Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

Tiết dạy: 05-10
I.

CHUẨN KIẾN THỨC, KĨ NĂNG:

PHƯƠNG
TRÌNH
LƯỢNG
GIÁC CƠ
BẢN

II.

Chương I: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Chủ đề 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN

Kiến thức:
− Biết được các PTLG cơ bản và công thức
nghiệm của các PT đó.
Kĩ năng:
− Giải thành thạo các PTLG cơ bản.
− Biết cách biểu diễn nghiệm của PTLG cơ bản
trên đường tròn lượng giác.
− Biết sử dụng MTBT hỗ trợ tìm nghiệm PTLG cơ
bản.
Thái độ:
− Rèn luyện tính cẩn thận, chính xác.
− Luyện tư duy linh hoạt thông qua việc viết công

thức nghiệm của PTLG cơ bản.
BẢNG MÔ TẢ CÁC MỨC YÊU CẦU CẦN ĐẠT:

NỘI DUNG

NHẬN BIẾT

PHƯƠN
G TRÌNH
sin x = m

Tìm hiểu công Biết công thức
thức nghiệm
nghiệm của
của phương
phương trình
sin
x
=
m
sin x = m
trình

THÔNG
HIỂU
Hiểu được
các bước giải
phương trình
sin x = m


PHƯƠN
G TRÌNH
cos x = m

Tìm hiểu công Biết công thức
thức nghiệm
nghiệm của
của phương
phương trình
cos
x
=
m
cos x = m
trình

Hiểu được
các bước giải
phương trình
cos x = m

Giải được một
số phương
trình lượng
cos x = m

PHƯƠN
G TRÌNH
tan x = m


Tìm hiểu công Biết công thức
thức nghiệm
nghiệm của
của phương
phương trình
trình tan x = m tan x = m

Hiểu được
các bước giải
phương trình
tan x = m

Giải được một
số phương
trình lượng
tan x = m

PHƯƠN
G TRÌNH
cot x = m

Tìm hiểu công Biết công thức
thức nghiệm
nghiệm của
của phương
phương trình
trình cot x = m cot x = m

Hiểu được
các bước giải

phương trình
cot x = m

Giải được một
số phương
trình lượng
cot x = m

1

VẬN DỤNG
THẤP
Giải được một
số phương
trình lượng
sin x = m

VẬN DỤNG CAO
Giải được một số
phương trình lượng
giác bằng cách sử
dụng một số phép
biến đổi đưa về
phương trình
sin x = m
Giải được một số
phương trình lượng
giác bằng cách sử
dụng một số phép
biến đổi đưa về

phương trình
cos x = m
Giải được một số
phương trình lượng
giác bằng cách sử
dụng một số phép
biến đổi đưa về
phương trình lượng
giác cơ bản
Giải được một số
phương trình lượng
giác bằng cách sử
dụng một số phép
biến đổi đưa về
phương trình lượng


Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
giác cơ bản
Giáo viên: Giáo án. Hình vẽ minh hoạ đường tròn lượng giác
Học sinh: SGK, vở ghi. Ôn tập cách biểu diễn cung LG trên đường tròn LG.
III.
NĂNG LỰC HƯỚNG TỚI
*Năng lực chủ yếu:
- Năng lực tư duy
- Năng lực tính toán
*Năng lực cần phát triển:
- Năng lực tự học
- Năng lực giải quyết vấn đề
- Năng lực sử dụng công cụ tính toán (MTCT)

IV.
PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
Phương pháp tương tự,nêu vấn đề, giải quyết vấn đề kết hợp đàm thoại gợi mở
V. HOẠT ĐỘNG DẠY HỌC:
1. Ổn định tổ chức: Kiểm tra sĩ số lớp.
2. Kiểm tra bài cũ: (3′)
H. Nêu tập xác định và tập giá trị của các HSLG: y = sin x , y = cos x, y = tan x , y = cot x ?
Đ.
3. Giảng bài mới:
TL
Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
Hoạt động 1: Tìm hiểu công thức nghiệm của phương trình sin x = m
1. Phương trình sin x = m (1)
• GV hướng dẫn HS tìm công
15' thức nghiệm của (1).
Nếu α là một nghiệm của (1)
H1. Tìm một số nghiệm của
thì:
π
5π
Đ1. x = ; x =
1
 x = α + k 2π
6
6
sin x = m ⇔ 
phương trình: sin x = ?
2

 x = π − α + k 2π
(k ∈ Z)

