơng pháp thống kê toán học.
- Phƣơng pháp thực nghiệm sƣ phạm.
7. Cấu trúc khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, phần nội dung của
khoá luận có cấu trúc nhƣ sau:
Chƣơng 1: Cơ sở lí luận và thực tiễn
Chƣơng 2: Dạy học khái niệm toán học ở tiểu học theo tiếp cận năng lực
của học sinh
Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm

3


Chƣơng 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Dạy học theo tiếp cận năng lực
1.1.1. Nguồn gốc của năng lực
Từ cuối thế kỉ XIX đến nay đã có nhiều ý kiến khác nhau về bản chất và
nguồn gốc của năng lực. Hiện nay đã có xu hƣớng thống nhất trên một số
quan điểm cơ bản, quan trọng về lí luận cũng nhƣ thực tiễn.

Một là, những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu
cho sự phát triển năng lực. Đó là điều kiện cần nhƣng chƣa đủ.
Hai là, năng lực của con ngƣời có nguồn gốc xã hội, lịch sử. Con ngƣời
từ khi sinh ra đã có sẵn những tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực
tƣơng ứng, nhƣng nếu không có môi trƣờng xã hội thì cũng không phát triển
đƣợc. Xã hội đã đƣợc các thế hệ trƣớc cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn
đó cho các thế hệ sau trong môi trƣờng Văn hóa – Xã hội.
Ba là, năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt động.
Sống trong môi trƣờng xã hội tự nhiên do các thế hệ trƣớc tạo ra và chịu sự
tác động của nó, con ngƣời ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng hay thích
ứng với các thành tựu của các thế hệ trƣớc để lại, mà còn cải tạo chúng và tạo
ra các kết quả “vật chất” mới hoàn thiện hơn cho các hoạt động tiếp theo.
Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực là hiện tƣợng có bản chất,
nguồn gốc phức tạp. Các tố chất và hoạt động của con ngƣời tƣơng tác qua lại
với nhau để tạo ra các năng lực.
1.1.2. Một số khái niệm
a) Năng lực
Năng lực đƣợc định nghĩa theo nhiều cách khác nhau do sự lựa chọn dấu
hiệu khác nhau.
Theo tâm lí học: Năng lực là tổng hợp các đặc điểm, thuộc tính tâm lý của
cá nhân phù hợp với yêu cầu đặc trƣng của một hoạt động nhất định nhằm
4


đảm bảo cho hoạt động đó đạt hiệu quả cao. Các năng lực hình thành trên cơ
sở của các tƣ chất tự nhiên của cá nhân, nó đóng vai trò quan trọng. Năng lực
của con ngƣời không phải hoàn toàn do tự nhiên mà có, phần lớn do công tác,
tập luyện hình thành.
Kết quả nghiên cứu các công trình tâm lí học và giáo dục học cho thấy, từ
nền tảng là các tƣ chất ban đầu học sinh bƣớc vào hoạt động. Qua quá trình

hoạt động mà dần hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo cần
thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khả năng mới với
mức độ cao hơn. Đến một lúc nào đó, học sinh đủ khả năng để giải quyết
những yêu cầu khác xuất hiện trong học tập và cuộc sống thì khi đó học sinh
đã có đƣợc một năng lực nhất định. Dƣới đây là một số cách hiểu về năng lực:
 Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho con ngƣời khả năng hoàn
thành một loại hoạt động nào đó với chất lƣợng cao.
 Năng lực là một tổ hợp những đặc điểm tâm lý của con ngƣời đáp ứng
đƣợc yêu cầu của 1hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn
thành có kết quả một hoạt động nào đó. (theo tác giả Phạm Minh Hạc)
 Năng lực là những đặc điểm cá nhân của con ngƣời đáp ứng yêu cầu
của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất
sắc một loại hoạt động nào đó. (theo tác giả Trần Đình Châu)
Cả ba định nghĩa đều có điểm chung là năng lực chỉ nảy sinh và quan sát
đƣợc trong hoạt động giải quyết những yêu cầu mới mẻ và do đó nó gắn liền
với tính sáng tạo, tuy có khác nhau về mức độ.
Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáo dục học đều thừa
nhận rằng con ngƣời có những năng lực khác nhau vì có những tố chất riêng.
Tức là thừa nhận sự tồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi
cho sự hình thành và phát triển những năng lực khác nhau.
Ngoài ra còn một số quan niệm về năng lực:
5


