LỜI CẢM ƠN

Bằng lòng biết ơn sâu sắc, em xin chân thành cảm ơn Th.S Đào Thị Hoa
đã tận tình chỉ bảo, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện và hoàn thiện khóa
luận tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán, đặc biệt là các
thầy cô trong tổ phương pháp, cùng các bạn sinh viên trong khoa đã tạo điều kiện
thuận lợi cho em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thuỷ

1


LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan đề tài “Dạy học một số yếu tố của tổ hợp và xác suất
trong chương trình toán phổ thông” do bản thân em nghiên cứu dưới sự hướng
dẫn của Th.S Đào Thị Hoa, giảng viên khoa Toán, trường ĐHSP Hà Nội 2. Đề
tài không sao chép từ bất cứ luận văn có sẵn nào khác. Kết quả nghiên cứu
không trùng với kết quả của tác giả khác.

Hà Nội, ngày 12 tháng 5 năm 2012

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Thuỷ

2


DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT

ĐN: định nghĩa
đgl: được gọi là
GV: giáo viên
HS: học sinh
HĐ: hoạt động
MĐ: mục đích
SGK: sách giáo khoa
VD: ví dụ

3


MỤC LỤC
Mở đầu

1

Nội dung

4

Chương 1: Nội dung dạy học một số yếu tố của tổ hợp và xác suất

4


1.1. Ý nghĩa

4

1.2. Mục đích- yêu cầu của việc dạy một số yếu tố của tổ hợp và xác suất

4

1.3. Nội dung triển khai chủ đề tổ hợp và xác suất ở phổ thông

5

Chương 2: Dạy học chủ đề tổ hợp và xác suât ở phổ thông

9

2.1. Tổ hợp

9

2.1.1. Hai quy tắc đếm cơ bản

9

2.1.2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

14

2.1.3. Nhị thức Niu-tơn


18

2.2. Xác suất

21

2.2.1. Phép thử và biến cố

21

2.2.2. Các định nghĩa xác suất

23

2.2.3. Các quy tắc tính xác suất

26

2.2.4. Biến ngẫu nhiên rời rạc

30

Kết luận

33

Phụ lục

34

47

Tài liệu tham khảo
4


MỞ ĐẦU

I. Lí do chọn đề tài:
Toán học rất đa dạng, phong phú và kiến thức của toán học được sử dụng
rộng rãi trong khoa học và cuộc sống. Trong đó phải kể đến mạch toán ứng dụng.
Nội dung cơ bản của mạch toán này được đưa vào dạy trong chương trình toán
phổ thông để học sinh có thể giải quyết một số bài toán trong thực tiễn.
Phần kiến thức trọng tâm của mạch toán này là “Tổ hợp và xác suất” được
trình bày khá chi tiết trong chương trình toán Đại số và Giải tích lớp 11 nhằm
giúp học sinh giải quyết các bài toán xác định số phần tử của một tập hợp hay bài
toán xét khả năng xảy ra của một biến cố ngẫu nhiên.
Nội dung của “Tổ hợp và xác suất” được trình bày trong SGK gắn liền
thực tiễn, tuy nhiên nó là phần kiến thức còn rất mới đối với học sinh. Do vậy,
để học sinh tiếp thu một cách tốt nhất, đảm bảo cho việc dạy học nội dung này có
hiệu quả nhất, mỗi sinh viên trước khi ra trường cần chuẩn bị cho mình những
hành trang tri thức, kĩ năng, kĩ xảo cần thiết về phương pháp dạy học nội dung
này.
Với lí do trên em đã nghiên cứu đề tài “Dạy học một số yếu tố của tổ hợp
và xác suất trong chương trình toán phổ thông”.
II. Mục đích nghiên cứu:
Nghiên cứu việc dạy học tổ hợp và xác suất trong chương trình toán phổ
thông nhằm nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc dạy học nội dung này sau
khi ra trường.
5