Nhận xét:
– Nếu m > 1 thì PT vô nghiệm
– Với m cho trước mà m ≤ 1 ,
PT (1) có đúng một nghiệm
 π π
thuộc đoạn  − ;  . Người
 2 2
ta thường kí hiệu nghiệm đó là
arcsin m . Khi đó:
 x = arcsin m + k 2π
(1) ⇔ 
 x = π − arcsin m + k 2π
VD1. Giải các phương trình:
1
a) sin x = .
2
1
b) sin x = .
3

• GV giới thiệu kí hiệu
arcsin m .

H2. Viết công thức nghiệm của Đ2.
các phương trình?
π
5π

+ k 2π
a) x = + k 2π ; x =
6
6
1
b) x = arcsin + k 2π ;
3
1
x = π − arcsin + k 2π
3
Hoạt động 2: Tìm hiểu công thức nghiệm của một số PT đặc biệt

2


Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
7'

• GV hướng dẫn HS tìm công
thức nghiệm của một số PT đặc
biệt.
H. Tìm x ∈ [ −π ; π ] để:
a) sin x = 1
b) sin x = −1
c) sin x = 0

H1. Nêu cách giải?
15'

H2. Nêu cách giải?


• Các nhóm thảo luận và trình Một số trường hợp đặc biệt:
bày.
π
• sin x = 1 ⇔ x = + k 2π
2
π
π
Đ. a) x =
sin
x
=
−
1
⇔
x
=
−
+ k 2π
•
2
2
π
• sin x = 0 ⇔ x = kπ
b) x = −
2
c) x = 0; x = π
Hoạt động 3: Luyện tập
Đ1. Các nhóm thảo luận và VD2: Giải các phương trình:
trình bày.

2
a) sin x =
π
3π
2
+ k 2π
a) x = + k2π , x =
4
4
1
b) sin(3 x + 1) =
π 1
2π
2
b) x = − + k
,
18 3
3
x π
3
5π 1
2π
c) sin  − ÷ = −
x=
− +k
2
2 3
18 3
3
2

10π
d) sin(3x + 1) =
+ k 4π
c) x = k 4π , x =
3
3
1
2 
2π
d) x =  arcsin − 1÷+ k
3
3 
3
π 1
2 
2π
x = −  arcsin − 1÷+ k
3 3
3 
3
Đ2. Các nhóm thảo luận và VD3: Giải các phương trình:

π

π
trình bày.
a) sin  2 x − ÷ = sin  + x ÷
2π
π
2π

5

5

+ k 2π , x = + k
a) x =
b) sin 2 x = sin x
5
3
3

π
π
2π
b) x = k 2π , x = + k
c) sin  3 x + ÷ = 0
3
3
3

π
π
3
c) x = − + k
d) sin( x + 200 ) =
9
3
2
d) x = 400 + k 3600 ,
x = 1000 + k 3600

Hoạt động 4: Củng cố

sin u = sin v
u = v + k 2π
⇔ 
u = π − v + k 2π
TL Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
Hoạt động 1: Tìm hiểu công thức nghiệm của phương trình cos x = m
2. Phương trình cos x = m (2)
• GV hướng dẫn HS tìm công
15' thức nghiệm của (2).
Nếu α là một nghiệm của (2)
thì:
 x = α + k 2π
cos x = m ⇔ 
 x = −α + k 2π
(k ∈ Z)
Nhận xét:

3'

Nhấn mạnh:
– Công thức nghiệm của PT.
– Các trường hợp đặc biệt.

3



Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
– Nếu m > 1 thì PT vô nghiệm
– Với m cho trước mà m ≤ 1 ,
PT (2) có đúng một nghiệm
thuộc đoạn [ 0; π ] . Người ta
thường kí hiệu nghiệm đó là
arccos m . Khi đó:
 x = arccos m + k 2π
(2) ⇔ 
 x = − arccos m + k 2π
VD1. Giải các phương trình:
1
a) cos x = .
2
1
b) cos x = .
3

• GV giới thiệu kí hiệu
arccos m .
H1. Viết công thức nghiệm của
các phương trình?

Đ1.

