BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÀNG HẢI
KHOA CƠ SỞ - CƠ BẢN
BỘ MÔN: CƠ HỌC

CƠ HỌC CHẤT LỎNG

TÊN HỌC PHẦN
TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

: CƠ HỌC CHẤT LỎNG
: ĐẠI HỌC CHÍNH QUI

HẢI PHÒNG -2015


MỤC LỤC

2


STT
NỘI DUNG
1
Một số khái niệm và phương trình cơ bản
1.1 Mở đầu
1.2 Các giả thiết, các tính chất cơ bản và các đại lượng đặc trưng cho chất lỏng.
1.3 Phân loại lực trong cơ học chất lỏng
1.4 Ten xơ ứng suất
1.5 Phương trình chuyển động theo ứng suất
2

Thuỷ tĩnh
2.1 Ten xơ ứng suất của chất lỏng tĩnh
2.2 Phương trình vi phân cân bằng Ơle và phương trình cơ bản thuỷ tĩnh
2.3 Cân bằng tương đối
2.4 Áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên hình phẳng
2.5 Áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên mặt cong. Định luật Acsimet
2.6 Cân bằng ổn định của vật trong chất lỏng
3
Động học chất lỏng
3.1 Hai phương pháp nghiên cứu chuyển động của chất lỏng.
3.2 Phân tích chuyển động của hạt lỏng
3.3 Phân loại chuyển động
3.4 Các đặc trưng của trường vận tốc và trường xoáy
3.5 Phương trình liên tục
4
Động lực học chất lỏng lý tưởng
4.1 Ten xơ ứng suất của chất lỏng lý tưởng
4.2 Phương trình chuyển động của chất lỏng lý tưởng
4.3 Phương trình Becnuli của chất lỏng lý tưởng áp dụng cho một đường dòng
5
Động lực học chất lỏng thực
5.1 Ten xơ ứng xuất của chất lỏng thực.
5.2 Phương trình chuyển động của chất lỏng thực không nén
5.3 Phương trình Becnuli của chất lỏng nhớt áp dụng cho một đường dòng
5.4 Cơ sở lý thuyết đồng dạng (lý thuyết đóng tàu)
5.5 Phương pháp phân tích thứ nguyên
6
Chuyển động một chiều của chất lỏng không chịu nén
6.1 Hai trạng thái chảy của chất lỏng.
6.2 Phương trình Becnuli của dòng chảy nhớt biến đổi dần

6.3 Định lý động lượng và định lý mômen động lượng
6.4 Tổn thất năng lượng
6.5 Tính toán dòng chảy tầng trong ống trụ tròn
6.6 Dòng chảy rối trong ống trụ tròn
6.7 Tổn Thất cột nước trong ống nhám
7
Tính toán thủy lực đường ống
7.1 Phân loại đường ống và công thức tính
7.2 Tính toán thủy lực đường ống dài
7.3 Tính thủy lực đường ống ngắn với đường ống ngắn phải tính cả hd và hc
8
Chuyển động phẳng không xoáy của chất lỏng lý tưởng
8.1 Bổ túc về số phức
8.2 Hàm dòng – Hàm thế – Hàm phức
8.3 Một số dòng không xoáy

TRANG
7
7
7
9
10
11
13
13
13
15
18
20
23

33
33
34
35
36
38
43
43
43
45
51
51
52
53
54
57
61
61
62
64
67
70
72
75
82
82
83
89
93
93

96
98
3


9
9.1
9.2
9.3
9.4
9.5
9.6

Lý thuyết cánh
Khái niệm về cánh
Áp dụng phép biến hình
Xác định lưu số vận tốc
Hai công thức Traphighin
Định lý Giucôpxki - công thức tính M0
Các prôphin lý thuyết

108
108
109
111
112
113
116

YÊU CẦU VÀ NỘI DUNG CHI TIẾT

Tên học phần: CƠ CHẤT LỎNG.

Loại học phần: 1
4


Bộ môn phụ trách giảng dạy: Bộ môn Cơ học
Mã học phần: 22204
Tổng số TC: 3
TS tiết
Lý thuyết
TH/ Xêmina
Tự học
Bài tập lớn
Đồ án
45
45
0
0
0
0
Điều kiện tiên quyết: Sinh viên phải học xong Toán học cao cấp và Cơ học lý thuyết.
Mục đích của học phần:
+ Cung cấp các kiến thức cơ bản về chuyển động cơ học của chất lỏng.
+ Rèn luyện tư duy khoa học.
Nội dung chủ yếu: Gồm 2 phần:
1. Các kiến thức cơ bản về chuyển động cơ học của chất lỏng.
2. Các chuyên đề riêng cho từng ngành học.
Nội dung chi tiết của học phần:
PHÂN PHỐI SỐ TIẾT

TÊN CHƯƠNG MỤC
TS
LT
BT
TH
KT
Chương I. Mở đầu.
4
4
1.1 Mở đầu:
1.2 Các giả thiết, các tính chất cơ bản và các đại lượng
đặc trưng cho chất lỏng.
1.3 Phân loại lực trong cơ học chất lỏng.
1.4. Ten xơ ứng suất.
1.5 Phương trình chuyển động theo ứng suất.
Chương II. Thuỷ tĩnh
13
6
7
2.1. Ten xơ ứng suất của chất lỏng tĩnh
2.2. Phương trình vi phân cân bằng Ơle và phương trình
cơ bản thuỷ tĩnh
2.3 Cân bằng tương đối
2.4 Cân bằng của chất lỏng nén được
2.5. Áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên hình phẳng
2.6. Áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên mặt cong. Định luật
Acsimet
2.7. Cân bằng ổn định của vật trong chất lỏng
Kiểm tra
Chương III. Động học chất lỏng.


