CHƯƠNG 1.
CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN MỞ ĐẦU.
§ 1.1. ĐỐI TƯỢNG, PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ LĨNH VỰC ỨNG DỤNG
CỦA CƠ HỌC CHẤT LỎNG
Cơ học là ngành khoa học nghiên cứu các qui luật tổng quát về cân bằng, chuyển
động cơ học và tác dụng tương hỗ của vật thể đặt trong ba trạng thái: rắn, lỏng và khí.
Do trạng thái, tính chất khác nhau của vật thể và yêu cầu của kỹ thuật, cơ học được
chia làm ba lĩnh vực lớn: Cơ học đạ cương – bao gồm: Cơ học lý thuyết, Lý thuyết dao
động, Lý thuyết ổn định, Lý thuyết va chạm…; Cơ học vật rắn – bao gồm: Sức bền vật liệu,
Lý thuyết đàn hồi, Lý thuyết dẻo, bản, vỏ, Lý thuyết nhiệt – nhớt – đàn hồi…và Cơ học chất
lỏng – bao gồm: Cơ học chất lỏng lý thuyết, Thuỷ lực công trình, Thuỷ lực dầu khí, Lý
thuyết thấm, Thuỷ khí động lực học…
Cơ học chất lỏng – ngành khoa học thuộc lĩnh vực toán ứng dụng nghiên cứu các qui
luật chuyển động, cân bằng của chất lỏng, chất khí và sự tác động tương hỗ cơ học giữa
chúng với vật thể rắn.
Do tính chất, phương pháp và kết quả nghiên cứu thu được giữa chất lỏng và chất khí
không khác nhau đáng kể, nên trong cơ học chất lỏng khái niệm chất lỏng bao hàm cả chất khí.
Cũng như các lĩnh vực khác của cơ học, cơ học chất lỏng được chia ra ba phần: Tĩnh
học – phần cơ học chất lỏng nghiên cứu các điều kiện cân bằng của chất lỏng, được gọi là
thuỷ tĩnh học. Động học hay còn gọi là thuỷ động học, nghiên cứu chuyển động của chất
lỏng trong thời gian không kể đến nguyên nhân gây nên chuyển động và phần Động lực học
– hay thuỷ động lực học, nghiên cứu chuyển động của chất lỏng trong mối liên hê với sự
tương tác giữa chúng với các vật thể khác.
Tuy các vấn đề nghiên cứu trong cơ học chất lỏng xuất phát từ hiện tượng mang bản
chất vật lý gắn liền với các vấn đề kỹ thuật, nhưng phương pháp nghiên cứu nó là toán học
giải tích chặt chẽ như: Giải tích, đại số cao cấp, hình giải tích, phương trình vi, tích phân,
phương trình toán – lý…Đặc biệt, là việc vận dụng “Lý thuyết hàm biến phức và các
phương pháp của hàm biến phức” như công cụ chính để giải quyết hàng loạt vấn đề chuyên
ngành hẹp, mang tính kỹ thuật cao của cơ học chất lỏng như: Sức cản của vật chuyển động
trong chất lỏng, Chuyển động không xoáy của chất lỏng, Lý thuyết cánh, chong chóng, chân
vịt, Lý thuyết lớp biên, Lý thuyết sóng, Lướt, xâm thực và va đập, Lý thuyết về phản lực

thuỷ động…
Tuy nhiên, để kiểm tra và bổ sung cho lý thuyết, ngoài phương pháp toán học chặt
chẽ, phương pháp thực nghiệm hoặc bán thực nghiệm kết hợp lý thuyết cũng đóng vai trò
đáng kể khi nghiên cứu cơ học chất lỏng.
Cơ học chất lỏng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của giao
thông vận tải, kỹ thuật quân sự, hàng không vũ trụ, thiên văn khí tượng, thuỷ lợi…, để giải
quyết các vấn đề xảy ra trong thực tế kỹ thuật, thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như: Chế tạo
máy bay và tên lửa, Đóng tàu và chế tạo máy, Khai thác dầu mỏ và khí đốt, cấp thoát nước
và hệ thống tưới tiêu, Kỹ thuật nhiệt hoá học và luyện kim, Kỹ thuật đánh bắt hải sản trên
sông, biển…Ví nhụ như trong việc giải quyết các vấn đề: Điều khiển các vật bay như tên
lửa, máy bay, tàu vũ trụ, đạn đạo…, và vật nổi như tàu thuỷ, tàu ngầm…, Sự ổn định, chòng
chành, lắc của tàu, thuyền, phà, phao…, Việc tạo hình dáng cho máy bay, tên lửa, tàu thuỷ,
tàu ngầm…, để làm xuất hiện lực nâng, giảm bớt sức cản, tăng vận tốc. Việc tạo hình dáng
cho prôfin cánh, bánh công tác của tua bin bơm đạt hiệu suất cao; Vấn đề bôi trơn thuỷ động
tránh hao mòn, chóng nóng, tăng tuổi thọ cho động cơ, máy móc; Vấn đề sức cản của nước
đối với vật nổi, sức cản của nước đối với độ mở của lưới đánh bắt hải sản; Việc chống xói
mòn đê đập, tiêu năng ở hạ lưu công trình thuỷ lợi; hay vấn đề thấm, nứt, loang, rò chảy dầu
khí trong khai thác dầu mỏ và khí đốt…
Cơ học chất lỏng đặt cơ sở hoặc liên quan trực tiếp các môn chuyên ngành như: Lý
thuyết tàu; Khí tượng hải dương; Vật liệu ngư cụ; Máy phụ và trang bị động lực; Kỹ thuật
hàng hải; Máy khai thác; Máy chế biến; Kỹ thuật thuỷ sản…
Việc ra đời và hoàn thiện cơ học chất lỏng thành một ngành khoa học độc lập –
ngành toán học ứng dụng quan trọng gắn liền tên tuổi các nhà bác học: Arixtốt, Acsimét,
Stokes, Poadơi, Reinôn, Kraman, Prăng, Jukovski, Traplưgin…
§ 1.2. CÁC GIẢ THIẾT VÀ CÁC TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA CHẤT LỎNG
1.2.1. Giả thiết cơ bản trong cơ học chất lỏng
Toàn bộ lý thuyết cũng như việc giải quyết các bài toán của cơ học chất lỏng được
xây dựng trên cơ sở giả thiết: Chất lỏng là môi trường liên tục. Theo giả thiết đó, vật chất –
các hạt lỏng, được coi là phân bố liên tục trong khoảng không gian bị chiếm và các đại
lượng đặt trưng cơ học của môi trường, biểu diễn các tính chất của chất lỏng, cũng như

dòng chảy của nó là các hàm liên tục của tọa độ không gian và thời gian.
1.2.2. Các tính chất cơ bản của chất lỏng
a. Tính lưu động – dễ chảy
Chất lỏng là vật thể vật lý có tính lưu động – là khả năng biến dạng không đàn hồi
lớn khi tác dụng lên nó ngoại lực nhỏ. Do có tính lưu động dễ chảy, chất lỏng không có hình
dạng riêng như vật rắn, mà lấy vật chứa làm hình dạng của mình. Do lực liên kết nhỏ, nên
chất lỏng hầu như không chịu được lực cắt và lực kéo.
b. Khối lượng riêng
Để đặc trưng cho sự phân bố khối lượng trong không gian bị lấp đầy bởi chất lỏng,
người ta thường sử dụng đại lượng

gọi là khối lượng riêng. Đối với chất lỏng không đồng
chất, khối lượng riêng tại một điểm, được bao bằng thể tích
V∆
có khối lượng
m∆
, được
xác định bằng giới hạn:
0
lim
V
m
V

∆ →
∆
=
∆
(1-1)
Đối với chất lỏng đồng chất:

m
V

=
(1-2)
Trong đó, m – khối lượng của chất lỏng chứa trong thể tích V.
Khối lượng riêng chất lỏng phụ thuộc bởi nhiệt độ, áp suất và các đặc trưng chuyển
động của môi trường. Trong trường hợp tổng quát nó có thể được biểu diễn dưới dạng hàm
của tọa độ và thời gian:
( )
, , ,x y z t
 
=
(1-3)
Nếu ký hiệu các đại lượng cơ bản: L – chiều dài, T – thời gian, M – khối lượng; thì
khối lượng riêng có thứ nguyên:
-3
ML

 
 
=
(1-4)
Và có đơn vị kg/m
3
. Trong hệ đơn vị kỹ thuật MKS, khối lượng riêng có đơn vị KGS
2
/m
4
.

