Đề thi thử THPT Quốc Gia môn Toán 2015 trường Lộc Phát
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (153.75 KB, 7 trang )
TRƯỜNG THPT LỘC PHÁT
ĐỀ THI THỬ KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015
MÔN TOÁN
Thời gian làm bài : 180 phút
Câu 1. ( 2 điểm )Cho hàm số y = -x3 + 3x2 + 1
a/ Khảo sát vẽ đồ thị (C) của hàm số
b/ Dựa vào (C) tìm m để phương trình x3 – 3x2 + m = 0 có 3 nghiệm phân biệt
Câu 2. (1 điểm)
cos 2 x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0
a/ Giải phương trình
2
z + 4z = 8i
b/ Giải phương trình sau đây trên tập số phức:
Câu 3. (0,5 điểm) Giải phương trình sau đây:
Câu 4. (1 điểm ) Giải hệ phương trình :
I=
Câu 5. (1 điểm ) Tính tích phân:
log3 x + 6 log x 3 − 5 = 0
2 xy + y x 2 −
14
3
x+ y
+
2 ÷
y2
=
x+ y
+
2
3
x− y
÷ =9
2
x− y
2
( x, y ∈ ¡ ) .
1
6x+7
∫0 3x + 2 dx
.
Câu 6. (1 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi ; hai đường chéo AC =
2 3a
,
BD = 2a và cắt nhau tại O; hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết
khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (SAB) bằng
a 3
4
, tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Câu 7. (1 điểm ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hình thang cân ABCD đáy AD các đỉnh
A(0; 1), B(1;2), C(4;3).Tìm tọa độ đỉnh D
uur
r
r
r
OI = 2i + 3j - 2k
r r r
(O, i , j , k )
Câu 8. (1 điểm ) Trong không gian với hệ toạ độ
(P )
, cho
và mặt phẳng
x - 2y - 2z - 9 = 0
có phương trình:
(S)
Viết phương trình mặt cầu
(P )
có tâm là điểm I và tiếp xúc với mặt phẳng
.
Câu 9. (0,5 điểm ) Một đội ngũ cán bộ khoa học gồm 8 nhà toán học nam, 5 nhà vật lý nữ, và 3 nhà
hóa học nữ. Chọn ra từ đó 4 người. Tính xác suất để trong 4 người được chọn có nữ và có đủ 3 môn.
a, b, c
Câu 10. (1 điểm ) Cho các số dương
thỏa mãn điều kiện
ab + bc + ca = 3.
1
1
1
1
+
+
≤
.
2
2
1 + a (b + c ) 1 + b (c + a ) 1 + c (a + b) abc
2
Chứng minh rằng:
.…….hết…….
TRƯỜNG THPT LỘC PHÁT
CÂU
Câu 1
2 điểm
ĐÁP ÁN - KÌ THI THPT QUỐC GIA 2015
MÔN TOÁN
NỘI DUNG
a/ HS tự làm
⇔
b/ PT x3 – 3x2 + m = 0
-x3 + 3x2 + 1 = m + 1
Số nghiệm pt là số giao điểm của (C) và d : y = m + 1
Để pt có 3 nghiệm phân biệt thì d cắt (C) tại 3 điểm
⇔
Câu 2
1 điểm
⇔
1
ĐIỂM
1
0,25
0,25
0,25
0,25
0
a/
cos 2 x + (1 + 2 cos x)(sin x − cos x) = 0 ⇔ ( sin x − cos x ) (cos x − sin x + 1) = 0
π
π
x = + kπ
2 sin x − 4 = 0
4
⇔
⇔
π
x = π + k 2π , x = π + k 2π
2 sin x − = 1
2
4
sin x − cos x = 0
⇔
cos x − sin x + 1 = 0
0,25
0,25
2
z = a + bi Þ z = a2 + b2 Þ z = a2 + b2
b/ Đặt
trình trên ta được:
. Thay vào phương
2
z + 4z = 8i Û a2 + b2 + 4(a + bi ) = 8i
2
Û a + b + 4a + 4bi = 8i
ìï a2 + b2 + 4a = 0 ïì a2 + b2 + 4a = 0
Û ïí
Û ïí
ïï 4b = 8
ïï b = 2
îï
îï
ïìï a2 + 4a + 4 = 0 ïìï a = - 2
Û í
Û í
ïï b = 2
ïï b = 2
î
ïî
Vậy, z = –2 +2i
0,25
2
0,25
Câu 3
0,5 điểm
điều kiện
log3 x + 6.
