BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
VŨ NGỌC HOÀN
TOÁN TỬ NỬA ĐƠN ĐIỆU TRONG
KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm
HÀ NỘI, 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn giúp tôi có thể
hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phòng
Sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích
cùng các thầy cô trong trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ
tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh
chị, bạn bè, đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành
khóa học và hoàn thiện luận văn.
Qua đây tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới bố mẹ, anh trai
cùng những người thân trong gia đình đã luôn luôn tin tưởng và khích
lệ giúp tôi hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Vũ Ngọc Hoàn
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm,
luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Toán tử nửa

đơn điệu trong không gian Banach và ứng dụng” được hoàn thành
bởi nhận thức của bản thân tác giả. Các trích dẫn trong luận văn đã
được chỉ rõ nguồn gốc.
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những
thành tựu của các nhà khoa học với lòng biết ơn trân trọng nhất.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Vũ Ngọc Hoàn
Mục lục
Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1. Không gian Banach và không gian Hilbert . . . . . . . 3
1.2. Toán tử liên tục, hoàn toàn liên tục. . . . . . . . 5
1.3. Không gian đối ngẫu, tôpô yếu và tôpô yếu* . . . . . 7
1.4. Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.5. Bậc tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . 11
Chương 2. Toán tử nửa đơn điệu và ứng dụng . . . . . . . . . . 14
2.1. Toán tử nửa đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2. Bất đẳng thức biến phân với toán tử nửa đơn điệu . . 17
2.3. Phương trình toán tử nửa đơn điệu . . . . . . . 25
2.4. Lý thuyết bậc cho các toán tử nửa đơn điệu. . . . . 29
2.5. Một số ứng dụng vào phương trình vi phân . . . . . 34
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
Bảng kí hiệu
R Tập số thực
E
∗
Không gian liên hợp của E

E
∗∗
Không gian liên hợp E
∗
x, y Tích vô hướng của x và y
||x|| Chuẩn của x
 Hội tụ yếu
deg(f, Ω, p) Bậc tôpô của ánh xạ f tại p theo miền Ω
Deg(A, Ω, 0) Bậc tôpô tôpô suy rộng của toán tử A
X Bao đóng của tập hợp X
W
∗
F
Bao đóng yếu* của W
F
trong E
∗∗
B(0, r) Hình cầu đóng với bán kính r trong E
∗∗
 Kết thúc chứng minh
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong Giải tích hàm phi tuyến, tính compact và tính đơn điệu là hai
khái niệm quan trọng. Chúng có vai trò lớn trong nghiên cứu của nhiều
lĩnh vực, chẳng hạn như: Phương trình vi phân thường, phương trình vi
phân đạo hàm riêng, bất đẳng thức biến phân, lý thuyết điểm bất động,
lý thuyết tối ưu, Năm 1968, Browder [4] đã sử dụng sự kết hợp tính
compact và tính tăng trưởng (accretivity) để nghiên cứu phương trình
toán tử, có tên là phương trình toán tử nửa tăng trưởng (semi-accretive)
trong không gian Banach. Từ đó đến nay khái niệm này đã có nhiều tác

giả quan tâm nghiên cứu và sử dụng xem [6], [7] và các tài liệu dẫn trong
đó. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về những kiến thức đã học, mối
quan hệ và những ứng dụng của toán giải tích, đặc biệt là lý thuyết toán
tử và ứng dụng, tôi chọn đề tài “Toán tử nửa đơn điệu trong không
gian Banach và ứng dụng” để làm luận văn tốt nghiệp chương trình
đào tạo Thạc sĩ.
2. Mục đích
Nghiên cứu về toán tử nửa đơn điệu trong không gian Banach và ứng
dụng những tính chất của chúng vào nghiên cứu bất đẳng thức biến
phân.
1
2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu tính chất và những ứng dụng của toán tử nửa đơn điệu trong
không gian Banach.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Phạm vi nghiên cứu: Toán tử trong không gian Banach.
- Đối tượng nghiên cứu: Toán tử nửa đơn điệu và ứng dụng.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Tìm hiểu tài liệu: Các bài báo đã được đăng và sách đã in liên quan
mật thiết đến toán tử nửa đơn điệu và ứng dụng.
- Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm, phương trình toán tử.
6. Đóng góp mới
- Trình bày tổng quan về toán tử nửa đơn điệu và một số ứng dụng.
- Chứng minh được một số tính chất đơn giản của toán tử nửa đơn điệu.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương này trình bày những khái niệm cơ bản và một số kiến thức xem
như là công cụ sẽ dùng đến trong chương sau. Những nội dung này không
chứng minh có thể tìm thấy trong [1, 3, 9, 10].