Trong tính toán kỹ thuật, đối với nước sạch ρ = 1000 kg/m
3
và đối với đơn vị kỹ
thuật lấy ρ = 102 KGS
2
/m
4
.
Dưới nhiệt độ trung bình 20°C và áp suất 760 mmHg, không khí có khối lượng riêng
ρ = 1,293 kg/m
3
. Trong tính toán người ta thường lấy giá trị trung bình đối với khối lượng
riêng của không khí hay ρ = 1,228 kg/m
3
hay ρ = 0,125 KGS
2
/m
4
.
c. Trọng lượng riêng
Đặc trưng quan trọng thứ hai của chất lỏng, sau khối lượng riêng, là trọng lượng
riêng của nó được biểu diễn:
g
 
=
(1-5)
Trong đó g = 9,81 m/S
2
là gia tốc trọng trường. Trọng lượng riêng có thứ nguyên:
-2 -2

γ =ML T
 
 
(1-6)
Đơn vị của γ: N/m
3
, KG/m
3
.
Đối với nước sạch trong tính toán thường lấy γ = 9810 N/m
3
hay γ = 1000 KG/m
3
và
đối với không khí γ = 12,04 N/m
3
hay γ = 1,226 KG/m
3
.
d. Tính nén
Khả năng thay đổi thể tích của chất lỏng và chất khí dưới tác dụng của ngoại áp suất
gọi là tính nén của chúng. Tính nén được đặc trưng bởi hệ số nén β, là lượng thay đổi thể
tích tương đối của chất lỏng khi áp suất thay đổi một đơn vị:
( )
2 2
0
1
. m /N,cm /KG
V
V P


∆
= −
∆
(1-7)
Trong đó:
V
0
– thể tích ban đầu của chất lỏng ứng với áp suất P0.
0
V V V∆ = −
, lương thay đổi thể tích chất lỏng.
0
P P P∆ = −
, lượng thay đổi áp suất, với P – áp suất tương ứng với thể tích V.
Dấu (–) nói lên rằng sự thay đổi thể tích và áp suất luôn luôn ngược nhau.
Từ (1-7), ta có thể tích chất lỏng:
( )
0
1 .V V P

= − ∆
(1-8)
Kết hợp với (1-2), khối lượng riêng của chất lỏng có thể được biểu diễn:
0
1 . P



=

− ∆
(1-9)
Trong đó ρ và ρ
0
là khối lượng riêng tương ứng với áp suất P và P
0
.
Đại lượng ngịch đảo của βgọi là môđun đàn hồi của chất lỏng, ký hiệu E:
( )
2 2
1
N/m ,KG/cmE

=
(1-10)
Đối với nước, khi áp suất P = 1 at thì E = 196,200 N/m
2
.
Các chất ở thể lỏng có tính nén rất nhỏ so với các chất ở thể khí. Trong thực tế có thể
xem rằng các chất ở thể lỏng không nén được, nghĩa là khối lượng riêng hầu như không phụ
thuộc vào áp suất. Đối với chất lỏng không nén được ρ = Const, còn chất lỏng nén được
ρ ≠ Const.
e. Tính nhớt
Một trong những tính chất vật lý quan trọng, có nhiều đặc tính kỹ thuật quan trọng là
tính nhớt của chất lỏng. Đó là tính chất chống lại sự chuyển dịch bản thân chất lỏng hay tính
chất biểu diễn nội lực ma sát của nó. Tính nhớt là nguyên nhân gây nên tổn thất năng lượng
khi chất lỏng chuyển động.
Nội lực ma sát, thường gọi là lực nhớt được biểu diễn bằng định luật Niutơn:
V
n

 
∂
=
∂
(1-11)
Trong đó:
τ - lực nhớt trên một đơn vị diện tích hay ứng suất tiếp của nội lực ma sát.
V
n
∂
∂
- gradien vận tốc theo phương n thẳng góc với hướng dòng chảy.
µ - hệ số nội lực ma sát hay hệ số nhớt động lực học của chất lỏng, có thứ nguyên:
-1 -1
μ =ML T
 
 
(1-12)
Đơn vị của µ là NS/m
2
, KGS/m
2
, Poadơ, viết tắt P với
2
1
1P= NS/m
10
.
Ngoài hệ số nhớt động lực học, trong cơ học chất lỏng còn sử dụng hệ số nhớt động
học ν, liên hệ với µ bằng công thức:




=
(1-13)
Thứ nguyên:
2 -1
L T

 
 
=
(1-14)
Đơn vị của ν là m
2
/s, St (Stokes) với 1St = 1 cm
2
/s.
Mô hình chất lỏng được lý tưởng hóa không có độ nhớt gọi là chất lỏng không nhớt
hay chất lỏng lý tưởng. Còn chất lỏng kể đến độ nhớt, tức là kể đến nội lực ma sát, được gọi
là chất lỏng thực hay chất lỏng nhớt.
Ngoài các tính chất trên, chất lỏng còn có một số tính chất khác như tính sức căng
mặt ngoài, tính bốc hơi và hòa tan, tính giãn nở…
§ 1.3. PHÂN LOẠI LỰC TÁC DỤNG LÊN CHẤT LỎNG
Xét trong chất lỏng chuyển động một thể tích bất kỳ V, giới hạn bởi mặt S (hình 1.1)
thì các lực tác dụng vào thể tích chất lỏng này không thể là lực tập trung, mà là lực phân bố,
bao gồm lực khối và lực mặt.
1.3.1. Lực khối
Là những lực tác dụng lên mỗi hạt lỏng và tỉ lệ với khối lượng của nó.
Lực khối còn gọi là lực thể tích, ví dụ như trọng lực, lực quán tính, lực điện từ.

Ký hiệu
f∆

- lực khối tác dụng lên hạt lỏng có khối lượng
.m V

∆ = ∆
thì ứng suất
lực khối
F

tại điểm khảo sát được xác định bằng giới hạn:
0 0
Δf Δf
lim lim
Δm ρ.ΔV
m V
F
∆ → ∆ →
= =
 

(1-15)
Ứng suất lực khối có thứ nguyên của gia tốc:
-2
LTF
 
 
=


(1-16)
Trong trường hợp tổng quát
F

là hàm của tọa độ điểm và thời gian:
( )
( )
, , , ,F F r t F x y z t= =
   
(1-17)
Khi lực khối là trọng lực, trọng lượng của thể tích yếu tố
ΔV
có khối lượng
Δm
là
ΔP Δm.g .ΔV.g

= =
. Chọn trục z hướng lên, lực khối
f k. P∆ = − ∆
 
, với
k

- vectơ đơn vị
trục z, khi đó ta có vectơ ứng suất lực khối từ (1-15) được xác định:
F k.g= −
 
(1-18)
Hay:

x
F 0, F 0, F g
y z
= = = −
(1-19)
Trong đó F
x
, F
y
, F
z
– các thành phần hình chiếu của
F

lên các trục tọa độ Đecac.
Trong trường hợp lực khối có thế, ký hiệu U – thế của ứng suất lực khối, thì
F

có
thể biểu diễn như gradien của hàm vô hướng U:
F Ugrad= −

(1-20)
Hay
x
U U U
F , F , F
y z
x y z
∂ ∂ ∂

= − = − = −
∂ ∂ ∂
(1-21)
Trường trường hợp lực khối là trọng lưc, từ (1-19) và (1-20), ta có: U = gz + C. Vì
giá trị hằng số C không ảnh hưởng đến việc xác định vectơ
F