III.Nhiệm vụ:
- Tìm hiểu ý nghĩa, vai trò của việc dạy học một số yếu tố của tổ hợp và xác
suất ở phổ thông.
- Phân tích nội dung chương trình SGK về dạy học kiến thức “Tổ hợp và
xác suất”.
- Đề xuất những lưu ý về phương pháp dạy học “Tổ hợp và xác suất”.
IV.Phương pháp nghiên cứu:
Đề tài có sử dụng các phương pháp:
- Phương pháp nghiên cứu lí luận.
- Phương pháp điều tra quan sát.
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm.
V.Cấu trúc dề tài:
Ngoài các phần: Mở đầu, tài liệu tham khảo, kết luận và phụ lục thì nội
dung đề tài gồm hai chương:
Chương 1. Nội dung dạy học một số yếu tố của tổ hợp và xác suất
1.1.

Ý nghĩa

1.2.

Mục đích - yêu cầu dạy học tổ hợp và xác suất

1.3.

Nội dung triển khai tổ hợp và xác suất ở phổ thông

Chương 2. Dạy học tổ hợp và xác suất ở phổ thông

2.1.

Tổ hợp

2.2.

Xác suất.
6


NỘI DUNG

Chương 1. Nội dung dạy học một số yếu tố của tổ hợp và xác suất
1.1. Ý nghĩa:
Trong khoa học cũng như trong cuộc sống, chúng ta thường gặp các bài
toán xác định số lượng các đối tượng có một tính chất nào đó, ta gọi đó là bài
toán đếm. Tổ hợp là một ngành toán học nghiên cứu các bài toán mang cấu trúc
rời rạc, trong đó có bài toán đếm. Nhờ nghiên cứu lí thuyết về tổ hợp mà chúng
ta có thể xác định được số lượng các phần tử của một tập hợp một cách nhanh
chóng, chính xác mà không cần liệt kê tất cả các phần tử vì trong nhiều trường
hợp điều đó là không khả quan. Từ đó mà ta thấy được rằng việc dạy học những
yếu tố của tổ hợp là rất cần thiết cho nhiều ứng dụng trong thực tiễn, hơn nữa
chúng còn phục vụ cho giải toán xác suất.
Bản thân mỗi người thường tiếp xúc, va chạm với các biến cố ngẫu nhiên,
những tình huống có yếu tố may rủi, những sự kiện không thể dự đoán trước
được chắc chắn xảy ra hay không xảy ra. Lí thuyết xác suất là ngành toán học
nghiên cứu tìm ra các quy luật chi phối các hiện tượng ngẫu nhiên, đưa ra các
phương pháp dự báo, ước lượng tính toán xác suất của một biến cố ngẫu nhiên.
Bởi vậy, lí thuyết xác suất được sử dụng trong tất cả các ngành, các lĩnh vực của
đời sống xã hội. Hơn nữa, lí thuyết của xác suất còn được sử dụng để nghiên cứu

các quy luật thống kê.
Lí thuyết tổ hợp thì được sử dụng để giải các bài toán xác suất còn lí
thuyết xác suất được sử dụng để nghiên cứu các mô hình của quy luật thống kê.
7