1.1. Không gian Banach và không gian Hilbert
Định nghĩa 1.1. Cho E là một không gian vectơ trên trường số thực.
Một chuẩn trên E là một hàm x → ||x|| từ E vào R thỏa mãn các điều
kiện sau với mọi x, y ∈ E, mọi λ ∈ R:
(a
1
) ||x|| ≥ 0, ||x|| = 0 ⇔ x = 0;
(a
2
) ||λx|| = |λ| ||x||;
(a
3
) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||.
Định nghĩa 1.2. Một không gian định chuẩn là một không gian vectơ
cùng với một chuẩn trên nó.
Định lý 1.1. Chuẩn x → ||x|| là một hàm liên tục từ E vào R.
Định lý 1.2. Giả sử E là một không gian định chuẩn. Khi đó ánh xạ
(x, y) → x + y từ E × E vào E và (λ, x) → λx từ R × E vào E là liên
tục.
3
4
Định nghĩa 1.3. Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ.
Định nghĩa 1.4. Cho E là một không gian vectơ trên trường số thực.
Một dạng Hermite trên E là một hàm ϕ : E × E → R thỏa mãn:
(a
1
) ϕ(x
1
+ x
2

, y) = ϕ(x
1
, y) + ϕ(x
2
, y);
(a
2
) ϕ(x, y
1
+ y
2
) = ϕ(x, y
1
) + ϕ(x, y
2
);
(a
3
) ϕ(λx, y) = λϕ(x, y);
(a
4
) ϕ(x, λy) = λϕ(x, y);
(a
5
) ϕ(x, y) = ϕ(y, x),
với mọi x, x
1
, x
2
, y, y

1
, y
2
∈ E, λ ∈ R.
Định nghĩa 1.5. Dạng Hermite ϕ trên E được gọi là dương nếu
ϕ(x, x) ≥ 0 với mọi x ∈ E.
Bổ đề 1.1. (Bất đẳng thức Cauchy-Schwartz).
Nếu ϕ là một dạng Hermite dương trên E thì |ϕ(x, y)|
2
≤ ϕ(x, x) ϕ(y, y)
với mọi x, y ∈ E.
Định nghĩa 1.6. Một dạng Hermite ϕ được gọi là xác định dương nếu
ϕ(x, x) > 0 với mọi x ∈ E, x = 0. Một dạng Hermite xác định dương
còn gọi là một tích vô hướng.
Bổ đề 1.2. Một dạng Hermite dương ϕ trên E là một tích vô hướng nếu
và chỉ nếu ϕ(x, y) = 0 với mọi y ∈ E thì x = 0.
Bổ đề 1.3. (Bất đẳng thức Minkowski)
Nếu ϕ là dạng Hermite dương thì

ϕ(x + y, x + y) ≤

ϕ(x, x)+

ϕ(y, y)
với mọi x, y ∈ E.
5
Định nghĩa 1.7. Một không gian tiền Hilbert là một không gian định
chuẩn, với chuẩn sinh bởi tích vô hướng.
Nếu E là một không gian tiền Hilbert thì thay cho ϕ(x, y) ta còn viết
x, y và gọi số này là tích vô hướng của x và y.

Định lý 1.3. Từ định nghĩa của tích vô hướng và bất đẳng thức Minkowski
ta có:
x → ||x|| =

x, x
là một chuẩn trên E.
Định lý 1.4. Nếu F là một không gian vectơ con của không gian tiền
Hilbert E thì tích vô hướng trên E xác định một tích vô hướng trên F.
Với tích vô hướng này ta gọi F là không gian tiền Hilbert con của E.
Định nghĩa 1.8. Một không gian tiền Hilbert đầy đủ được gọi là một
không gian Hilbert.
1.2. Toán tử liên tục, hoàn toàn liên tục
Định nghĩa 1.9. Giả sử E và F là các không gian vectơ trên trường số
thực, A : E → F là một ánh xạ tuyến tính nếu:
i) A (x
1
+ x
2
) = Ax
1
+ Ax
2
với mọi x
1
, x
2
∈ E;
ii) A (αx) = αAx với mọi x ∈ E và với mọi số α ∈ R.
Ở đây, để cho gọn ta viết Ax thay cho A (x) để chỉ từng phần tử ứng
với x trong ánh xạ A. Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến

tính.
6
Định lý 1.5. Giả sử A là một toán tử tuyến tính từ không gian định
chuẩn E vào không gian định chuẩn F. Khi đó các mệnh đề sau là tương
đương:
a) A là liên tục đều;
b) A là liên tục;
c) A liên tục tại điểm 0 ∈ E;
d) A bị chặn, tức là tồn tại số k > 0 sao cho ||A(x)|| ≤ k||x|| với
mọi x ∈ E.
Định nghĩa 1.10. Giả sử E và F là hai không gian tuyến tính định
chuẩn trên cùng trường số thực. Kí hiệu L(E, F ) là không gian các ánh
xạ tuyến tính liên tục từ E vào F.
Định nghĩa 1.11. L(E, F ) là không gian vectơ con của R-không gian
vectơ L(E, F ) tất cả các ánh xạ tuyến tính từ E vào F. Với mỗi A ∈
L(E, F ), đặt:
||A|| = inf{k : ||Ax|| ≤ k ||x|| với mọi x ∈ E}.
Bổ đề 1.4. Hàm A → ||A|| là một chuẩn trong L(E, F ).
Định lý 1.6. Nếu F là không gian Banach thì không gian L(E, F ) là
Banach.
Định lý 1.7. Nếu A : E → F và B : F → G là các ánh xạ tuyến tính
liên tục thì A ◦ B là ánh xạ tuyến tính và ||A ◦ B|| ≤ ||A|| ||B||.
7
Định nghĩa 1.12. Cho E và F là các không gian định chuẩn. Toán tử
tuyến tính A : E → F được gọi là toán tử compact nếu ảnh A(B) của
hình cầu đơn vị B trong E là compact tương đối trong F.
Như vậy, nếu A là toán tử compact thì
A = sup
x∈B
A (x) = sup


y : y ∈ A (B)

< ∞,
do đó A liên tục. Toán tử compact nói chung là chặt chẽ hơn toán tử
liên tục. Do đó toán tử compact còn gọi là toán tử hoàn toàn liên tục.
Định lý 1.8. Nếu A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn E
vào không gian định chuẩn F thì các mệnh đề sau đây tương đương:
a) A compact;
b) Nếu X là tập bị chặn trong E thì A(X) là tập compact tương đối
trong F ;
c) Nếu dãy {x
n
} là dãy bị chặn trong E thì tồn tại dãy con {x
n
k
}
để dãy {Ax
n
k
} hội tụ trong F.
1.3. Không gian đối ngẫu, tôpô yếu và tôpô yếu*
Định nghĩa 1.13. Giả sử E là một không gian định chuẩn trên trường
số thực. Ta gọi E
∗
= L(E, R) là không gian liên hợp (hay là không gian
đối ngẫu) của E và gọi (E
∗
)
∗

= E
∗∗
= L(E
∗
, R) là không gian liên hợp
thứ hai của E.
8
Bây giờ, xét ánh xạ ϕ : E → E
∗∗
xác định bởi ϕ(x)(f) = f(x) với
mọi x ∈ E, f ∈ E
∗
. Giả sử x, y ∈ E, α, β ∈ R ta có
ϕ(αx + βy)(f) = f(αx + βy) = αf(x) + βf(y)
= (αϕ(x))(f) + (βϕ(y))(f)
với mọi f ∈ E
∗
, vậy ϕ là ánh xạ tuyến tính. Mặt khác
|ϕ(x)(f)| = |f(x)| ≤ ||f||.||x|| với mọi f ∈ E
∗
nên
||ϕ(x)|| = sup
f=1
|ϕ (x) (f)| ≤ x .
Với mọi x ∈ E, x = 0 tồn tại f ∈ E
∗
với ||f|| = 1 và f(x) = ||x||.
Do đó |ϕ(x)(f)| = |f(x)| = ||x||, nghĩa là ||ϕ(x)|| = ||x||.
Ta có kết quả sau.
Định lý 1.9. Ánh xạ chính tắc ϕ : E → E