 Năng lực đƣợc xây dựng trên cơ sở tri thức, thiết lập qua giá trị, cấu
trúc nhƣ là các khả năng, hình thành qua trải nghiệm/củng cố qua
kinh nghiệm, hiện thực hóa qua ý chí (John Erpenbeck 1998).
 Năng lực là khả năng cá nhân đáp ứng các yêu cầu phức hợp và thực
hiện thành công nhiệm vụ trong một bối cảnh cụ thể (OECD, 2002).
 Năng lực là các khả năng và kỹ năng nhận thức vốn có ở cá nhân

hay có thể học đƣợc để giải quyết các vấn đề đặt ra trong cuộc sống.
Năng lực cũng hàm chứa trong nó tính sẵn sàng hành động, động cơ,
ý chí và trách nhiệm xã hội để có thể sử dụng một cách thành công
và có trách nhiệm các giải pháp… trong những tình huống thay đổi
(Weinert, 2001).
 Năng lực là khả năng vận dụng những kiến thức, kinh nghiệm, kỹ
năng, thái độ và hứng thú để hành động một cách phù hợp và có
hiệu quả trong các tình huống đa dạng của cuộc sống (QuébecMinistere de l’Education, 2004).
 Năng lực là khả năng vận dụng đồng bộ các kiến thức, kỹ năng, thái
độ, phẩm chất đã tích lũy đƣợc để ứng xử, xử lý tình huống hay để
giải quyết vấn đề một cách có hiệu quả (Lê Đức Ngọc, 2014).
Bản chất của năng lực là khả năng của chủ thể kết hợp một cách linh
hoạt, có tổ chức hợp lí các kiến thức, kĩ năng với thái độ, giá trị, động cơ,
nhằm đáp ứng những yêu cầu phức hợp của một hoạt động, bảo đảm cho hoạt
động đó đạt kết quả tốt đẹp trong một bối cảnh (tình huống) nhất định. Biểu
hiện của năng lực là biết sử dụng các nội dung và các kĩ thuật trong một tình
huống có ý nghĩa, chứ không tiếp thu lƣợng tri thức rời rạc.
Có rất nhiều những quan niệm khác nhau về năng lực. Tuỳ theo mỗi
góc nhìn, mỗi quan niệm lại có một cách hiểu. Theo chúng tôi: Năng lực là
những thuộc tính độc đáo của cá nhân phù hợp với những yêu cầu đặc trưng
6


của một hoạt động nào đó, nhằm đảm bảo việc hoàn thành có kết quả tốt
trong lĩnh vực hoạt động ấy.
b) Năng lực Toán học
Theo V.A.Krutecxki năng lực toán học đƣợc hiểu theo hai ý nghĩa, hai
mức độ:
Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) , tức là năng lực đối với việc
học toán, đối với việc nắm giáo trình Toán học ở trƣờng phổ thông, nắm một

cách nhanh chóng và tốt các kiến thức, kĩ năng, kỹ xảo tƣơng ứng.
Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là năng lực hoạt
động sáng tạo toán học, tạo ra những kết quả mới, khách quan có giá trị lớn
đối với xã hội loài ngƣời.
Giữa hai mức độ toán học đó không có sự ngăn cách tuyệt đối. Nói đến
năng lực học tập toán không có nghĩa là không đề cập đến năng lực sáng tạo.
Nhiều học sinh có năng lực đã nắm giáo trình một cách độc lập và sáng tạo,
đã tự đặt ra và giải những bài tập không phức tạp lắm, đã tự tìm ra các con
đƣờng, các phƣơng pháp sáng tạo để chứng minh các định lý, độc lập suy ra
các công thức. Sau đây là một số định nghĩa về năng lực toán học:


Năng lực học tập toán học là các đặc điểm tâm lý cá nhân (trƣớc

hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và
giúp cho việc nắm giáo trình toán, kiến thức, hình thành kĩ năng, kĩ xảo tƣơng
đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc.


