BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
ĐOÀN TRƯỜNG
TOÁN TỬ CHIẾU SUY RỘNG TRÊN KHÔNG GIAN BANACH VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số: 60 46 01 02
Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, người đã định hướng
chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao
học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá
trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, các thầy cô
giáo, đồng nghiệp THPT Sóc Sơn, gia đình và bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện
thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn.
Hà Nội, tháng 06 năm
2 0 1 4
Tác giả
Đoàn Trường
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Năng Tâm, luận văn Thạc sĩ chuyên
ngành Toán giải tích với đề tài “Toán tử chiếu suy rộng trên không gian Banach và ứng dụng” được
hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả
Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa những thành tựu của các nhà
khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 06 năm
2 0 1 4
Tác giả
Đoàn Trường
Toán tử chiếu suy rộng trên không gian Banach phản xạ, lồi chặt
và trơn

ứng dụng vào nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng
thức biến phân
Kết luận
Tài liệu tham khảo
Mục lục
Toán tử chiếu suy rộng trên không gian Banach
Toán tử chiếu suy rộng và ứng dụng
Toán tử chiếu trên không gian Hilbert
Toán tử chiếu suy rộng TT
K
trong không
Toán tử chiếu suy rộng nK trong không
Toán tử chiếu metric PỊỈ trong không
Một số kiến thức chuẩn bị
Ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa
Bất đẳng thức biến phân
Không gian Banach
Không gian Hilbert
1.1.
1.
1.1.
2.
1.1
Ánh xạ đa
Khái niệm không gian
Mở đầu
Chương 1.
1.1.
3
3

3
,

4

6

1
0

1
4
1
6
1
Toán tử tuyến tính, toán tử
Không gian liên hợp, tôpô yếu và
Không gian Banach
1.
2.
1.3
Chương 2
2.1
2.2
2.2.
1.
2.2
1
2.
4

2.
5
2
5
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Toán tử chiếu
PR '■ H K,
trong đó H là một không gian Hilbert và K là một tập con lồi đóng của
H, đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học, như: Lý thuyết tối ưu, lý thuyết điểm bất
động, quy hoạch phi tuyến, lý thuyết trò chơi, bất đẳng thức biến phân, và các bài toán bù
(xem [1J và những tài liệu dẫn trong đó).
Năm 1994, Alber [3] đã đưa ra các toán tử chiếu suy rộng
7ĨK : B* —> K và ĨỈK : B —»■ K
khi xét B là các không gian Banach lồi đều và trơn, ở đây B* là không gian đối ngẫu của B.
Trong [5] Alber đã đưa ra một số ứng dụng của toán tử chiếu 7Ĩ
K
, ĩl
K
vào giải bất đẳng thức
biến phân và bài toán tìm giao của Von-Neumann trong không gian Banach. Nhiều tác giả đã
quan tâm nghiên cứu những toán tử chiếu suy rộng và ứng dụng của chúng. Những nghiên
cứu đó có thể tìm thấy trong [0J và các tài liệu dẫn trong đó.
Sau khi học những kiến thức trong chương trình đào tạo Thạc sĩ Toán giải tích, với
mong muốn hiểu biết sâu hơn về những kiến thức đã học, mối quan hệ và ứng dụng của
chúng, tôi đã chọn đề tài nghiên cứu “Toán tử chiếu suy rộng trên không gian Banach và ứng
dụng” để thực hiện luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình.
2. Mục đích, nhiệm vụ, đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Mục đích của đề tài này là tìm hiểu, khảo sát và nắm vững được những tính chất của
các toán tử chiếu trên không gian Banach và những ứng dụng của chúng.