, nên có thể bỏ qua, vậy:
U g z=
(1-22)
1.3.2. Lực mặt
Là những lực tác dụng lên mặt S của thể tích chất lỏng khảo sát V.
Ví dụ lực mặt như áp lực của không khí tác dụng lên mặt thoáng của chất lỏng.
Ký hiệu
n
P∆

- lực mặt đặt vào diện tích
S∆
với pháp tuyến ngoại n, thì ứng suất lực
mặt tại điểm khảo sát được xác định bằng giới hạn:
0
lim
n
n
S
P
P
S
∆ →

∆
=
∆


(1-23)
Ứng suất lực mặt có thứ nguyên:
-1 -2
ML T
n
P
 
 
=

(1-24)
Trong trường hợp tổng quát,
n
P

phụ thuộc toạ độ điểm, phương diện hướng của diện
tích và thời gian:
( ) ( )
, , , , ,
n n n
P P r n t P x y n t= =
     
(1-25)
§ 1.4. CÁC TÍNH CHẤT CỦA ỨNG SUẤT LỰC MẶT TÁC DỤNG VÀO CHẤT
LỎNG

Xét trong chất lỏng chuyển động phân tố chất lỏng dạng tứ diện có một mặt bất kỳ,
ba mặt còn lại tạo thành tam diện vuông; có thể tích
V∆
với khối lượng
V

∆
(hình 1.2). Ký
hiệu
, , ,
n x y z
P P P P
   
- các vectơ ứng suất lực mặt tác dụng lên tâm diện tích tương ứng
, , ,
n x y z
S S S S∆ ∆ ∆ ∆
.
F

là ứng suất lực khối và
dV
dt

- gia tốc khối tâm của hạt lỏng. Khi đó,
phương trình chuyển động của phân tố chất lỏng này được viết dưới dạng vectơ:
n n x x y y z z
dV
V V F P S P S P S P S
dt

 
∆ = ∆ + ∆ − ∆ − ∆ − ∆

    
(1-26)
Dấu trừ trong các thành phần cuối (1-26) nói lên rằng ngoại pháp tuyến tại các diện
tích tương ứng hướng ngược chiều với các trục toạ độ.
Chia hai vế (1-26) cho
n
S∆
và chú ý từ hình học giải tích cho:
( )
( )
( )
cos ,
cos ,
cos ,
x
n
y
n
z
n
S
n x
S
S
n y
S
S

n z
S











∆
=
∆
∆
=
∆
∆
=
∆
(1-27)
Ta có:
( ) ( ) ( )
cos , cos , cos ,
n x y z
n
V V
F P P n x P n y P n z

dt S

 
 
 
∆ ∆
− = − − −
∆
    
(1-28)
Để thu được mối liên hệ giữa các ứng suất lực mặt tại một điểm, ta xét giới hạn thể
tích tứ diện tiến tới không. Khi đó
0
lim 0
V
n
V
S
∆ →
∆
=
∆
và (1-28) cho mối liên hệ giữa các ứng
suất:
( ) ( ) ( )
cos , cos , cos ,
n x y z
P P n x P n y P n z= + +
   
(1-29)

Chiếu lên các trục toạ độ:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
cos , cos , cos ,
cos , cos , cos ,
cos , cos , cos ,
nx xx yx zx
ny xy yy zy
nz xz yz zz
P P n x P n y P n z
P P n x P n y P n z
P P n x P n y P n z







= + +
= + +
= + +
(1-30)
Ký hiệu đầu trong các thành phần ứng suất là mặt trên đó ứng suất khảo sát tác dụng,
ký hiệu thứ hai – trục trên đó ứng suất chiếu lên. Ví dụ P
xy
, thì x là mặt P
x
dụng, còn y là

trục
x
P

chiếu lên. Các đại lượng vô hướng P
xx
, P
yy
, P
zz
là các thành phần ứng suất pháp
tuyến, còn các đại lượng P
xy
, P
yz
, P
zx
… - các thành phần ứng suất tiếp.
Ứng suất pháp và tiếp tác dụng lên ba mặt vuông góc với nhau của hình hộp, được
tách ra trong chất lỏng, biểu diễn trên hình 1.3. Sử dụng định lý mômen đối với góc tọa độ
cho các ứng suất tác dụng lên các mặt của hình hộp, ta có tính chất:
, ,
xy yx yz zy zx xz
P P P P P P= = =
(1-31)
Nguyên nhân xuất hiện các thành phần ứng suất tiếp P
xy
, P
yz
, P

zx
trong chất lỏng là do ảnh
hưởng của hai yếu tố: chuyển động của chất lỏng và độ nhớt của nó. Như vậy, trong chất
lỏng yên tĩnh (nhớt cũng như không nhớt) và trong chất lỏng không nhớt chuyển động, các
ứng suất tiếp:
0
xy yz zx
P P P= = =
(1-32)
Nghĩa là, tác dụng lên chất lỏng khi này chỉ có các ứng suất pháp P
xx
, P
yy
, P
zz
. Khi
đó các vectơ ứng suất:
, , ,
n nn x xx y yy n zz
P n P P i P P y P P k P= = = =
       
(1-33)
Thay (1-33) vào (1-29) với chú ý:
( ) ( ) ( )
cos , cos , cos ,n i n x j n y k n z= + +
   
(1-34)
Ta có:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
cos , cos , cos , cos , cos , cos ,

nn xx yy zz
P i n x j n y k n z iP n x jP n y kP n z
 
 
= + + = + +
     
Từ đây ta thu được:
nn xx yy zz
P P P P= = =
(1-35)
Các đẳng thức này cho phép phát biểu tính chất của ứng suất pháp: Nếu trong chất
lỏng không có ứng suất tiếp thì ứng suất pháp tại điểm khảo sát không phụ thuộc phương
diện hướng của diện tích. Sự phụ thuộc (1-35) đúng cho chất lỏng nhớt đứng yên tĩnh hay
cho chất lỏng không nhớt chuyển động cũng như đứng yên.
Thực nghiệm chứng tỏ rằng chất lỏng có khả năng chịu được lực nén theo hướng
pháp tuyến mà không gây nên gián đoạn môi trường. Thực tế chất lỏng bị gián đoạn khi bị
kéo. Có nghĩa trong chất lỏng chỉ có thể xuất hiện ứng suất pháp tuyến nén, được gọi là áp suất.
Như vậy, khi ứng suất tiếp trong chất lỏng không tham gia thì giá trị của ứng suất
pháp gọi là áp suất P, được biểu diễn từ (1-35) là:
nn xx yy zz
P P P P P= − = − = − = −
(1-36)
Từ đây, ta thấy áp suất không phụ thuộc vào phương diện hướng của diện tích.
Áp suất cũng như ứng suất lực mặt theo hệ MKS được đo bằng Kg/m
2
. Trong tính
toán kỹ thuật, thường đo bằng atmotphe kỹ thuật, ký hiệu at.
1 at = 1 KG/cm
2
= 10.000 KG/m

2
.
Đơn vị đo của áp suất trong hệ đơn vị quốc tế SI là N/m
2
.
1 at = 1 KG/cm
2
= 9,81.10
4
N/m
2
.
Từ (1-33), ứng suất pháp được biểu diễn qua áp suất:
, , ,
n x y z
P Pn P Pi P P j P Pk= − = − = − = −
       