Năng lực toán học đƣợc hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân

(trƣớc hết là những đặc diểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng yêu cầu của hoạt
động toán học và trong những điều kiện vững chắc nhƣ nhau là nguyên nhân
của sự thành công trong việc nắm vững một cách sáng tạo toán học với tƣ
cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tƣơng đối nhanh, vững vàng sâu
sắc kiến thức, kỹ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán học.
7


Nói đến học sinh có năng lực toán học là nói đến học sinh có trí thông

minh trong việc học toán. Tất cả học sinh đều có khả năng và phải nắm đƣợc
chƣơng trình toán học, nhƣng các khả năng này khác nhau tuỳ vào từng học
sinh. Các khả năng này không phải cố định, không thay đổi; các năng lực này
không phải nhất thành, bất biến mà hình thành và phát triển trong quá trình
học tập, rèn luyện để nắm đƣợc hoạt động tƣơng ứng. Vì vậy cần nghiên cứu
để nắm đƣợc bản chất của năng lực và con đƣờng hình thành, phát triển, hoàn
thiện của năng lực.
Tuy nhiên, ở mỗi ngƣời lại có sự khác nhau về mức độ năng lực toán học.
Do vậy, trong dạy học toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa nội dung và
phƣơng pháp thích hợp để giúp cho mọi đối tƣợng học sinh đều đƣợc nâng
cao dần về mặt năng lực toán học. Về vấn đề này nhà Toán học Xô viết nổi
tiếng, Viện sĩ A.N.Kolmogorov cho rằng: “Năng lực bình thƣờng của học
sinh trung học đủ để cho các em đó tiếp thu, nắm đƣợc toán học trong trƣờng
trung học với sự hƣớng dẫn tốt của thầy giáo hay và sách tốt”.
c) Các quan điểm về cấu trúc năng lực Toán học
Thứ nhất, Quan điểm của V.A.Krutecxki
V.A.Krutecxki - nguyên Phó Viện trƣởng Viện nghiên cứu Tâm lý học
thuộc Viện Hàn lâm khoa học giáo dục Liên Xô trƣớc đây, đã nghiên cứu tâm
lí năng lực toán học với công trình độ sộ “Tâm lý năng lực toán” Luận án tiến
sĩ của ông đƣợc Hội đồng bác học Liên Xô đánh giá rất cao. Công trình là kết
quả của việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn, có tiến hành thực nghiệm hết
sức công phu đƣợc tiến hành từ năm 1955 đến 1968. Ông đã nghiên cứu sâu
sắc về mặt lý luận, tham khảo hơn 747 tài liệu trong và ngoài nƣớc. Về mặt
thực tiễn, quan sát tự nhiên, theo dõi sự phát triển của học sinh có năng khiếu
Toán học, thực nghiệm trên 157 học sinh giỏi, trung bình và kém, nghiên cứu
tình trạng học tập của học sinh (qua tài liệu) về các bộ môn của khoảng 1000
8