Thu thập tài liệu qua các bài báo đã được đăng và sách đã in, đọc và phân tích, so sánh
4
4
và tổng hợp để có một tổng quan về phép chiếu và phép chiếu suy rộng.
Tìm những ví dụ minh họa và một số ứng dụng trong các bài toán bất đẳng thức biến
phân.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phép chiếu metric trên không gian Hilbert và suy rộng của nó trên không gian Banach
phản xạ.
Một số ứng dụng vào Lý thuyết tối ưu và bất đẳng thức biến phân.
4. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm và giải tích biến phân.
5. Đóng góp của đề tài
Trình bày tổng quan về các toán tử chiếu suy rộng và một số ứng dụng trong giải bất đẳng
thức biến phân.
Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị
Chương này chúng tôi trình bày những khái niệm cơ bản về không gian Banach thực,
Hilbert thực và một số kiến thức có liên quan khác, xem như là công cụ sẽ dùng đến trong
chương sau. Chứng minh các kết quả này có thể tìm trong [IJ, [2J và [3j
1.1. Không gian Banach
1.1.1. Khái niệm không gian Banach
5
Định nghĩa 1.1. Cho X là không gian tuyến tính trên M cùng với một ánh xạ từ X vào
tập số thực R, kí hiệu là ||.|| và đọc là chuẩn, thỏa mãn 3 tiên để sau:
1) IMI > 0 (Vx e X)\ ||a;|| = 0 ^ X = 0;
2) ||Az|| = |A|||a;|| (Va; e X,VA G M);
3) \\x + y\\ < II^IỊ + llỉ/ll (V^,y G X).
Số II^ỊỊ gọi là chuẩn của véc-tơ X . Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn ỉà X.
Định nghĩa 1.2. Không gian tuyến tính thực cùng với một chuẩn xác
định trong X được gọi là một không gian định chuẩn thực.

6
6
Định nghĩa 1.3. Dẫy { x

n

}

trong không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ đến XQ
e X nếu:
lim \\x
n
- EoII = 0;
n-¥0o
kí hiệu: xn —>• XQ hoặc lim xn = XQ
n—>00
Định nghĩa 1.4. Dãy {x
n
} trong không gian định chuẩn X được gọi là dãy Cauchy nếu
lim II— x
m
II = 0.
71,171—>00
Định nghĩa 1.5. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi dãy cơ
bản trong X đều hội tụ.
1.1.2. Toán tử tuyến tính, toán tử compact
Giả sử X và X' là hai không gian tuyến tính trên M ánh xạ: / : X —> X'.
Định nghĩa 1.6. / được gọi là một ánh xạ tuyến tính, hoặc toán tử tuyến tính, hay gọi
tắt là toán tử, nếu \/x G x,\/y € X',Vqí,/3 ẽ R,
f { ax + P y ) = a f ( x ) + Pf ( y ) .

Sau đây ta thường gọi / là toán tử tuyến tính.
Định nghĩa 1.7. Toán tử tuyến tính f : X —> X' được gọi là bị chặn nếu 3k > 0, Vx G
X,
11/0*011 < k\\x\\. (1.1)
Định lý 1.1. Giả sử X và X' ỉà hai không gian định chuẩn f : X —»• X' là một toán tử
tuyến tính thì các mệnh đề sau đây tương đương
(i) f là liên tục đều;
(ii)f là liên tục ;
(Ui) f liên tục tại điểm 0 G X;
7
Nhận xét 1.1.
a) Đối với các toán tử tuyến tính, cấc khái niệm liên tục và bị chặn là tương
đương.
b) Từ (1.1) suy ra
11/0*011 sup II < +oo-
x € X , x ^ O
Định nghĩa 1.8. Giả sử X và X' ỉà các không gian định chuẩn trên R. Kí hiệu
J Ũ ( X , X ' )

là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào X'. C ( X , X

I



)
là không gian véc-tơ con của M - không gian véc-tơ C ( X ,

X ' )


tất cả các ánh xạ
tuyến tính từ X vào X'. Với mỗi f € C ( X , X ' ) ,

đặt
11/11 = inf { k : ||/(z)|| < k ||z|| ,Vx e X}
Định nghĩa 1.9. Cho không gian metric M = (X, d). Tập K c X gọi là tập compact
trong không gian M, nếu mọi dãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa dãy con
hội tụ tới phần tử thuộc tập K. Tập K gọi là tập compact tương đối trong không
gian M, nếu mọi dẫy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa dẫy con hội tụ tới
phần tứ thuộc tập X.
Định nghĩa 1.10. Giả sử X và X' là các không gian định chuẩn. Ánh xạ (toán tử)
tuyến tính f : X —>• X' được gọi là toán tử compact nếu ảnh f(B) của hình cầu
đơn vị B trong X là compact tương đối trong X'.
Nếu / là toán tử compact thì
11/11 = sup ||/(z)Ị| = sup {\\y\\ : y € f { B ) \ <
00
,
X £ B

