BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Hồng Trung Kiên

HỆ THỨC VI-ÉT
TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TỐN PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Hồng Trung Kiên

HỆ THỨC VI-ÉT
TRONG CHƯƠNG TRÌNH
TỐN PHỔ THÔNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học Toán
Mã số: 60 14 10

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. Nguyễn Chí Thành

Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Chí Thành,
người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và động viên tơi trong q trình làm luận văn
dù khơng thuận tiện về mặt địa lý.
Tôi xin trân trọng cảm ơn các Thầy Cô đã nhiệt tình giảng dạy, giải đáp
những thắc mắc, đóng góp nhiều ý kiến chân thành và xác đáng, giúp chúng tơi có
những cảm nhận và tiếp thu một cách tốt nhất về chun ngành Didactic Tốn.
Tơi cũng xin chân thành cảm ơn :
•

Ban lãnh đạo và chun viên phịng KHCN - SĐH, ban chủ nhiệm và

giảng viên khoa Toán – Tin của trường ĐHSP Tp. Hồ Chí Minh đã tạo thuận lợi
cho chúng tơi trong suốt khố học vừa qua.
•

Ban giám hiệu và các giáo viên các trường THPT Nguyễn Hữu Tiến

(TP.HCM), trường THCS Bình Quới Tây (TP.HCM) đã hỗ trợ tôi thực hiện các
thực nghiệm đối với học sinh.
Lời cảm ơn chân thành đến các bạn cùng khóa đã ln sát cánh cùng tơi
trong suốt q trình học tập.
Cuối cùng, tận đáy lịng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc nhất đến những
người thân yêu trong gia đình tơi, những bạn bè tâm giao của tơi. Họ, những người
đã luôn ở bên tôi mọi lúc và chính là động lực để tơi hồn tất tốt luận văn.
Hoàng Trung Kiên



DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
CCGD

:

cải cách giáo dục

GV

:

giáo viên

HS

:

học sinh

MTBT

:

máy tính bỏ túi

SGK

:

sách giáo khoa


SBT

:

sách bài tập

SGV

:

sách giáo viên

TCTH

:

tổ chức tốn học

THCS

:

trung học cơ sở

THPT

:

trung học phổ thơng



MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn
Danh mục các chữ viết tắt
MỞ ĐẦU ....................................................................................................................1
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát ....................................................1
2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu ......................................2
3. Phương pháp nghiên cứu .....................................................................................3
4. Cấu trúc của luận văn ..........................................................................................4
Chương 1: Phân tích thể chế dạy học ở bậc đại học đối với định lí Vi-ét ............6
1.1. Định lý Vi-ét trong giáo trình [a] .....................................................................6
1.2. Định lí Vi-ét trong giáo trình [b] ....................................................................13
Kết luận chương 1 .................................................................................................18
Chương 2: Phân tích thể chế dạy học ở bậc phổ thơng đối với định lí Vi-ét .....20
2.1. Phân tích SGK, SBT Tốn 9 ..........................................................................21
2.2. Phân tích SGK, SBT nâng cao Tốn 10 .........................................................34
2.3. Phân tích SGK 11, 12 nâng cao ......................................................................48
Chương 3: Điều kiện sinh thái của hệ thức Vi-ét .................................................53
3.1. Trong chương trình tốn THCS .....................................................................53
3.2. Trong chương trình tốn THPT ......................................................................57
Kết luận chương 3 .................................................................................................60
Chương 4: Thực nghiệm .........................................................................................62
4.1. LỚP 9..............................................................................................................62
4.1.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................62
4.1.2. Tổ chức thực nghiệm ...............................................................................62
4.1.3. Phân tích tiên nghiệm ..............................................................................63
4.1.4. Phân tích hậu nghiệm...............................................................................70

4.2. LỚP 10............................................................................................................77
4.2.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................77
4.2.2. Tổ chức thực nghiệm ...............................................................................77
4.2.3. Phân tích tiên nghiệm ..............................................................................77
4.2.4. Phân tích hậu nghiệm...............................................................................78
4.3. LỚP 12............................................................................................................85
4.3.1. Mục đích thực nghiệm .............................................................................82
4.3.2. Hình thức thực nghiệm ............................................................................82
4.3.3. Phân tích tiên nghiệm ..............................................................................82
4.3.4. Phân tích hậu nghiệm...............................................................................85
KẾT LUẬN ..............................................................................................................91
TÀI LIỆU THAM KHẢO
PHỤ LỤC


1

MỞ ĐẦU
1. Những ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Phương trình và hệ phương trình là hai trong số những kiến thức đại số
cơ bản nhất của toán học ở trường phổ thơng. Khái niệm về phương trình đã
được đưa vào chương trình tốn phổ thơng từ rất sớm. Ở bậc tiểu học các em
đã được tiếp xúc với phương trình bậc nhất một ẩn thơng qua bài tốn “tìm
x”, phương trình được chính thức giới thiệu trong SGK Tốn 8. Trong các kì
thi tuyển sinh lớp 10 và tuyển sinh đại học, việc nắm vững kiến thức cũng
như cơng cụ để giải các bài tốn liên quan đến phương trình và hệ phương
trình là khơng thể thiếu nếu như muốn đạt kết quả cao. Một trong những
công cụ mạnh mẽ và hữu ích đó chính là “hệ thức Vi-ét”.
Hệ thức Vi-ét được trình bày ở SGK Tốn 9 tập 2 sau khi học sinh đã
học xong hệ phương trình bậc nhất hai ẩn và phương trình bậc hai. Qua ứng