∗
là tuyến tính và thỏa mãn
||ϕ(x)|| = ||x|| với mọi x ∈ E. Do đó ϕ là phép nhúng đẳng cự E vào
E
∗∗
.
Định nghĩa 1.14. Không gian E được gọi là phản xạ nếu phép nhúng
chính tắc nói trên là toàn ánh, nghĩa là đẳng cấu.
Định nghĩa 1.15. Tôpô yếu nhất trên E để các ánh xạ f ∈ E
∗
liên tục
được gọi là tôpô yếu trên E.
Lấy điểm x ∈ E. Để ánh xạ f liên tục tại x cần và đủ là các tập
dạng U(f, x, ε) = {y ∈ E : |f(y) − f(x)| < ε} là tập mở. Gọi σ là tôpô
yếu trên E thì σ là tôpô sinh bởi họ các tập nói trên, tức là tôpô gồm
9
tất cả các hợp tùy ý của các giao hữu hạn của các tập đã chỉ ra. Một
cách cụ thể W ∈ σ nếu và chỉ nếu mọi x ∈ W tồn tại hữu hạn hàm
f
1
, f
2
, , f
n
∈ E
∗
và ε > 0 sao cho U(f
1
, f
2

, , f
n
, x, ε) ⊂ W, ở đây
U(f
1
, f
2
, , f
n
, x, ε) =
n
∩
i=1
U (f
i
, x, ε)
= {y ∈ E : sup
1≤i≤n
|f
i
(y) − f
i
(x)| < ε}.
Định nghĩa 1.16. Dãy {x
n
} ∈ E được gọi là hội tụ yếu đến x ∈ E, kí
hiệu là x
n
 x, nếu mọi lân cận yếu U của x tồn tại n
0

sao cho x
n
∈ U
với mọi n ≥ n
0
. Nói cách khác x
n
 x, nếu mọi f
1
, f
2
, , f
p
∈ E
∗
, ε > 0
tồn tại số n
0
sao cho x
n
∈ U(f
1
, f
2
, , f
n
, x, ε) với mọi n ≥ n
0
.
Sự hội tụ yếu có đặc trưng sau đây.

Bổ đề 1.5. Dãy {x
n
} trong không gian định chuẩn E hội tụ yếu đến
x ∈ E nếu và chỉ nếu f(x
n
) → f(x) với mọi f ∈ E
∗
.
Từ bổ đề này ta thấy rằng nếu x
n
→ x thì x
n
 x. Điều ngược lại
chỉ luôn luôn đúng trong trường hợp E hữu hạn chiều.
Nhờ phép nhúng ϕ : E → E
∗∗
, mỗi x ∈ E được đồng nhất với một phần
tử của E
∗∗
, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E
∗
.
Định nghĩa 1.17. Tôpô yếu nhất trên E
∗
để các phiếm hàm x ∈ E ≡
ϕ(E) ⊂ E
∗∗
liên tục được gọi là tôpô yếu* trên E
∗
.

10
1.4. Toán tử đơn điệu
Định nghĩa 1.18. Một ánh xạ T từ một không gian Banach E vào E
∗
gọi là một toán tử đơn điệu nếu
T x − Ty, x − y ≥ 0, ∀x, y ∈ E.
Ví dụ 1.1. Cho C là một tập con không rỗng, lồi, đóng, bị chặn trong
không gian Hilbert H và cho U (nói chung phi tuyến) là ánh xạ không
giãn (nonexpansive) của C vào chính nó ||U(x) − U(y)|| ≤ ||x − y||
với mọi x, y ∈ C. Cho I kí hiệu là ánh xạ đồng nhất trong H; khi đó
T = I − U là đơn điệu với D(T ) = C.
Thật vậy, với mọi x, y ∈ C,
T (x) − T(y), x − y = x − y − (U(x) − U(y)), x − y
= ||x − y||
2
− U(x) − U(y), x − y
≥ ||x − y||
2
− ||U(x) − U(y)|| · ||x − y|| ≥ 0.
1.5. Bậc tôpô
Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm bậc tôpô dựa theo tài liệu
[2, 9], giả sử rằng E luôn là không gian Banach thực, E
∗
là không gian
đối ngẫu của E và E
∗∗
là không gian đối ngẫu của E
∗
.
Cho f : Ω ⊂ R

n
→ R là hàm khả vi tại x
0
, ta gọi J
f
(x
0
) = det f

(x
0
) là
Jacobi của f tại x
0
.
Định nghĩa 1.19. Cho Ω ⊂ R
N
là tập mở bị chặn và f ∈ C
1
(Ω). Nếu
11
p /∈ f(∂Ω) và J
f
(p) = 0. Khi đó ta định nghĩa
deg(f, Ω, p) =