Đặt
x > 0
x ≠ 1
1
2
− 5 = 0 ⇔ ( log3 x ) − 5 log3 x + 6 = 0
log3 x
t = log3 x ( t ≠ 0)
Ta có phương trình
với
0,25
t = 3
t 2 − 5t + 6 = 0 ⇒
t = 2
t = 3 ⇔ log3 x = 3 ⇔ x = 27
t = 2 ⇔ log3 x = 2 ⇔ x = 9
0,25
(nhận)
với
(nhận)
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 27, x = 9
Câu 4
1 điểm
Đặt
x+ y
≥0
u =
2u 2 = x + y u 2 + v 2 = x
z
⇒ 2
⇒ 2 2
v = x − y ≥ 0 2v = x − y u − v = y
z
Thay vào hệ pt ta được:
2 ( u 2 + v 2 ) ( u 2 − v 2 ) + ( u 2 − v 2 ) 4u 2v 2 = u + v
( u + v ) u 3 − v3 − 7 = 0
3 3
u
+
v
=
9
⇔ u 3 + v 3 = 9
u ≥ 0, v ≥ 0
u ≥ 0, v ≥ 0
u + v = 0
⇔ u 3 + v 3 = 9
u ≥ 0, v ≥ 0
u = 0
⇔ v = 0
u 3 + v 3 = 9
hoặc
(
u 3 + v3 − 7 = 0
3 3
u + v = 9
u ≥ 0, v ≥ 0
u + v − 7 = 0
3 3
u + v = 9
u ≥ 0, v ≥ 0
3
hoặc
)
0,25
0,25
3
0,25
0,25
u 3 = 8
u = 2
⇔ v 3 = 1
⇔
u ≥ 0, v ≥ 0 v = 1
Với
Câu 5
1 điểm
u = 2
v = 1
thì
x+ y
=2
x + y = 8 x = 5
z
⇔
⇒
x − y = 2 y = 3
x − y =1
z
1
1
0,25
1
6x+7
(6x+4)+3
3
I=∫
dx = ∫
dx = ∫ (2 +
)dx
3x
+
2
3x
+
2
3x
+
2
0
0
0
1
1
1
0,25
1
3
1
= 2∫ dx + ∫
dx = 2∫ dx + ∫
d(3x+2)
3x
+
2
3x
+
2
0
0
0
0
1
1
0
0
= 2x + ln 3x + 2
= 2 + ln
0,25
0,25
5
2
Câu 6
1 điểm
S
I
D
O
C
Từ giả thiết AC =
2a 3
A
3a
a
H
B
K
; BD = 2a và AC ,BD vuông góc với nhau tại trung
điểm O của mỗi đường chéo.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO =
; BO = a , do đó
· BD = 600
A
a 3
0,25
Hay tam giác ABD đều.
Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) nên giao tuyến của chúng là SO ⊥ (ABCD).
Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của
OK =
a 3
DH ⊥ AB
1
a 3
DH =
2
2
0,25
HB ta có
và DH =
; OK // DH và
⇒ OK
⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI ⊥ SK; AB ⊥ OI ⇒ OI ⊥ (SAB) ,
hay OI là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB).
0,25
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒
1
1
1
a
=
+
⇒ SO =
2
2
2
OI
OK
SO
2
Diện tích đáy
S ABCD = 4S ∆ABO = 2.OA.OB = 2 3a 2
SO =
đường cao của hình chóp
Thể tích khối chóp S.ABCD:
VS . ABC D
Câu 7
1 điểm
1
= S ABC D .SO =
3
a
2
0,25
;
.
3a 3
3
Ta có AD//BC nê phương trình đường thẳng AD: x – 3y + 3 = 0
( 3 y − 7 ) +( y − 3)
2
2
Gọi D(3y – 3; y) thuộc đường thẳng AD nên CD =
( 3 y − 7 ) +( y − 3)
2
0,25
2
0,25
( 3 y − 7 ) +( y − 3)
2
Do ABCD là hình thang cân nên CD = AB nên
2
=
2
14
y=
27 14
2
⇔ 10 y − 48 y +56 = 0 ⇔
5 ⇒ D1 ; ÷; D2 (3; 2)
5 5
y = 2
0,25
0,25
Phương trình đường thẳng AB: x – y + 1 = 0 và D,C nằm cùng phía với AB
nên
Câu 8
1 điểm
D ≡ D1
uur
r
r
r
OI = 2i + 3j - 2k Þ I (2;3;- 2)
I (2;3;- 2)
Tâm của mặt cầu:
0,25
0,25
Bán kính của mặt cầu:
R = d(I ,(P )) =
2 - 2.3 - 2.(- 2) - 9
12 + (- 2)2 + (- 2)2
=
0,25
9
=3
3
0,25
(x - a)2 + (y - b)2 + (z - c)2 = R 2
(S)
Vậy, pt mặt cầu
là:
Û (x - 2)2 + (y - 3)2 + (z + 2)2 = 9
Câu 9
C164
Ω
0,5 điểm KGM: chọn 4 trong 16 người : n( ) =
1820
Gọi A là biến cố chọn được 4 người trong đó có nữ và có đủ 3 môn.
Th1 . chọn 2 T, 1 L, 1 H có
C82 .5.3
cách
2
5
0,25
8.C .3
Th2. chọn 1 T, 2 L, 1 H có
cách
2
3
8.5.C
Th3. chọn 1 T, 1 L, 2 H có
n(A) =
C82 .5.3
+
8.C52 .3
+
0,25
cách
8.5.C32
= 780
n( A) 780 3
=
=
n(Ω) 1820 7
Câu 10
1 điểm
P(A) =
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta có:
3 = ab + bc + ca ≥ 3 3 (abc) 2 ⇒ abc ≤ 1
.
1 + a 2 (b + c ) ≥ abc + a 2 (b + c) = a (ab + bc + ca ) = 3a
1
1
⇒
≤
(1).
2
1 + a (b + c ) 3a
0,25
Suy ra:
0,25
1
1
≤
(2)
2
1 + b (c + a) 3b
1
1
,
≤ (3).
2
1 + c ( a + b) 3c
0,25
Tương tự ta có:
Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta có:
1
1
1
1 1 1 1 ab + bc + ca
1
+
+
≤ ( + + )=
=
W
2
2
2
1 + a (b + c ) 1 + b (c + a ) 1 + c (a + b) 3 c b c
3abc
abc
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
0,25
abc = 1, ab + bc + ca = 3 ⇒ a = b = c = 1, (a, b, c > 0).