dụng của hệ thức Vi-ét học sinh có thể giải quyết được các bài toán liên quan
đến tổng và tích các nghiệm của phương trình bậc 2, một dạng tốn ln nằm
trong đề thi tuyển sinh 10 cũng như tuyển sinh vào lớp 10 chuyên trên khắp
cả nước trong nhiều năm qua. Tuy nhiên, ứng dụng của nó vào việc giải hệ
phương trình ở cấp học này cịn mờ nhạt. Ở lớp 10, định lý Vi-ét được trình
bày ngắn gọn với mục đích ơn lại cho học sinh nhưng đến năm học 20112012 thì nó được nằm trong phần giảm tải của Bộ giáo dục đào tạo với mục
tiêu “cắt giảm các nội dung trùng lặp”.
Vậy để tìm hiểu sự tồn tại của hệ thức Vi-ét trong chương trình tốn phổ
thơng hiện nay, những câu hỏi sau đây cần thiết được giải đáp:
Những ứng dụng của hệ thức Vi-ét đã xuất hiện, tồn tại và tiến triển như
thế nào trong các SGK? Chúng có thực sự được khai thác hết trong chương
trình tốn phổ thơng hiện hành? Liệu học sinh có thực sự hiểu và nắm rõ
cơng cụ giải toán mạnh mẽ này?
Trong nội dung thi tuyển sinh lớp 10 thì việc sử dụng hệ thức Vi-ét ln
được đề cập, điều đó nói lên tầm quan trọng của nó ở cấp học này. Hệ thức


2

Vi-ét và ứng dụng được trình bày trong SGK lớp 9 là một bài học, nhưng lên
lớp 10 thì chỉ được đề cập dưới dạng một mục nhỏ trong bài 2 “Phương trình
quy về phương trình bậc nhất, bậc hai”, sau đó khơng cịn xuất hiện nữa và
hiện nay đã được giảm tải, theo văn bản của Bộ giáo dục thì phần “I. Ơn tập
về phương trình bậc nhất, bậc hai” trong bài 2 là không dạy. Vậy phải chăng
ứng dụng của nó khơng cịn thích hợp nữa hoặc q ít môi trường để sử
dụng. Một cách hệ thống hơn, chúng tôi thấy cần thiết phải đặt ra những câu
hỏi sau:
- Ở cấp độ tri thức khoa học, hệ thức Vi-ét và ứng dụng được trình bày
như thế nào? Có sự khác biệt nào với sự trình bày tri thức này ở trường
phổ thơng? Tại sao lại có sự khác biệt này?

- Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy, chúng xuất hiện như thế nào? Chúng
được trình bày để giải quyết những bài tốn gì?
- Có sự tương đồng và khác biệt nào về ứng dụng của hệ thức Vi-ét giữa 2
cấp học (THCS và THPT)?
- Tại sao hệ thức Vi-ét xuất hiện lại ở chương trình tốn THPT? Có gì
mới mà SGK ở cấp học này muốn giới thiệu? Những sai lầm mắc phải
của học sinh ở THCS có cịn xuất hiện? Tương lai của hệ thức Vi-ét
trong chương trình tốn phổ thơng ở nước ta?
2. Mục đích nghiên cứu và phạm vi lý thuyết tham chiếu
Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm cách trả lời cho các câu hỏi
được nêu ra ở trên. Để đạt được mục tiêu này, chúng tôi sẽ vận dụng những
yếu tố cơng cụ của Didactic Tốn: hợp đồng didactic, lý thuyết nhân chủng
học và cách tiếp cận sinh thái học. Cụ thể đó là các khái niệm của lý thuyết
nhân chủng học: chuyển đổi didactic, quan hệ thể chế, quan hệ cá nhân với
đối tượng tri thức, quy tắc hành động, tổ chức toán học và quan hệ dinh
dưỡng theo cách tiếp cận sinh thái. Bằng những công cụ của các lý thuyết
này, chúng tôi sẽ rút ra được các quy tắc của hợp đồng didactic trong thực tế


3

dạy học. Ngồi ra chúng tơi sẽ sử dụng cách tiếp cận sinh thái học để nghiên
cứu sức sống của tri thức trong thể chế dạy học ở trường phổ thông hiện nay.
Trong phạm vi lý thuyết nêu trên, chúng tơi xin trình bày lại các câu hỏi
nghiên cứu của mình như sau:
CH1: Trong thể chế dạy học ở bậc đại học, mối quan hệ thể chế gắn với hệ
thức Vi-ét có những đặc trưng gì? Vai trị và chức năng của chúng ra sao?
CH2: Mối quan hệ thể chế thể chế với hệ thức Vi-ét đã được xây dựng và
tiến triển như thế nào trong chương trình tốn phổ thơng? Có sự chuyển
hóa didactic nào gắn với tri thức này?

CH3: Có sự tương đồng và khác biệt nào giữa 2 mối quan hệ thể chế với
hệ thức Vi-ét và ở cấp THCS và THPT? Tại sao lại có sự khác biệt này?
Đặc trưng của các TCTH liên quan đến hệ thức này ở từng cấp học? Có sự
ràng buộc nào gắn với các TCTH này?
CH4: Hệ thức Vi-ét có thể tồn tại lâu trong thể chế dạy học hiện nay ở
Việt Nam? Sự tồn tại của nó gắn liền với những điều kiện ràng buộc nào?
3. Phương pháp nghiên cứu
Để đạt được mục đích nghiên cứu nêu trên, chúng tôi xác định phương
pháp nghiên cứu được minh họa bằng sơ đồ sau:

Nghiên cứu tri thức khoa học
Thể chế dạy học Toán ở bậc đại học

Nghiên cứu tri thức cần giảng dạy
Thể chế dạy học Tốn ở trường phổ thơng

Nghiên cứu thực nghiệm
Quan hệ cá nhân của học sinh


4

Trên đây là sơ đồ phương pháp nghiên cứu, cụ thể chúng tôi sẽ làm các công
việc sau:
- Trước tiên chúng tơi sẽ phân tích các giáo trình ở bậc đại học để nghiên
cứu hệ thức Vi-ét ở cấp độ tri thức khoa học. Qua sự phân tích này,
chúng ta sẽ thấy được sự chuyển hóa sư phạm liên quan đến tri thức.
- Sau đó, chúng tơi sẽ phân tích các sách giáo khoa, sách bài tập ở cấp
THCS (lớp 9) và cấp THPT (lớp 10, 11, 12) song song với việc tham
khảo sách giáo viên. Cụ thể sẽ phân tích các TCTH liên quan đến hệ

thức này để thấy được sự tiến triển cũng như ứng dụng của nó qua từng
cấp học. Ngồi ra chúng tơi sẽ tham khảo thêm “Tài liệu bồi dưỡng
thường xuyên cho giáo viên” để hiểu thêm về sự ràng buộc của thể chế
gắn liền với tri thức. Qua đó chúng ta sẽ thấy được “quan hệ dinh
dưỡng” của tri thức trong thể chế dạy học hiện nay.
- Những kết quả nghiên cứu ở trên có thể giúp ta rút ra các giả thuyết
nghiên cứu cũng như một số hợp đồng dạy học ngầm ẩn giữa giáo viên
và học sinh mà chúng tôi sẽ tiến hành thực nghiệm để kiểm chứng.
4. Cấu trúc của luận văn
Luận văn gồm có phần mở đầu, phần kết luận và 4 chương
- Phần mở đầu gồm một số ghi nhận ban đầu và những câu hỏi xuất phát dẫn
đến việc chọn đề tài, mục đích nghiên cứu, phạm vi lý thuyết tham chiếu,
phương pháp nghiên cứu và cấu trúc của luận văn.
- Trong chương 1 chúng tôi sẽ nghiên cứu sự trình bày hệ thức Vi-ét và ứng
dụng của nó ở cấp độ tri thức khoa học qua việc nghiên cứu các giáo trình
đại học.
- Mở đầu chương 2 là sự phân tích SGK Tốn 9, cụ thể là các TCTH liên
quan đến hệ thức Vi-ét. Tiếp đến sẽ phân tích SGK Tốn 10 nâng cao để thấy
được sự tiến triển và khác biệt so với cấp THCS. Qua đó giúp ta nắm được
đặc trưng của 2 mối quan hệ thể chế đối với hệ thức này ở từng bậc học. Sau


5

cùng chúng tơi sẽ phân tích SGK Tốn 11, 12 nâng cao để tìm hiểu quan hệ
dinh dưỡng của hệ thức Vi-ét.
- Chương 3 được đúc kết từ những kết quả của chương 2 kèm thêm những
phân tích chương trình trong SGK Toán 9, 10, 11, 12 để khảo sát “kênh dinh
dưỡng” của hệ thức Vi-ét.
- Chương 4 trình bày thực nghiệm với học sinh. Qua bộ câu hỏi thực nghiệm

sẽ kiểm chứng được hợp đồng didactic cũng như giả thuyết nghiên cứu đã
nêu ra ở chương 2, 3.
- Phần kết luận sẽ tóm tắt lại các kết quả nghiên cứu đạt được ở các chương
trước đồng thời đề cập đến những hướng mới có thể mở ra từ luận văn.
Trong nội dung trình bày luận văn, sử dụng từ “hệ thức” hoặc “cơng thức”
nhằm mục đích tránh sự trùng lặp làm câu văn lủng củng. “Hệ thức” và
“công thức” đều mang ý nghĩa giống nhau, “hệ thức” được sử dụng nhiều
hơn trong các sách giáo khoa Tốn phổ thơng ở Việt Nam hiện nay. Ngoài
ra, khi sử dụng “định lí Vi-ét” thay cho “cơng thức Vi-ét”, chúng tơi muốn
đề cập đến “điều kiện để sử dụng công thức Vi-ét: phương trình đã cho phải
có nghiệm” được trình bày một cách tường minh trong sách giáo khoa, từ đó
chúng tơi có thể rút ra được sự chuyển hóa sư phạm liên quan đến tri thức
này.


6

Chương 1

PHÂN TÍCH THỂ CHẾ VỚI ĐỊNH LÍ VI-ÉT Ở BẬC ĐẠI HỌC

Mục tiêu của chương
Chương này có mục tiêu làm rõ những đặc trưng của hệ thức Vi-ét và đặc biệt là
ứng dụng của nó ở cấp độ tri thức khoa học. Cụ thể hơn, qua việc phân tích một số
giáo trình đại học chúng tơi sẽ cố gắng nghiên cứu để làm rõ nguồn gốc và tiến trình
mà cơng thức Vi-ét được đưa vào, vai trị và chức năng của chúng ở bậc học này.
Ở đây, chúng tôi chọn phân tích hai giáo trình sau:
- Hồng Xn Sính (1998), Đại số đại cương, NXB Giáo dục. (ký hiệu là
[a]).
-Nguyễn Viết Đông, Trần Ngọc Hội (2005), Đại số đại cương, NXB Đại

học quốc gia TP Hồ Chí Minh. (ký hiệu là [b]).
Mục tiêu của việc lựa chọn hai giáo trình này là việc trình bày các vấn đề liên
quan đến hệ thức Vi-ét tương đối phong phú hơn các giáo trình khác và đây cũng là
hai giáo trình thường được nhiều trường đại học lựa chọn để sinh viên tham khảo.
Cụ thể, giáo trình [a] đặc biệt làm rõ những dẫn xuất của cơng thức Vi-ét, cịn các
ứng dụng của nó thì được trình bày đầy đủ hơn ở giáo trình [b].
1.1. Định lý Vi-ét trong giáo trình [a]
Trong giáo trình này, định lý Vi-ét được đề cập chính thức ở chương V với nhan
đề “Vành chính và vành Ơclit”. Nhưng hình dáng của cơng thức Vi-ét và ứng dụng
của nó đã được trình bày ở chương trước, đó là chương IV “ Vành đa thức”.
Cụ thể trong bài 2 “Vành đa thức nhiều ẩn”, khái niệm đa thức đối xứng đã được
trình bày ở trang 116 như sau:
“ Giả sử A là một vành giao hốn có đơn vị. Trước hết ta hãy xét vành đa thức 2
ẩn A[x 1 ,x 2]. Trong vành này ta chú ý tới hai đa thức đặc biệt sau đây:
f(x 1 ,x 2 )= x 1 + x 2 , g(x 1 ,x 2 ) = x 1 x 2 ”.