(1-37)
Dấu âm nói lên rằng, ứng suất pháp trong chất lỏng luôn hướng ngược với pháp
tuyến ngoại và ứng suất nén (1-37) đúng cho chất lỏng yên tĩnh (nhớt cũng như không nhớt)
và chất lỏng không nhớt chuyển động.
§ 1.5. PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT LỎNG DẠNG ỨNG SUẤT
Xét trong chất lỏng chuyển động thể tích bất kỳ V, giới hạn bằng mặt S (hình 1.4).
Bên trong nó, xét thể tích yếu tố hạt lỏng dV với khối lượng ρdV. Tác dụng lên hạt lỏng này
bao gồm các lực khối với ứng suất
F

và các lực mặt với ứng suất
n
P


.
Ký hiệu gia tốc khối tâm của hạt lỏng
dV
dt

thì phương trình chuyển động của nó cho:
n
P∆

n
S∆
n

r

F

dV
V
S
y
x
z
n
V
dV dV F P dS
dt
 
∆

= +

 
(1-38)
Tổng hóa (1-38), hai thành phần đầu dẫn tới tích phân theo thể tích, thành phần
cuối – tích phân theo diện tích mà các hạt lỏng tiếp xúc với nhau.
Theo định luật thứ ba Niutơn, những lực mặt tác dụng lên các mặt các hạt lỏng bên
trong V triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại lực mặt theo diện tích S, giới hạn bằng thể tích V.
n
V V S
dV
dV F dV P dS
dt
 
= +
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫

 
(1-39)
Sử dụng (1-29), thành phần cuối cùng của phương trình trên được viết lại:
( ) ( ) ( )
cos , cos , cos ,
n x y z
S S
P dS P n x P n y P n z dS
 
 
= + +
∫∫ ∫∫
   

(1-40)
Sử dụng phép biến đổi Gaux – Oxtrogratki ta có:
( ) ( ) ( )
cos , cos , cos ,
y
x
z
x y z
S V
P
P
P
P n x P n y P n z dS dV
x y z
 
 
 
 
 
 
∂
∂
∂
+ + = + +
∂ ∂ ∂
∫∫ ∫∫∫



  

(1-41)
Với (1-41), phương trình (1-39) được viết lại:
y
x
z
V V V
P
P
P
dV
dV F dV dV
dt x y z
 
 
 
 
 
∂
∂
∂
= + + +
∂ ∂ ∂
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫





(1-42)
(1-39) và (1-42) là phương trình chuyển động của thể tích chất lỏng khảo sát viết

dưới dạng tích phân. Thành phần đầu của chúng biểu diễn vectơ chính của lực quán tính,
thành phần thứ hai – vectơ chính của lực khối và thành phần cuối cùng là vectơ chính của
lưc mặt.
Để thuận tiện cho việc nghiên cứu chuyển động của chất lỏng, ta biến đổi (1-42) lại
như sau:
1
0
y
x
z
V
P
P
P
dV
F dV
dt x y z


 
 
 
 
 
 
 
 
∂
∂
∂

− − + + =
∂ ∂ ∂
∫∫∫





(1-43)
Vì thể tích V là bất kỳ, nên tích phân này bằng không khi và chỉ khi biểu thức dưới
dấu tích phân đồng nhất bằng không:
1
0
y
x
z
P
P
P
dV
F
dt x y z

 
 
 
 
∂
∂
∂

− − + + =
∂ ∂ ∂





Hay:
1
y
x
z
P
P
P
dV
F
dt x y z

 
 
 
 
∂
∂
∂
= + + +
∂ ∂ ∂






(1-44)
(1-44) gọi là phương trình vi phân chuyển động của chất lỏng dạng ứng suất, xây
dựng nên mối liên hệ giữa gia tốc với ứng suất lực khối và lực mặt tại điểm khảo sát của
dòng. Phương trình này đúng cho chất lỏng nhớt cũng như không nhớt.
Chiếu phương trình vectơ (1-44) lên các trục tọa độ, chúng ta thu được hệ phương
trình vi phân chuyển động dạng ứng suất của chất lỏng viết dưới dạng hình chiếu:
1
1
1
yx
x xx zx
x
y xy yy zy
y
yz
xz
z zz
z
P
dV P P
F
dt x y z
dV P P P
F
dt x y z
P
P

dV P
F
dt x y z




 

 

 

 

 

 


 

 

 

∂
∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂

∂ ∂ ∂
= + + +
∂ ∂ ∂
∂
∂
∂
= + + +
∂ ∂ ∂
(1-45)
Hệ phương trình (1-45) đặt cơ sở để nghiên cứu các vấn đề thủy động lực của chất
lỏng nhớt cũng như chất lỏng không nhớt.
CHƯƠNG 2.
THỦY TĨNH HỌC.
Thủy tĩnh học là phần của cơ học chất lỏng nghiên cứu các quy luật cân bằng của
chất lỏng. Chất lỏng có thể ở trạng thái cân bằng tuyệt đối khi lực khối tác dụng lên nó chỉ
là trọng lực và cân bằng tương đối nếu lực khối tác dụng lên nó ngoài trọng lực còn có lực
quán tính. Trong trường hợp cân bằng tương đối thể tích của chất lỏng có thể chuyển động,
không biến dạng, tức là chuyển động như vật rắn tuyệt đối, và lúc đó không có sự chuyển
động tương đối giữa các hạt lỏng với nhau.
§ 2.1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÂN BẰNG CỦA CHẤT LỎNG VÀ TÍCH PHÂN
TỔNG QUÁT.
2.1.1. Phương trình vi phân cân bằng chất lỏng
Khi chất lỏng ở trạng thái yên tĩnh, các thành phần ứng suất tiếp bằng không, còn các
thành phần ứng suất pháp thỏa mãn (1-37). Lúc đó thay
0
dV
dt
=

vào phương trình (1-44) ta có:

1
0
P P P
F i j k
x y z

 
∂ ∂ ∂
= − + +
 
∂ ∂ ∂
 
   
Hay:
1
gradF P

=

(2-1)
Trong đó:
grad
P P P
P i j k
x y z
 
 
 
∂ ∂ ∂
= + +

∂ ∂ ∂
  
(2-1) được coi là phương trình vi phân cân bằng của chất lỏng dạng vectơ, biểu diễn
mối liên hệ giữa lực khối và áp suất trong chất lỏng ở trạng thái cân bằng.
Phương trình (2-1) đúng cho chất lỏng cân bằng tuyệt đối cũng như tương đối.
Phương trình này do Euler tìm ra, nên gọi là phương trình cân bằng Euler.
Chiếu (2-1) lên các trục tọa độ, ta thu được hệ phương trình vi phân cân bằng viết
dưới dạng hình chiếu:
1
1
1
x
y
z
P
F
x
P
F
y
P
F
z




∂
=


∂

∂

=

∂


∂
=

∂

(2-2)
2.1.2. Tích phân tổng quát của phương trình vi phân cân bằng
Xét chất lỏng không nén được, tức là ρ = Const, khi đó (2-1) cho:
grad
P
F

 
=
 
 

(2-3)
(2-3) cho thấy lực khối
F


có thể biểu diễn vào dạng gradien của hàm vô hướng U -
gọi là thế của lực khối:
F gradU= −

(2-4)
Như vậy, chất lỏng không nén được cân bằng khi lực khối tác dụng lên nó phải có
thế, (2-3) và (2-4) cho:
grad grad
P
U

 
= −
 
 
Hay:
grad 0
P
U

 
+ =
 
 
(2-5)
Từ đây, ta thu được ρ tích phân của phương trình cân bằng:
' hay
P
U C P U C



+ = + =
(2-6)
Trong đó hằng số C không phụ thuộc bởi tọa độ, tức là như nhau đối với các điểm
của không gian và nó được xác định từ điều kiện biên. Tại điểm (x
0
, y
0
, z
0
): U = U
0
, P = P
0
.
Thay vào (2-6), ta thu được tích phân tổng quát của phương trình (2-1):
( )
0 0
P P U U