^
J

do vậy / liên tục. Toán tử compact nói chung là chặt chẽ hơn toán tử liên tục. Do đó toán tử
compact còn được gọi là toán tử hoàn toàn liên tục.
Định lý 1.2. Nếu f ỉà toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào không gian
8
định chuẩn X' thì các mệnh đề sau đây là tương đương:
a) f compact;
b) Nếu A là tập bị chặn trong X thì f ( A )


là tập compact tương đối trong X';
c) Nếu {a;
n
} là dãy bị chặn trong X thì tồn tại dẫy con { x

n K

} đ ể d ã y i f { x n

K

) }
hội tụ trong X'
Định nghĩa 1.11. Toán tử tuyến tính A : X —> X' được gọi ỉà hữu hạn chiều, nếu niềm
giá trị của toán tử A là một không gian con hữu hạn chiều của Y.
Định lý 1.3. Giả sử X: X' là các không gian định chuẩn; A , B : X

—> X' là toán tử
compact. Khi đó, với mọi số Qí, /3 toán tử aA + là compact.
Định lý 1.4. Giả sử X là không gian định chuẩn, X' là không gian Banach, An e C ( X ,
X ' )

( n

= 1,2, ) là d ã y

toán tử compact, hội tụ trong C ( X ,

X ' )


đến toán tử A G
C { X, X ' ) ,

tức là:
lim IIA
n
- A\\ = 0.
n—¥ 00
Khi đó A là toán tử compact.
1.1.3. Không gian liên hợp, tôpô yếu và tôpô yếu*
Định nghĩa 1.12. Giả sử X là một không gian định chuẩn trên M. Ta gọi X* = £(X,R)
là không gian liên hợp của X và gọi X** = £(X*,M) là không gian liên hợp thứ hai
của X.
Xét ánh xạ : X —»■ X** xác định bởi < p ( x ) ( f) = /(ж) với mọi X G
1, /ёГ. Giả sử I, I/ Ẽ I, a, ß € M ta có
yj(aa; + /%)(/) = f { a x + ß y ) = a f { x ) + /3/(y)
= (o^(z))(/) + ( ß < p ( y ) ) ( f )
với mọi f G X * , vậy y? là ánh xạ tuyến tính. Mặt khác
9
Ь
(
ж
)(/)1
= \ f i
x
) \ < ll/IMNI với mọi / e X*
nên
lb(s)|| = sup Иж) ư ) \ < INI •
11/11=1
Với mọi X £ X , x ^ 0 tồn tại / € X * với Ị1/1Ị = 1 và f ( x ) = ||ж||. Do đó \ í p ( x ) ( f ) \

= \f ( x )\ = ||x||, nghĩa là ||<^(ж)|| = ||ж||. Ta có kết quả sau.
Định lý 1.5. Ánh xạ chính tắc (p : X —>■ X* là tuyến tính và thỏa mãn 11
<
^(
ж
)11
=
INI
với m(?i X G X. Do đó là phép nhúng đẳng cự X vào X**.
Định nghĩa 1.13. Không gian X được gọi là phản xạ nếu phép nhúng chính tắc nói
trên là toàn ánh, nghĩa là đẳng cấu.
Định nghĩa 1.14. Tôpô yếu nhất trên X để các ánh xạ f € X* liên tục được gọi là tôpô
yếu trên X.
Lấy điểm X e X, để ánh xạ / liên tục tại X cần và đủ là các tập dạng
U ( f , x

,£) =

{ y

£ X : \ f ( y

) - f ( x) \ < £ }
là tập mở. Gọi ơ là tôpô yếu trên X thì ơ là tôpô sinh bởi họ các tập nói trên, tức là tôpô
gồm tất cả các hợp tùy ý của các giao hữu hạn của các tập đã chỉ ra. Một cách cụ thể w £
ơ nếu và chỉ nếu mọi X € w tồn tại hữu hạn hàm /i, /
2
, f n G X * và £ > 0 sao cho U ( f i , /
2
,f n , X , e ) с ж, ở đây

71__ _
U { f i , f
2
, - Jn , x , £ ) = п u ( f i , X , e)
i=l
= {
2
/ <E £ : sup l/i (
7
/) - f i (ж)| < e ) .
l<i<n
Định nghĩa 1.15. D ã y { x

n

}

G X được gọi là hội tụ yếu đến X G X, kí hiệu là xn —^
X , nếu mọi lân cận yếu и của X tồn tại Щ sao cho xn G и với mọi n > n0. Nói
cách khác xn —^ Xj nếu mọi /
1
,/
2
, /p ẽ x*,e > 0 tồn tại số Щ sao cho xn G и ( f l ,