1
3

3

0

1

5

2

3

3.1 Hai phương pháp nghiên cứu chuyển động của chất
lỏng.
3.2: Phân tích chuyển động của hạt lỏng
3.3: Phân loại chuyển động
3.4: Các đặc trưng của trường vận tốc và trường xoáy
3.5: Phương trình liên tục
Chương IV. Động lực học chất lỏng lý tưởng.
4.1 Ten xơ ứng suất của chất lỏng lý tưởng
4.2 Phương trình chuyển động của chất lỏng lý tưởng
4.3 Phương trình Becnuli của chất lỏng lý tưởng áp dụng
cho một đường dòng
5



Kiểm tra
Chương V. Động lực học chất lỏng thực.
5.1 Ten xơ ứng xuất của chất lỏng thực.
5.2. Phương trình chuyển động của chất lỏng thực không
nén
5.3 Phương trình Becnuli của chất lỏng nhớt áp dụng cho
một đường dòng
5.4 Cơ sở lý thuyết đồng dạng (lý thuyết đóng tàu)
5.5 Phương pháp phân tích thứ nguyên
Kiểm tra
Chương VI. Chuyển động một chiều của chất lỏng
6.1 Hai trạng thái chảy của chất lỏng.
6.2. Phương trình Becnuli của dòng chảy nhớt biến đổi
dần
6.3 Tổn thất năng lượng
6.4 Tính toán dòng chảy tầng trong ống trụ tròn
6.5 Dòng chảy rối trong ống trụ tròn
6.6 Tổn Thất cột nước trong ống nhám
6.7 Động lượng, phương trình động lượng đối với dòng
chảy
6.8 Ví dụ

1
6

1
9

1
5


1

1
6

3

1

Kiểm tra
Chương VII. Tính toán thủy lực đường ống

1

6

2

4

5

5

0

5

5


0

7.1 Phân loại đường ống và công thức tính
7.2 Tính toán thủy lực đường ống dài
7.3 Tính thủy lực đường ống ngắn (ống xifông và đường
ống trong bơm lytâm)
Chương VIII. Chuyển động phẳng không xoáy của
chất lỏng lý tưởng không nén được.
8.1 Bổ túc về số phức
8.2 Hàm dòng – Hàm thế – Hàm phức
8.3 Một số dòng không xoáy
Chương IX. Lý thuyết cánh.
9.1 Khái niệm về cánh
9.2 Áp dụng phép biến hình
9.3 Xác định lưu số vận tốc Γ
9.4 Hai công thức Traphighin
9.5 Định lý Giucôpxki - công thức tính M0
9.6 Các prôphin lý thuyết
Nhiệm vụ của sinh viên: Lên lớp đầy đủ và chấp hành mọi quy định của nhà trường.
Làm bài tập lớn đúng hạn.
Tài liệu tham khảo:
1. Cơ học chất lỏng kỹ thuật - Trường đại học Hàng hải 2003.
Tác giả: Nguyễn Tất Đạt.
6


2. Bài tập cơ học chất lỏng - Trường đại học Hàng hải.
Tác giả: Phạm Thế Phiệt.
3.Thuỷ lực và khí động lực - Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật 1997.

Tác giả: PGS.PTS Hoàng Văn Quý.
4. Cơ học chất lỏng ứng dụng - Nhà xuất bản xây dựng Hà Nội 2005.
Tác giả: Hoàng Văn Quý, Nguyễn Đình Lương, Lê Bá Sơn, Đỗ Hữu Thành, Lê Văn Thuận.
5. Cơ học chất lỏng ứng dụng – Nhà xuất bản giáo dục
Tác giả: Phạm Văn Vĩnh – 2005
6. Thuỷ lực đại cương – Nhà xuất bản xây dựng1999
Tác giả: GS.TS Nguyễn Tài – PTS. Tạo Ngọc Cầu
7. Thuỷ Lực: - Nhà xuất bản đại học và trung học chuyên nghiệp
Tác giả: Vũ Văn Tảo - Nguyễn Cảnh Cầm
8. Cơ học chất lỏng ứng dụng – Nhà xuất bản khoa học kỹ thuật
Tác giả: Lê Danh Liên
Hình thức và tiêu chuẩn đánh giá sinh viên:
- Thi viết dọc phách, thời ngian làm bài: 75 phút
Thang điểm:
Điểm đánh giá học phần: Z = 0.2X + 0.8Y
Bài giảng này là tài liệu chính thức và thống nhất của bộ môn Cơ học và được dùng để giảng dạy
cho sinh viên.
Ngày phê duyệt:
Trưởng Bộ môn: Ths. Nguyễn Hữu Dĩnh

Chương I: Một số khái niệm và phương trình cơ bản
1.1 Mở đầu:

7


* Có học chất lỏng nghiên cứu trạng thái cân bằng và chuyển động cơ học của chất lỏng và sự
tương tác của chất lỏng với các vật thể tiếp xúc với nó.
* Chất lỏng bao gồm:
- Chất lỏng ở thể lỏng (chất lỏng hạt hay chất lỏng không nén đựơc) là chất lỏng có thể tích

thay đổi rất ít coi như không đổi khi thay đổi áp suất và nhiệt độ hay khối lượng riêng không đổi ρ=
const Ví dụ: nước, dầu, kim loại nóng chảy….
- Chất lỏng ở thể khí (chất lỏng nén được) là chất lỏng có thể tích thay đổi khi thay đổi áp
suất và nhiệt độ. Hay ρ ≠ const.
- Chất lỏng nhớt (µ ≠0) hay chất lỏng thực.
- Chất lỏng không nhớt (µ = 0) hay chất lỏng lý tưởng.
- Chất lỏng Nuitơn: Là chất lỏng tuân theo quy luật về lực nhớt của Nuitơn.
- Chất lỏng phi Nuitơn: là chất lỏng không tuân theo quy luật về lực nhớt của Niutơn.
* Phương pháp nghiên cứu: Lý thuyết và thực nghiệm
1.2 Các giả thiết, các tính chất cơ bản và các đại lượng đặc trưng cho chất lỏng.
1.2.1 . Hai giả thiết của chất lỏng.
- Chất lỏng được coi là môi trường liên tục, tức là những phần tử chất lỏng điền đầy không
gian mà không có chỗ nào trống rỗng.
- Các đại lượng đặc trưng cho chất lỏng như khối lượng riêng, trọng lượng riêng, áp suất và
các đại lượng đặc trưng cho chuyển động của chất lỏng như vận tốc, gia tốc là các hàm liên tục theo
biến không gian, thời gian cũng như khả vi.
1.2.2 Một số tính chất cơ bản và đại lượng đặc trưng cho chất lỏng.
1.2.2.1 Tính có khối lượng.
- Chất lỏng có khối lượng., đại lượng đặc trưng là khối lượng riêng của chất lỏng ký hiệu ρ .
- ρ=

dm
dτ

- Khối lượng riêng của chất lỏng là khối lượng của một đơn vị thể tích lỏng cùng loại.
- Đơn vị: kg/m3
- Với chất lỏng không nén ρ = const
- Với chất lỏng nén được: ρ ≠ const
1.2.2.2. Tính có trọng lượng.
- Đại lượng đặc trưng: trọng lượng riêng của chất lỏng kí hiệu γ.