7

Đến đây công thức Vi-ét đã phần nào được giới thiệu, đó là hai cơng thức: tổng
và tích. Trong phần này, giáo trình đã lưu ý chúng như là hai đa thức đặc biệt . Đa
thức đối xứng có thể được coi là yếu tố lý thuyết giải thích cho các kĩ thuật giải các
dạng toán liên quan đến định lí Vi-ét ở phổ thơng.
Tiếp đến, giáo trình cịn đề cập:
“Các đa thức sau đây

σ 1 = x1 + x2 + ... + xn
σ 2 = x1 x2 + x1 x3 + ... + xn−1 xn
σ=
x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + ... + xn − 2 xn −1 xn

3
...
x1 x2 ...xn −1 + x1 x2 ...xn − 2 xn + ...x2 x3 ...xn
σ n−1 =
σ n = x1 x2 ...xn
cũng là những đa thức đối xứng, gọi là các đa thức đối xứng cơ bản.”
Các đa thức đối xứng cơ bản này tổng quát hơn là hai đa thức đặc biệt mà giáo
trình đã chú ý ở phần trên, đó cũng chính là khái niệm liên quan trực tiếp đến việc
hình thành cơng thức Vi-ét tổng qt sau này.
Ngoài ra, trong phần ứng dụng được [a] nhắc tới sau đó thì hình bóng của hệ
thức Vi-ét đã rõ ràng hơn.
“ Tìm các số nguyên α , β , γ sao cho

αβγ = 6
α3 + β3 +γ 3 =
36
α + β +γ =
6
Theo ví dụ trên ta có

α 3 + β 3 + γ 3 = (α + β + γ )3 − 3(α + β + γ )(αβ + αγ + βγ )
Ta suy ra

11
αβ + αγ + βγ =

Mặt khác xét đa thức f(x) ∈ Ζ [x]

f ( x) =
( x − α )( x − β )( x − γ )

Giả sử a ∈ Ζ , ta có

f (a) =
(a − α )(a − β )(a − γ )


8

Vì f(a) = 0 khi và chỉ khi một trong các thừa số a − α , a − β , a − γ bằng 0, cho
nên các nghiệm của f(x) là α , β , γ . Khai triển f(x) ta được

f ( x) = x3 − (α + β + γ ) x 2 + (αβ + αγ + βγ ) x − αβγ
=x3 − 6 x 2 + 11x − 6
vì α + β +=
γ 6,αβ + αγ + βγ
= 11,αβγ
= 6.
Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0, do đó f(x) có một nghiệm là 1. Theo hệ
quả của định lí 4 trong (§1, 4), f(x) chia hết cho x -1. Chia f(x) cho x-1 ta được

f ( x) = ( x − 1)( x 2 − 5 x + 6)
Đa thức x 2 − 5 x + 6 cho ta hai nghiệm là 2 và 3. Vậy các số nguyên α , β , γ cần
tìm là 1, 2, 3. ”
Phần ứng dụng này chính là một trong những cơng cụ giải hệ phương trình nhờ
vào cơng thức Vi-ét mà yếu tố lý thuyết nền tảng chính là các đa thức đối xứng cơ
bản.
Ở chương V “ Vành chính và vành Ơclit”, cơng thức Vi-ét được trình bày trong
phần ứng dụng để nghiên cứu vành đa thức K[x] với K là một trường.
Cụ thể trong định lí 2 thì cơng thức đã xuất hiện như sau:
“ Định lí 2. Giả sử f(x) là một đa thức bậc n>1 của vành K[x], với K là một

trường. Thế thì f(x) có khơng q n nghiệm trong K, các nghiệm có thể phân biệt có
thể trùng nhau.
…
Gọi α1 , α 2 ,..., α n là n nghiệm của f(x) trong K, các nghiệm có thể phân biệt có
thể trùng nhau, và giả sử
(1) f ( x)= c0 x n + c1 x n −1 + ... + cn−1 x + cn .
f(x) phải có dạng phân tích là

f ( x) =c0 ( x − α1 )( x − α 2 )...( x − α n ).
sau khi nhân các đa thức x − α i , i = 1, 2, …, n, ta được
(2) f ( x=
) c0 [ x n − x n −1 (α1 + α 2 + ... + α n )


9

+ x n− 2 (α1α 2 + α1α 3 + ... + α n−1α n ) + ... + (−1) n α1α 2 ...α n ]
So sánh (1) và (2) ta được công thức Vi-ét:

α1 + α 2 + ... + α n =
−

c1
c0
c
c0

α1α 2 + α1α 3 + ... + α n−1α n =2
α1α 2α 3 + α1α 2α 4 + ... + α n−2α n−1α n =
−


c3
c0

...