Do vậy, việc nghiên cứu tổ hợp và xác suất không những có ứng dụng trong thực
tiễn mà còn có ứng dụng ngay trong lý thuyết toán học và trở thành một ngành
toán học đa diện cả về chiều sâu lí luận lẫn nội dung ứng dụng.
Như vậy, việc nghiên cứu tổ hợp và xác suất là rất cần thiết. Cần dạy cho
học sinh nghiên cứu và ứng dụng những nội dung cơ bản của phần lí thuyết này
để giải những bài toán thực tiễn.
1.2. Mục đích - yêu cầu của việc dạy học một số yếu tố của tổ hợp và xác
suất:
Phần kiến thức về tổ hợp và xác suất đưa vào trong chương trình toán phổ
thông nhằm cung cấp cho HS những hiểu biết ban đầu, cơ bản về nội dung này.
Và mục đích của việc dạy học nội dung này là sau khi học xong thì HS đạt được:
a) Về kiến thức:
Nắm được hai quy tắc đếm cơ bản là quy tắc cộng và quy tắc nhân, phân
biệt được hai quy tắc này.
Hiểu được các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. Đặc biệt thấy rõ mối
liên hệ và sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp. Nhớ các công thức tính số
hoán vị, số chỉnh hợp và số tổ hợp.
Nắm được công thức nhị thức Niu-tơn, cách thiết lập tam giác Pa-xcan.
Nắm được các khái niệm: phép thử, không gian mẫu, kết quả thuận lợi cho
một biến cố.
Nắm vững cách tính xác suất theo định nghĩa cổ điển.
Nắm được quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất.
Đối với ban tự nhiên thì được làm quen thêm với các khái niệm biến ngẫu
nhiên rời rạc và các đặc trưng quan trọng của nó là kì vọng, phương sai, độ lệch

chuẩn. Nhớ các công thức tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn.
8


b) Về kĩ năng:
HS biết cách vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản, các công thức tính số hoán
vị, số tổ hợp, số chỉnh hợp để giải một số bài toán tổ hợp đơn giản.
Biết vận dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn vào các bài toán có liên
quan.
Biết vận dụng các kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển
của xác suất.
Biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất để giải một số bài toán
xác suất đơn giản.
Đối với ban tự nhiên thì biết lập bảng phân bố xác suất, biết tính kì vọng,
phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc.
1.3. Nội dung triển khai chủ đề “Tổ hợp và xác suất” ở phổ thông:
Chủ đề này được đưa vào trong chương trình toán Đại số và giải tích 11
gồm những nội dung sau:
A. Tổ hợp
1. Hai quy tắc đếm cơ bản:
Nội dung này được trình bày trong SGK bao gồm hai quy tắc: quy tắc cộng
và quy tắc nhân. Nhưng giữa sách cơ bản và sách nâng cao có sự khác nhau
trong cách phát biểu định nghĩa:
Ở sách cơ bản, quy tắc cộng được phát biểu cho “một công việc được hoàn
thành bởi một trong hai hành động”.
Ở sách nâng cao phát biểu quy tắc cộng cho “một công việc được thực hiện
bởi phương án

hoặc


” và thêm phát biểu “một công việc được thực hiện bởi

9


một trong

phương án

”. Trong sách còn có bài đọc thêm về quy

tắc cộng mở rộng.
Tương tự như vậy, quy tắc nhân được phát biểu trong hai sách cũng có sự
khác nhau.
SGK nâng cao nói chung trình bày về hai quy tắc chi tiết, đầy đủ hơn SGK
cơ bản.
2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp:
Trong phần này, SGK đưa ra các khái niệm: hoán vị của
hợp chập

của

phần tử, tổ hợp chập

của

phần tử, chỉnh

phần tử ; các công thức tính số


hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp và một số tính chất của

.

3. Nhị thức Niu-tơn:
SGK trình bày công thức nhị thức Niu-tơn và cách xây dựng hệ số trong
công thức nhị thức Niu-tơn bằng tam giác Pa-xcan.
SGK cơ bản đã đưa ra chú ý chi tiết hơn so với SGK nâng cao về công thức
nhị thức Niu-tơn còn SGK nâng cao lại có ưu điểm hơn SGK cơ bản là ở chỗ đã
đưa ra quy luật thiết lập tam giác Pa-xcan. Trong khi dạy chúng ta nên kết hợp
hai loại sách để HS nắm được bài một cách tốt nhất.
B. Xác suất
Ở phần này có sự trình bày khác nhau về nội dung giữa hai loại sách:
+ SGK cơ bản gồm các bài:
 Phép thử và biến cố.
 Xác suất của biến cố.
10