- γ=

dP
dτ

- Trọng lượng riêng của chất lỏng là trọng lượng của một đơn vị thể tích lỏng cùng loại
- Đơn vị: N/m3
8


- Mối liên hệ γ và ρ:
γ=

dP dmg
=
= g.ρ
dτ
dτ

1.2.2.3. Tính nhớt.
- Tính nhớt là tính chất của chất lỏng cản trở chuyển động trượt giữa các lớp chất lỏng do có
lực ma sát trong. Lực ma sát trên một đơn vị diện tích được gọi là ứng suất tiếp.
Vậy có thể nói: Tính nhớt là tính làm nảy sinh ứng suất tiếp giữa các lớp chất lỏng chuyển
động.
Chú ý: Chất lỏng cân bằng (tĩnh) thì ứng suất tiếp triệt tiêu.
- Theo giả thiết NiuTơn: Khi chất lỏng chuyển động trựơt tương đối trên nhau (chảy tầng) ứng
suất tiếp tính theo công thức.

τ = µ.


du
dy

Trong đó:µ: đại lượng đặc trưng cho tính nhớt gọi là hệ số nhớt động lực - phụ thuộc vào
nhiệt độ (nhiệt độ tăng thì độ nhớt giảm).
Đơn vị

µ:

Ns
m2

- Ngoài ra tính nhớt còn được đặc trưng bởi hệ số nhớt động học υ

υ=

µ
ρ

Đơn vị

υ : m2/s

- Chất lỏng không có tính nhớt (µ = 0 , υ = 0) còn gọi là chất lỏng lý tưởng
- Chất lỏng có tính nhớt (µ ≠0 , υ ≠0) còn gọi là chất lỏng nhớt hay chất lỏng thực.
1.2.2.4. Tính di động (tính chảy)
- Tính chảy là sự biến dạng liên tục dưới tác dụng của lực trượt (ứng suất tiếp) dù là rất nhỏ.
- Do tính di động nên chất lỏng không có hình dạng nhất định mà hình dạng phụ thuộc vào
hình dạng của bình chứa.
1.2.2.5. Tính thay đổi thể tích do thay đổi áp suất và nhiệt độ.

- Tính chất này gọi là tính nén được của chất lỏng. Khi đó khối lượng riêng là hàm của áp suất
và nhiệt độ.
- Với chất lỏng hạt xem như không nén nên gọi chất lỏng không nén khi đó ρ = const.
- Với chất lỏng khí có tính nén được rõ rệt khi đó ρ ≠ const.
1.2.2.6. Tính bốc hơi và tính hoà tan của chất khí trong nước.
- Bốc hơi là đặc trưng của chất lỏng hạt. Nó phụ thuộc vào loại chất lỏng, áp suất, nhiệt độ…
của môi trường xung quanh.
9


- Chất khí có thể hoà tan vào chất lỏng với 1 lượng phụ thuộc vào chất lỏng khác nhau và áp
suất môi trường.
- Trong trường hợp áp suất thấp, chất khí hoà tan bị tách ra khỏi chất lỏng rất mạnh, chất lỏng
bị bốc hơi nhiều sôi lên sẽ gây ra hiện tượng xâm thực (khí thực) làm hư hỏng các hệ thống thuỷ
lực, máy thủy lực.
1.3: Phân loại lực trong cơ học chất lỏng.
Tại một thời điểm t nhất định khối chất lỏng có thể tích τ giới hạn bởi mặt kín S có pháp
r
tuyến ngoài tại mỗi điểm là n .
Các lực tác dụng lên khối chất lỏng (đứng yên hoặc chuyển động) chia làm 2 loại.
1.3.1. Lực khối
- Lực khối là lực tác dụng lên mỗi một hạt lỏng không phụ thuộc vào các hạt lỏng khác
- Ví dụ: Trọng lực, lực quán tính.

- Để đặc trưng cho khối lượng người ta đưa ra khái niệm lực khối đơn vị ( F ) là lực khối tác
dụng trên một đơn vị khối lượng thể tích lỏng.


Ví dụ: Trọng lực đơn vị: P = − gk (nếu z hướng thẳng đứng lên trên).



Lực quán tính đơn vị Fqt = −a

- Vec tơ chính của lực khối tác dụng lên thể tích lỏng τ: Fkhèi
r

F
Fkhèi = ∫∫∫ ρdτ
(1.3.1)
τ

- Lực khối có thế:
Lực khối gọi là có thế nếu tồn tại một hàm vô hướng U(x,y,z,t) gọi là thế của lực sao cho:

F = − gradU
Hay: X = −

∂U
;
∂x

Y =−

∂U
∂y

; Z =−

∂U
∂z


(a)

Ví dụ: Trọng lực là lực có thế.

 
F = P dv = − gk
Thay vào (a) tích phân tìm được.
U = g.z + c (c là hằng số tuỳ ý)
1.3.2. Lực mặt
Lực mặt là lực tác động lên mặt giới hạn của thể tích ta xét.
Ví dụ:
- Về ngoại lực: áp lực không khí tác dụng vuông góc lên mặt tự do của chất lỏng.
Phản lực tác dụng vuông góc từ các biên rắn.
Về nội lực: Lực ma sát tác dụng theo phương tiếp tuyến giữa các lớp chất lỏng.
r
- Để đặc trưng cho lực mặt người ta đưa ra khai niệm lực mặt đơn vị: pn là lực mặt ứng với
một đơn vị diện tích.
- Véc tơ chính lực mặt tác dụng lên diện tích S:

10


r
r
FmÆt = ∫∫ pnds
r
r
F
=

p
mÆt
Ò
∫∫ nds
Nếu S kín

s

(1.3.2)

S


p n phụ thuộc vào hướng của ds, toạ độ của ds và thời gian hay:


p n = p n ( x, y , z , t ) là vectơ ứng suất.

Gọi n : Pháp tuyến ngoài của ds.
r
τ : Tiếp tuyến của ds.


r
Thì: p n = p nn + p nτ


p nn : ứng suất pháp theo phương pháp tuyến n
Có trị số ký hiệu: pnn = p gọi là áp suất
r

p nτ : ứng suất tiếp theo phương tiếp tuyến.
Có trị số ký hiệu p nτ = τ gọi là nội lực ma sát.


Có n là vectơ hướng vào trong của ds.
Theo nguyên lý tác dụng và phản tác dụng, lực tác dụng và lực phản tác dụng tác dụng trên

ds.



Có: p −n ds = − p n .ds


Vậy p −n = − p n
(13.3)


Lưu ý: n phương pháp tuyến ngoài tại mọi điểm trên diện tích S bất kỳ có vectơ ứng suất p n



Áp dụng trong hệ toạ độ Đềcác có: p x , p y , p z là ứng suất tại mỗi điểm trên các mặt tương
ứng nhận chiều dương trục x, y, z làm pháp tuyến ngoài.

z
Ví dụ: p x có ứng suất pháp pxx, ứng suất tiếp pxy và
pxz.
C
1.4. Ten xơ ứng suất.

r
n
r


Ta đi tìm mối quan hệ giữa p n với n tuỳ ý và p x ,
dz


p y , p z tại cùng 1 điểm M trong lòng chất lỏng
- Tưởng tượng tách ra khỏi môi trường lỏng một tứ
diện yếu tố MABC sao cho:
MA = dx theo chiều dương của trục x.
x
MB = dy theo chiều dương của trục y
MC = dz theo chiều dương của trục z
r
Gọi diện tích SABC = ds có pháp tuyến ngoài là n .
- Áp dụng định lý chuyển động khối tâm của thể tích lỏng.

 e
MWo = ΣFK


 mÆt  mÆt  mÆt  mÆt
MWo = Fkhèi + FMBC
+ FMAC + FMAB + FABC
r
Wo : Gia tốc khối tâm C


M

dy

B

y

dx
A

(a)

11


Ta có: M = ρ.

dx.dy.dz
6


 dx.dy.dz
Fkhèi = F .ρ .
6
rm
r
r dy.dz
r
FMBC

= p − x .SMBC = −p x .
= −p x .ds cos ( n, x )
2
m

 dx.dz

FMAC
= p − y .S MAC = − p y .
= − p y .ds cos( n, y )
2
m

 dx.dy

FMAB
= p − z .S MAB = − p z .
= − p z .ds cos( n, z )
2

(b)

m


FABC
= p n .S ABC = p n .ds

Thay (b) vào (a)


ρ

 dx.dy.dz  dy.dz  dx.dz  dx.dy 
dx.dy.dz 
Wo = Fρ
− px
− py
− pz
+ p n .ds
6
6
2
2
2

(c)

Cho A, B, C tiến dần về M thì dx, dy, dz tiến dần đến O do đó trong biểu thức (c) thì dx, dy,
dz là vô cùng bé bậc 3 (bậc cao nhất) bỏ qua. Vậy từ (c) sử dụng (b) cho ta:




pn .ds = p x .ds cos( n, x ) + p y .ds cos( n, y ) + p z dx. cos( n, z )




hay: pn = p x . cos( n, x ) + p y . cos( n, y ) + p z cos( n, z )
(1.4.1)

Chiếu (1.4.1) lên 3 trục tọa độ:
pnx =pxx cos(n, x) + pyx cos(n, y) + pzxcos(n, z)
pny =pxy cos(n, y) + pyy cos(n, y) + pzycos(n, z)
(1.4.2)
pnz =pxz cos(n, z) + pyz cos(n, y) + pzzcos(n, z)
Từ (1.4.2) nếu biết 9 thành phần trong đó:
Có 3 thành phần pxx, pyy, pzz gọi là ứng suất pháp và 6 thành phần có thể chứng minh được
từng cặp bằng nhau:
pxy = pyx ; pxz = pzx ; pyz = pzy gọi là các thành phần ứng suất tiếp.
Cho ta biết ứng suất tại 1 điểm bất kỳ trong lòng chất lỏng, 9 thành phần này lập nên một ma
trận gọi là Tenxơ ứng suất của chất lỏng
 p xx

 p xy
 p xz


p yx
p yy
p yz

p zx 

p zy 
p zz 

1.5 Phương trình chuyển động theo ứng suất.
Ta đi thiết lập mối liên hệ giữa chuyển động của hạt lỏng với sứng suất tại một điểm bất kỳ
trong lòng chất lỏng.
- Giả sử tại thời điểm t tưởng tượng tách ra khỏi môi trường lỏng một thể tích lỏng τ bất kỳ

được bao bởi mặt cong kín S có pháp tuyến ngoài n tại mỗi điểm.
- Áp dụng nguyên lý Đa lăm be cho thể tích τ.



( Fkhèi , FmÆt , Fqt ) ~ 0



Từ đó: ( Fkhèi + FmÆt + Fqt ) = 0

(a)
12


Trong đó:

r
r
Fkhèi = ∫∫∫ Fρdτ
τ

r
r
FmÆt = Ò
∫∫ pn dS
τ

r
r

r
dv
Fqt = − ∫∫∫ ρ.a.dτ = − ∫∫∫ ρ. .dτ
dt
τ
τ


v : Vận tốc của hạt lỏng dτ.

Từ công thức (1.4.1) và công thức Otstograsky Ganxơ ta có:
r
r
r
r
r
FmÆt = Ò
∫∫S p n dS = Ò
∫∫S p x cos ( n, x ) + p y cos ( n, y ) + p z cos ( n, z )  dS
r
r
r
 ∂p x ∂p y ∂p z 
= ∫∫∫ 
+
+
÷dτ
∂x
∂y
∂z 

τ 
Thay vào biểu thức (a) ta có:

r
r
r
r
r
∂p x ∂p y ∂p z
dv 
∫∫∫τ  Fρ + ∂x + ∂y + ∂z − ρ dt ÷ dτ = 0

Do chọn τ là tùy ý nên ta có:
r
r
r  ∂pr x ∂p y ∂pr z 
dv
Fρ + 
+
+
=0
÷− ρ
∂y
∂z 
dt
 ∂x
Chia cả 2 vế cho ρ ta có:
r
r
r

r
dv r 1  ∂p x ∂p y ∂p z 
= F+ 
+
+
÷
dt
ρ  ∂x
∂y
∂z 

(1.4.1)



Chiếu (1.4.1) lên 3 trục tọa độ Đề các với v ( u , v, w)

r
F ( X , Y, Z )

∂p
du
1  ∂p
∂p 
= X +  xx + yx + zx ÷
dt
ρ  ∂x
∂y
∂z 
∂p

∂p 
dv
1  ∂p
= Y +  xy + yy + zy ÷
dt
ρ  ∂x
∂y
∂z 

(1.4.1)'

∂p
dw
1  ∂p
∂p 
= Z +  xz + yz + zz ÷
dt
ρ  ∂x
∂y
∂z 
(1.4.1) , (1.4.1') là phương trình chuyển động theo ứng suất dạng vectơ và dạng hình chiếu.
Đây là phương trình cơ bản nhất của cơ học chất lỏng, áp dụng cho mọi loại chất lỏng: chất lỏng
không nén, chất lỏng nén được, chất lỏng lý tưởng, chất lỏng thực, chất lỏng cân bằng cũng như
chuyển động.

13


Chương II: Thuỷ tĩnh
Thuỷ tĩnh là phần cơ học chất lỏng nghiên cứu trạng thái cân bằng của chất lỏng và sự tương

tác của vật thể lỏng với vật thể tiếp xúc với nó.
Có 2 trạng thái cân bằng:
- Cân bằng tuyệt đối: Là chất lỏng đứng yên trong hệ toạ độ cố định gắn với trái đất.
- Cân bằng tương đối (cân bằng động) là chất lỏng tĩnh có chuyển động tương đối so với hệ
trục cố định gắn với trái đất.
2.1: Ten xơ ứng suất của chất lỏng tĩnh
Ta có ứng suất tại 1 điểm bất kỳ trong lòng chất lỏng:

r
r
v
p n = p nn + p nτ

(a)

Với chất lỏng tĩnh: pnτ = 0
Vậy trong tọa độ Đề các pxy = pyx = pxz = pzx= pyz = pzy = 0
Từ (a) tìm ứng suất pháp:



pnn = pn

(b)
(â)

 


Từ đó có: p nn n = p x cos( n, x ) + p y cos( n, y ) + p z cos( n, z )


(c)

Chiếu â lên 3 trục tọa độ Đề các với chú ý (b) ta có:
pnncos(n, x) = pxxcos(n, x)
pnncos(n, y) = pyycos(n, y)
pnncos(n, z) = pzzcos(n, z)
Vậy: pxx = pyy = pzz = - p (p > 0)
p: áp suất thuỷ tĩnh
Do đó Tenxơ ứng suất của chất lỏng tĩnh:
0
−p 0
 0 −p 0 


0 −p 
 0

(II1)

2.2: Phương trình vi phân cân bằng Ơle và phương trình cơ bản thuỷ tĩnh
2.2.1. Phương trình vi phân cân bằng Ơle
Từ phương trình chuyển động theo ứng suất dạng hình chiếu thay các thành phần ứng suất các
chất lỏng tĩnh:
pxx = pyy = pzz = - p
pxy = pyx = pxz = pzx = pyz = pzy = 0
Với chất lỏng tĩnh: u = v = w = 0
Ta có:

1 ∂p

0 = X − ρ ∂x


1 ∂p
hay
0 = Y −
ρ ∂y


1 ∂p
0 = Z −
ρ ∂z




( a ).i + ( b ).J + ( c ).k ta có dạng vectơ:


1 ∂p
 X = ρ . ∂x ( a )


1 ∂p
Y = . ( b )
ρ ∂y


1 ∂p
Z = . ( c )

ρ ∂z


(II.2)

14


r 1
F = gradp
ρ

(II.2')

(II.2) , (II.2') là phương trình vi phân cân bằng Ơle dạng hình chiếu và dạng véctơ đưa ra mỗi
liên hệ giữa lực khối với áp suất tại một điểm bất kỳ trong lòng chất lỏng.
2.2.2. Phương trình cơ bản thuỷ tĩnh
Xét chất lỏng không nén ( ρ = const), cân bằng tuyệt
đối (lực khối chỉ là trọng lực) chọn trục z hướng lên trên.
r
Từ giả thiết thứ hai có F = grad (-gz) (d)
1
gradp
ρ

Với

giả
thiết
 p

1
gradp = grad  ÷
ρ
ρ

zN

N

zM

Thay (d) vào (II22') ta có:
grad (-gz) =

z

(e)
chất

lỏng

không

M

Mặt chuẩn

nén

Từ (e) chia cả 2 vế cho g có:

 p

grad 
+ z  = 0
 ρ .g

p
+ z = C = const
γ

(II3)

Xét hai điểm M, N trong lòng chất lỏng, áp dụng (II23) ta có:
p
pM
+ zM = N + Z N
γ
γ
pM = pN + γ (zN - zM)
(II3a)
Nếu N thuộc mặt thoáng và điểm M có độ sâu so với mặt thoáng h.
PN = pa : áp suất khí quyển
PM = pa + γh
(II3b)
(II3), (II3a) (II3b) là phương trình cơ bản thuỷ tĩnh
Chú ý:
+ Áp suất tính theo (II3b) gọi là áp suất tuyệt đối (pt) phân bố bậc nhất theo độ sâu.
+ Nếu p > pa có áp suất dư pd = p - pa > 0 hay pd = γh
Nếu pa > p có áp suất chân không pCK = pa - p > 0
hCK =


pCK
: Chiều cao chân không.
γ

2.2.3. Ý nghĩa của phương trình cơ bản thuỷ tĩnh :
a. ý nghĩa năng lượng :
z=

mgz mgz
=
: Thế năng vị trí của một đơn vị trọng lượng chất lỏng
mg
p

p
p
mp ρ
=
=
: Thế năng áp suất của một đơn vị trọng lượng chất lỏng
γ ρ.g
mg

15


p
+ z : Thế năng của một đơn vị trọng lượng chất lỏng gọi là tỷ thế năng.
γ

Vậy theo (II23): Chất lỏng cân bằng dưới tác dụng của trọng lực thì tỷ thế năng tại mọi điểm
là như nhau.
2.3 Cân bằng tương đối
Trong các tiết trước ta nghiên cứu trạng thái cân bằng tuyệt đối, các phần tử lỏng không có
chuyển động tương đối với nhau cũng như đối với quả đất trong trường hợp đó lực khối chỉ là trọng
lực.
Trọng tiết này ta nghiên cứu trạng thái cân bằng tương đối; các phần tử lỏng không có chuyển
động trượt tương đối với nhau nhưng có chuyển động đối với quả đất. Lúc này lực khối ngoài trọng
lực còn có cả lực quán tính.
Xét cân bằng tương đối của chất lỏng là giải quyết hai vấn đề:
+ Tìm mặt thoáng (phụ thuộc mặt đẳng áp)
+ Tìm phân bố áp suất
2.3.1. Mặt đẳng áp:
a. Định nghĩa: Mặt đẳng áp là mặt đi qua các hạt lỏng có áp suất như nhau hay p = const cho mọi
điểm thuộc mặt đẳng áp.
b. Phương trình vi phân mặt đẳng áp
Từ phương trình vi phân cân bằng ơle:
 1
F = gradp
ρ

Nhân vô hướng dr vào phương trình trên ta có:
  1

Fdr = gradpdr
ρ
Xdx + Ydy + Zdz =
Xdx + Ydy + Zdz =

1  ∂p

∂p
∂p 
dx + dy + dz ÷

ρ  ∂x
∂y
∂z 

1
dp
ρ

Trên mặt đẳng áp p = const vậy dp = 0
Do đó: Xdx + Ydy + Zdz = 0 (a)
(a) là phương trình mặt đẳng áp.
Ví dụ: Xét cân bằng tuyệt đối với lực khối chỉ là trọng lực do đó X = 0; Y = 0; Z = -g
(b) → -gdz = 0; dz = 0; z = C mặt đẳng áp nằm ngang.
z

16


2.3.2. Cân bằng tương đối của bình chứa chất lỏng chuyển động tịnh tiến thẳng ngang với gia
r
tốc không đổi a
a. Tìm mặt thoáng
Chọn hệ trục như hình vẽ.
Từ phương trình mặt đẳng áp:
Xdx + Ydy + Zdz = 0
r r

r 



F = P ®v + Fqt®v Pdv = 0.i + 0. j − g.k


Fdtdv = −a.i

z

a>0

α

a<0

x

α
r
Fqt

r
a

r
P





Vậy F = − a.i − g .k do đó X = - a ; Y = 0 ; Z = - g
Thay vào (b):
- adx - gdz = 0
a
dz = − .dx
g
Tích phân biểu thức trên ta có:
a
z = − x+c
(25.1)
g
Mặt đẳng áp là các mặt phẳng nghiêng hợp với mặt phẳng ngang một góc α với tgα = −

a
g

Mặt thoáng là mặt đẳng áp trên cùng khi chọn gốc toạ độ thuộc mặt thoáng x = 0, y = 0, z = 0.
Từ (25.1) c = 0
a
Vậy phương trình mặt thoáng z = − x
(25.1')
g
-

Chuyển động nhanh dần a > 0; tgα < 0: mặt thoáng nghiêng từ trái xuống phải.

- Chuyển động chậm dần a < 0; tgα > 0: mặt thoáng nghiêng từ phải xuống trái.
b. Sự phân bố áp suất

Theo (a): dp = ρ(Xdx + Ydy + Zdz)
dp = ρ(-adx - gdz)
Với chất lỏng không nén ρ = const. Tích phân biểu thức trên có:
p = - ρax - ρgz + C
Tìm C: Trên mặt thoáng x = g = z = 0, p = pa ⇒ c = pa
Theo trên C = pa
Vậy p = pa - ρax - ρgz
Giả sử có điểm M1 (x1, z1) thuộc mặt thoáng ta có:

(c)

pa = pa - ρax1 - γ z1
ρax1 + γ z1 = 0
(d)
Xét điểm M2 có độ sâu so với mặt thoáng là h và M2 (x1, z1 - h) thì áp suất tại M2:
p = pa - ρax1 - γ (z1 -h)
p = pa + γ h - (ρax1 + γ z1)

(f)
17


Thay (d) vào (f):
p = pa + γ h
Vậy áp suất vẫn tính theo phương tình cơ bản thuỷ tĩnh.

(25.2)

z
x


x1
z1

M1

z2

r
a

h
M2

2.3.3. Cân bằng tương đối của chất lỏng trong bình chứa chuyển động quay đều với vận tốc
góc ω quanh trục thẳng đứng qua tâm bình
z

a. Tìm mặt thoáng
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ.
r r
rτ
rn
F = PdvÞ + FqtdvÞ
+ FqtdvÞ
rτ
do ω = hằng số ⇒ FqtdvÞ = 1. r. ε = 0

r


r

Vậy P = −g.k



Fqtn = ω 2 r cos α .i + ω 2 r sin α . j



Fqtn = ω 2 x.i + ω 2 y. j




Vậy F = ω 2 x.i + ω 2 y. j − gk
 X = xω

2
Y = yω
Z = − g


r
Fqt

r
z

zA


x
x

A
O

r
P
y

y

α

ω

2

(g)

Thay vào phương trình mặt đẳng áp:
xω2dx + yω2dy – gdz = 0

ω2
( xdx + ydy )
dz =
g
Tích phân ta có:
z=


ω2 2
(
x + y2 ) + c
2g

Hay:

ω2 2
z=
.r + c là phương trình mặt đẳng.
2g

Vậy ứng với mỗi giá trị C ta có một mặt đẳng áp, mặt đẳng áp là các mặt
parabolôit tròn xoay nhận trục z làm trục đối xứng.
Mặt thoáng A(0, 0, zA) thuộc mặt thoáng.
Thay vào phương trình mặt đẳng áp:
18


zA = C
Vậy z = z A +

ω2 2
.r
2g

h = z − zA =

ω2 2

.r
2g

(24.3)

b. Phân bố áp suất
Theo (a): dp = ρ (Xdx + Ydy + Zdz)
Từ (g) ta có: dp = ρ (xω2dx + yω2dy – gdz)
Với chất lỏng không nén ρ = const. Ta tích phân biểu thức trên:
z
ρω 2 2
p=
x + y 2 − ρ . g .z + C
2
z1
Tìm C.
A(0, 0, zA) thuộc mặt thoáng pA = pa
z1 - h
pa = - γ zA + C

(

)

→ C = pa + γ z A

p=

ρω
( x 2 + y 2 ) − γ . z + p a + γ .z A

2
2

x

N1
h
N2
y1

x1 O

y

Giả sử N1 (x1, y1, z1) thuộc mặt thoáng pN = pa

(

)

ρω 2 2
x1 + y12 − γ .z1 + pa + γ .z A
2

pa =

(

)


ρω 2 2
x1 + y12 − γ .z1 + pa + γ .z A = 0
2
N2 (x1, y1, z1 – h) nằm trong lòng chất lỏng có độ sâu so với mặt thoáng là h.
p=

(

)

ρω 2 2
x1 + y12 − γ .( z1 − h) + pa + γ .z A
2

p = pa + γ. h
Vậy áp suất vẫn tính theo phương trình cơ bản thuỷ tĩnh
2.4. Áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên hình phẳng
2.4.1. Mặt phẳng nằm ngang.

(24.4)

H

Pa

S

r
R


R

S

R

R

S

S

- Áp suất tại mọi điểm trên (S) như nhau
p = pa + γ H
Nếu mặt bên kia của S tiếp xúc không khí p = γ H
- Áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên (S)
19


R = p. S = γ H S
R không phụ thuộc hình dạng bình chứa.
2.4.2. Mặt phẳng nằm nghiêng
- Trên mỗi yếu tố ds của hình phẳng có áp lực yếu tố

r
r
dR = −p.n.ds

Như vậy tập hợp các áp lực yếu tố là hệ lực song song cùng chiều hướng vào hình phẳng do
đó có hợp lực gọi là áp lực thuỷ tĩnh.


R : Có phương, chiều vuông góc hướng vào hình phẳng (S)
Trị số: R = ∫∫ p.ds
S

Theo phương trình cơ bản thuỷ tĩnh p = pa + γ h

R = ∫∫ ( p a + γ .h).ds
S

R = pa.S + γ. hc . S
(a)
Ra = pa. S phân bố đều trên S đặt tại trọng tâm C của hình phẳng S
Trong thực tế kỹ thuât, hình phẳng cần xét chịu áp lực thuỷ tĩnh về một phía còn phía kia tiếp
xúc với không khí nên pa đối xứng cả 2 phía vậy tính R theo áp lực dư.
R = γ . hc. S
Trong đó hc là độ sâu trọng tâm của hình phẳng so với mặt thoáng.
- Điểm đặt của áp lực: Tại D gọi là tâm áp lực.
β
Ta đi xác định D (xD, yD)
hC
r
Dựng hình:
Xét (S) trong mặt phẳng (xOy) Ox⊥ Oy
Oy: Giao của hình phẳng với mặt thoáng
β: Góc nhị diện giữa hình phẳng với mặt thoáng.
Áp dụng định lý Varinhông cho trục x và y vì áp
phân bố liên tục ta có:

r

R

xD

hC = xC . sin β
có 
h = x. sin β

yC

yD

O
C

lực

D

 y D R = ydR
∫∫S


 x D R = ∫∫ xdR

S
 y D .γ .hC S = y.γ .h.ds
∫∫S

a)


 x D .γ .hC S = ∫∫ x.γ .hds

S

y

dR
x
xC

(c)

Thay (c) vào (a) ta có:

20



∫∫S xyds

·
 yD =
xC .S


x 2 ds

∫∫
x = S

 D
xC .S

hay

J xy

 yD =
xC .S


 x = J Oy
 D xC .S

(d)

Trong đó: Jxy: Mômen quán tính ly tâm của (S) đối với các trục x, y
JOy: Mômen quán tính của hình phẳng (S) đối với trục Oy.
Theo công thức chuyển trục:
JOy = Jcy + xC2 .S
Thay lại (d) ta có:

J cy

x
=
x
+
C
 D

x C .S


 y = J xy
 D x C .S

(*)

Trong đó: Jcy: Mômen quán tính của (S) lấy đối với trục song song Oy và đi qua trọng tâm C
của hình phẳng.
Có: hD = xD.sinβ
Từ (*) ta có độ sau tâm áp lực D

hD = hC +
Nhận xét: Có

J cy
.sin 2 β
hC .S

(f)

J cy
>0
hC .S

Vậy trọng tâm C cao hơn tâm đẩy D

- Nếu hình phẳng có trục đối xứng. Chọn x trùng trục đối xứng thì Jcy = 0 nên
yD = 0 do đó D thuộc trục đối xứng.

•

Đặc biệt nếu hình phẳng là hình vuông, hình chữ nhật ngoài phương pháp xác định
trên ta có thể xác định theo phương pháp đồ áp suất.

•
Dùng phương pháp hoá rắn cũng xác định được áp lực.
Hai phương pháp vừa nêu sẽ trình bày trong phần bài tập.
2.5. Áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên mặt cong. Định luật Acsimet
(cũng như trên chỉ xét áp lực dư)
2.5.1. Áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên mặt cong S.
Chọn hệ trục toạ độ Oxyz có Oxy thuộc mặt thoáng, z hướng lên trên.
Áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên ds có phương chiều hướng vuông góc từ chất lỏng vào ds có trị
số:

21


z
y
Sz
x
Sx

Sy

(S)

dR = p.ds = γ h. ds
Với các thành phần trên các trục toạ độ:

dRx = γ h ds cos(n, x) = γ hdSx
dRy = γ h ds cos(n, y) = γ hdSy
dRz = γ h ds cos(n, z) = γ hdSz
Từ đó có:

Rx = ∫ dR x = γ .∫ hdS x = γ .hcx .S x
S

S

R y = ∫ dR y = γ .∫ hdS y = γ .hcy .S y
S

S

Rz = ∫ dRz = γ .∫ hdS z = γ .V
S

S

Trong đó:
Rx, Ry là thành phần nằm ngang
Rz là thành phần thẳng đứng
Sx , Sy: Diện tích hình chiếu của mặt cong (S) lên các mặt phẳng tương ứng vuông góc với trục
x và y.
hcx, hcy: độ sâu trọng tâm hình học của Sx, Sy so với mặt thoáng
V: Thể tích được giới hạn bởi bản thân mặt cong S, diện tích hình chiếu Sz và mặt trụ thẳng
đứng được dựng tựa trên biên của mặt cong (S) (V gọi là vật áp lực)
Trong trường hợp ba thành phần áp lực nói trên có thể hợp thành một lực duy nhất thì độ lớn
của áp lực được xác định

R = R x2 + R y2 + R z2
Chú ý:
+ Việc xác định Rx, Ry đưa về dạng bài toán phẳng
+ Xác định Rz
Đường tác dụng của R z thẳng đứng đi qua trọng tâm của vật áp lực có thể hướng lên hoặc
hướng xuống tùy vào vật áp lực. Ta xét các trường hợp sau:
22


a. Trường hợp 1: Phía trên mặt cong có chứa chất lỏng hoặc một phần có chứa chất lỏng thì
quy ước vật áp lực V mang giá trị (+) và RZ hướng thẳng đứng xuống dưới

b

a

a

b
V

V
Rz

Rz

A

A
B


B

b. Trường hợp 2: Phía trên mặt cong không chứa chất lỏng hoặc một phần không chứa chất
lỏng thì quy ước vật áp lực mang dấu (-) và RZ hướng thẳng đứng lên trên.

b

a

a

b

Rz

Rz

A

A
B

B

c. Trường hợp 3: Nếu mặt cong có hình dạng phức tạp: Ta chia nhỏ nhiều đoạn đơn giản để
trở về hai dạng trên.
c

A


b

d

C

D

z

B

x
2.5.2.Định luật Acsimet:
Xét một vật thể có hình dạng bất kỳ ngập trong chất
tĩnh. Áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên mặt cong kín (S) của vật

R có các thành phần Rx, Ry, Rz

( )

Trong đó Rx, Ry: là thành phần nằm ngang

y

R'z

c


a
B
A

R'x
R'y

lỏng
.

R''y
R''x
C

D

R''z

23


RZ: Là thành phần thẳng đứng
'
"
Và R x = R x − R x

R y = R y' − R "y
Rz = Rz" − R ' z
+ Xét thành phần nằm ngang: Ví dụ trục x có:
Rx' = γhcx'Sx’ (áp lực từ trái sang phải)

Rx" = γhcx"Sx" (áp lực từ phải sang trái)
Ta có:
Rx' = Rx" (do Sx' = Sx"; h'cx = hcx")
Vậy Rx = Rx’ - Rx" = 0
Tương tự Ry = 0
+ Xét thành phần thẳng đứng Rz theo kết quả mục trên (I)
R'z = γVABCca (hướng thẳng đứng xuống dưới)
Rz" = γ VADCca (hướng thẳng đứng lên trên)
Vậy: R = γ (VADCca - VABCca) = γVABCD = γV
Vậy hợp lực R = γV
(242)
R: Gọi là lực đẩy ácsimet
Định luật Acsimet:
Một vật rắn nhúng chìm trong chất lỏng tĩnh dưới tác dụng của trọng lực sẽ chịu tác dụng của
một lực thẳng đứng từ dưới lên trên, có trị só bằng trọng lượng của thể tích lỏng mà vật thể chiếm
chỗ, có điểm đặt tại trọng tâm D của thể tích lỏng mà vật thể chiếm chỗ. D gọi là tâm đẩy.
Chú ý: Định luật ácsimet cũng vẫn đúng cho vật nổi, tức là vật không bị chìm hoàn toàn mà
nổi trên mặt tự do của chất lỏng. Lúc đó thể tích chất lỏng mà vật thể chiếm chỗ là phần chìm của
vật.
2.6: Cân bằng ổn định của vật trong chất lỏng
2.6.1. Sự nổi của vật
Xét vật trong lòng chất lỏng chịu hai lực có phương thẳng đứng chiều ngược nhau.

- Lực đẩy Acsimet R đặt tại D hướng lên.
r
- Trọng lực G đặt tại C hướng xuống.
Có 3 trường hợp cân bằng của vật.
 
+ R = G; R, G ~ 0 : Vật cân bằng lơ lửng trong chất lỏng


(

)

+ G < R: Vật nổi lên trên mặt thoáng, lúc đó R giảm đến giá trị R' = G:
Vật cân bằng trên mặt thoáng.
+ G > R: Vật chìm dần xuống đáy.
Lúc chạm đáy: G = P + N
2.6.2. Tính ổn định
a. Định nghĩa

R

D
C

G

24


- Vị trí cân bằng của vật thể gọi là ổn định nếu vật bị lệch đi khỏi vị trí cân bằng ban đầu một
lượng đủ nhỏ nó không lệch quá đi giới hạn đã định và đặc biệt nó có thể trở về trạng thái cân bằng
ban đầu.
- Vị trí cân bằng của vật thể gọi là không ổn định nếu nó bị lệch đi một lượng dù nhỏ, nó sẽ
lệch đi quá giới hạn đã định và không trở về trạng thái cân bằng ban đầu.
- Vị trí cân bằng của vật thể là phiếm định nếu sau khi bị lệch vật cân bằng ở vị trí mới.
b. Tính ổn định của vật cân bằng lơ lửng trong chất lỏng
 
 

Khi vật cân bằng lơ lửng trong chất lỏng R, G ~ 0 hay R , G cùng phương, ngược chiều,
cùng trị số.
Khi có ngoại lực tức thời tác động vào vật làm vật nghiêng đi thì vị trí tương đối của trọng
tâm C và tâm đầy D sẽ quyết định tới tính ổn định của vật.

(

r
R
D
r C
G

M ngh

r
R

M ng

D
r C
G

r
R

)

M ngh


r
R

D
r C
G

D

r
G

M ng
C

r
G

r
R
C ≡D

 
- C thấp hơn D: Khi vật nghiêng với góc nghiêng đủ nhỏ hay M ngh đủ nhỏ thì R , G tạo thành
ngẫu có mômen ngẫu ngược chiều mômen nghiêng đẩy vật trở lại trạng thái cân bằng ban đầu,
trường hợp này vật cân bằng ổn định.
 
- C cao hơn D: Khi vật bị nghiêng với mômen M ngh đủ lớn thì R , G tạo thành ngẫu có
mômen ngẫu cùng chiều mômen nghiêng càng đẩy vật bị nghiêng, trường hợp này cân bằng không

ổn định.
 
- C trùng D: R , G trực đối vậy vật cân bằng tại vị trí nghiêng. trường hợp này cân bằng
phiếm định.
c. Ổn định của vật nổi cân bằng trên mặt thoáng chất lỏng
- Trường hợp này C cao hơn D cân bằng vẫn ổn định.
∆
- Xét cân bằng ổn định của vật nổi khi C cao hơn D.
(S)
- Một số định nghĩa.
Khi vật nổi ở trạng thái cân bằng: Mặt nổi (S) là giao diện của
C
mặt thoáng với vật nổi lúc cân bằng ban đầu.
- Mớn nước: là đường bao của mặt nổi.
D
- Trục nổi ∆ là đường vuông góc với mặt nổi và đi qua trọng tâm
C của vật .
- Trục quay: Giả thiết ở lân cận mặt nổi các đường sinh
song song với trục nổi khi lệch vật bị quay quanh một trục nằm
trên mặt nổi gọi là trục quay.
h
ρ
- Tâm định khuynh: M là giao điểm của trục nổi và đường
e
tác dụng của lực đẩy khi vật bị nghiêng.

r
R
M
C


D’

- Độ lệch tâm e = DC (D là tâm đẩy ban đầu)
e > 0 nếu C trên D
e < 0 nếu C dưới D
- Bán kính định khuynh ρ = MD

D

r
G

25