học sinh từ lớp 7 đến lớp 10; toạ đàm với 62 giáo viên dạy Toán, phỏng vấn

bằng giấy đối với 56 giáo viên toán, phỏng vấn bằng giấy đối với 21 nhà toán
học, nghiên cứu và phân tích tiểu sử của 84 nhà Toán học và vật lý học nổi
tiếng trong và ngoài nƣớc… Chính vì độ tin cậy trên về những kết luận khoa
học của V.A.Krutecxki nên khoá luận sẽ kế thừa kết quả và là cơ sở quan
trọng của đề tài.
Kết quả chủ yếu và quan trọng nhất là ông đã chỉ ra cấu trúc năng lực toán
học của học sinh bao gồm những thành phần sau (dựa trên quan điểm lý
thuyết thông tin):
● Về mặt thu nhận thông tin toán học
Đó là năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu toán học, năng lực nắm cấu
trúc hình thức của bài toán.
● Về mặt chế biến thông tin toán học
- Năng lực tƣ duy logic trong lĩnh vực các quan hệ số lƣợng và không
gian, hệ thống kí hiệu số và dấu, năng lực tƣ duy bằng các kí hiệu toán học.
- Năng lực khái quát hoá nhanh và rộng các đối tƣợng, quan hệ toán học
và các phép toán.
- Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán
tƣơng ứng, năng lực tƣ duy bằng các cấu trúc rút gọn.
- Tính linh hoạt của quá trình tƣ duy trong hoạt động toán học.
- Khuynh hƣớng vƣơn tới tính rõ ràng, đơn giản, tiết kiệm, hợp lý của lời
giải.
- Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phƣơng hƣớng của quá trình tƣ
duy, năng lực chuyển từ tiến trình tƣ duy thuận sang tiến trình tƣ duy đảo
(trong suy luận toán học).
● Về mặt lƣu trữ thông tin toán học

9


Trí nhớ toán học (trí nhớ khái quát về các: quan hệ toán học, đặc điểm về

loại, sơ đồ suy luận và chứng minh, phƣơng pháp giải toán, nguyên tắc,
đƣờng lối giải toán).
● Về thành phần tổng hợp khái quát
Khuynh hướng toán học của trí tuệ
Các thành phần nêu trên có quan hệ mật thiết với nhau, ảnh hƣởng lẫn
nhau và hợp thành hệ thống định nghĩa một cấu trúc toàn vẹn của năng lực
toán học.
Sơ đồ triển khai của cấu trúc năng lực toán học có thể đƣợc biểu thị bằng
một công thức khác, cô đọng hơn: Năng lực toán học đƣợc đặc trƣng bởi tƣ
duy khái quát, gọn, tắt và linh hoạt trong lĩnh vực quan hệ toán học, hệ thống
kí hiệu số và dấu, và bởi khuynh hƣớng toán học của trí tuệ.
Cùng với cấu trúc nói trên, V.A.Krutecxki cũng đƣa ra những gợi ý về
phƣơng pháp bồi dƣỡng năng lực toán học cho học sinh.
Nghiên cứu quan diểm của V.A.Krutecxi về năng lực toán học có thể thấy
một số vấn đề quan trọng sau:
* Về mặt lý luận:
1) Theo V.A.Krutecxki thì nói đến học sinh có năng lực toán học là nói
đến học sinh có trí thông minh trong việc học toán.
2) Vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân. Khi nói về năng lực
tức là giả định rằng: có sự khác biệt về những mặt nào đó giữa các cá nhân,
chẳng hạn về năng lực toán học. Điều quan trọng năng lực không chỉ là bẩm
sinh mà còn đƣợc phát sinh phát triển trong hoạt động, trong đời sống của mỗi
cá nhân.
3) Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trong một loại hoạt động
nhất định của con ngƣời. Năng lực toán học cũng vậy, nó chỉ tồn tại trong

10


hoạt động toán học và chỉ trên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới thấy

đƣợc biểu hiện của năng lực toán học.
4) Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của con ngƣời thƣờng
phụ thuộc vào một tổ hợp năng lực. Kết quả học tập toán cũng không nằm
ngoài quy luật đó, ngoài ra còn phụ thuộc vào một số yếu tố khác, chẳng hạn
niềm say mê, thái độ học tập, sự khuyến khích hỗ trợ của giáo viên, của gia
đình và xã hội.
* Về mặt thực tiễn
1) Trong lĩnh vực đào tạo con ngƣời phải nghiên cứu năng lực của mỗi
ngƣời trong lĩnh vực đào tạo, phải biết những phƣơng pháp tốt nhất để bồi
dƣỡng năng lực đó.
2) Năng lực toán học là năng lực tạo thành các mối liên tƣởng khái quát,
tắt, linh hoạt, ngƣợc và hệ thống chúng dựa trên tài liệu toán học. Các năng
lực đã nêu biểu hiện với các mức độ khác nhau ở các em học sinh giỏi, trung
bình, kém. Ở các em năng khiếu và giỏi thì các mối liên tƣởng đó đƣợc tạo
thành ngay tức khắc sau một số ít bài tập, ở các em trung bình thì muốn hình
thành các mối liên tƣởng cần cả một hệ thống bài tập và phải có sự rèn luyện.
Thứ hai, quan điểm của A.N.Kôlmôgôrôv
Trong cuốn sách Về nghề nghiệp của nhà Toán học, A.N.Kôlmôgôrôv đã
chỉ ra rằng, năng lực ghi nhớ máy móc một số lƣợng lớn các sự kiện, công
thức, cộng và nhân nhẩm hàng dãy dài các số có nhiều chữ số không quan hệ
đến năng lực toán học. Trong thành phần các quan hệ toán học ông nêu ra:
- Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm
kiếm các cách hay để giải các phƣơng trình không phù hợp với qui tắc
giải thông thƣờng, hoặc nhƣ các nhà toán học gọi là năng lực tính toán
hay năng lực “ angôrit”;
-