= + −
(2-7)
Đại lượng
( )
0
U U

−
là kết quả của lực khối tác dụng lên chất lỏng và nó không phụ
thuộc áp suất P

0
.
§ 2.2. MẶT ĐẲNG ÁP, MẶT ĐẲNG THẾ, MẶT PHÂN CHIA GIỮA HAI MÔI
TRƯỜNG
2.2.1 Mặt đẳng áp, mặt đẳng thế
Mặt đẳng áp là mặt trên đó áp suất tại mọi điểm đều bằng nhau, tức là:
hay 0P const dP= =
Mặt đẳng thế là mặt trên đó có thế của lực khối tại mọi điểm đều bằng nhau, tức là:
hay 0U const dU= =
Trong trường hợp chất lỏng không nén được, từ tích phân (2-6)
P U C

+ =
, ta thấy
mặt đẳng áp cũng là mặt đẳng thế.
Ta biết rằng, từ giải tích toán học nếu vectơ
( )
, ,a grad f x y z=

thì
a

sẽ vuông góc
với mặt f(x, y, z) = const. Bởi vậy ta có tính chất:
Lực khối
F

luôn tác dụng vuông góc với mặt đẳng áp.
2.2.2. Phương trình vi phân của mặt đẳng áp
Nhân các phương trình của hệ (2-2) tương ứng với dx, dy, dz và cộng lại ta có:

( )
x y z
P P P
F dx F dy F dz dx dy dz
x y z

∂ ∂ ∂
+ + = + +
∂ ∂ ∂
Hay :
( )
x y z
F dx F dy F dz dP

+ + =
(2-8)
dP = 0 cho phương trình vi phân của mặt đẳng áp:
0
x y z
F dx F dy F dz+ + =
(2-9)
2.2.3. Mặt phân chia giữa hai môi trường
Xét mặt phân chia giữa hai môi trường chất lỏng không nén được, không hòa
lẫn với nhau và có khối lượng riêng
1 2
 
≠
Vì trên mặt phân chia áp suất và lực khối như nhau đối với cả hai loại chất lỏng nên (2-8)
cho:
( ) ( )

1 2x y z x y z
dP F dx F dy F dz F dx F dy F dz
 
= + + = + +
Từ đây:
( )
( )
1 2
0
x y z
F dx F dy F dz
 
− + + =
Do
1 2
 
≠
nên:
0 hay 0
x y z
F dx F dy F dz dP+ + = =
Như vậy mặt phân chia giữa hai môi trường chất lỏng là mặt đẳng áp.
Trong trường hợp lực khối tác dụng lên hai môi trường chất lỏng là trọng lực,
U = gz, ta thấy mặt phân chia giữa chúng là mặt nằm ngang.
Mặt phân chia giữa chất lỏng và chất khí (thường là không khí) gọi là mặt tự do hay
mặt thoáng của chất lỏng.
§ 2.3. PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN CỦA THỦY TĨNH. ÁP SUẤT TUYỆT ĐỐI, ÁP
SUẤT DƯ VÀ ÁP SUẤT CHÂN KHÔNG.
Xét trường hợp chất lỏng tĩnh không nén được, chịu tác dụng của lực khối chỉ là
trọng lực. Lúc này chất lỏng được gọi là chất lỏng thực. Khi đó thay U = gz từ (1-22) vào

(2-7) ta có:
( )
0 0
P P z z

= + −
(2-10)
Từ đây ta thu được các phương trình cơ bản của thuỷ tĩnh, biểu diễn các qui luật cơ
bản của thuỷ tĩnh học:
0 0
P z P z Const
 
+ = + =
(2-11)
0
0
P
P
z z Const
 
+ = + =
(2-12)
Chọn mặt tự do trùng với mặt nằm ngang z = z
0
, z
0
= 0 (hình 2.1) lúc đó (2-10) cho:
0
P P z


= −
(2-13)
Xét độ sâu z = -h, ta thu được dạng khác của phương trình cơ bản thuỷ tĩnh:
0
P P h

= +
(2-14)
Phương trình (2-14) cho phép kết luận: Cùng một loại chất lỏng cân bằng, áp suất tại
mọi điểm ở cùng một độ sâu thì bằng nhau. (2-14) là công thức dùn để tính áp suất tại một
điểm bất kỳ ở trong chất lỏng tĩnh.
Trị số áp suất tính theo công thức (2-14) gọi là áp suất tuyệt đối P
tđ
.
Khi mặt nằm ngang z
0
= 0 là mặt thoáng tự do có P
0
= P
a
– áp suất atmotphe, (2-14)
được viết lại:
a
P P h

= +
(2-15)
Trong tính toán kỹ thuật thường sử dụng khái niệm áp suất dư, được biểu diễn bằng
công thức:
P

dư
= P
tđ
– P
a
=

h (2-16)
Đại lượng nhỏ hơn áp suất atmotphe, gọi là áp suất chân không P
ck
được biểu diễn:
P
ck
= P
a
– P
tđ
(2-17)
§ 2.4. CÂN BẰNG TƯƠNG ĐỐI CỦA CHẤT LỎNG
Xét trường hợp khi chất lỏng ở trạng thái cân bằng tương đối. Lúc này, thể tích khối
lỏng khảo sát không biến dạng, xem như vật rắn tuyệt đối.
Phương trình vi phân cân bằng tương đối của chất lỏng được biểu diễn bằng phương
trình (2-8).
Từ cơ học lý thuyết biết rằng: Bài toán động lực có thể đưa về bài toán tĩnh, nếu
thêm vào ngoại lực các lực quán tính.
Khảo sát hai bài toán đặc trưng sau:
Bài toán 1: Bình chứa chất lỏng chuyển động thẳng với gia tốc không đổi
a

trên

đường thẳng ngang (hình 2.2). Xét sự phân bố áp suất và mặt tự do của chất lỏng.
Hình chiếu của lực khối đơn vị lên các trục toạ độ là:
F
x
= - a, F
y
= 0, F
z
= -g (2-18)
Thay (2-18) vào (2-8) cho:
( )
adP dx gdz

= − +
Tích phân ta được:
( )
aP x gz C

= − + +
Trên biên, tại điểm x = 0, z = 0 ta có P = P
0
= C. Vậy ta thu được biểu thức phân bố
áp suất tại mọi điểm trong chất lỏng như sau:
( )
0
aP P x gz

− = − +
(2-19)
Khi P = P

0
, ta có được phương trình mặt thoáng từ (2-19) là:
a 0x gz+ =
(2-20)
Mặt tự do của chất lỏng lập với phương ngang một góc α:
a
tg
g

= −
(2-21)
Biểu thức (2-21) cho thấy a = 0 thì tg

= 0 tức khi bình chứa chuyển động đều, mặt
tự do của chất lỏng là mặt nằm ngang.
Bài toán 2: Xét sự cân bằng tương đối của chất lỏng trong bình chứa hình trụ quay
quanh trục thẳng đứng với vận tốc không đổi ω (hình 2.3). Khảo sát mặt tự do và sự phân bố
áp suất trong chất lỏng.
Hình chiếu của lực khối đơn vị lên các trục:
2 2
x, y,
x y z
F F F g
 
= = = −
(2-22)
Thay các giá trị (2-22) vào (2-8), và sau khi tích phân ta được:
( )
2
2 2

x +y
2
P z C

 
= − +
(2-23)
Hằng số tích phân được xác định từ điều kiện biên:
- Khi x = y = z = 0 ⇒ P = P
0
= C. Vậy áp suất thuỷ tĩnh phân bố theo luật:
( )
2
2 2
0
x +y
2
P P z

 
− = −
(2-23)
- Khi P = P
0
, ta thu được mặt tự do của chất lỏng là phương trình Paraboloit quay:
( )
2 2
2 2 2
x +y
2 2

z r
g g
 
= =
(2-24)
§ 2.5. ÁP LỰC CỦA CHẤT LỎNG TÁC DỤNG LÊN MẶT VẬT
Từ tĩnh học của vật rắn, tổng hợp các áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên mặt vật S ngập ở trong
chất lỏng, trong trường hợp tổng quát, có thể thu về một lực bằng vectơ chính của các áp lực:
S
R PndS= −
∫∫
 