/
2
,f n ,
1
X ,


È) với mọi n > Щ .
Sự hội tụ yếu có đặc trưng sau đây.
Bổ đề 1.1. D ẫ y { x
n
} trong không gian định chuẩn X hội tụ yếu đến XÇLX
nếu và chỉ nếu f(x
n
) —> f(x) với mọi f G X*.
Từ bổ đề này ta thấy rằng nếu x
n
—»• X thì x
n
—^ X. Điều ngược lại chỉ luôn luôn đúng
trong trường hợp X hữu hạn chiều. Nhờ phép nhúng ip : X —»■ X**, mỗi X G X được
đồng nhất với một phần tử của X**, tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X*.
Định nghĩa 1.16. Tôpô yếu nhất trên X* để các phiếm hàm
X G X = <pỤC) С X** liên
tục được gọi là tôpô yếu* trên X*.
Hệ quả 1.1. Hình cầu đơn vị đóng -В*(0; 1) trong không gian liênhợp X*
của không gian định chuẩn X là compact yếu*.
Cặp đối ngẫu tổng quát:
Cho X và Y là hai không gian véc-tơ và X X Y —>• R là một dạng song tuyến tính tách
được theo từng biến. Nghĩa là
{х,\уг + цу2) = А( Х , У Х ) + ự ( x , y

2

) ; Vx


G x , y

u

y

2

G Y,\,n G M,
(Azi + /xar2,î/> = A(zi,î/) + ự(x
2
,y)-yx
1
,x
2
€ X, y G Y, A, n € M.
Vz0 e x\ {0} , Зт/ G y : (ж0, y) Ỷ •
Vy0 gy\{0},]xel : (x, i/o) Ф 0.
Lúc đó, mỗi y & Y cố định sẽ xác định một phiếm hàm tuyến tính trên X theo quy tắc
X ç. X —^ ịx
:
y') € K, và mỗi X G X cũng xác định
một phiếm hàm tuyến tính trên Y bởi
1
y e Y —»■ (x, y) G М.
Như vậy có thể xem X là một không gian véc-tơ những phiếm hàm trên Y, hay X < Y'.
Tương tự, Y < X'. Ta sẽ kí hiệu tôpô yếu nhất trên X bảo đảm sự liên tục của mọi phiếm
hàm y £ Y bởi ơ ( X , Y ) và tôpô yếu nhất trên Y bảo đảm sự liên tục của mọi phiếm hàm X
G X bởi ơ ( x , Y )
Định lý 1.6. ơ ( x ,


Y )

là tôpô trên X. Hơn nữa, không gian liên hợp của ( X , ơ ( X , Y ) )
cũng chính là Y.
Dĩ nhiên, một kết quả tương tự cũng đúng đối với tôpô ơ ( X, Y ) và ta cũng có (Y, ơ ( X ,
У))* = X . Để chứng minh các kết quả này ta cần đến bổ đề sau.
Bổ đề 1.2. Nếu /i, /
2
,

ỉ m

và g ỉà các phiếm hàm tuyến tính trên không gian véc-tơ X
sao cho
m
Ç\Kerfi С К er g,
i= 1
thì g ỉà một tổ hợp tuyến tính của họ {/i, /
2
,fm} .
Hệ quả 1.2. Giả sử X ỉà một không gian định chuẩn với không gian liên hợp X*. Lúc
đó với dạng song tuyến tính (X, /) = f(x) trên X X X* ta có ơ ( X , X * )

— Tu * . Đặc
biệt, ( X , T

U

Ỵ


= X* và (X*,Tu*y = X.
Do tính đối xứng giữa các không gian X và X*, được thể hiện qua hệ quả trên, ta thường
kí hiệu các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên không gian X là X* € X* và viết (x*,x) thay
cho x * ( x ) . Nghĩa là (x * , x ) = x*(x).
1.1.4. Không gian Banach phản xạ
Trong mục này, ta xét trường hợp X là một không gian định chuẩn và X* là không gian
liên hợp của nó. Ta đã biết X* cũng là một không gian định chuẩn, hơn nữa là không gian
Banach, với chuẩn được xác định bởi
||x*|| = sup{|(a;,a;*)| : ||a;|| < 1} ,x* G X*.
1
Không gian định chuẩn X* cũng có không gian liên hợp gồm các phiếm hàm tuyến tính
liên tục X** trên nó mà ta kí hiệu là X**, chuẩn
||a:”|| = sup -[ I (x*, x**') I : |Ịz|| < 1 } , X * * G X**.
Chú ý rằng trên X * cũng tồn tại hai tôpô, đó là tôpô sinh bởi chuẩn mà ta gọi là tôpô mạnh
và tôpô yếu* Tw. = ơ ( X * , X) . Vì
|(x,a;*)| < ||a;*||;VGX,a;* E X * ,
nên sự hội tụ theo chuẩn kéo theo sự hội tụ yếu*, hay tôpô yếu* là yếu hơn tôpô mạnh. Bây
giờ với mỗi phần tử X € X , phiếm hàm tuyến tính tương ứng ộ
x
đã xét là liên tục theo tôpô
ơ ( X * , X ) nên cũng liên tục theo tôpô chuẩn, tức là ộ
x
G X**. Mặt khác, chuẩn của trong
X** được xác định bởi
110*11
= suplKs*,^)! : ||z*|| <
1
} = sup{|(z,z*)| : ||z*|| <
1