x∈f
−1
(p)
sgn J

f
(x),
trong đó deg(f, Ω, p) = 0 nếu f
−1
(p) = ∅.
Định nghĩa 1.20. Cho ánh xạ T : E → E
∗
được gọi là một toán
tử thuộc lớp (S
+
) nếu với bất kỳ dãy u
n
nằm trong E mà u
n
 u và
lim sup
n→∞
T (u
n
), u
n
− u ≤ 0 ta đều có u
n
→ u.
Định lý 1.10. Cho J : E → E
∗
là ánh xạ đối ngẫu, Ω ⊂ E là một tập
mở bị chặn và T : Ω → E
∗
là toán tử demi-liên tục của lớp (S

+
), tức là
với bất kì dãy x
n
→ x ta có T x
n
 Tx
0
và θ
∗
/∈ T(∂Ω). Khi đó bậc tôpô
deg(T, Ω, θ
∗
) thỏa mãn điều kiện sau:
(a) deg (J, Ω, θ
∗
) =



1, nếu θ
∗
∈ J (Ω) ,
0, nếu θ
∗
/∈ J

Ω

.

(b) Nếu deg (T, Ω, θ
∗
) = 0 thì T x = θ
∗
có một nghiệm trong Ω;
(c) Nếu Ω
1
, Ω
2
là hai tập con mở rời nhau của Ω thì
deg (T, Ω
1
, θ
∗
) + deg (T, Ω
2
, θ
∗
) = deg (T, Ω
1
∪ Ω
2
, θ
∗
) ;
(d) Nếu {T
t
}
[0,1]
là một đồng luân của lớp (S

+
) và θ
∗
/∈ T
t
(∂Ω) khi
đó deg (T, Ω, θ
∗
) không phụ thuộc t ∈ [0, 1] .
1.6. Không gian Sobolev
Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm không gian Sobolev dựa
theo tài liệu [3].
12
Định nghĩa 1.21. Giả sử u, v ∈ L
1
loc
(Ω) và α là một đa chỉ số. Ta nói
rằng v là đạo hàm yếu cấp α của u nếu

Ω
uD
α
φdx = (−1)
|α|

Ω
vφdx, ∀φ ∈ C
∞
c
(Ω) ,

ở đó α = (α
1
, α
2
, , α
n
) , |α| =
n

j=1
α
j
với α
j
là các số nguyên không âm
và D
α
=
∂
|α|
∂
α
1
x
1
∂
α
n
x
n

. Kí hiệu: D
α
u = v.
Định nghĩa 1.22. Không gian Sobolev W
m
p
(Ω) là tập gồm tất cả những
hàm khả tích u : Ω → R sao cho với mỗi đa chỉ số α, |α| ≤ m, đạo hàm
yếu D
α
u tồn tại và thuộc L
p
(Ω) . Nếu u ∈ W
m
p
(Ω) (1 ≤ p < ∞), ta định
nghĩa chuẩn của nó là:
u
w
m
p
(Ω)
=



|α|≤m

Ω
|D

α
u|
p
dx


1
p
.
Kí hiệu H
m
(Ω) được định nghĩa bởi:
H
m
(Ω) =

u ∈ L
2
(Ω) : D
α
u ∈ L
2
(Ω) , ∀ |α| ≤ m

.
Ta kí hiệu W
−m
p
(Ω) là không gian đối ngẫu của không gian W
m

p
(Ω) .
Định lý 1.11. Giả sử Ω là một miền trong R
n
và m ≥ 0, 1 ≤ p < ∞.
Khi đó W
m
p
(Ω) là một không gian Banach.
Nếu p = 2, ta có:
H
m
(Ω) = W
m
2
(Ω) với m = 0, 1,
là không gian Hilbert với tích vô hướng
u, v
H
m
(Ω)
=

|α|≤m

Ω
D
α
uD
α

vdx.
13
Chuẩn tương ứng sinh bởi tích vô hướng này là:
u
H
m
(Ω)
=



|α|≤m

Ω
|D
α
u|
2
dx


1
2
.
Định lý 1.12. (Định lí compact Rellich-Kondrachov).
Giả thiết Ω là một tập mở, bị chặn của R
n
, ∂Ω là C
1
. Giả sử 1 ≤ q < n,