+ SGK nâng cao gồm các bài:
 Biến cố và xác suất của biến cố.
 Các quy tắc tính xác suất.
 Biến ngẫu nhiên rời rạc.
Tuy có sự trình bày khác nhau nhưng phần xác suất này gồm những nội
dung cơ bản sau:
1. Phép thử và biến cố:
Nội dung này trình bày các định nghĩa: phép thử, không gian mẫu, biến cố,
biến cố chắc chắn và biến cố không thể.
SGK nâng cao không nêu định nghĩa tường minh về biến cố trong khi đó
SGK cơ bản lại đưa ra định nghĩa: “biến cố là một tập con của không gian mẫu”.

Mặc dù, SGK cơ bản hơn SGK nâng cao là có thêm định nghĩa này song đây chỉ
là một định nghĩa mang tính hình thức, không phải là định nghĩa chuẩn.
2. Xác suất của biến cố:
Phần này giới thiệu cho HS các định nghĩa của xác suất bao gồm: định
nghĩa cổ điển và định nghĩa thống kê của xác suất, cách tính xác suất dựa vào
định nghĩa cổ điển.
Định nghĩa thống kê của xác suất được trình bày trong nội dung chính của
bài học trong SGK nâng cao, còn trong SGK cơ bản thì nó được trình bày trong
bài đọc thêm.
3. Các quy tắc tính xác suất:

11


Nội dung này bao gồm các khái niệm: hợp và giao của hai biến cố, hai biến
cố xung khắc, hai biến cố độc lập và quy tắc cộng, quy tắc nhân xác suất.
Ở ban cơ bản thì các khái niệm biến cố hợp, biến cố giao, biến cố xung khắc
được học trước khi đưa ra khái niệm xác suất, còn ở ban tự nhiên thì ngược lại.
Tuy có sự sắp xếp khác nhau song không ảnh hưởng gì đến việc nắm bắt nội
dung của HS ban cơ bản và ban tự nhiên.
SGK nâng cao còn có thêm quy tắc cộng cho nhiều biến cố đôi một xung
khắc và quy tắc nhân cho nhiều biến cố. Trong khi đó, SGK cơ bản lại có thêm
mở rộng công thức công thức cộng xác suất cho hai biến cố bất kì cùng liên quan
đến một phép thử được trình bày trong bài đọc thêm.
4. Biến ngẫu nhiên rời rạc:
Nội dung này chỉ có trong SGK nâng cao mà không được trình bày trong
SGK cơ bản. Nó gồm có định nghĩa biến ngẫu nhiên rời rạc, kì vọng, phương sai
và độ lệch chuẩn.

12



Chương 2. Dạy học chủ đề tổ hợp và xác suất ở phổ thông

2.1. Tổ hợp
2.1.1. Hai quy tắc đếm cơ bản
Mục tiêu của bài này là giúp HS nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản, vận
dụng chúng để giải các bài tập áp dụng, biết khi nào sử dụng quy tắc cộng, khi
nào sử dụng quy tắc nhân và nhiều khi biết cách phối hợp hai quy tắc này để giải
các bài toán tổ hợp.
SGK đã trình bày rất chi tiết, cụ thể nhưng để đạt được mục tiêu trên thì
trong quá trình dạy và học nội dung này cần có những lưu ý cho HS:
Việc phát biểu quy tắc cộng và quy tắc nhân trong sách cơ bản và nâng cao
có sự khác nhau (như đã trình bày ở phần nội dung triển khai). Nhưng đây chỉ là
cách sử dụng ngôn từ khác nhau, về bản chất chúng là một. Chỉ có lưu ý thêm là
trong quá trình dạy HS ban cơ bản thì có thể mở rộng quy tắc cộng và nhân
trong trường hợp tổng quát cho các em.
Khi trình bày quy tắc cộng, cần lưu ý cho HS là các phương án (hoặc hành
động) ở đây phải phân biệt. Tức là không có cách nào được xem là thuộc cả hai
phương án (hành động) nào đó.
Ví dụ 1:
Lớp 7A có 15 học sinh biết tiếng Anh, 20 học sinh biết tiếng Pháp và 5 học
sinh không biết cả tiếng Anh và tiếng Pháp.
Nếu bài toán yêu cầu tính số HS lớp 7A thì sẽ có em nhầm lẫn trong việc
sử dụng ngay quy tắc cộng để tính trực tiếp số HS là:
13