} = ||z|| .
Như vậy, ánh xạ : X —> X** với <E>(x) = ộ
x
là một phép nhúng đẳng cự từ X vào X**
và do đó, có thể đồng nhất X với không gian con <ĩ>(:r) của X**. Với quan điểm như vậy,
từ nay về sau ta luôn xem X là không gian con của không gian X**. Không gian định chuẩn
X được gọi là không gian phản xạ nếu X — X** (tức là ánh xạ nhúng là một song ánh từ X
lên X**, điều này xảy ra khi và chỉ khi $ ( B ' ) = B'**. Vì không gian X** luôn luôn là
không gian Banach, nên một không gian phản xạ phải là không gian Banach. Định lý dưới
đây cho thấy khi nào một không gian Banach là phản xạ.
Định lý 1.7. Một không gian Danach X là phản xạ khi và chỉ khi hình cầu đơn vị
đóng B'{0; 1) là compact yếu.
Hệ quả 1.3. Trong một không gian phản xạ mọi tập lồi, đóng, bị chặn là compact
yếu.
Hệ quả 1.4. Trong một không gian phản xạ mọi dãy bị chặn đều tồn tại dãy con hội
tụ yếu.
1
Định nghĩa 1.17. (Không gian lồi đều) Một không gian Danach X gọi là lồi đều nếu
Ve > 0 3Ố > 0 sao cho với bấy kỳ x,y G X, ||a;|| < 1, IIỊ/II < 1 và IIX — y\\ > £ thì ta có
Từ định nghĩa trên ta thấy rằng, trong không gian lồi đều thì với 1 đoạn thẳng nằm trong
hình cầu đơn vị thì trung điểm của đoạn thẳng đó nằm trong hình cầu có bán kính 1 — ô với
ổ > 0
Định lý 1.8. Mọi không gian Banach lồi đều là không gian phản xạ.
1
Định lý 1.9. Nếu X là không gian Banach lồi đều và (x
n
) c X và xn —^ X yếu trong
tôpô ơ ( X , X * )

và lim sup ||a:

n
|| < ||a;|| thì xn —>• X mạnh.
71—>00
Cho X là không gian Banach và Sx = {x G X : II
2
;II = 1} là mặt cầu đơn vị.
Định nghĩa 1.18. (Không gian Banach trơn đều) Cho X là không gian
Banach gọi là trơn đều nếu với mọi £ > 0 tồn tại ổ > 0 sao cho
V x , y € X, ||a:|| = 1, \\y\\ < ỏ
thì
\\x + y II + \\x - y\\ < 2 + £ II//II .
Modun của tính trơn là hàm Px xác định với \/t bởi
- í \\x + y\\ + \\x - y\\ II II _ 1 II II _A
P x { t ) = sup 1 : ||z|| = 1, ||x|| = t f -
Định lý 1.10. Mọi không gian Banach trơn đều là không phản xạ.
Định lý 1.11. Mọi không gian Banach là trơn đều nếu và chỉ nếu X* là không gian
lồi đều. Modun của tính lồi và tính trơn là xác định bởi
Px*{t) = sup Ịy - <5x(e) : £ G [0,2]Ị ,t > 0.
Ví dụ 1.1.
Không gian ư là trơn đều (và lồi đều) với 1 < p < +
00
. Tuy nhiên L°°(M2) không là
không gian lồi đều, thật vậy xét X = (1,1) và y = (0,1).
nhưng
ll*-ylL = ll(M)IL = i.
Định nghĩa 1.19. (Không gian trơn) Một không gian Danach (E, ||.||) được gọi là trơn
nếu giới hạn
\\x + tyII - ||a:|| lim
—
t—y 0 ị

tồn tại với mỗi x,y G B thỏa mãn ỊỊa^ll = \\y\\ = 1.
Định nghĩa 1.20. (Đạo hàm Frechet) Cho X, Y là các không gian Banach, A là toán tử
từ U- mở c X vào Y, ta nói A khả vi Frechet tại x0 € u nếu tồn tại toán tử tuyến tính
bị chặn A'(xo) £ C ( X , Y