Trí tƣởng tƣợng hình học hoặc “ trực giác hình học”;
11



-

Nghệ thuật suy luận lôgic, đƣợc phân nhỏ hợp lý, tuần tự. Có thể nói
rằng tiêu chuẩn của sự trƣởng thành logic cần thiết cho nhà toán học là
hiểu nguyên nhân quy nạp toán học và có kỹ năng vận dụng nó một
cách đúng đắn;

- Ông còn nhấn mạnh rằng: Các khía cạnh khác nhau của năng lực toán
học thƣờng gặp trong các tổ hợp khác nhau và năng lực này thƣờng bộc
lộ rất sớm và đòi hỏi phải luyện tập liên tục.
Thứ ba, quan điểm của A.I.Marcusevich
Viện sĩ A.I.Marcusevich đã chỉ ra 6 phẩm chất sau đây của trí tuệ và tính
cách cần đƣợc giáo dục cùng với việc dạy toán:
-

Có kỹ năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại bỏ các chi tiết
không cơ bản (kỹ năng trừu tƣợng hoá);

- Kỹ năng xây dựng đƣợc sơ đồ của hiện tƣợng sao cho trong đó chỉ giữ
lại những gì cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt Toán học, đó
chính là các quan hệ thuộc, thứ tự, số lƣợng và độ đo, phân bố không
gian (kỹ năng sơ đồ hoá);
- Kỹ năng rút ra các hệ quả logic từ các tiên đề đã cho (tƣ duy suy diễn);
- Kỹ năng phân tích vấn đề đã cho thành các trƣờng hợp riêng, kỹ năng
phân biệt đƣợc khi nào chúng bao quát đƣợc mọi khả năng, khi nào
chúng chỉ là các ví dụ chứ không bao quát hết mọi khả năng;
- Kỹ năng vận dụng các kết quả rút ra từ những suy luận lý thuyết cho
những vấn đề cụ thể và đối chiếu các kết quả đó với các kết quả dự
kiến, kỹ năng đánh giá ảnh hƣởng của việc thay đổi các điều kiện đến

độ tin cậy của các kết quả;
- Khái quát các kết quả nhận đƣợc và đặt ra những vấn đề mới ở dạng
khái quát;
Thứ tƣ, quan điểm của X.L.Svacxbuốc
12


X.L.Svacxbuốc sau khi khái quát hoá ý kiến của các nhà toán học, đã
nghiên cứu các yếu tố sau đây trong sự phát triển toán học:
- Các biểu tƣợng không gian;
- Tƣ duy trừu tƣợng;
- Chuyển thành sơ đồ toán học;
- Tƣ duy suy diễn;
- Phân tích, xem xét các trƣờng hợp riêng;
- Áp dụng các kết luận;
- Tính phê phán;
- Ngôn ngữ toán học;
- Kiên trì khi giải toán;
Thứ năm, quan điểm của B.V.Gơnhedencô
Viện sỹ B.V.Gơnhedencô trong một loạt bài báo đăng trên Tạp chí “Toán
học trong nhà trƣờng” trong các năm từ 1962 đến 1965 đã đƣa ra các tính chất
sau đây của tƣ duy toán học:
- Năng lực nhìn thấy đƣợc tính không rõ ràng của suy luận, thấy đƣợc sự
thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;
- Có thói quen lý giải logic một cách đầy đủ;
- Chia nhỏ một cách rõ ràng tiến trình suy luận;
- Sự cô đọng;
- Sự chính xác của ký hiệu.
Thứ sáu, quan điểm của UNESCO
Theo quan điểm của Tổ chức UNESCO thì 10 yếu tố cơ bản của NLTH