khi đó
W
1
p
(Ω) ⊂⊂ L
q
(Ω), với mỗi 1 ≤ q < p
∗
,
trong đó p
∗
=
np
n − p
.
Kết luận
Chương này đã trình bày một số kiến thức có liên quan làm cơ sở như
không gian Banach, không gian Hilbert, toán tử liên tục, hoàn toàn liên
tục, không gian đối ngẫu, tôpô yếu, tôpô yếu*, toán tử nửa đơn điệu,
bậc tôpô và không gian Sobolev để trình bày các kiến thức trong chương
tiếp theo.
Chương 2
Toán tử nửa đơn điệu và ứng dụng
Chương này trình bày khái niệm toán tử nửa đơn điệu trong không gian
Banach, một số tính chất đặc trưng và ứng dụng của nó. Các kết quả
này được trình bày dựa trên tài liệu [7]. Trong chương này, E là không
gian Banach thực, E
∗
là không gian đối ngẫu của E và E
∗∗

là không
gian đối ngẫu của E
∗
.
2.1. Toán tử nửa đơn điệu
Định nghĩa 2.1. Ánh xạ A : E
∗∗
× E
∗∗
→ E
∗
gọi là nửa đơn điệu nếu
A thỏa mãn:
i) Với mỗi u ∈ E
∗∗
, A(u, .) là đơn điệu, nghĩa là
A (u, v) − A (u, w) , v − w ≥ 0, ∀u, v, w ∈ E
∗∗
;
ii) Với mỗi v ∈ E
∗∗
cố định, A (., v) là toán tử hoàn toàn liên tục,
nghĩa là, nếu u
j
 u
0
trong tôpô yếu* của E
∗∗
, thì {A (u
j

, v)} có
một dãy con A (u
j
k
, v) → A (u
0
, v) trong tôpô chuẩn của E
∗
.
Định lý 2.1. Cho A, B là các toán tử nửa đơn điệu, khi đó:
1) A + B cũng là toán tử nửa đơn điệu;
2) αA cũng là toán tử nửa đơn điệu ∀α ∈ R
+
.
14
15
Chứng minh. 1) Thật vậy,
i) ∀u, v, w ∈ E
∗∗
ta có:
(A + B)(u, v) − (A + B)(u, w), v − w
= [A(u, v) − A(u, w)] + [B(u, v) − B(u, w)], v − w
= A(u, v) − A(u, w), v − w + B(u, v) − B(u, w), v − w ≥ 0.
ii) Với mỗi v ∈ E
∗∗
cố định, ta chứng minh (A + B)(., v) là toán tử
hoàn toàn liên tục.
Thật vậy, với bất kì dãy u
j
 u

0
trong tôpô yếu* của E
∗∗
khi đó,
do A là nửa đơn điệu nên ta có {A(u
j
, v)} là compact tương đối và
do đó tồn tại các dãy con {A(u
j
k
, v)} mà A(u
j
k
, v) → A(u
0
, v). Vì dãy
u
j
k
 u
0
trong tô pô yếu* của E
∗∗
và B là nửa đơn điệu nên {B(u
j
k
, v)}
là compact tương đối và do đó có dãy con hội tụ B(u
j
k

l
, v): B(u
j
k
l
, v) →
B(u
0
, v) trong tôpô chuẩn của E
∗
. Khi đó rõ ràng là A(u
j
k
l
, v) cũng hội
tụ đến A(u
0
, v) và ta có
||(A + B)(u
j
k
l
, v) − (A + B)(u
0
, v)||
E
∗
= ||A(u
j
k

l
, v) − A(u
0
, v) + B(u
j
k
l
, v) − B(u
0
, v)||
E
∗
≤ ||A(u
j
k
l
, v) − A(u
0
, v)||
E
∗
+ ||B(u
j
k
l
, v) − B(u
0
, v)||
E
∗

→ 0,
khi k → ∞. Hay dãy {(A + B)(u
j
, v)} có dãy con (A + B)(u
j
k
l
, v) →
(A + B)(u
0
, v) trong tôpô chuẩn trong E
∗
.
Vậy A + B là toán tử nửa đơn điệu.
2) Thật vậy,
16
i) ∀u, v, w ∈ E
∗∗
, ∀α ∈ R
+
ta có:
(αA)(u, v) − (αA)(u, w), v − w = αA(u, v) − αA(u, w), v − w
= α A(u, v) − A(u, w), v − w ≥ 0.
ii) Với mỗi v cố định thuộc E
∗∗
, giả sử u
j
 u
0
trong tôpô yếu* của E