) sao cho
A ( x

+ h )

— A ( x

0
) — A'(xQ)h = a(x
0
, h),
trong đó lim a(x0, h) = 0.
IHKO
Nếu ánh xạ A khả vi Frechet tại mọi điểm XQ £ u thì ta nói Ả khả vi trên u. Khỉ
đó ta gọi A' là đạo hàm Frechet của ánh xạ A.
Nếu hai toán tử tuyến tính liên tục A[, A'
2
cùng là đạo hàm Frechet của A tại X thì khi h
—»• 0
A [ ( h )

- Â

2


{h)


=
r

1

( h ) - r

2

( h )
\ \ h \I INI
Nhưng với mọi phần tử k € X và mọi £ > 0 ta có:
A [ ( k )

- A '

2

(fc) A [ ( e k )

- Ả

2

(iĩ k

)

m " m '
Khi £ — y 0 thì s k —^ 0 nên vế phải sẽ dần tới 0, vậy vế trái phải bằng 0, tức là A [ ( k ) =
A'
2
(k), hayA^ = A'
2
. Như vậy, đạo hàm Frechet của một ánh xạ nếu có phải là duy nhất.
Định nghĩa 1.21. (Đạo hàm Gâteaux) Ánh xạ A : X —¥ Y được gọi là khả vi Gâteaux
tại xữ e X nếu tồn tại ánh xạ ÔA e £ ( X , Y

) sao cho với mỗi h £ X ,
5 A (

X ữ

, h ) = ^

Á ( X + Ì h )

~

Ả ( X )

-
Nếu ánh xạ A khả vi Gâteaux tại mọi điểm xữ G X thì ta nói A khả vi trên X. Khi đó
ta gọi ỖA là đạo hàm Găteaux của ánh xạ A.
1.1.5. Ánh xạ đa trị
Định nghĩa 1.22. Cho X, Y là hai tập hợp bất kỳ. Cho F : X =4 Y là ánh xạ từ X vào
tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y (được kí hiệu là 2Y), khi đó ta gọi F là một
ánh xạ đa trị từ X vào Y.

Như vậy, với mỗi X & X nào đó ta có F(x) có thể là tập rỗng.
Ta sẽ thường sử dụng kí hiệu F : X =4 Y để chỉ sự kiện X là ánh xạ đa trị từ X vào Y.
Nếu với mỗi X £ X tập F { x ) chỉ gồm đúng một phần tử của Y, thì ta nói F là ánh xạ
đơn trị từ X vào Y, khi đó, thay cho kí hiệu F : X =4 Y người ta sử dụng kí hiệu quen thuộc
F : X —^ Y.
Định nghĩa 1.23. Đồ thị gphF, miền hữu hiệu domF và miền ảnh rgeF của ánh xạ đa
trị F : X Y tương ứng được xấc định bằng các công thức
gphF = {(z, y) G X xY : y G F(x)}, domF =
{x G X : F ( x ) ^ 0} ,
v à
rgeF = {y G Y : 3x G X sao cho y G F (x)}.
Định nghĩa 1.24. Cho F : X =£ Y là ánh xạ đa trị, X và Y là các không gian tôpô. Khỉ
đó:
1. Nếu gphF là tập đóng trong không gian tôpô tích X X Y, thì F được gọi là ánh
xạ đóng (hoặc ánh xạ có đồ thị đóng);
2. Nếu X và Y là các không gian tuyến tính tôpô và nếu gphF là tập lồi trong
không gian tích X X Y, thì F được gọi là ánh xạ đa trị lồi;
3. Nếu F(x) là tập đóng với mọi X € X, thì F được gọi là ánh xạ có giá trị đóng;
ị. Nếu Y là không gian tuyến tính tôpô và nếu F(x) là tập lồi với mọi X, thì F được
gọi là ánh xạ có giá trị lồi.
Tiếp theo ta đưa ra khái niệm tính nửa liên tục trên và tính nửa liên tục dưới của ánh
xạ đa trị.
Cho F : X =£ Y là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y.
Định nghĩa 1.25. Ta nói F là nửa liên tục trên tại X G domF nếu với mọi tập mở V С
Y thỏa mãn F i x