đó là:
- Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép toán và các
khái niệm;
- Năng lực tính nhanh, cẩn thận, và sử dụng các kí hiệu;
13


- Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu;
- Năng lực biểu diễn dữ kiện bằng các kí hiệu;
- Năng lực theo dõi một hƣớng suy luận hay chứng minh;
- Năng lực xây dựng một chứng minh;
- Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán toán học;
- Năng lực áp dụng cho bài toán không toán học;
- Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể áp dụng;
- Năng lực tìm cách khái quát hoá toán học.
1.1.3. Dạy học theo tiếp cận năng lực
Dạy học theo tiếp cận năng lực: nay còn gọi là dạy học định hƣớng kết
quả đầu ra đƣợc bàn đến nhiều từ những năm 90 của thế kỷ 20 và ngày nay đã
trở thành xu hƣớng giáo dục quốc tế. Giáo dục theo tiếp cận năng lực nhằm
mục tiêu phát triển năng lực ngƣời học. Dạy học theo tiếp cận năng lực không
quy định những nội dung dạy học chi tiết mà quy định những kết quả đầu ra
mong muốn của quá trình giáo dục, trên cở sở đó đƣa ra những hƣớng dẫn
chung về việc lựa chọn nội dung, phƣơng pháp, tổ chức và đánh giá kết quả
dạy học nhằm đảm bảo thực hiện đƣợc mục tiêu dạy học tức là đạt đƣợc kết
quả đầu ra mong muốn.
Dạy học tiếp cận năng lực nhằm đảm bảo chất lƣợng đầu ra của việc
dạy học, thực hiện mục tiêu phát triển toàn diện các phẩm chất nhân cách, chú
trọng năng lực vận dụng tri thức trong những tình huống thực tiễn nhằm
chuẩn bị cho con ngƣời năng lực giải quyết các tình huống của cuộc sống và
nghề nghiệp. Chƣơng trình này nhấn mạnh vai trò của ngƣời học với tƣ cách

chủ thể của quá trình nhận thức.
1.1.4. Đặc trưng phân biệt dạy học theo định hướng nội dung và dạy học
theo tiếp cận năng lực

14


Khác với chƣơng trình định hƣớng nội dung, chƣơng trình dạy học định
hƣớng tiếp cận năng lực tập trung vào việc mô tả chất lƣợng đầu ra, có thể coi
là “sản phẩm cuối cùng” của quá trình dạy học. Việc quản lý chất lƣợng dạy
học chuyển từ việc điều khiển “đầu vào” sang điều khiển “đầu ra”, tức là kết
quả học tập của HS.
Bảng 1.1: So sánh một số đặc trƣng cơ bản của chƣơng trình định hƣớng
nội dung và chƣơng trình định hƣớng tiếp cận năng lực
Chƣơng trình định hƣớng

Chƣơng trình định hƣớng

nội dung

tiếp cận năng lực

Mục tiêu Mục tiêu dạy học đƣợc mô tả Kết quả học tập cần đạt đƣợc
giáo dục

không chi tiết và không nhất mô tả chi tiết và có thể quan sát,
thiết phải quan sát, đánh giá đánh giá đƣợc; thể hiện đƣợc
đƣợc.

mức độ tiến bộ của HS một cách

liên tục.