∗∗
,
do A là toán tử nửa đơn điệu, nên dãy A(u
j
, v) có một dãy con
A(u
j
k
) ⊂ A(u
j
, v)
sao cho
A(u
j
k
, v) → A(u
0
, v) khi k → ∞
trong tôpô chuẩn của E
∗
hay
⇒ A (u
j
k
, v) − A (u
0
, v)
E
∗
→ 0, (k → ∞)

khi đó, ∀α ∈ R
+
ta có:
||(αA)(u
j
k
, v) − (αA)(u
0
, v)||
E
∗
= ||α[A(u
j
k
, v) − A(u
0
, v)]||
E
∗
= α||A(u
j
k
, v) − A(u
0
, v)||
E
∗
→ 0, (k → ∞).
Suy ra dãy {(αA)(u
j

, v)} có dãy con {(αA)(u
j
k
, v)} mà
(αA)(u
j
k
, v) → (αA)(u
0
, v), (k → ∞)
trong tôpô chuẩn của E
∗
.
Vậy αA cũng là toán tử nửa đơn điệu. 
Ví dụ 2.1. Cho ánh xạ A : R × R → R với A(u, v) = u
2
v. Khi đó A là
toán tử nửa đơn điệu.
17
Thật vậy,
i) A(u, .) đơn điệu: Với mọi u, v, w ∈ R ta có
A (u, v) − A (u, w) , v − w =

u
2
v − u
2
w, v − w

= (u

2
v − u
2
w)(v − w) = u
2
(v − w)
2
≥ 0.
ii) ∀v
0
∈ R, A(., v) là toán tử hoàn toàn liên tục: Với A(u, v
0
) = u
2
v
0
.
Lấy (x
n
) bị chặn trong R ta cần chứng minh A(x
n
, v
0
) là compact tương
đối.
Thật vậy, do (x
n
) bị chặn nên |x
n
| ≤ M, ∀n ≥ n

0
⇒ |A(x
n
, v
0
)| = |x
2
n
v
0
| ≤ M
2
|v
0
|, ∀n ≥ n
0
.
Vậy dãy A(x
n
, v
0
) là dãy bị chặn trong R, theo nguyên lí Bolzano Weier-
strass tồn tại một dãy con hội tụ A(x
n
k
, v
0
) trong R.
Vậy A(., v
0

) hoàn toàn liên tục.
Từ i) và ii) suy ra A là toán tử nửa đơn điệu.
2.2. Bất đẳng thức biến phân với toán tử nửa đơn
điệu
Định nghĩa 2.2. Cho A : E
∗∗
× E
∗∗
→ E
∗
là nửa đơn điệu và K ⊂ E
∗∗
là một tập con lồi đóng. Bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán:
Tìm w
0
∈ K sao cho
A(w
0
, w
0
), u − w
0
 ≥ 0, ∀u ∈ K.
Ta sẽ chỉ ra sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử sau
A(u, u) + f(u) = 0, u ∈ E
∗∗
,
18
trong đó f : E
∗∗

→ E
∗
là ánh xạ hoàn toàn liên tục.
Trong phần này chúng ta ký hiệu  là sự hội tụ yếu* trong E
∗∗
.
Định nghĩa 2.3. Toán tử A : D (A) ⊂ E
∗∗
→ E
∗
gọi là hemi-liên tục
tại x
0
∈ D(A) nếu với bất kì y ∈ E
∗∗
, t ∈ (0, +∞) mà x
0
+ ty ∈ E
∗∗
, ta
có
A (x
0
+ ty), z → Ax
0
, z , ∀z ∈ E
∗∗
khi t → 0
+
.

Bổ đề 2.1. Cho A : K ⊆ E
∗∗
→ E
∗
là một toán tử đơn điệu hemi-liên
tục, K là tập con lồi và x
0
∈ K là một điểm cho trước. Khi đó
Ax
0
, x − x
0
 ≥ 0 với mọi x ∈ K
khi và chỉ khi
Ax, x − x
0
 ≥ 0 với mọi x ∈ K.
Định lý 2.2. Cho E là không gian Banach thực, K ⊂ E
∗∗
là tập con lồi
đóng bị chặn, A (u, v) : K × K → E
∗
là toán tử thỏa mãn các điều kiện
sau:
(i) A là nửa đơn điệu;
(ii) Với mỗi u ∈ K, A (u, ·) : K → E
∗
là liên tục hữu hạn chiều,
nghĩa là với bất kì F ⊂ E
∗∗