α1α 2 ...α n = (−1) n

cn
c0

Ta nhận thấy rằng các vế trái của công thức trên chẳng qua là các đa thức đối
xứng cơ bản của các phần tử α1 , α 2 ,..., α n (chương IV). ”
Như vậy công thức Vi-ét được rút ra sau khi so sánh 2 dạng phân tích của một
đa thức f(x) có khơng q n nghiệm trong trường K. Trong phần trình bày ở định lí
2 này thì câu “ các nghiệm có thể phân biệt có thể trùng nhau” được lặp lại hai lần,
điều này có nghĩa là nếu f(x) có nghiệm bội cấp m (m>1) thì cơng thức

Vi-ét vẫn

có thể được áp dụng.
Ngồi ra, trong định lí 2 có đề cập “f(x) là một đa thức bậc n>1 của vành K[x],
với K là một trường”. Do đó ta có thể hiểu cơng thức Vi-ét có tầm áp dụng rộng rãi
ở mọi trường số, bao gồm trường số thực R và cả trường số phức C.
Qua sự trình bày những yếu tố lí thuyết liên quan trực tiếp đến hệ thức Vi-ét
trong giáo trình [a], ta thấy cơng thức này được xuất hiện dưới dạng một cơng cụ,
nó được gắn liền với việc xét nghiệm của các đa thức f(x) thuộc vành K[x] với K là
một trường số bất kỳ. Chúng ta cũng có thể thấy được một yếu tố lý thuyết quan
trọng dẫn đến việc hình thành cơng thức này đó là các đa thức đối xứng cơ bản.
Để tìm hiểu xem ứng dụng của hệ thức Vi-ét rộng rãi đến đâu, chúng tơi sẽ tiến

hành phân tích các tổ chức tốn học liên quan đến hệ thức này trong [a].


10

Tổ chức toán học liên quan đến hệ thức Vi-ét trong giáo trình [a]
Kiểu nhiệm vụ T1: “ Giải hệ phương trình đối xứng loại 1”
Theo chúng tơi, đây là kiểu nhiệm vụ trọng yếu liên quan đến việc sử dụng hệ
thức Vi-ét. Vì số lượng bài tập trong giáo trình [a] khá hạn chế nên chỉ có 1 bài tập
thuộc kiểu nhiệm vụ T1.
Bài 3 trang 129:
“ Giải hệ phương trình

 x + y + z =−3
 3
3
3
−27 ”
x + y + z =
 x4 + y 4 + z 4 =
113

Kĩ thuật τ 11 :
+ Biểu diễn các phương trình trong hệ qua các đa thức đối xứng cơ bản (x+y+z,
xy+xz+yz, xyz)
+ Tính giá trị của các đa thức đối xứng vừa tìm được
+ Xét đa thức f(a) nhận x, y, z làm nghiệm (f(a)=(a-x)(a-y)(a-z)).
+ Sử dụng công thức Vi-ét để thay các hệ số của khai triển f(a).

f (a ) = a 3 − ( x + y + z )a 2 + ( xy + xz + yz )a − xyz

+ Phân tích thành nhân tử đa thức f(a) vừa tìm được, suy ra các giá trị x, y, z cần
tìm.
Để minh họa cho kĩ thuật τ 1 , ta có thể giải hệ phương trình trên như sau:

x3 + y 3 + z 3 = ( x + y + z )3 − 3( x + y + z )( xy + xz + yz ) + 3xyz
−27 =
−27 + 9( xy + xz + yz ) + 3 xyz
−3( xy + xz + yz )
xyz =
x 4 + y 4 + z 4 = ( x + y + z ) 4 − 4( x + y + z ) 2 ( xy + xz + yz )
+2( xy + xz + yz ) 2 + 4( x + y + z ) xyz

113 = 81 − 36( xy + xz + yz ) + 2( xy + xz + yz ) 2 − 12 xyz
Thay xyz =
−3( xy + xz + yz ) ta được:

2( xy + xz + yz ) 2 =
32


11

Suy ra : xy + xz + yz =
±4 và xyz = ±12
Xét đa thức f(a) ∈ K[a] :
f(a) = (a – x)(a – y)(a – z)
Nghiệm của phương trình f(a) = 0 là x, y, z. Khai triển f(a) ta được:

f (a ) = a 3 − ( x + y + z )a 2 + ( xy + xz + yz )a − xyz
Thay xy + xz + yz =

±4 và xyz = ±12 , ta được :

f (a ) = a 3 + 3a 2 + 4a + 12 hay f (a ) = a 3 + 3a 2 − 4a − 12
Với f (a ) = a 3 + 3a 2 + 4a + 12 , phân tích thành nhân tử ta được:

f (a) = f (a) =
(a + 3)(a − 2i )(a + 2i )
Với f (a ) = a 3 + 3a 2 − 4a − 12 , phân tích thành nhân tử ta được:

f (a) =
(a − 2)(a + 2)(a + 3)
Vậy (x, y, z) cần tìm là:(2, -2, -3); (2, -3, -2); ( -2, 2, -3); (-2, -3, 2); (-3, 2, -2);
(-3, -2, 2); (-3, 2i, -2i); (-3, -2i, 2i); (-2i, -3, 2i); (-2i, 2i, -3); (2i, -2i, -3);(2i, -3, -2i).
Đây là một hệ phương trình tương đối phức tạp đối với học sinh phổ thông và
ngay cả với sinh viên đại học. Việc sử dụng hệ thức Vi-ét nhờ vào phương pháp tìm
giá trị của các đa thức đối xứng cơ bản đã giúp giải bài tốn khơng q khó khăn.
Ví dụ trên đã cho ta thấy được ứng dụng công cụ của cơng thức Vi-ét trong việc giải
hệ phương trình.
Cơng nghệ θ1 : công thức Vi-ét.
Kĩ thuật τ 12 :
+ Đặt ẩn phụ: x + y +=
z σ 1 ; xy + xz + =
yz σ 2 ; xyz
= σ3
+ Biểu thị các phương trình trong hệ đã cho thơng qua các đa thức đối xứng cơ
bản σ 1 , σ 2 , σ 3
+ Tính giá trị σ 1 , σ 2 , σ 3
+ Xét đa thức f(a) nhận x, y, z làm nghiệm (f(a)=(a-x)(a-y)(a-z)).
+ Sử dụng công thức Vi-ét thay để thay các hệ số của khai triển f(a).