15 + 20 + 5 = 40 (học sinh).
Phân tích sai lầm: nếu như không có HS nào vừa biết tiếng Anh và tiếng

Pháp thì mới được sử dụng quy tắc cộng (do số HS biết tiếng Anh độc lập với số
học sinh biết tiếng Pháp), còn nếu lớp 7A có những HS vừa biết tiếng Anh vừa
biết tiếng Pháp thì không được sử dụng trực tiếp ngay quy tắc cộng (do số HS
biết tiếng Anh không độc lập với số HS biết tiếng Pháp).
“Chú ý” trong SGK đưa ra quy tắc cộng phát biểu dưới dạng tập hợp:
“Nếu

và

là hai tập hợp hữu hạn không giao nhau thì số phần tử của

được tính bằng số phần tử của

cộng với số phần tử của :
”.

(2. 1)

Tương tự, khi dạy nên yêu cầu HS phát biểu quy tắc cộng cho nhiều tập hợp:
“Nếu

là các tập hữu hạn đôi một không giao nhau thì:
”.

(2. 2)

Trong quá trình dạy phải lưu ý cho HS là các tập hợp phải “hữu hạn phần tử ” và
“đôi một không giao nhau”.
Quy tắc nhân được phát biểu cho một công việc gồm hai hoặc nhiều công
đoạn. Nhưng khi dạy cần lưu ý cho HS là số cách của công đoạn sau không phụ

thuộc vào cách nào của công đoạn trước.
Khi dạy nên lấy thêm ví dụ mà HS dễ nhầm lẫn trong quá trình sử dụng quy
tắc nhân.
Ví dụ 2:

14


Xếp các bạn A, B, C, D vào các vị trí 1, 2, 3, 4 trong một bàn học. Biết rằng
bạn A không ngồi ở vị trí thứ 1, vị trí thứ 2 dành cho B hoặc C, hỏi có bao nhiêu
cách xếp?
Có học HS giải như sau:
Bước 1: Vị trí thứ 1: có 3 cách chọn (B, C, D).
Bước 2: Vị trí thứ 2: có 2 cách chọn (B, C).
Bước 3: Vị trí thứ 3: có 2 cách chọn (hai người còn lại sau hai bước).
Bước 4: Vị trí thứ 4: có 1 cách chọn (người còn lại).
Vậy số cách chọn là : 3 . 2 . 2 . 1 = 12 (cách).
Phân tích sai lầm:
Theo cách làm trên thì vị trí thứ nhất và vị trí thứ hai đều có chọn B hoặc C,
điều này là vô lí (vì B hoặc C không thể cùng lúc ngồi ở cả hai vị trí).
Lời giải đúng:
Bước 1: Vị trí thứ 2: có 2 cách chọn (B, C).
Bước 2: Vị trí thứ 1: có 2 cách chọn (khác A và người đã chọn ở bước 1).
Bước 3: Vị trí thứ 3: có 2 cách chọn (trừ hai người đã chọn ở bước 1 và
bước 2).
Bước 4: Vị trí thứ 4:có 1 cách chọn (người còn lại).
Vậy số cách chọn là: 2 . 2 . 2 . 1 = 8 (cách).
Học sinh dễ nhầm lẫn quy tắc cộng với quy tắc nhân:
Ví dụ 3:
Nhóm văn nghệ của trường có 6 bạn. Nhưng nhà trường chỉ chọn ra 2 bạn

để tham gia biểu diễn cấp tỉnh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?
Có HS làm như sau:

15


Bạn thứ 1: Có 6 cách chọn.
Bạn thứ 2: Có 5 cách chọn (trong số các bạn còn lại).
 Số cách chọn : 5 + 6 =11 (cách).
Phân tích sai lầm:
HS đã sai lầm khi cho rằng bạn thứ nhất và bạn thứ hai là chọn như nhau.
Nếu sử dụng quy tắc cộng thì HS hiểu theo nghĩa: có thể chọn bạn thứ nhất hoặc
bạn thứ hai chứ không phải đồng thời cả hai bạn.
Lời giải đúng:
Bạn thứ 1: có 6 cách chọn.
Bạn thứ 2: có 5 cách chọn.
 Số cách chọn là:

6 . 5 = 30 (cách)

Thực chất của quy tắc nhân là được suy ra từ quy tắc cộng “thực hiện một
công việc gồm hai công đoạn, công đoạn 1 có thể thực hiện theo
mỗi cách của công đoạn 1 có

cách, ứng với

cách thực hiện công đoạn 2 tức là có:
(cách)

(2. 3)


Tuy vậy, cần có lưu ý thêm cho HS phân biệt giữa quy tắc cộng và quy tắc
nhân để các em tránh sai lầm:
+ Quy tắc cộng:
Một công việc có thể thực hiện theo

phương án (

hoặc

công việc được hoàn thành bởi một cách của một phương án nào đó.
+ Quy tắc nhân:
16

hoặc

),


Một công việc được thực hiện theo
phải được hoàn thành bởi
đoạn

công đoạn (

), công việc

bước thực hiện liên tiếp: thực hiện một cách ở công

, một cách ở công đoạn


một cách ở công đoạn

.

Khi dạy chúng ta nên vận dụng phương pháp dạy học theo nhóm vào bài
này. Ví dụ: đưa ra một số bài toán về hai quy tắc đếm ghi trên phiếu học tập sau
đó phát cho từng nhóm. Mỗi thành viên trong nhóm độc lập nghiên cứu lời giải
các bài toán ghi trong phiếu. Sau đó, cả nhóm thảo luận khi nào, bài nào thì sử
dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân. Trong mỗi bài toán nên có cả hai quy tắc, tạo
điều kiện để HS phân biệt được hai quy tắc đó.
Trong SGK nâng cao có bài đọc thêm về quy tắc cộng mở rộng cho hai tập
hợp hữu hạn bất kì:
“ Cho hai tập

hữu hạn bất kì, ta có:
”.

(2.4)

Nên giải thích thêm cho các em thông qua biểu đồ ven.
Có thể bổ sung thêm cho HS quy tắc cộng mở rộng cho nhiều hơn hai tập
hợp:
“ Cho

là các tập hợp hữu hạn. Khi đó:

(2. 5)
Công thức này chỉ nên đưa ra để tham khảo, không tìm cách chứng minh cho
HS.


17


Xét ví dụ 1 có cho thêm dữ kiện:
“ Lớp 7A có 15 học sinh biết tiếng Anh, 20 học sinh biết tiếng Pháp và 5
học sinh không biết cả hai thứ tiếng này. Biết rằng số học sinh biết cả tiếng Anh
và tiếng Pháp là 3 em. Tính số học sinh lớp 7A?”
Gọi: Tập hợp số học sinh lớp 7A biết tiếng Anh là .
Tập hợp số học sinh lớp 7A biết tiếng Pháp là .
Vậy: Tập hợp số học sinh biết ít nhất một trong hai thứ tiếng là
Tập hợp số học sinh biết cả hai thứ tiếng là

.

.

Ta có:

.

