- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 11
Toan 10 dien bien
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (216.84 KB, 6 trang )
TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN
ĐỀ THI MÔN TOÁN HỌC
KHỐI 10
(Đề thi này có 1 trang, gồm 5 câu)
ĐỀ THI ĐỀ XUẤT
(Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian giao đề )
Câu 1. ( 4 điểm). Giải hệ phương trình
(2 x − 3).( x + y ) = −1
2
2
2
( x + y ) .[4(x + xy + y ) − 7] = −3
Câu 2. ( 4 điểm).
Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Một đường thẳng bất kì đi
qua O cắt AC, AB lần lượt tại D, E. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
đoạn BD, CE, DE. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, P, O cùng nằm trên một
đường tròn.
Câu 3. ( 4 điểm) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 . Chứng minh rằng:
xy + z + 2 x 2 + 2 y 2 ≥ 1 + xy
Câu 4. ( 4 điểm).
Trong mặt phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có các đỉnh là những điểm có
tọa độ nguyên. Chứng minh rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một
điểm có tọa độ nguyên.
Câu 5. ( 4 điểm). Tìm các số x, y, z nguyên dương sao cho
2 xy − 1 = z ( x − 1)( y − 1)
.................HẾT.....................
Hán Văn Sơn – ĐT 0912822566
1
TRẠI HÈ HÙNG VƯƠNG LẦN THỨ X
TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN ĐIỆN BIÊN
Bài
HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN HỌC
KHỐI 10
(Gồm 4 trang)
Nội dung
ĐK x + y ≠ 0. Hệ đã cho có dạng
3
2
4( x + y ) + 4 xy + ( x + y )2 = 7(1)
2 x + 1 = 3(2)
x+ y
3
3( x + y ) 2 + 6 +
+ ( x − y ) 2 = 13
2
( x + y)
2
1
⇔ 3 x + y +
+ ( x − y) 2 = 13 (*)
÷
x+ y
1
Từ phương trình thứ hai ta suy ra
1.0
1.0
1
= 3 − 2x , thế vào phương
x+ y
3( x + y + 3 − 2 x) 2 + ( x − y ) 2 = 13
trình (*) ta được
Điểm
⇔ 4( x − y ) 2 − 18( x − y ) + 14 = 0
1.0
x − y =1
⇒
x − y = 7
Thế vào 2 ta được (x ;y)=(1 ;0) ;
5 + 3 −9 + 3
5 − 3 −9 − 3
( x, y ) = (
;
);( x, y ) = (
;
)
2
2
2
2
2
1.0
2
1.0
Ta có: PN, PM theo thứ tự là đường trung bình của tam giác ECD,
DEB nên
.Suy ra:
(1).
Gọi K, L lần lượt là điểm đối xứng của B, C qua tâm O. LE cắt
đường tròn (O) tại điểm thứ hai F. Áp dụng định lý Pascal cho 6
điểm A, L, B, F, C, K ta có giao điểm của LF và AB, KF và AC, BK
và LC thẳng hàng. Mà E, O, D thẳng hàng nên D là giao điểm của
FK và AC.
Do BK, CL là đường kính của đường tròn (O) nên
hay các đường tròn đường kính BD, đường kính
CE và (O) cùng đi qua F.
Suy
ra
.
Từ
đó
suy
ra:
(2).
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh.
3
1.0
1.0
1.0
3
Cần chứng minh
xy + z ( x + y + z ) + 2 x 2 + 2 y 2
≥1
x + y + z + xy
⇔
( x + z) ( y + z) +
1,0
2 x 2 + 2 y 2 ≥ x + y + z + xy
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
2 x 2 + 2 y 2 = 2 ( x + y ) − 4 xy ≥ 2 ( x + y ) − ( x + y ) = ( x + y )
2
2
2
2
1,0
⇒ 2 x2 + 2 y 2 ≥ x + y
Cần chứng minh:
( z + x) ( z + y)
≥ z + xy
⇔ z + xy + z ( x + y ) ≥ z + xy + 2 z xy ⇔ z
2
2
(
x− y
)
2
1,0
≥ 0 (Đúng)
1
x = y =
2
Đẳng thức xảy ra ⇔
z = 0
1,0
Trong mặt phẳng tọa độ cho một ngũ giác lồi có các đỉnh là những
điểm có tọa độ nguyên.
Chứng minh rằng bên trong hoặc trên cạnh ngũ giác có ít nhất một
điểm có tọa độ nguyên.
4
Coi đỉnh Ai (xi; yi), i = 1, 2, 3, 4, 5.
(xi; yi) có thể rơi vào những trường hợp sau:
(2k; 2k’), (2k; 2k’+1), (2k+1; 2k’ + 1), ( 2k +1; 2k’) với k, k’ ∈ Z
1.5
Do đa giác có 5 đỉnh nên theo nguyên lí Đi rich lê, có ít nhất 2 đỉnh
có tọa độ thuộc một trong bốn kiểu trên.
1.5
Khi đó trung điểm của đoạn nối 2 đỉnh ấy sẽ có tọa độ nguyên.
Do ngũ giác là lồi nên điểm này ở miền trong hoặc trên cạnh của
ngũ giác đó.
1.0
4
5
x, y, z ∈ N , 2 xy − 1 là số lẽ ⇒ z ( x − 1)( y − 1) là số lẻ
⇒ x, y là số chẵn, còn z là số lẻ
1.0
Không mất tính tổng quát, coi rằng: x ≥ y
( a, b lẻ và
a ≥ b)
2 2 1
+ + ∈ N*
a b ab
(2)
Đặt: a = x − 1 ; b = y − 1
PT (1) trở thành:
2( a + 1)( b + 1) − 1 = zab ⇒
Nếu a = b thì
⇒
4a + 1
4a 2 + a
1
*
∈
N
⇒
= 4+ ∈ N*
2
2
a
a
a
1
∈ N* ⇒ a =1
a
1.0
( b = 1)
Tìm được ( x, y, z ) = ( 2;2;7 )
Nếu a ≥ b ≥ 1
2
a
2
b
* Xét: b ≥ 4 ⇒ a ≥ 5 ⇒ 0 ≤ + +
⇒
1 2 2 1 19
≤ + +
=
ab 5 4 20 20
1.0
2 2 1
+ + ∉ N*
a b ab
Vậy, b < 4 , b lẻ nên b ∈ {1;3}
3
a
* Xét b = 1 ⇒ ∈ N * (do: (2))
a > 1 do đó: a = 3
Tìm được ( x, y, z ) = ( 2;4;5)
* Xét b = 3 , từ (2) ⇒
7 2
+ ∈N* ; a > 3⇒ a = 7
3a 3
Tìm được: ( x; y; z ) = ( 4,8,3)
Do vai trò x, y như nhau nên pt (1) có 5 nghiệm
( x; y; z ) ∈ { ( 2;2;7 ); ( 2;4;5); ( 4;2;5); ( 4;8;3); ( 8;4;3)}
5
1.0
6