Nội dung Việc lựa chọn nội dung dựa Lựa chọn những nội dung nhằm
giáo dục

vào các khoa học chuyên môn, đạt đƣợc kết quả đầu ra đã quy
không gắn với các tình huống định, gắn với các tình huống
thực tiễn. Nội dung đƣợc quy thực tiễn. Chƣơng trình chỉ quy
định chi tiết trong chƣơng định những nội dung chính,
không quy định chi tiết.

trình.
Phƣơng

GV là ngƣời truyền thụ tri - GV chủ yếu là ngƣời tổ chức,

pháp dạy thức, là trung tâm của quá trình hỗ trợ HS tự lực và tích cực lĩnh
học

dạy học. HS tiếp thu thụ động hội tri thức. Chú trọng sự phát
những tri thức đƣợc quy định triển khả năng giải quyết vấn đề,
sẵn.

khả năng giao tiếp,…;
- Chú trọng sử dụng các quan
điểm, phƣơng pháp và kỹ thuật
15


dạy học tích cực; các phƣơng

pháp dạy học thí nghiệm, thực
hành.
Hình thức Chủ yếu dạy học lý thuyết trên Tổ chức hình thức học tập đa
dạy học

lớp học.

dạng; chú ý các hoạt động xã
hội, ngoại khóa, nghiên cứu
khoa học, trải nghiệm sáng tạo;
đẩy mạnh ứng dụng công nghệ
thông tin và truyền thông trong
dạy và học.

Đánh giá Tiêu chí đánh giá đƣợc xây Tiêu chí đánh giá dựa vào năng
kết

quả dựng chủ yếu dựa trên sự ghi lực đầu ra, có tính đến sự tiến bộ

học

tập nhớ và tái hiện nội dung đã trong quá trình học tập, chú

của HS

học.

trọng khả năng vận dụng trong
các tình huống thực tiễn.


1.2. Một số vấn đề về dạy học khái niệm
1.2.1. Khái niệm
Khái niệm là một hình thức của tƣ duy phản ánh những thuộc tính chung,
chủ yếu, bản chất của đối tƣợng. Khái niệm đƣợc coi là đúng nếu nhƣ nó phản
ánh đúng sự vật, hiện tƣợng tồn tại trong thực tế. Khái niệm đƣợc diễn tả
bằng lời, hoặc bằng kí hiệu theo sự thỏa thuận trong một ý nghĩa nào đó và
đƣợc xác định một cách nghiêm ngặt.
1.2.2. Con đường hình thành khái niệm
a) Hình thành khái niệm bằng con đường quy nạp

16


Hình thành khái niệm theo con đƣờng quy nạp là đi từ VD cụ thể đến tổng
quát hình thành khái niệm. Ở Tiểu học GV chủ yếu hình thành khái niệm
bằng con đƣờng quy nạp.
Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đƣờng quy nạp
+ GV đƣa ra những VD cụ thể để HS thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của một
loạt đối tƣợng nào đó;
+ GV hƣớng dẫn HS phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung
của các đối tƣợng đang đƣợc xem xét. Có thể đƣa ra đối chiếu một vài đối
tƣợng không có đủ các đặc điểm đã nêu;
+ GV gợi mở để HS phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên và các đặc
điểm đặc trƣng của khái niệm.
Ví dụ: Hình thành khái niệm phân số xuất phát từ ví dụ sau: “chia hình tròn
thành 6 phần bằng nhau, tô màu 5 phần. Ta nói đã tô năm phần sáu hình tròn”
ta viết 5/6(đọc là năm phần sáu, ta gọi 5/6 là phân số, có tử là 5 và mẫu là 6).
Khái quát định nghĩa phân số: “mỗi phân số có tử số và phân số. Tử số là số
tự nhiên viết trên gạch ngang. Mẫu số là số tự nhiên khác 0 viết dƣới gạch
ngang”.

b) Hình thành khái niệm theo con đường suy diễn
Hình thành khái niệm bằng con đƣờng suy diễn là nêu khái niệm và đƣa ra
ví dụ để minh họa khái niệm. Chẳng hạn GV đƣa ra khái niệm số lẻ là số
không chia hết cho 2 rồi nêu ví dụ cho HS 11(11 = 2 x 5 + 1), 13 (13 = 2 x 6
+ 1),...
Quy trình tiếp cận một khái niệm theo con đƣờng suy diễn:
- Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó
một số đặc điểm mà ta quan tâm;
- Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó
nhờ một khái niệm tổng quát hơn;
17


- Đƣa ra một số ví dụ đơn giản để minh họa cho khái niệm vừa đƣợc
định nghĩa.
Các khái niệm đƣợc hình thành có hai dạng là khái niệm trừu tƣợng và
khái niệm cụ thể.
- Khái niệm trừu tƣợng: Những tính chất chung của đối tƣợng đƣợc tách
ra và không để ý đến các tính chất chung của chúng.
- Trong khái niệm trừu tƣợng đƣợc hình thành bằng cách trên ta không
chỉ giữ lại các tính chất chung để tạo nên khái niệm mà còn chứa trong
nó những dấu hiệu đặc biệt và riêng của nó. Loại này gọi là khái niệm
cụ thể.


Ví dụ: Khi tạo ra khái niệm tứ giác ta chỉ giữ lại các tính chất

chung là bốn đoạn thẳng, khép kín không thẳng hàng, còn các tính chất khác
ngƣời ta không để ý đến. Tuy nhiên khái niệm trừu tƣợng “tứ giác” vẫn có
những dấu hiệu riêng chứa trong nó nhƣ sự bằng nhau hay không giữa các

cạnh, độ lớn của các góc so với góc vuông...

từ khái niệm tứ giác

theo con đƣờng cụ thể đi đến các loại tứ giác khác nhƣ hình bình hành, hình
chữ nhật, hình thoi, hình vuông. Đây là những khái niệm cụ thể so với khái
niệm trừu tƣợng “tứ giác”.
1.2.3. Nội hàm và ngoại diên của khái niệm
Khái niệm là hình thức tƣ duy phản ánh một lớp đối tƣợng, do đó một
khái niệm có thể đƣợc xem xét theo hai phƣơng diện: bản thân lớp đối tƣợng
xác định khái niệm đƣợc gọi là ngoại diên còn toàn bộ thuộc tính chung của
lớp đối tƣợng này đƣợc gọi là nội hàm của khái niệm. Nội hàm của khái niệm
là toàn thể những thuộc tính bản chất đƣợc phản ánh trong khái niệm. Ngoại
diên của khái niệm là toàn thể những cá thể có chứa những thuộc tính bản
chất đƣợc phản ánh trong khái niệm.

18


Giữa nội hàm và ngoại diên có mối quan hệ mang tính qui luật, nội hàm
càng đƣợc mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngƣợc lại.
Ví dụ 1: “Hình bình hành có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng
nhau”. Nội hàm: Hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau; ngoại diên:
Tất cả các hình có cặp cạnh song song và bằng nhau có thể có nhƣ hình bình
hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông.
Ví dụ 2: “Hình chữ nhật có 4 góc vuông, có hai cạnh dài bằng nhau và hai
cạnh ngắn bằng nhau”. Nội hàm: 4 góc vuông, 2 cạnh dài bằng nhau, 2 cạnh
ngắn bằng nhau; ngoại diên: tất cả các hình chữ nhật có thể có (hình chữ nhật,
hình vuông).
Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái

niệm A đƣợc gọi là khái niệm chủng của khái niệm B, còn khái niệm B đƣợc
gọi là khái niệm loại của khái niệm A.
1.2.4. Các yêu cầu của một định nghĩa khái niệm
Yêu cầu 1: Định nghĩa phải tƣơng xứng
- Định nghĩa theo qui tắc này nghĩa là phạm vi của khái niệm định nghĩa
và khái niệm đƣợc định nghĩa phải bằng nhau.
- Định nghĩa không tƣơng xứng là định nghĩa mà phạm vi của khái niệm
quá hẹp hay quá rộng so với khái niệm đƣợc định nghĩa.
Yêu cầu 2: Định nghĩa không đƣợc vòng quanh
Định nghĩa theo qui tắc này có nghĩa là phải dựa vào khái niệm đã biết đã
đƣợc định nghĩa.
Yêu cầu 3: Định nghĩa phải tối thiểu
Định nghĩa theo qui tắc này tức là trong nội dung khái niệm định nghĩa
không chứa những thuộc tính có thể suy ra từ các thuộc tính còn lại.

19