(2-25)
Và một ngẫu lực có mômen bằng mômen chính của hệ các áp lực lấy đối với tâm O:
( )
S
M r Pn dS= − ∧
∫∫
  
(2-26)
2.5.1 Áp lực của chất lỏng lên mặt cong
Xét mặt cong bất kỳ S ngập ở trong chất lỏng yên tĩnh (hình 2.4). Khi đó áp lực yếu tố
d R

tác dụng lên diện tích dS là
dR PndS= −
 
, trong đó
n


- vectơ pháp tuyến ngoại.
Từ đây, áp lực chất lỏng tác dụng lên mặt cong S là:
S
R PndS= −
∫∫
 
(2-27)
Chú ý (2-13), khi P
0
= P
a
; P = P
a
- γz (2-28) và bỏ qua áp suất khí quyển. Lúc đó, chiếu
(2-27) lên các trục toạ độ ta có:
( )
( )
( )
cos ,x
cos ,y
cos , 0
x
y
x x C x
S S
y y C y
S S
z
S S
R z n dS zdS z S

R z n dS zdS z S
z
R z n z dS G dV V
z
  
  

  



= = =



= = =



= − =



∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫
Hay:
x
y
x C x

y C y
z
R z S
R z S
R V




=

=


=

(2-29)
Trong đó:
1 1
;
x y
C x C y
x y
S S
z zdS z zdS
S S
= =
∫∫ ∫∫
- toạ độ trọng tâm hay độ sâu trọng tâm của
S

x
, S
y
– là hình chiếu của mặt cong S lên mặt x và y. V – thể tích khối trụ chất lỏng giới hạn
bởi mặt cong S, mặt chiếu của nó lên mặt tự do
S
′
, với mặt bên là các đường thẳng đứng.
Lưu ý, khi thu thành phần thẳng đứng R
z
ta đã sử dụng công thức Gaux – Oxtrogratki.
(2-29) cho ta thấy thành phần áp lực thuỷ tĩnh R
z
bằng trọng lượng thể tích khối lỏng hình
trụ V.
Độ lớn của áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên mặt cong S được xác định theo công thức:
2 2 2
x y z
R R R R= + +
(2-30)
2.5.2. Áp lực chất lỏng tác dụng lên thành phẳng
Xét thành phẳng S ngập hoàn toàn trong chất lỏng, nghiêng với mặt tự do một góc α
(hình 2.5). Trường hợp này các áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên mặt S lập thành hệ lực song
song được quy về một hợp lực tác dụng thẳng góc với mặt phẳng được xác định như sau,
với chú ý bỏ qua áp suất atmotphe:
C
S S S
R PndS zndS n zdS nz S
  
= − = − = − = −

∫∫ ∫∫ ∫∫
    
(2-31)
Từ đây, độ lớn của áp lực thuỷ tĩnh tác dụng lên thành phẳng S được tính bằng công thức:
S
R zdS

=
∫∫
(2-32)
Hay:
C
R z S

=
(2-33)
Trong đó:
1
C
S
z zdS
S
=
∫∫
- độ sâu trọng tâm hay toạ độ trọng tâm của thành phằng S.
Để xác định điểm đặt A của hợp lực
R

, dựng mặt phẳng Q chứa S, cắt mặt tự do
theo giao tuyến Oy. Cùng với hệ toạ độ Oxyz, xét hệ toạ độ Ox’y’z’ sao cho Oy’ ≡ Oy, ox’

thuộc Q. Khi đó, toạ độ của điểm M bất kỳ thuộc S được biểu diễn bằng mối liên hệ:
'
'
'
cos sin
0
M M
M
M M
M
x z
x
y y
z
 

= =



=


=



(2-34)
Từ tĩnh học của vật rắn ta có:
( ) ( )

S S
r R M r Pn dS r n zdS

∧ = = − ∧ = − ∧
∫∫ ∫∫
      
(với z↓)
Chú ý
R Rn= −
 
và (2-32), biểu thức cuối được viết lại:
( )
A
S
A
S
r n zdS
r n
zdS
∧
∧ =
∫∫
∫∫
 
 
(2-35)
Trong đó
A
r


- vectơ định vị điểm đặt của hợp lực
R

và A gọi là tâm áp lực.
Chiếu (2-35) lên các trục của hệ toạ độ Ox’y’z’, với lưu ý:
( ) ( ) ( )
' ' ' ' ' '
cos , ' cos , ' cos , ' 0 0 1
A
i j k i j k
r n x y z x y z
n x n y n z
∧ = =
−
     
 
Và (2-34) ta có:
2 2
'
1
'
'
2
'
'
' ' sin '
'sin '
' ' 'sin ' '
'sin '
0

S S S
A
C
S S S
S S S
A
C
S S S
A
x zdS x dS x dS
I
x
x S
zdS x dS x dS
y zdS x y dS x y dS
I
y
x S
zdS x dS x dS
z




= = = =
= = = =
=
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫
∫∫ ∫∫ ∫∫

∫∫ ∫∫ ∫∫
(2-36)
Trong đó:
-
'
1
'
C
S
x x dS
S
=
∫∫
- toạ độ trọng tâm của S.
-
2
1
'
S
I x dS=
∫∫
và
2
' '
S
I x y dS=
∫∫
- mômen quán tính và mômen quán tính ly
tâm của mặt S.
Theo định lý Giuravski

' 2
1 C C
I I Sx= +
. Trong đó I
C
mômen quán tính của mặt S đối với
trục đi qua trọng tâm C và song song với giao tuyến Oy. Khi đó công thức đầu (2-36) được
viết lại:
' '
'
C
A C
C
I
x x
x S
= +
(2-37)
Chú ý (2-34), cuối cùng ta thu được:
'
sin
sin sin
C C
A
C
z I
z
x S

 

= +
Hay:
2
'
sin
C
A C
C
I
z z
z S

= +
(2-38)
Từ công thức cuối cùng ta thấy tâm áp lực có vị trí thấp hơn trọng tâm của thành
phẳng một khoảng
2
'
sin
C
C
I
z S

.
Khi thành phẳng vuông góc với mặt tự do, (2-38) được viết lại:
'
C
A C
C

I
z z
z S
= +
(2-39)
§ 2.6. ĐỊNH LUẬT ACSIMÉT
Xét vật thể ngập hoàn toàn trong chất lỏng, có mặt kín S, giới hạn bởi thể tích hữu
hạn V (hình 2.6). Khi đó vectơ chính của các áp lực thuỷ tĩnh của chất lỏng tác dụng lên mặt
vật, theo công thức Gaux – Oxtrogratski được biểu diễn:
S V
R PndS grad PdV= − = −
∫∫ ∫∫∫
 
(2-40)
Trong trường hợp chất lỏng trọng lực, phương trình vi phân cân bằng Euler có dạng:
grad P g

=

(2-41)
Trong đó,
g

vectơ gia tốc trọng lực. Thay (2-41) vào (2-40) ta có:
V V
R gdV g dV gm G
 
= − = − = − = −
∫∫∫ ∫∫∫
    

(2-42)
Trong đó:
V
m dV

=
∫∫∫
- khối lượng của thể tích chất lỏng bị vật chiếm chỗ.
G

- trọng lực tác dụng lên thể tích khối lỏng này.
Đẳng thức (2-42) nói lên rằng: Vectơ chính của các áp lực chất lỏng tác dụng lên mặt vật
ngập trong đó nó có trị số bằng trọng lượng thể tích khối lỏng bị vật chiếm chỗ và hướng thẳng
đứng từ dưới lên trên.
Mômen chính của áp lực chất lỏng tác dụng lên mặt vật có dạng:
( ) ( ) ( )
S S V
M r Pn dS r Pr dS rot Pr dS= − ∧ = ∧ =
∫∫ ∫∫ ∫∫∫
     
(2-43)
Sử dụng công thức từ giải tích vectơ, với chú ý
0rot r ≡

, ta có:
( )
rot Pr prot r grad P r r grad P= + ∧ = − ∧
   
Khi đó kết hợp với phương trình (2-41), biểu thức (2-43) được viết lại:
( ) ( )

V V
M r grad P dV r g dV

= − ∧ = − ∧
∫∫∫ ∫∫∫
   
Với
G
g g
G
=


, ta thu được:
1
V
M r gdV G
G

= − ∧
∫∫∫
  
(2-44)
Trong đó: -
G V

=
– là trọng lượng thể tích khối lỏng bị vật chiếm chỗ.
- γ – là trọng lượng riêng của chất lỏng.
- g – gia tốc trọng trường.