Mà

.
Vậy số học sinh lớp 7A là : 32 + 5 = 37 (học sinh).
2.1.2. Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Mục tiêu của bài này là giúp HS hiểu rõ thế nào là hoán vị của
chỉnh hợp chập

của


phần tử, tổ hợp chập

của

phần tử,

phần tử. Biết tính và biết

khi nào sử dụng các công thức tính số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp.
Khi dạy chúng ta cần có những lưu ý sau:
Cho HS hiểu rõ thế nào là “hoán vị”, “chỉnh hợp chập
hợp chập

của

của

phần tử”, “tổ

phần tử”, và lưu ý HS sử dụng đúng ngôn từ vì nhiều lúc HS

18


cho rằng hoán vị với số các hoán vị, chỉnh hợp với số các chỉnh hợp, tổ hợp với
số các tổ hợp là như nhau.
Định nghĩa chỉnh hợp chỉ xét với

nguyên dương,


không có ý nghĩa. Nhưng sau khi đã quy ước

và

, việc xét
thì công thức:

,
dùng cho cả trường hợp

,

(2. 6)

.

Đối với công thức
, trường hợp

chỉ đúng với

,

là không thỏa mãn.

Định nghĩa tổ hợp cũng chỉ xét với k nguyên thỏa mãn
ước

là


, khi quy

thì công thức:
(2. 7)

vẫn đúng với trường hợp

.

Phân tích cho HS thấy rõ sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp chập

của

phần tử để các em sử dụng công thức cho đúng:
+ Tổ hợp là một cách lấy ra

phần tử của

phần tử không kể thứ tự sắp

xếp.
+ Chỉnh hợp là một cách lấy ra

phần tử của

phần tử có sắp thứ tự.

Ví dụ 4:
Có bao nhiêu cách xếp 4 bạn vào 6 chỗ ngồi của một bàn.

Có HS làm như sau:
19


Bốn bạn sẽ ngồi vào 4 chỗ của bàn học nên số cách xếp là:
.
Phân tích sai lầm:
Làm như trên HS đã không xét các vị trí của mỗi bạn trong bàn nên đã dẫn
đến sai lầm.
Ở ví dụ này phải tính số cách xếp là:
(cách)
Ta lấy thêm ví dụ có sử dụng cả hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để HS rõ sự khác
nhau giữa chúng:
Ví dụ 5:
Cho 3 điểm A, B, C phân biệt.
a) Có bao nhiêu cách ghi 3 điểm đó trên một đường thẳng.
b) Với 3 điểm này có thể xác định được bao nhiêu vectơ khác

.

c) Giả sử A, B, C không thẳng hàng. Có bao nhiêu đường thẳng đi qua 2 trong 3
điểm đó.
d) Gỉả sử A, B, C không thẳng hàng. Có thể lập được bao nhiêu tam giác nhận 3
điểm đó làm đỉnh.
Ở ý a) khi xếp 3 điểm nằm trên 1 đường thẳng thì 3 điểm đó nằm ở 3 vị trí
có thứ tự (có điểm nằm giữa hai điểm còn lại, điểm nằm bên trái hay bên phải
điểm ở giữa). Do đó, số cách ghi chính là số hoán vị của 3 vị trí:

20



(cách)
Ở ý b) một vectơ được xác định bởi 2 điểm có thứ tự: điểm đầu và điểm
cuối. Ta có số vectơ khác

có thể lập là:
(vectơ)

Ở ý c) một đường thẳng được xác định bởi 2 điểm không kể thứ tự, do đó ta
sử dụng công thức tính số tổ hợp để tính:
(đường thẳng).
Ở ý d) một tam giác xác định khi ta biết 3 đỉnh của nó, ở đây có 3 điểm nên
số tam giác là:
(tam giác).
Lưu ý cho học sinh phải ghi nhớ hai công thức:
(2. 8)
(2. 9)
để vận dụng làm bài tập.
Ví dụ 6: Chứng minh rằng:
.

Áp dụng công thức trên ta có:

21

(2. 10)


,
(2.11)

,
,

2.1.3. Nhị thức Niu-tơn
Mục tiêu của bài này là giúp HS nắm được công thức nhị thức Niu-tơn,
cách thiết lập hàng thứ

của tam giác Pa-xcan khi đã biết hàng thứ , biết

vận dụng công thức nhị thức Niu-tơn để tìm khai triển các đa thức dạng
.
Khi dạy nội dung này chúng ta cần có những lưu ý sau:
Việc đưa ra công thức nhị thức nhị thức Niu-tơn cho HS mang tính chất
thừa nhận, không yêu cầu chứng minh:

.
Khai triển

(2. 12)

được suy ra từ công thức nhị thức Niu-tơn:

.

22

(2. 13)


Trong công thức nhị thức Niu-tơn lũy thừa của giảm dần theo các hạng tử,

lũy thừa của tăng dần, nhưng ta có thể viết khai triển của

theo lũy thừa

tăng của và giảm của theo các hạng tử:

(2. 14)
Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn ta có khai triển của

là:
(2. 15)

và khai triển của

là:
,

(2.16)

vận dụng vào trong một số bài tập.
Ví dụ 7: Chứng minh rằng:
,(2. 17)
Áp dụng công thức (2. 15), (2. 16) với

và số mũ

ta có:
,

(2.17a)

(2.17b)

Cộng (2.17a) và (2.17b)
Trừ (2.17a) và (2.17b)
.
23


Áp dụng công thức (2. 12) ta cũng có:
,

(2. 18)

,
Từ đó áp dụng để tìm hệ số của

hoặc

(2. 19)

. Đây là dạng bài tập rất cơ bản

phải chú ý HS biết cách khai triển để giải.
Ví dụ 8:
Tìm hệ số của

trong khai triển nhị thức

.


Áp dụng công thức (2. 12) ta có:

Vậy với

thì hệ số của

trong khai triển là:
.

Đối với tam giác Pa-xcan thì cần nhấn mạnh cho HS quy tắc thiết lập mỗi
hàng của tam giác từ hàng trước nó. Trong SGK cơ bản thì không có quy tắc
này, chỉ có SGK nâng cao mới đưa ra cụ thể, do vậy cần hướng dẫn chi tiết, để
các em nắm được quy tắc.
24


Hàng thứ

của tam giác Pa-xcan là một dãy gồm

số:

.
Đây là các hệ số trong khai triển

, để tính các hệ số này ngoài bằng công

thức (2. 7) ta có thể sử dụng tam giác Pa-xcan để tính. Nhưng cách này chỉ sử
dụng với


nhỏ, đối với

thì việc tìm
phải thiết lập hàng thứ

khá lớn thì nên dùng công thức (2. 7). Giả sử với
bằng tam giác Pa-xcan là không khả quan vì như vậy ta
của tam giác.

2.2. Xác suất
Ở phần này giữa sách cơ bản và sách nâng cao có sự trình bày khác nhau.
Do đó, chúng ta sẽ cùng nhau nghiên cứu các lưu ý theo từng vấn đề:
2.2.1. Phép thử và biến cố
Mục đích là giúp HS nắm được hai khái niệm của lí thuyết xác suất là phép
thử và biến cố.
Khi dạy nội dung này chúng ta cần có những lưu ý sau:
Phân biệt “phép thử” và “phép thử ngẫu nhiên” cho HS. “Phép thử” là một
thí nghiệm hay một hành động nào đó, “phép thử ngẫu nhiên” là một phép thử
mà kết quả của nó không đoán trước được nhưng lại có thể xác định được tập
hợp tất cả các kết quả có thể có của phép thử đó. Nhưng để đơn giản, người ta
gọi tắt phép thử ngẫu nhiên là phép thử và lưu ý trong quá trình dạy HS phổ
thông ta chỉ xét các phép thử có một số hữu hạn kết quả.
Việc định nghĩa không gian mẫu trong SGK là dễ hiểu, chỉ lưu ý cho HS là
khi xác định không gian mẫu là phải đầy đủ, không bỏ sót một trường hợp nào vì

25