)

с V t ồ n t ạ i l ă n c ậ n m ở


и

c ủ a

X

s a o c h o
F { x

) c V V x e U .
Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm domF, thì F được gọi là nửa liên tục trên ở
trong X.
Định nghĩa 1.26. Ta nói F ỉà nửa liên tục dưới tại X £ domF nếu với mọi tập mở V С
Y thỏa mãn Fix) п V Ф 0 tồn tại lăn cận mở и của X sao cho
F(x) ny^ÌVĩẽí /n domF.
Nếu F ỉà nửa ỉiên tục dưới tại mọi điểm thuộc domF, thì F được gọi là nửa liên tục
dưới ở trong X.
Định nghĩa 1.27. Ta nói F ỉà ỉỉên tục tại X € domF nếu F đồng thời là nửa liên tục
trên và nửa liên tục dưới tại X. Nếu F là liên tục tại mọi điểm thuộc domF thì F
được gọi là liên tục ở trên X.
Định nghĩa 1.28. Một ánh xạ đa trị T từ một không gian Banach B vào lớp các tập
con của đối ngẫu B* của B gọi là một toán tử đơn điệu nếu
(X* — y*,x — y) >

0, Va:, y

€ B và X*

€E T ( x) , y *


€E T { y ) .
Ta không yêu cầu T ( x ) là khác rỗng.
1.2. Không gian Hilbert
Giả sử H là không gian tuyến tính trên M
Định nghĩa 1.29. Một dạng song tuyến tínhđốixứng xác định dương
trong H là một ánh xạ ộ : H X H —> K thỏa mẫn các điềukiện:
a) (fi(x + y, z ) = i p ( x , z )

+ i p ( y,

z ) \
b) ụ>(x, y + z) = i p ( x ,

y )

+ ụ?(x, z);
c)

<p{\x,y) =

X < p{ x , y ) \
d)

( f ( x ,

\ y )

= X ụ>(x,y);
e)


< p ( x , y ) = ( p { x , y ) ' , v ớ i
m ọ i x , y, z

€ H ,

Ằẽl.
Định nghĩa 1.30. Dạng song tuyến tính đối xứng dương xác định trong không gian
tuyến tính H được gọi là một tích vô hướng trong H, nếu nó thỏa mãn thêm điều
kiện:
(x, x) > 0 khi X Ỷ 0'
Nhận xét 1.2. Tích vô hướng thỏa mãn các điều kiện:
1) (x, x) > 0 (Va: £ H), (x, x) = 0 <=> X = 0-,
2)

{ x , y ) = ( y, x ) ( V x , y

e H ) ;
3) ( Ằ x + ịiy, z) = Ằ ( x , z ) + f i ( y, z ) , (Va:, y, z e H , VA, ụ, G M).
Định nghĩa 1.31. Không gian tuyến tính H cùng với một tích vôhướng
gọi là không gian tiền Hỉlbert.
Ví dụ 1.2. Lấy H = C[
0
!] không gian gồm các hàm liên tục trên [0,1]
nhận giá trị thực, với X, y e X biểu thức
1
0
xác định một tích vô hướng trên ƠỊO
1
]. Khi đó không gian này là một không gian
tiền Hilbert và thường kí hiệu Cị

ữ
.
Mệnh đề 1.1. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz
\ ( x , y ) \
2
< ( x , x ) ( y, y ) ( V x , y e H ) . (1.2)
Mệnh đề 1.2. Giả sử H là không gian tiền Hilbert, các dãy { x

n

} v à { y

n

}

hội tụ đến
X và y trong H. Khi đó,
lim ( x

n ì

y

n

) = ( x , y ) .
Định nghĩa 1.32. Không gian tiền Hiỉbert H đầy đủ được gọi là một không gian
Hilbert.
Định nghĩa 1.33. Mọi không gian tuyến tính con đóng của không gian Hilbert H là