Ký hiệu
D
r

– bán kính vectơ trọng tâm của thể tích khối lỏng bị vật chiếm chỗ, thì nó
được xác định bằng công thức:
1
D
V
r r gdV
G

=
∫∫∫
 
(2-45)
Thay vào (2-44) cho:
D D
M r G r R= − ∧ = ∧
    
(2-46)
Và:
( ) ( )
. 0
D D
R M R r R r R R= ∧ = ∧ =
       
(2-47)
Các biểu thức (2-47) và (2-46) cho thấy các áp lực chất lỏng tác dụng lên mặt vật
được qui về một hợp lực có đường tác dụng đi qua trọng tâm của khối lỏng bị vật chiếm chỗ.

Hợp lực
R

được gọi là lực đẩy Acsimét. Qui ước lực này đặt tại trọng tâm D của vật
khối lỏng bị vật chiếm chỗ và gọi là tâm đẩy Acsimét.
Vậy “Các áp lực thuỷ tĩnh của chất lỏng tác dụng lên mặt vật trong chất lỏng được
quy về một hợp lực hướng thẳng đứng từ dưới lên trên, có trị số bằng trọng lượng thể tích
khối lỏng bị vật chiếm chỗ và đặt tại trọng tâm của khối lỏng này”. Đây chính là nội dung
của định luật Acsimét.
Định luật Acsimét cũng đúng cho vật ngập không hoàn toàn ở trong chất lỏng. Khi
đó vật chịu tác dụng của một lực đẩy có trị số bằng trọng lượng thể tích khối lỏng phần ngập
của vật choán chỗ.
§ 2.7. ĐIỀU KIỆN CÂN BẰNG VÀ ỔN ĐỊNH CỦA VẬT NGẬP TRONG CHẤT
LỎNG
Xét vật thể ngập trong chất lỏng, khi đó nó chịu tác dụng đồng thời của hai lực: Lực
đẩy Acsimét
R

đặt tại tâm đẩy D, hướng thẳng đứng từ dưới lên trên và trọng lượng
G

đặt
tại trọng tâm của vật C, hướng xuống dưới (hình 2.7).
Điều kiện cần và đủ để vật ở trạng thái cân bằng là hai lực này có điểm đặt cùng nằm
trên đường thẳng đứng và có cùng trị số, tức là:
R G=
(2-48)
Khi vật có thể tích V, trọng lượng riêng γ
v
, ngập hoàn toàn trong chất lỏng với trọng

lượng riêng γ, thì R = γV và G = γ
v
V. Lúc đó, tổng hợp lực tác dụng lên vật là:
( )
v
G R V
 
− = −
(2-49)
(2-49) cho 3 trường hợp nổi của vật (hình 2.8) như sau:
- Nếu G > R hay γ
v
> γ thì vật sẽ chìm tới đáy.
- Nếu G = R hay γ
v
= γ thì vật sẽ nổi ở lưng chừng trong chất lỏng tại bất kỳ
độ sâu nào.
- Nếu G < R hay γ
v
< γ thì vật sẽ bị đẩy nhô lên khỏi mặt chất lỏng đến khi nào
trọng lượng của vật bằng trọng lượng của thể tích khối lỏng bị vật chiếm chỗ, tức là
V'G R

= =
trong đó V’ là thể tích phần ngập của vật.
Một vật nổi cân bằng có thể ổn định hoặc không ổn định. Độ ổn định là tính chât của
vật nổi có khuynh hướng chống lại các ngoại lực làm nghiêng vật nổi khỏi vị trí cân bằng
lúc ban đầu.
Vấn đề ổn định của vật nổi rất quan trọng và thường gặp nhiều ở trong kỹ thuật. Ví
dụ như sự ổn định cân bằng của tàu thuỷ, tàu ngầm…Điều kiện ổn định đối với vật ngập

hoàn toàn ở trong chất lỏng khác với vật nổi ở trên mặt tự do.
2.7.1. Điều kiện ổn định đối với vật ngập hoàn toàn trong chất lỏng (hình 2.9)
a. Khi tâm đẩy D có vị trí cao hơn trọng tâm C của vật, nếu vật nghiêng so với
phương thẳng đứng, thì
R

và
G

lập thành ngẫu lực quay vật về vị trí cân bằng lúc ban đầu.
Sự cân bằng của vật trong trường hợp này gọi là cân bằng ổn định.
b. Khi D có vị trí thấp hơn C, lúc này
R

và
G

lập thành ngẫu lực, làm cho vật quay
xa vị trí cân bằng ban đầu. Trạng thái của vật là cân bằng không ổn định.
c. Khi D trùng với C thì
R

và
G

không lập thành ngẫu lực, tức là vật cân bằng ngay
tại vị trí khảo sát và trạng thái cân bằng của nó là cân bằng phiếm định.
2.7.2. Điều kiện ổn định đối với vật nổi trên mặt tự do của chất lỏng
Đối với vật ngập một phần trong chất lỏng, thì vấn đề ổn định của nó phức tạp hơn
vật ngập hoàn toàn trong chất lỏng. Vì khi vật nghiêng khỏi vị trí cân bằng, thì thể tích khối

lỏng bị vật chiếm chỗ thay đổi hình dạng, dẫn đến sự thay đổi vị trí tâm đẩy D.
Trường hợp tâm đẩy D cao hơn trọng tâm C, vật nổi cân bằng luôn ổn định.
Khi C có vị trí cao hơn D, để nghiên cứu điều kiện ổn định của vật nổi, ta đưa ra một
số định nghĩa ứng với vật nổi ở trạng thái cân bằng, về một số yếu tố như sau (hình 2.10):
- Mớn nước: là giao tuyến của vật nổi với mặt nước.
- Mặt nổi: là mặt phẳng có chu vi đường mớn nước.
- Trục nổi: là đường thẳng góc với mặt nổi đi qua trọng tâm của vật nổi.
Khi vật nổi nghiêng một góc α so với phương thẳng đứng thì tâm đẩy D dời đến vị
trí D’ (hình 2.11). Giao điểm của trục nổi với đường tác dụng của lực đẩy mới gọi là tâm
định khuynh M. Khi đó ký hiệu các đoạn:
CD e=
MD

=
, gọi là bán kính định khuynh.
M
MC h=
, gọi là độ cao định khuynh.
Xét lượng:
M
h MD CD e

= − = −
(2-50)
Có thể xảy ra các khả năng sau:
a. Khi h
M
> 0, tức M có vị trí cao hơn C, ngẫu lực do
R


và
G

làm cho vật quay về
trạng thái cân bằng lúc đầu, ta có vật nổi cân bằng ổn định.
b. Khi h
M
< 0, hay M thấp hơn C, ngẫu lực
( )
,R G
 
có xu hướng làm vật càng
nghiêng đi, vật ở trạng thái cân bằng không ổn định.
c. Khi h
M
= 0, M trùng C. Trường hợp này
( )
, 0R G
 