π
+ k2π
3
1
b) x = ± arccos + k 2π

3
Hoạt động 2: Tìm hiểu công thức nghiệm của một số PT đặc biệt
• GV hướng dẫn HS tìm công • Các nhóm thảo luận và trình Một số trường hợp đặc biệt:
7' thức nghiệm của một số PT đặc bày.
• cos x = 1 ⇔ x = k 2π
biệt.
• cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π
Đ.
π
H. Tìm x ∈ [ −π ; π ] để:
• cos x = 0 ⇔ x = + kπ
x
=
0
a)
2
a) cos x = 1
b) x = ±π
b) cos x = −1
π
c) cos x = 0
c) x = ±
2
Hoạt động 3: Luyện tập
H1. Nêu cách giải?
Đ1. Các nhóm thảo luận và VD2: Giải các phương trình:
15'
trình bày.
2
a) cos x =

π
2
a) x = ± + k2π
4
1
b) cos(3 x + 1) =
π 1
2π
2
b) x = ± − + k
9 3
3
x π
2
13π
c) cos  − ÷ = −
+ k 4π ,
c) x =
2
2 3
6
2
5π
d) cos(3 x + 1) =
x=−
+ k 4π
3
6
a) x = ±


1
2 1
2π
d) x = ± arccos − + k
3
3 3
3

H2. Nêu cách giải?

Đ2. Các nhóm thảo luận và VD3: Giải các phương trình:
trình bày.

π

π
a) cos  2 x − ÷ = cos  + x ÷
2π
2π
+ k 2π , x = k
a) x =
5

5

5
3
b) cos(2 x + 1) = cos(2 x − 1)
π
b) x = k

2
4


Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
c) x =

π
π
+k
18
3

d) x = 100 + k 3600 ,
0

x = −50 + k 360

0


π
c) cos  3 x + ÷ = 0
3

d) cos( x + 200 ) =

3
2


Hoạt động 4: Củng cố
3'

Nhấn mạnh:
– Công thức nghiệm của PT.
– Các trường hợp đặc biệt.

cos u = cos v ⇔ u = ± v + k2π

TL Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
Hoạt động 1: Tìm hiểu công thức nghiệm của phương trình tan x = m
3. Phương trình tan x = m (3)
• GV hướng dẫn HS tìm công
15' thức nghiệm của (3).
Nếu α là một nghiệm của (3)
thì:
tan x = m ⇔ x = α + kπ
(k ∈ Z)
Nhận xét:
– Với mọi m cho trước, PT (3)
có đúng một nghiệm thuộc
 π π
đoạn  − ; ÷. Người ta
 2 2
• GV giới thiệu kí hiệu
thường kí hiệu nghiệm đó là
arctan m .
arctan m . Khi đó:

(3) ⇔ x = arctan m + kπ
H1. Viết công thức nghiệm của
Đ1.
các phương trình?
a) x =

π
+ kπ
3

1
b) x = arctan + kπ
3
H1. Nêu cách giải?
20'

H2. Nêu cách giải?

VD1. Giải các phương trình:
a) tan x = 3 .
b) tan x =

1
.
3

Hoạt động 2: Luyện tập
Đ1. Các nhóm thảo luận và VD2: Giải các phương trình:
trình bày.
3

a) tan x = −
π
3
a) x = − + kπ
6
b) tan(2 x − 1) = 3
π 1
π
b) x = + + k

π
6 2
2
c) tan  3 x + ÷ = −1
6

5π
π
+k
c) x = −
36
3
Đ2. Các nhóm thảo luận và
trình bày.
VD3: Giải các phương trình:
5π
π
+k
a) x =



π
π
24
2
a) tan  3 x − ÷ = tan  x + ÷
4
6


b) x = kπ
b) tan 2 x = tan x
c) x = 150 + k1800
5


Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
c) tan( x + 150 ) =

3
3

Hoạt động 3: Củng cố
3'

Nhấn mạnh:
– Công thức nghiệm của PT.
– Chú ý điều kiện xác định của
phương trình tan u = tan v .


tan u = tan v ⇔ u = v + kπ
( tan u,tan v được xác định)