f (a ) =a 3 − σ 1a 2 + σ 2 a − σ 3


12

+ Phân tích thành nhân tử đa thức f(a) vừa tìm được, suy ra các giá trị x, y, z cần
tìm.
Cơng nghệ θ1 : cơng thức Vi-ét.
Kĩ thuật τ 12 này khơng khác kĩ thuật τ 11 là mấy vì chúng dựa trên cùng một mơi
trường cơng nghệ và lí thuyết giống nhau. Nhưng khi dùng kĩ thuật τ 12 thì lời giải
được trình bày gọn gẽ hơn và tiết kiệm được thời gian hơn khi làm bài.
Kiểu nhiệm vụ T2: “ Chứng minh một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm”
Bài 9 trang 170:
“ Chứng minh :

( x1 − x2 ) 2 ( x2 − x3 ) 2 ( x1 − x3 ) 2 =
−4 p 3 − 27 q 2
với x1 , x2 , x3 là các nghiệm của phương trình

x3 + px + q =
0 ”
Kĩ thuật τ 21 :
Biến đổi vế trái thành vế phải:
+ Biến đổi đại số để biểu thị đa thức qua các đa thức đối xứng cơ bản
+ Sử dụng công thức Vi-ét, suy ra điều phải chứng minh.
Hoặc biến đổi vế phải thành vế trái:
+ Dùng công thức Vi-ét,
+ Biến đổi đại số, suy ra điều phải chứng minh.
Lời giải bài tập minh họa cho kĩ thuật τ 21 :
Ta có:


VT =−
( x1 x2 ) 2 ( x2 − x3 ) 2 ( x1 − x3 ) 2
2

( x1 − x2 ) ( x2 − x3 ) ( x1 − x3 ) 
=
= ( x1 x2 x3 − x12 x2 − x1 x32 + x12 x3 − x2 2 x3 + x2 2 x1 + x2 x32 − x1 x2 x3 ) 2
Do x1 , x2 , x3 là các nghiệm của phương trình

x3 + px + q =
0
Nên


13

0
 x1 + x2 + x3 =

p (*)
 x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 =
 x x x = −q
 1 2 3
Thay (*) vào VT ta được:

VT =
−4 p 3 − 27 q 2
= VP (đpcm)
Công nghệ θ1 : cơng thức Vi-ét.

Nhận xét:
Ở giáo trình [a] này có hai kiểu nhiệm vụ liên quan trực tiếp đến công thức
Vi-ét là kiểu nhiệm vụ T1 “giải hệ phương trình đối xứng loại 1” và T2 “chứng
minh một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm”. Đặc trưng của hai kiểu nhiệm vụ trên là
các phương trình được cho đều là phương trình bậc 3, do đó mức độ phức tạp của
các bài tập chỉ tương đối. Mỗi kiểu nhiệm vụ chỉ có 1 bài tập nhưng qua đó chúng ta
khơng chỉ thấy được cơng cụ Vi-ét hữu ích thế nào trong việc giải hệ phương trình
bậc cao với số ẩn lớn hơn 2 mà còn mối quan hệ mật thiết giữa cơng thức này và lí
thuyết về các đa thức đối xứng cơ bản.
1.2. Định lí Vi-ét trong giáo trình [b]
Trong giáo trình [b], cơng thức Vi-ét xuất hiện ở chương III “ Vành đa thức”. Cụ
thể là ở bài 2 “ Nghiệm của đa thức”, công thức đã được đưa vào trang 97 như sau:
“ Cho đa thức f(x) ∈ K[x]

f ( x=
) an x n + ... + a1 x + a0 , an ≠ 0
Giả sử f(x) có n nghiệm (kể cả số bội) là α1 , α 2 ,..., α n ∈ K . Khi đó ta có

f ( x) =an ( x − α1 )( x − α 2 )...( x − α n ) .
Khai triển vế phải và so sánh các hệ số của các lũy thừa giống nhau ta sẽ
được công thức sau gọi là công thức Vi-ét, chúng biểu thị các hệ số của đa thức
theo các nghiệm của nó:


14
n
α n−1
=
−(α1 + α 2 + ... + α n ) =
−∑ α i ;

αn
i =1

α n−2
= ∑ αα ;
α n 1≤i < j ≤n i j
...

α n−k
= (−1) k
∑ α i α i ...α i ;
αn
1≤i 1

1

2

2

k

k

...

α0
= (−1) n α1α 2 ...α n . ”
αn

Như vậy, ở [b] đã khẳng định rất rõ ràng rằng công thức Vi-ét được suy ra từ
việc so sánh các hệ số của các lũy thừa giống nhau của một đa thức f(x) ∈ K[x] , K
là một trường bất kỳ. Việc trình bày cơng thức Vi-ét khơng khác lắm so với giáo
trình [a], riêng về sự xuất hiện của cơng thức này với lí thuyết các đa thức đối xứng
cơ bản thì thứ tự có thay đổi mà [b] đã trình bày sau đó:
“ Ta thấy rằng các vế phải của công thức Vi-ét không thay đổi nếu ta thực
hiện phép hốn vị bất kì trên các nghiệm α1 , α 2 ,..., α n . Đó là những đa thức đối
xứng. Trong bài 7 chúng ta sẽ khảo sát các đa thức này. ”
Để hiểu rõ thêm chức năng của công thức Vi-ét trong [b], chúng ta cũng sẽ tiến
hành phân tích các tổ chức tốn học có liên quan.
Tổ chức toán học liên quan đến hệ thức Vi-ét trong giáo trình [b]
Kiểu nhiệm vụ T1: “ Giải hệ phương trình đối xứng loại 1”
Trong giáo trình này, có 4 bài toán liên quan đến kiểu nhiệm vụ T1 đã có mặt ở
giáo trình [a].
Ví dụ: døk 3. 24a t r ang 128
“ Giải hệ phương trình sau:


15


x + y + z =
2
 2
2
2
14
x + y + z =
1 1 1 5
 + + =

 x y z 6

”

Ta cũng sẽ sử dụng kĩ thuật τ 11 hoặc kĩ thuật τ 12 để giải các bài toán liên quan
đến kiểu nhiệm vụ T1.
Kiểu nhiệm vụ T2 cũng xuất hiện ở giáo trình [b] với số lượng 1 bài. Ngồi ra ở
[b] cịn có thêm kiểu nhiệm vụ tương tự T2 mà chúng tôi tạm gọi là kiểu nhiệm vụ
T2’ với số lượng bài tập là 5.
Kiểu nhiệm vụ T2’: “ Tính hệ thức liên quan giữa các nghiệm”
Ví dụ:

D øk 3. 22 t r ang 127
“a) Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình

x3 + 2 x − 3 =
0.
b) Tính

x13 x2 + x1 x23 + x23 x3 + x2 x33 + x33 x1 + x3 x13
trong đó x1 , x2 , x3 là các nghiệm của phương trình

x3 − x 2 − 4 x + 1 =
0.
c) Giả sử x1 , x2 , x3 là các nghiệm của phương trình

x3 + px + q =
0
Tính

x1 x2 x3 x2 x3 x1
+ + + + +
x2 x3 x1 x1 x2 x3
Kĩ thuật τ 22 :
+ Biểu thị các biểu thức cần tính thơng qua các đa thức đối xứng cơ bản ( x1 x2 x3 ,

x1 x2 + x2 x3 + x1 x3 , x1 + x2 + x3 ).
+ Dùng công thức Vi-ét suy ra các giá trị cần tính.


16

Lời giải bài 3.22a minh họa cho kĩ thuật τ 22 :
“ Gọi x1 , x2 , x3 là 3 nghiệm của phương trình

x3 + 2 x − 3 =
0
Ta có:

x13 + x23 + x33 = ( x1 + x2 + x3 )3 − 3( x1 + x2 + x3 )( x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 )
+3 x1 x2 x3
Theo hệ thức Vi-ét ta có:

0
x1 + x2 + x3 =
2
x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 =
x1 x2 x3 = 3
Suy ra

x13 + x23 + x33 =03 − 3.0.2 + 3.3
=9

”

Công nghệ θ1 : công thức Vi-ét.
Kĩ thuật τ 22 sử dụng khá hiệu quả cho những bài tập mà các hệ số của phương
trình được cho là những giá trị p, q … tượng trưng. Cịn với những phương trình mà
các hệ số là các số cụ thể, ta có thể sử dụng kĩ thuật τ 23 để giải quyết kiểu nhiệm vụ
T2’ này.
Kĩ thuật τ 23 :
+ Giải phương trình được cho (bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc sử dụng
máy tính bỏ túi…).
+ Thay giá trị của các nghiệm vừa tìm được vào biểu thức cần tính.
Lời giải bài 3.22a minh họa cho kĩ thuật τ 23 :
“Nhận thấy tổng các hệ số của phương trình x3 + 2 x − 3 =
0 có tổng bằng 0.
Do đó phương trình sẽ có một nghiệm là 1. Khi đó

x3 + 2 x − 3 = ( x − 1)( x 2 + x + 3)


17

Phương trình x 2 + x + 3 =
0 có 2 nghiệm là

=
x2

−1 ± 11.i
. Thay x1 = 1 ,
2

−1 + 11.i
−1 − 11.i
ta được:
=
, x3
2
2
3

 −1 + 11.i   −1 − 11.i 
x + x2 + x3 =1 + 
 +

2
2

 

= 1+ 8
=9
3
1

3

3

3

3

Công nghệ θ 2 : phân tích đa thức thành nhân tử, giải phương trình bậc hai.
Trong lời giải trên chúng ta khơng thấy có sử dụng đến cơng thức Vi-ét, nhưng
có một nhận xét rất quan trọng đó là “ tổng các hệ số của phương trình bằng 0 nên
phương trình có một nghiệm là 1”. Nhận xét này cũng đã được nhắc tới ở [a], nó nói
lên một mối tương quan mật thiết giữa nghiệm và hệ số của một phương trình, đó
cũng chính là nguồn gốc của cơng thức Vi-ét mà [a] và [b] đã trình bày.
Ở kĩ thuật τ 23 , ta sẽ giải một phương trình bằng phương pháp thuần túy (đưa về
phương trình tích) hoặc bằng máy tính bỏ túi (casio fx 570ES Plus). Nhưng khi sử
dụng kĩ thuật này có thể sẽ gặp một ít khó khăn trong việc tính tốn đại số khi các
nghiệm của phương trình là một biểu thức phức tạp (chứa căn, nhiều số hạng, …).
Ở kiểu nhiệm vụ T2’ này có một bài tập với yêu cầu có thể hơi khác về lời văn
nhưng chúng tôi vẫn quy về cùng một kiểu nhiệm vụ, đó là bài 3.23 trang 128.
Bài 3.23 trang 128
“ Cho phương trình :

x3 + a1 x 2 + a2 x + a3 =
0
Biểu thị các đa thức đối xứng sau đây qua các hệ số của phương trình đó.

a )( x12 − x2 x3 )( x2 2 − x3 x1 )( x32 − x1 x2 ).
b)( x12 + x1 x2 + x2 2 )( x2 2 + x2 x3 + x32 )( x32 + x3 x1 + x12 ).