là không gian con hữu hạn chiều bất kỳ,
thì A (u, ·) : K ∩ F → E
∗
là liên tục.
Khi đó tồn tại w
0
∈ K, sao cho
A (w
0
, w
0
) , u − w
0
 ≥ 0, ∀u ∈ K.
19
Chứng minh. Cho F ⊂ E
∗∗
là không gian con hữu hạn chiều, sao cho
K
F
= F ∩ K = ∅. Với mỗi v ∈ E
∗
, xét bài toán bất đẳng thức biến phân
sau :
Tìm u
0
∈ K
F
= K ∩ F sao cho
A (v, u

0
) , u − u
0
 ≥ 0, ∀u ∈ K
F
. (2.1)
Vì K
F
⊂ F là một tập lồi đóng bị chặn và A (v, ·) là liên tục trên K
F
với
mỗi v ∈ K cố định theo Hartman-Stampacchia suy ra (2.1) có nghiệm
u
0
∈ K
F
. Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ T : K
F
→ K
F
như sau:
T v = {w |A (v, w) , u − w ≥ 0, ∀u ∈ K
F
} , ∀v ∈ K
F
.
Theo Bổ đề 2.1, A (v, w) , u − w ≥ 0 khi và chỉ khi A (v, u) , u − w ≥ 0
với mọi u ∈ K
F
.

Do đó T : K
F
→ K
F
là lồi đóng bị chặn và nhờ tính hoàn toàn liên tục
của A (·, u) suy ra T là nửa liên tục trên. Theo định lý điểm bất động
Kakutani-Ky Fan-Glicksberg thì T có điểm bất động v
0
∈ K
F
, tức là,
v
0
∈ Tv
0
. Vì vậy, ta có
A (v
0
, v
0
) , u − v
0
 ≥ 0, ∀u ∈ K
F
. (2.2)
Đặt
F = {F ⊂ E : F là không gian hữu hạn chiều và F ∩ K = ∅}.
Đặt
W
F

= {w ∈ K, sao cho A (w, u) , u − w ≥ 0, ∀u ∈ K
F
}, F ∈ F.
Theo (2.2) và Bổ đề 2.1, ta có W
F
là khác rỗng và bị chặn. Kí hiệu
W
∗
F
bao đóng yếu* của W
F
trong E
∗∗
. Khi đó W
∗
F
là compact yếu* trong
20
E
∗∗
.
Với bất kỳ F
i
∈ F, i = 1, 2, . . . , N ta có W
∪
i
F
i
⊆ ∩W
F

i
, vậy {W
∗
F
, F ∈ F}
có tính chất giao hữu hạn. Vì vậy

F ∈F
W
∗
F
= ∅. Cho w
0
∈

F ∈F
W
∗
F
.
Ta có
A (w
0
, w
0
) , u − w
0
 ≥ 0, ∀u ∈ K.
Thật vậy, với mỗi u ∈ K, cho F ∈ F sao cho u ∈ K
F

, w
0
∈ K
F
, tồn tại
w
j
∈ W
F
sao cho: w
j
 w
0
.
Vì
A (w
j
, u) , u − w
j
 ≥ 0, j = 1, 2, . . . ,
khi j → ∞ theo tính hoàn toàn liên tục của A (·, u) ta có
A(w
0
, u), u − w
0
 ≥ 0.
Theo Bổ đề 2.1, ta có
A(w
0
, w

0
), u − w
0
 ≥ 0, ∀u ∈ K.
Điều này hoàn thành chứng minh. 
Bây giờ, nếu E là không gian Banach phản xạ, ta có E
∗∗
= j (E),
trong đó j : E → E
∗∗
là ánh xạ đối ngẫu xác định bởi (jx, f) = (f, x) ,
với mọi x ∈ E, f ∈ E
∗
, ánh xạ j là đẳng cự, vì thế ta có thể coi E = E
∗∗
qua phép đẳng cự. Kết quả sau là một hệ quả của Định lý 2.2.
Định lý 2.3. Cho E là không gian Banach phản xạ thực và K ⊂ E là
tập con lồi đóng bị chặn. Cho A : K × K → E
∗
là một ánh xạ thỏa mãn:
(i) A là nửa đơn điệu;
(ii) Với u ∈ K, A (u, ·) : K → E
∗
là liên tục hữu hạn chiều.