TL Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
Hoạt động 1: Tìm hiểu công thức nghiệm của phương trình cot x = m
4. Phương trình cot x = m (4)
• GV hướng dẫn HS tìm công
15' thức nghiệm của (4).
Nếu α là một nghiệm của (4)
thì:
cot x = m ⇔ x = α + kπ
(k ∈ Z)
Nhận xét:
– Với mọi m cho trước, PT (4)
có đúng một nghiệm thuộc
đoạn (0; π ) . Người ta thường
kí hiệu nghiệm đó là arc cot m .
• GV giới thiệu kí hiệu
Khi đó:
arc cot m .
(4) ⇔ x = arc cot m + kπ
H1. Viết công thức nghiệm của Đ1.
π
các phương trình?
a) x = + kπ
6

1

b) x = arc cot + kπ
3

H1. Nêu cách giải?
20'

VD1. Giải các phương trình:
a) cot x = 3 .
b) cot x =

1
.
3

Hoạt động 2: Luyện tập
Đ1. Các nhóm thảo luận và VD2: Giải các phương trình:
trình bày.
3
a) cot x = −
π
3
a) x = − + kπ
3
b) cot(2 x − 1) = 3
π 1
π
b) x = + + k

π
12 2

2
c) cot  3 x + ÷ = −1
6

5π
π
+k
c) x = −
36
3

Đ2. Các nhóm thảo luận và
VD3: Giải các phương trình:
trình bày.
H2. Nêu cách giải?


π
π
5π
π
a) cot  3 x − ÷ = cot  x + ÷
+k
a) x =
4
6


24
2

• Chú ý điều kiện xác định của b) vô nghiệm
b) cot 2 x = cot x
phương trình.
0
0
c) x = 10 + k180
c) cot(2 x + 100 ) = 3

6


Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
H3. Nêu cách giải?

Đ2. Các nhóm thảo luận và
trình bày.
VD3: Giải các phương trình:
 2x + 1 
π 1
 2x + 1 
1
a) ⇔ cot 
÷ = cot  − ÷ a) cot 
÷ = tan
 6 
 2 3
3
 6 
3π − 3
b) tan(2 x + 1) + cot x = 0

+ k 3π
⇔ x=
2
π

b) ⇔ tan(2 x + 1) = tan  + x ÷
2

π
⇔ x = − 1 + kπ
2
Hoạt động 3: Củng cố

3'

Nhấn mạnh:
– Công thức nghiệm của PT.
– Chú ý điều kiện xác định của
phương trình: cot u = cot v .

cot u = cot v ⇔ u = v + kπ
( cot u,cot v được xác định)

TL Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
sin
x
=
m

,
cos
x=m
Hoạt động 1: Luyện tập giải PT
H1. Nêu công thức nghiệm?
Đ1.
1. Giải các phưpưng trình sau:
20'
π
π
π
π
π
+ k ,x = + k
a) x =
a) sin 4 x = sin
20
2
5
2
5
11π
x +π
1
+ k10π ,
=−
b) x = −
b) sin
6
5

2
29π
x
x=
+ k10π
c) cos = cos 2
6
2

π  2
c) x = ±2 2 + k 4π
d) cos  x + ÷ =
18  5

2 π
d) x = ± arccos − + k 2π
5 18
• GV hướng dẫn cách tìm •
7π
11π
nghiệm trong một khoảng.
;x=
a) x =
12
12
11π
13π
;x = 5−
b) x = 5 −
6

6

2. Tìm nghiệm của phương
trình trong khoảng đã cho:
1
a) sin 2 x = − với 0 < x < π
2

3
2
với −π < x < π .
Hoạt động 2: Luyện tập giải PT tan x = m, cot x = m
H1. Nêu công thức nghiệm?
Đ1.
3. Giải các phương trình sau:
10'
π 1
π
a) tan(2 x − 1) = 3
a) x = + + k
6 2
2
b) tan( x − 150 ) = 5
b) x = a + 150 + k1800
x

với tan a = 5
c) cot  + 200 ÷ = − 3
4


c) x = −2000 + k 7200
2π
d) cot 3 x = tan
π
π
+k
d) x =
5
30
3

7

b) cos( x − 5) =


Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
Đ2.
H2. Nêu công thức nghiệm và a)
cách tìm k?
x = −1500 , x = −600 , x = 300
4π
π
,x = −
b) x = −
9
9

4. Tìm nghiệm của phương
trình trên khoảng đã cho:

a) tan(2 x − 150 ) = 1
với −1800 < x < 900
1
b) cot 3 x = −
3
π
với − < x < 0
2

Hoạt động 3: Luyện tập tổng hợp
5. Tìm tập xác định của hàm
• GV hướng dẫn HS dựa vào •
10' việc giải PTLG cơ bản để tìm
số:

π
x
≠
−
+
k
2
π

ĐKXĐ của hàm số.
1 − cos x
4
a) y =
a) 
2sin x + 2

 x ≠ − 3π + l2π

4
sin( x − 2)
b) y =
2π
cos2 x − cos x
b) x ≠ k
3
tan x
c) y =

π
1 + tan x
 x ≠ − 4 + kπ
1
c) 
d) y =
π
 x ≠ + lπ
3 cot 2 x + 1
3


π
π
x ≠ − 6 + k 2
d) 
x ≠ l π


2
Hoạt động 4: Củng cố
Nhấn mạnh:
3' – Các công thức nghiệm của
PTLG cơ bản.
– Cách tìm nghiệm của PTLG
trên một khoảng.
– Cách vận dụng việc tìm
nghiệm PTLG cơ bản để tìm
tập xác định của HSLG.
TL Hoạt động của Giáo viên
Hoạt động của Học sinh
Nội dung
Hoạt động 1: Hướng dẫn ấn định đơn vị đo góc (độ hoặc radian)
1. Ấn định đơn vị đo góc (độ
5' • GV hướng dẫn trên MTBT.
hoặc radian)
• HS theo dõi và thực hiện.
• Muốn tìm số đo độ, ta ấn:
Dòng trên cùng màn hình xuất
hiện chữ D nhỏ.
• Muốn tìm số đo radian, ta ấn
Dòng trên cùng màn hình xuất
hiện chữ R nhỏ.
Hoạt động 2: Hướng dẫn tìm số đo góc
8


Đại số & Giải tích 11 Nâng cao
20'


• GV hướng dẫn trên MTBT.
• HS theo dõi và thực hiện.
m
độ
rad
0
sina
−0,5
 π
30
−0.52  − ÷
 6
cos α
−0,5
 2π 
1200
2,09 
÷
 3 
tana
−0,5
−0,46
−26033′54′′
sina
cos α

0,123
0,123


tana

82056′5′′

3

71033′54′′

0,12

703′55′′

1,45
1,25

2. Tìm số đo góc
• Để tìm α, khi biết sin a = m ,
ta ấn:
, rồi nhập m,
cuối cùng ấn phím
.
• Để tìm α, khi biết cos α = m ,
ta ấn:
, rồi nhập
m, cuối cùng ấn phím
.
tan
α
=
m

• Để tìm α, khi biết
,
ta ấn:
, rồi nhập
m, cuối cùng ấn phím
.
Chú ý:
– Ở chế độ số đo radian, các
phím sin −1,cos−1 cho kết quả
arcsin m,arccos m ( m ≤ 1 );
phím tan −1 cho arctan m .
– Ở chế độ số đo độ, các phím
sin −1,tan −1 cho kết quả là số
đo góc α từ −900 đến 900 ;
phím cos−1 cho số đo góc α từ
00 đến 1800 . Các kết quả đó
hiển thị dưới dạng số thập
phân. Để hiển thị dưới dạng độ
- phút - giây, ta ấn tiếp
.

Hoạt động 3: Hướng dẫn sử dụng MTBT để tìm nghiệm PTLG cơ bản
• GV cho HS sử dụng MTBT • Các nhóm thực hiện theo yêu VD: Giải các phương trình:
15' để tìm nghiệm gần đúng.
cầu.
1
a) sin x =
a) x ≈ 0,34 + k 2π ,
3
x ≈ π + 0,34 + k 2π

b) cos(2 x − 100 ) = 0,4
b) x ≈ 38013′ + k1800 ,

π
tan
3
x
−
0
0
c)

÷= 2
x ≈ −28 13′ + k180

4
π
π
d) cot 2 x = 2
c) x ≈ + 0,4 + k
12
3
π
d) x ≈ 0,23 + k
2
Hoạt động 4: Củng cố
Nhấn mạnh:
3' – Công thức nghiệm của các
PTLG cơ bản.
– Cách sử dụng MTBT để tìm

nghiệm (gần đúng) của PTLG
cơ bản.

9


Đại số & Giải tích 11 Nâng cao

VI.
RÚT KINH NGHIỆM, BỔ SUNG:
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................
.........................................................................................................................................................

10