”

Chúng ta có thể sử dụng kĩ thuật τ 21 để giải bài toán trên.

Nhận xét:


18

Giáo trình [b] có cả 2 nhiệm vụ là T1 và T2 của [a], ngồi ra cịn có thêm T2’
nhưng cả ba kiểu nhiệm vụ kể trên đều không nằm ngoài đặc trưng mà ta đã nhắc
tới ở [a] là các phương trình được cho đều là phương trình bậc 3. Như vậy, ta có thể
coi đây là một ràng buộc ngầm ẩn của thể chế dạy học ở bậc đại học với tri thức
này. Qua các kiểu nhiệm vụ có mặt ở [b], ta lại thấy sức mạnh của công thức Vi-ét
trong việc giải quyết các dạng bài tập liên quan đến nghiệm của phương trình và hệ
phương trình, nhất là đối với trường hợp phương trình bậc cao (lớn hơn 2). Sự gắn
kết của các đa thức đối xứng cơ bản với hệ thức Vi-ét luôn được thể hiện qua việc
giải quyết các kiểu nhiệm vụ nêu trên.
Bảng 1.1. Thống kê các kiểu nhiệm vụ trong [a], [b]
Số bài tập

Kiểu nhiệm vụ

[a]

[b]

T1

2

4

T2

1

1

T2’

0

3

Tổng

3

8

Kết luận chương 1
Trong chương 1, chúng tơi đã tiến hành phân tích đồng thời hai giáo trình ở bậc
đại học, sau đây là một số kết quả chính:
- Về sự xuất hiện của hệ thức Vi-ét:
Việc trình bày và cách thức xuất hiện hệ thức Vi-ét ở hai giáo trình [a] và [b] là
tương tự nhau. Cơng thức Vi-ét có mặt trong chương “Vành đa thức”, cụ thể là khi
xét đến bài “Vành đa thức nhiều ẩn” và nó được rút ra từ việc so sánh hệ số của các
lũy thừa giống nhau khi khai triển một đa thức f(x) ∈ K[x], K là một trường bất kỳ
và các nghiệm của f(x) có thể phân biệt có thể trùng nhau (nghiệm bội). Sự xuất


19

hiện này có liên quan mật thiết đến việc nắm vững lí thuyết về các đa thức đối xứng
cơ bản. Dù thứ tự xuất hiện của hệ thức Vi-ét và các đa thức đối xứng cơ bản có
khác nhau ở giáo trình [a] và [b] nhưng việc phải nắm vững đồng thời hai kiến thức
này để giải các dạng toán liên quan đã được thể hiện rõ qua các kiểu nhiệm vụ.
- Vai trị “cơng cụ” của hệ thức Vi-ét:
Qua sự trình bày cũng như cách thức xuất hiện của cơng thức Vi-ét, ta thấy tri
thức này đóng vai trị là “công cụ” để giải quyết các kiểu nhiệm vụ có liên quan
(kiểu nhiệm vụ T1, T2, T2’). Qua các kiểu nhiệm vụ vừa nêu, tầm quan trọng đặc
biệt của công thức Vi-ét đã được khẳng định khi công cụ này được sử dụng trong
việc giải quyết các hệ thức liên quan giữa các nghiệm phương trình, cho thấy được
mối liên hệ đặc biệt giữa nghiệm và hệ số. Trong đó cũng nêu bật được vai trị lí
thuyết nền tảng của các đa thức đối xứng cơ bản.
Như vậy, các ứng dụng của cơng cụ Vi-ét có cịn được sử dụng đầy đủ ở cấp học
thấp hơn (THPT và THCS)? Học sinh được tiếp cận với công thức Vi-ét như thế
nào qua sự trình bày ở SGK tốn phổ thơng? Có sự khác biệt gì giữa hai mối quan
hệ thể chế này? Chúng tơi sẽ tìm cách trả lời những câu hỏi này qua kết quả phân
tích thể chế ở chương 2.


20

Chương 2

PHÂN TÍCH THỂ CHẾ VỚI ĐỊNH LÍ VI-ÉT Ở BẬC PHỔ THƠNG
Mục tiêu của chương
Chương này có mục tiêu làm rõ những đặc trưng của hệ thức Vi-ét và đặc biệt là
ứng dụng của nó ở cấp độ tri thức phổ thơng. Cụ thể hơn, qua việc phân tích sách
giáo khoa ở các khối lớp THCS và THPT, chúng tôi sẽ cố gắng nghiên cứu để làm
rõ nguồn gốc và tiến trình mà cơng thức Vi-ét được đưa vào, vai trò và chức năng
của chúng ở bậc học này. Qua đó so sánh được sự khác biệt của tri thức này ở phổ

thông và ở bậc đại học.
Ở đây, chúng tơi chọn phân tích hai bộ sách giáo khoa sau sau:
- Bộ sách thứ nhất:
+ Phan Đức Chính (tổng chủ biên) (2008), Sách giáo khoa Toán 9 Tập 2, Nxb
Giáo dục.
+ Phan Đức Chính (tổng chủ biên) (2008), Sách bài tập Toán 9 Tập 2, Nxb
Giáo dục.
- Bộ sách thứ hai:
+ Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2010), Sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao,
Nxb Giáo dục.
+ Nguyễn Huy Đoan (chủ biên) (2010), Sách bài tập Đại số 10 nâng cao, Nxb
Giáo dục.
+ Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên) (2010), Đại số và giải tích 11 nâng cao, Nxb
giáo dục.
+ Đồn Quỳnh (tổng chủ biên) (2010), Giải tích 12 nâng cao, Nxb giáo dục.
Bên cạnh hai bộ sách đã nêu, với từng bộ sách chúng tôi sẽ tham khảo thêm sách
giáo viên để làm cơ sở phân tích làm rõ mối quan hệ thể chế với tri thức này ở phổ
thông.