, không tạo nên ngẫu lực. Vật
ở mọi vị trí đều cân bằng. Sau khi nghiêng, vật nổi ở trạng thái nghiêng, mà
không trở lại vị trí cân bằng lúc đầu, nên ta có vật nổi cân bằng phiếm định.
Vậy để xác định điều kiện ổn định của vật nổi ta cần xác định đại lượng h
M
. Trong
kỹ thuật, với một loại tàu, thuyền có hình dạng, kích thước, tải trọng nhất định ta sẽ xác định
được trọng tâm C, tâm đẩy D. Còn bán kính định khuynh ρ (khi góc nghiêng α < 15°) được
tính theo công thức:
I
V


=
(2-51)
Trong đó: I – là mômen quán tính của mặt nổi đối với trục quay, (tức trục dọc của
mặt nổi).
V – thể tích khối lỏng bị vật chiếm chỗ.
Trong kỹ thuật đóng tàu, thuyền, thường lấy
0,3 1,5
M
h m= ÷
tuỳ theo hình dạng,
kích thước, công dụng của từng loại.
Như vậy, để tăng độ ổn định của tàu, thuyền, cần phải tăng độ cao định khuynh bằng
cách hạ thấp trọng tâm C như xếp hàng nặng xuống đáy, hoặc nâng cao tâm định khuynh M
bằng cách cấu tạo hình dáng thích hợp.
§ 2.8. MỘT SỐ VÍ DỤ MINH HOẠ
Bài 2.1
Xác định áp suất dư của không khí trong bình áp lực theo độ chỉ của áp kế thuỷ ngân
cấu tạo từ 2 ống chữ U nối với nhau (hình 2-12). Mực nước trong bình và thuỷ ngân trong
ống so với mặt nằm ngang là:
h
0
= 2,5 m, h
1
= 0,9 m, h
2
= 2,0 m, h
3
= 0,7 m, h
4

= 1,8 m.
Giải:
Theo phương trình cơ bản thuỷ tĩnh (2-14), ta có áp suất tại các điểm B, C, D, E là:
( )
4 3B A TN
P P h h

= + −
( )
2 3C B N
P P h h

= − −
( )
2 1D C TN
P P h h

= + −
( )
0 1E D N
P P h h

= − −
Cộng các đẳng thức lại và chú ý P
E
– P
D
= P
dư
, ta thu được:

P
dư
=
( )
( )
( ) ( )
4 3 2 1 2 3 0 1
2,7
TN N
h h h h h h h h at
 
− + − − − + − =
   
   
Bài 2.2:
Xác định áp lực của nước tác dụng lên phần bên của tàu thuỷ có chiều rộng b = 1,2m,
dài L = 2,5m (hình 2.13). Cho biết góc nghiêng của phần đó là α = 30°. Độ mớn nước của
tàu là T = 1,75m. Tìm độ sâu của tâm áp lực.
Giải:
Phần bên của tàu thuỷ là hình phẳng, do đó áp lực của nước tác dụng lên nó được
tính theo công thức (2-33):
C
R z S

=
(1)
Trong đó độ sâu trọng tâm z
C
và diện tích của phần bên của tàu được tính:
1

sin ;
2
c
z T b S Lb

= − =
(2)
Thay (2) vào (1) cho:
1
sin
2
R T b Lb
 
 
= −
 
 
Thay giá trị tính toán ta được: R = 4,35 T (tấn)
Độ sâu tâm áp lực nước tác dụng lên phần bên của tàu được xác định theo công thức
(2-38):
2
sin
C
A C
C
I
z z
z S

= +

(3)
Trong đó, mômen quán tính của mặt bên tàu:
3
12
C
Lb
I =
(4)
Với (4), (2) thì (3) được viết lại:
3 2
1 sin
sin
1
2
12 sin
2
A
Lb
z T b
T b Lb



= − +
 
−
 
 
( )
2 2

1 sin
sin
2 6 2 sin
A
b
z T b
T b



= − +
−
Thay giá trị ta có:
1,47
A
z m=
Bài 2.3:
Tường thẳng đứng bằng đá có trọng lượng riêng γ
đ
ngăn bể chứa thành hai phần với
các mức chất lỏng H
1
và H
2
(hình 2.14). Xác định bề dày của tường để nó không bị lật, nếu
cho biết trọng lượng riêng của chất lỏng là γ và chiều cao của tường là H
0
.
Giải:
Để tường không bị lật, thì các lực tác dụng vào nó gồm các áp lực của chất lỏng tác

dụng lên hai vách ngăn
1 2
,R R
 
và trọng lực của tường
G

phải lập thành một hệ lực cân
bằng. Bởi vậy:
( )
( ) ( )
1 2
1 1 2 2
0
2
i A A
b
m F R H z R H z G= − − + − + =
∑
 
(1)
Trong đó:
1
1
2
1 1
1 1 1
2
1 1
1 1 1

. . . . .
2 2
. . . . .
2 2
C
C
H H
R z S H L L
H H
R z S H L L
  
  
= = =
= = =
(2)
G = γ
đ
.V
đ
= γ
đ
.b.H
0
.L
Với L là chiều dài của tường.
Độ sâu tâm áp lực
1 2
,R R
 
được xác định theo công thức (2-39):

1 1
1
2
3
1 1 1
1
1
1
1
1
. /12
2
. 2 3
. .
2
2
3
A C
C
A
I H H L
z z H
H
z S
H L
Z H

= + = + =





=


(3)
Tương tự ta có:
Thay (2), (3) vào (1) cho:
γ
đ
.b.H
0
.L =
2 2
1 2
1 1 2 2
2 2
. .
2 3 2 3
H H
L H H L H H
 
   
− − −
   
   
=>
( )
3 3
1 2

d 0
3
H H
b
H


−
=
Vậy để tường khỏi lật ta cần có chiều rộng của nó là:
( )
3 3
1 2
d 0
3
H H
b
H


−
≥
Bài 2.4:
Xác định độ lớn cần thiết của lực F để mở một cánh cửa phẳng hình chữ nhật với
kích thước a x b = 0,1 x 0,3 m và trọng lượng G = 3 KG, nếu mặt phẳng của cửa tạo với
phương ngang một góc θ = 60°, lực F lập với phương thẳng đứng một góc α = 30°. Bản lề
của cánh cửa đặt ở phía trên và ngập ở độ sâu H = 10 m so với mặt tự do (hình 2.15). Cho
biết trọng lượng riêng của nước γ = 1025 KG/m
3
.

Giải:
Ta có
( )
0
, , , 0F R G R
   
. Bởi vậy phương trình mômen của các lực đối với điểm 0 tại
bản lề cho:
( )
( )
0
a
cos acos 0
sin 2
A
i
z H
m F R G F
  

−
= + − − =
∑
 
(1)
Trong đó:
a
sin .ab
2
C

R z S H
  
 
= = +
 
 
(2)
3
2
2 2
a a b /12
sin sin
a
2
sin .ab
2
a a sin
sin
a
2
12 sin
2
C
A C
C
I
z z H
z S
H
H

H
 




= + = + + =
 
+
 
 
+ +
 
+
 
 
(3)
Thay (2), (3) vào (1) ta có độ lớn cần thiết của lực F để mở cánh cửa phẳng:
( )
2
cos asin
3
178,5 KG
2cos
G ab H
F
  
 
 
+ +

 
 
= =
−
Bài 2.5:
Xác định tổng áp lực thuỷ tĩnh của chất lỏng lên măt cong EBF của cửa chắn có dạng
một phần tư hình trụ tròn bán kính r, với đường sinh dài L (hình 2-16) và đường tác dụng
của lực này với phương ngang. Mức chất lỏng H cho trước như hình vẽ.
Giải:
Chọn hệ trục toạ độ như hình vẽ thì R
x
= 0, khi đó: