SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM ĐỒNG ĐỀ THI THỬ THPT QUỐC GIA VÀ TUYỂN SINH
TRƯỜNG THPT BÙI THỊ XUÂN
ĐẠI HỌC CAO ĐẲNG (2014 - 2015)
(Đề thi gồm có 01 trang)

Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1: (2,0 điểm) Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + 2 có đồ thị ( C ) .
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( C ) của hàm số.
b) Tìm m để đường thằng ( d ) : y = mx + 2 cắt đồ thị ( C ) tại ba điểm phân biệt.
Câu 2: (1,0 điểm)
a) Giải phương trình

sin x - 1 = cos2 x .

b) Gọi z 1, z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 - 2z + 2 = 0 trên tập số phức .
Tìm mođun của số phức : w = ( z 1 - 1)

2015

+ ( z 2 - 1)

2016

.

2 3
Câu 3: (0,5 điểm) Giải phương trình log5x - 20.log 5 x + 1 = 0 trên tập hợp số thực.

ìï

ïï 2x 2 + 3y + 1 = - 4y + 1 + 3
.
í
x
ïï x
y
ïïî e - e = y - x

Câu 4: (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
p/ 2

Câu 5: (1,0 điểm) Tính tích phân I =

ò (2015 + x ). cos x .d x .
0

Câu 6: (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A ( - 1;1;2) , B ( 1; 0;1) ,
C ( - 1;1; 0) và D ( 2; - 1; - 2) .
a) Viết phương trình mặt phẳng ( P ) đi qua ba điểm B, C, D.
b) Viết phương trình mặt cầu ( S ) có tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng ( P ) .
Câu 7: (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ A BC .A ' B 'C ' có đáy A BC là tam giác đều cạnh a . Hình chiếu
vuông góc của A ' trên mặt phẳng ( A BC ) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A BC . Góc giữa
cạnh bên và mặt phẳng ( A BC ) bằng 600. Tính theo a thể tích khối lăng trụ A BC .A ' B 'C ' và khoảng
cách giữa hai đường thẳng A A ' với BC .
Câu 8: (0,5 điểm) Cho 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung khác nhau. Tính xác suất để lấy được 5
bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung.
Câu 9: (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD với AC có phương trình là:
x + 7y - 31 = 0 , hai đỉnh B,C lần lượt thuộc đường thẳng d1 : x + y − 8 = 0; d 2 : x − 2 y + 3 = 0 . Tìm tọa độ
các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích hình thoi bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm.
1

Câu 10:(1,0 điểm) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = . Tìm giá trị lớn nhất của
2

biểu thức P =

ab
bc
ca
+
+
( 1 - a ) ( 1 - b) ( 1 - b ) ( 1 - c ) ( 1 - c ) ( 1 - a ) .
-----------------------Hết-----------------------

Họ tên thí sinh:………………………….......; Giám thị 1:.................................................Ký tên:..............
Số báo danh:…………...............................; Giám thị 2:...............................................Ký tên:..............


S GIO DC V O TO LM NG THI TH THPT QUC GIA V TUYN SINH
TRNG THPT BI TH XUN
I HC CAO NG (2014 - 2015)
Mụn thi: TON
HNG DN CHM ( ỏp ỏn gom coự 06 trang)
Lu ý: Di õy ch l mt trong nhng cỏch gii, nu thớ sinh lm cỏch khỏc ỳng thỡ vn cho im tng
ng.
Cõu
NI DUNG
IM
3
2
1 im

a) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s y = x - 3x + 2
+) TX: D = Ă
S bin thiờn:
+) Gii hn: lim y = - Ơ ; lim y = + Ơ
x đ- Ơ

0.25

x đ+ Ơ

+) Chiu bin thiờn:
ộx = 0
ờ
ờx = 2
ờ
ở
Hm s ng bin trờn mi khong (- Ơ ; 0) v (2; + Ơ ),
hm s nghch bin trờn(0; 2).
Hm s t cc i ti x = 0, yC = 2; hm s t cc tiu ti x = 2, yCT = - 2
+) Bng bin thiờn

y ' = 3x 2 - 6x ; y' = 0

Cõu 1:
(2 im)

x

y'


y
+) th



0.25

+

+

0



0

2



+

+

0.25

- 2
0.25


b)Tỡm m ng thng ( d ) : y = mx + 2 ct th ( C ) ti ba im phõn bit .
+) Phng trỡnh honh giao im ca hai ng
x 3 - 3x 2 + 2 = mx + 2
ộx = 0
2
+) x x - 3x - m = 0 ờ
ờg(x ) = x 2 - 3x - m = 0
ờ
ở
+) (d) ct (C) ti 3 im phõn bit khi v ch khi phng trỡnh g(x)=0 cú hai
nghim s phõn bit khỏc 0
ỡù m ạ 0
ỡù g(0) ạ 0
ù
9
ù
ớù
- < m ạ 0
+) ớù
9
ùù m > 4
ùợ D > 0
ùợ
4

(

)

Gii phng trỡnh: sin x - 1 = cos2 x


1im
0.25
0.25
0.25

0.25

0,5 im


+) PT Û sin x - 1 = 1 - sin 2 x
+) ( sin x - 1) + ( sin x - 1) ( sin x + 1) = 0 Û ( sin x - 1) ( sin x + 2) = 0
p
+ k 2p ( k Î ¢ )
2
p
+) Vậy phương trình có nghiệm là Û x = + k 2p ( k Î ¢ )
2
Gọi z 1, z 2 là hai nghiệm của phương trình z 2 - 2z + 2 = 0 trên tập số phức .

0.25

+) Û sin x = 1 (Do sin x + 2 > 0 ) Û x =

Tìm mođun của số phức : w = ( z 1 - 1)

2015

+ ( z 2 - 1)


2016

.

+) z 2 - 2z + 2 = 0 .Có D, = 1 - 2 = - 1 = i 2
éz = 1 - i
1
+) Giải phương trình ta được nghiệm là ê
êz = 1 + i
ê
ë2
+) Thay vào w ta được w = ( - i )

2015

0.25

0,5 điểm
0.25

+ i 2016 = 1 + i

hoặc w = i 2015 + (- i )2016 = 1 - i

0.25

+) Vậy w = 2
2 3
Giải phương trình log5x - 20.log5 x + 1 = 0 trên tập hợp số thực.


Câu 3
(0,5
điểm)

Câu 4
(1 điểm)

+) Điều kiện x > 0

2
(1) Û 9log5x - 10log5 x + 1= 0

+) Đặt : t = log5 x . Phương trình có dạng

1
9t - 10t + 1 = 0 Û t = 1 Ú t =
9

1
1
1
+ ) t = Þ log5 x = Û x = 5 9
9
9
ìï
ïï 2x 2 + 3y + 1 = - 4y + 1 + 3
Giải hệ phương trình í
x
ïï x

y
e
e
=
y
x
ïïî
ìï x ¹ 0
ïï
ïï é
1
+) ĐK: í êx ³ (*)
ïï ê
2
ê
ïï x £ - 1
ïî ê
ë

( 2) Û

0.25

2

+ ) t = 1 Þ log5 x = 1 Û x = 5

x

0,5 điểm


0.25

( 1)
( 2)

1 điểm

0.25

y

e + x =e + y

t
/
t
Xét f ( t ) = e + t có f ( t ) = e + 1 > 0, " t ; nên từ (2) ta có x = y

Từ (1), ta có

2x 2 + 3x + 1 = - 4x +

1
+ 3
x

+) Nếu x > 0 thì phương trình tương đương với
3
1

+ 2 (t ³ 0) ( 1) .
x x
ìï t ³ 0
ï
Û t = 3.
Phương trình (1) trở thành í
ïï t = t 2 - 6
î

Đặt t = 2 +

2+

3
1
3
1
+ 2 = - 4 + + 2 ( 1) .
x x
x x

0.25


+) Vi t = 3 , ta cú
ộ
ờx = 3 + 37 (tm )
ờ
3
1

2
14
2 + + 2 = 3 7x - 3x - 1 = 0 ờ
ờ
x x
3
37
ờx =
(k .tm )
ờ
14
ở
3
1
+ 2
x x
ùỡù t
3
1
t t = 2 + + 2 , (t 0) . Phng trỡnh ( 2) tr thnh ớ
ùù t
x x
ợ
ộ
ờx
ờ
3
1
2
Vi t = 2 , ta cú 2 + + 2 = 2 2x - 3x - 1 = 0 ờ

ờ
x x
ờx
ờ
ở
+) Nu x < 0 thỡ phng trỡnh tng ng vi

2+

= 4-

3
1
- 2
x x

0
= 6- t2
=

3+

t = 2.
17

4
3-

( 2) .


(k .tm )

17

(tm )
4
+) Kt hp vi iu kin (*) suy ra h phng trỡnh ó cho cú hai nghim l:
ổ
ử ổ
ử
3 + 37 3 + 37 ữ
3 - 17 3 - 17 ữ
ỗ
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
;
;
ữ
ữ
,ỗ
.
ỗ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
14

14
4
4
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ố
ứ ố
ứ
=

Cõu 5:
(1 im

ũ (2015 + x ). cos x .d x
0

ỡù u = 2015 + x
ù
ị du = dx ; chn v = sin x
+) t: ớ
ùù dv = cos x .dx
ợ
p/ 2

+) I =

ũ (2015 + x ). cos x .d x = (2015 + x ). sin x
0


+) I = (2015 + x ). sin x

p/ 2
0

+) Kt qu: I = 2014 +

+ cos x

0.25

p/ 2
0

p/ 2

-

ũ sin x .dx

0.25

0

p
.
2

0.25


C ( - 1;1; 0) v D ( 2; - 1; - 2) .
a) Vit phng trỡnh mt phng ( P ) i qua ba im B, C v D.
uuur
uuur
+) BC = ( - 2 ;1 ; - 1) , BD = ( 1; - 1; - 3) .
ur
uuur uuur
ộ
ự
Vộc t phỏp tuyn ca (P) l n = ờBC , B D ỳ= ( - 4; - 7;1) .
ở
ỷ
+) Phng trỡnh mt phng (P): - 4 ( x - 1) - 7 ( y - 0) + ( z - 1) = 0.
Vy phng trỡnh mt phng (P) : 4x + 7y - z - 3 = 0.
b) Vit phng trỡnh mt cu (S) tõm A, tip xỳc vi mt phng (P).

(

)

+) Bỏn kớnh R = d A, ( P ) =

0.25

0

p/ 2

Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho bn im A ( - 1;1;2) , B ( 1; 0;1) ,


Cõu 6:
(1 im)

0.25
1 im

p/ 2

Tớnh tớch phõn I =

0.25

4.(- 1) + 7 - 2 - 3
42 + 72 + (- 1)2

=

2
66

.

2
.
33
Cho hỡnh lng tr A BC .A ' B 'C ' cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a. Hỡnh chiu
vuụng gúc ca A ' trờn mt phng (ABC) trựng vi tõm ng trũn ngoi tip tam
2


2

1 im
0,5 im
0,25

0,25
0,5 im
0,25

2

+) Phng trỡnh mt cu (S): ( x + 1) + ( y - 1) + ( z - 2) =

0,25
1 im


giác ABC. Góc giữa cạnh bên và mặt phẳng (ABC) bằng 60 0. Tính theo a thể tích
khối lăng trụ A BC .A ' B 'C ' và khoảng cách giữa hai đường thẳng A A ' với BC.

+) Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC Þ A 'H ^ (A BC )
+) HA là hình chiếu A’A trên mặt phẳng (ABC) nên
·
·
é
A 'A, ( A BC ) ù
= ( A 'A, A H ) = A· 'A H = 600
ê
ú

ë
û
+ ) S A BC = a

2

3

2a 3 a 3
a 3
=
;A ' H =
3 =a
4
3 2
3
3
a3 3
+) V A BC .A 'B 'C ' = S A BC .A ' H =
(đvtt)
4
3V ' ' '
2V
' ' '
'
'
' '
+) AA’//(BB’C’C) Þ d A A , BC = d A ,(BB C C ) = A .BB C C = A BC .A B C
S BB 'C 'C
S BB 'C 'C

, AH =

(

)

(

)

025
025

025

+) Chứng minh BC ^ A H , BC ^ A 'H Þ BC ^ AA ' Þ BC ^ BB '
2
+) Þ S ' " = BC .BB ' = 2a 3
BB C C
3
3a
+) Vậy d A A ' , BC =
4
Cho 10 bông hồng trắng và 7 bông hồng nhung khác nhau. Tính xác suất để lấy
được 5 bông hồng trong đó có ít nhất 3 bông hồng nhung.

(

Câu 8
(0,5

điểm

025

)

+) Để lấy được ít nhất 3 bông hồng nhung trong 5 bông hồng ta có các TH sau:
3
2
TH1: 3 bông hồng nhung, 2 bông hồng trắng có: C 7 .C 10 = 1575 cách
4
1
+) TH2: 4 bông hồng nhung, 1 bông hồng trắng có: C 7 .C 10 = 350 cách

05

0.25

5
TH3: 5 bông hồng nhung có: C 7 = 21 cách
+) Þ có 1575 + 350 + 21 = 1946 cách.

5
+) Số cách lấy 4 bông hồng thường C 17 = 6188 Þ P =

1946
» 31, 45%
6188

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hình thoi ABCD với AC có phương trình là:

x + 7y - 31 = 0 , hai đỉnh B,C lần lượt thuộc đường thẳng d1 : x + y - 8 = 0;
d2 : x - 2y + 3 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình thoi biết rằng diện tích hình thoi
Câu 9
(1 điểm)

bằng 75 và đỉnh A có hoành độ âm .

0.25

1 điểm


0.25

x+y-8=0
B

A

I

x+7y-31=0
C

+) B thuc

x-2y+3=0

D


d1 ị B ( t 1; 8 - t 1 )

v D thuc d2 ị D ( 2t 2 - 3; t 2 )
uuur
ị BD = ( 2t 2 - t 1 - 3; t 2 + t 1 - 8)
+) Do BD vuụng gúc AC suy ra:
uuur
r
2t - t - 3 t2 + t1 - 8
BD cuứng phửụng n = ( 1; 7) ị 2 1
=
1
7
13t2 - 8t1 = 13 ( 1)
ổ
ử
ỗt 1 + 2t 2 - 3 ; 8 - t 1 + t 2 ữ
ữ
+) Khi ú trung im I ca BD : I ỗ
ữ
ỗ
ữ
ỗ
2
2
ố
ứ
ổ
t + 2t 2 - 3
8 - t1 + t2 ử

ữ
ữ
ỗ
+ 7ỗ
- 31 = 0
+) I thuc d : 1
ữ
ỗ
ữ
ỗ
2
2
ố
ứ

0.25

9t 2 - 6t 1 = 9 3t 2 - 2t 1 = 3
ỡù t = 0 ị B ( 0; 8)
ỡù 13t - 8t = 13
1
ù 2
ớù 1
+) Vy ta cú h : ớ
ùù 3t 2 - 2t 1 = 3
ùù t 2 = 1 ị D = ( - 1;1)
ợ
ùợ
uuur
x

y- 8
+) T ú suy ra : BD = 5 2; BD = ( 1;7 ) ị ( BD ) : =
7x - y + 8 = 0
1
7
+) Gi C thuc AC
ị C = ( 31 - 7t ; t ) d ộ
C ; BD ự
ờ
ỳ
ở
ỷ=

7 ( 31 - 7t ) - t + 8
5 2

=

5
2

9 - 2t

+) T gi thit :
1
ự= 5 2. 5 9 - 2t = 75 9 - 2t = 3
S A BCD = 2S BCD = 2 BD .d ộ
C;BD
ờ
ỳ

ở
ỷ
2
2
ột = 6 đ C = ( - 11;6)
ộ9 - 2t = - 3
ờ
ờ

ờt = 3 ị C = 10; 3 .
ờ9 - 2t = 3
( )
ờ
ờ
ở
ở
+) Mt khỏc A di xng vi B qua I cho nờn ta tỡm c ta A .
ổ1 ử
ữ
ị A = ( 10; 0) ( loi vỡ A cú honh õm ).
ỗ- ; 3ữ
Vi C(-11;6 ) v I = ỗ
ữ
ữ
ỗ
ố 2 ứ
ổ1 ử
ữ
- ; 3ữ
ỗ

Vi C(10;3 ) I = ỗ
thỡ A = ( - 11; 3) ( chn )
ữ
ỗ
ữ
ố 2 ứ

0.25

0.25

+) Vy cỏc nh hỡnh thoi tha món l A(-11;3), B(0;8), C(10;3) v D(-1;1)

Cho a, b, c l cỏc s thc dng tha món a + b + c =

1
. Tỡm giỏ tr ln nht
2

1 im


biu thc P =

Cõu 10
(1 im)

ab
bc
ca

+
+
( 1 - a ) ( 1 - b) ( 1 - b) ( 1 - c ) ( 1 - c ) ( 1 - a )

ổ 1ử
ữ
0; ữ
ỗ
+) Ta cú a, b, c ẻ ỗ
; t x = a ữ
ỗ
ữ
ố 2ứ
ổ
T iu kin suy ra x , y , z ẻ ỗ
ỗ- 1; ỗ
ố

1, y = b - 1, z = c - 1

0.25

1ử
5
ữ
ữ
v x + y + z = ữ
ữ
2ứ
2

x
,
y
,
z
+) p dng Cụ si cho 3 s dng
, ta cú
5
- x - y - z - 3 3 xyz - Ê 3 xyz < 0
6
Mt khỏc ( 1 - a ) ( 1 - b) = ( a - 1) ( b - 1) = ab - a - b + 1
ị ab = ( a - 1) ( b - 1) + a + b - 1 = ( a - 1) ( b - 1) - ( c - 1) Do ú:

2 ( c - 1) + 3

0.25

ab
2z + 3
= 1= 12xy
2 ( 1 - a ) ( 1 - b)
( 1 - a ) ( 1 - b)
bc
2x + 3
ca
2y + 3
= 1;
= 12yz
2xz
( 1 - b) ( 1 - c )

( 1 - c) ( 1 - a)

Tng t:
+)

3
2

P = 3-

Xeựt Q =
Q=

1ổ
2x + 3 2y + 3 2z +
ỗ
+
+
ỗ
2ỗ
xz
xy
ố yz

3ử
ữ
ữ
ữ
ữ
ứ


2x + 3 2y + 3 2z + 3
+
+
yz
xz
xy

(

)

2 x 2 + y 2 + z 2 + 3( x + y + z )
xyz

12 3 x 2y 2z 2 - 15
2xyz
ộ 5 ử
ữ, ta cú
- ; 0ữ
+) t t = 3 xyz , t ẻ ờ
ờ 6 ữ
ữ
ứ
ở

0.25
=

(


)

4 x 2 + y 2 + z 2 - 15
2xyz

Q

ộ
12t 2 - 15
, t ẻ ờờ
2t 3
ở
2
ộ 5 ử
45 - 12t
ờ- ; 0ữ
ữ
g/ ( t ) =
>
0,
"
t
ẻ
4
ờ 6 ữ
ữ
2t
ứ
ở


Xột hm s

g(t) =

12t 2 - 15
2t 3
5 ử
ữ
; 0ữ
ữ
6 ữ
ứ

Q

ộ 5 ử
ữ
- ; 0ữ
Suy ra g ( t ) l hm ng bin vi mi t ẻ ờ
ờ 6 ữ
ữ
ứ
ở
ổ 5ử
144
ữ
=
ỗ- ữ
Suy ra Q g ( t ) g ỗ

ữ
ữ
ỗ
ố 6 ứ 25
Suy ra

P Ê 3-

+) Vy max P =

72
3
=
25 25

3
5
1
t c khi x = y = z = - a = b = c =
25
6
6

-----------------------Ht-----------------------

0,25