không gian Hilbert con của không gian H.
Định lý 1.12. (F.Riesz)
Mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert H đều có thể biểu diễn
duy nhất dưới dạng: f(x) = (X, a), Va: G H, với a là một phần tử nào đó thuộc H xác
định duy nhất theo f và 11/11 = IIaII .
Nhận xét 1.3. Nhờ định lý trên ta có thể đồng nhất H* với H hay không gian Hilbert
là không gian tự liên hợp. Vậy không gian Hilbert là không gian phản xạ vì H = H*
= H**.
Định lý 1.13. Giả sử H0 là không gian con đóng của không gian Hilbert
H.Khi đó với mỗi phần tử X của H đều biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng:
X — y + z trong đó y G H0, z G HQ.
Khi đó ta nói y là hình chiếu của X lên H0.
I. 3. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa
Định nghĩa 1.34. Ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa J : B —»• 2
B
* được định nghĩa bởi:
J
i
x
) = {i(^) € B * : ( j { x ) , x ) = ||j(a;)|| ||z|| = ||a;||2 = ||j(z)||2 j .
Để tránh nhầm lẫn, ta luôn hiểu ||j(a:)|| là chuẩn trong B * và ||a;|| là chuẩn trong B .
Nhiều tính chất của ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa / đã được nghiên cứu. Ta đưa ra những tính
chất của J dưới đây:
(J ị ) với Va: G 5, J { x ) là không rỗng, bị chặn và lồi đóng;
(J2) với Vi e 5 và ữ G 1, J ( a x ) = a J ( x );
(J
3
) với V x , y e B , ( f i e J { x) Y ầ t p e J { y ) , { < f

- ìp , x


- y )

> 0;
(J
4
) với V x , y e B v ầĩ p e J ( y )

ì

2 ( ĩp

ì

x - y

) < ||a
;||
2
- ||y||
2
;
(J5) nếu B là lồi ngặt, «7 là một ánh xạ của 1-1 lên (tức, song ánh);
(J6) nếu B là phản xạ, J là một ánh xạ của B lên B * \
(«/
7
) nếu B * là lồi ngặt, J là một ánh xạ đơn trị;
(J8) J là toán tử liên tục trong không gian Banach trơn;
(Jg) J là toán tử liên tục đều trên mỗi tập bị chặn trong không gian Banach trơn đều;
(Jio) J là toán tử đồng nhất trong các không gian Hilbert, tức là,

J = I H .
1.4. Bất đẳng thức biến phân
Giả sử B là không gian Banach lồi đều và trơn đều, B * là không gian
đối ngẫu của ||-||s , ||'||B, , II'11# là các chuẩn trong không gian Banach B ,
B * và trong không gian Hilbert H . Kí hiệu cặp đối ngẫu của B * và B là ( i p , X ) với i p €
B * và X € B ( ( y, X) kí hiệu là tích vô hướng trong H).
Định nghĩa 1.35. Cho A : X** X X** —>• X *

là nửa đơn điệu và K c X** là một tập
con lồi đóng. Bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán:
Tìm w0 e K sao cho ( A ( w

0

, w

0

)

:

u

—
w

0

) >


0, M u

e K .
Định nghĩa 1.36. Phần tử X* €E K được gọi là nghiệm của bất đẳng thức. Nếu
{ z - f , í - x ' ) > 0 , V Ỉ £ K , V z e A í .
Giả sử K e int.D(j4) và intD ( Á ) là không rỗng. Nếu toán tử A đơn điệu tức là
(.Zị — Z

2

, X I

— x

2

)

> 0, \/xi,x2 € D(A),\/zi e Axi,Vzi € Ax2.
Định nghĩa 1.37. Phần tử X* £ K được gọi là nghiệm của bất đẳng thức biến phăn,
nếu tồn tại z € Ax* sao cho
( z - f , í - x ’ ) >


0
, Vị
6
K ,


trong đó A là khai
triển đơn điệu cực đại của A trong D ( Á) .
Kết luận
Chương này đã trình bày được một số khái niệm về không gian
Banach, không gian Hilbert, các khái niệm cơ bản của giải tích
đa trị, ánh xạ đối ngẫu chuẩn hóa, và bài toán bất đẳng thức
sẽ nghiên cứu ở chương sau.
Chương 2 Toán tử chiếu suy rộng và ứng dụng
Trong chương này phần đầu chúng tôi trình bày toán tử chiếu metric Pỵ trên
không gian Hilbert, và toán tử chiếu metric trên không gian Banach lồi đều, tiếp theo
chúng tôi trình bày toán tử suy rộng của toán tử chiếu đó sang không gian Banach
phản xạ, xét hai lớp toán tử chiếu tương ứng T Ĩ K và n#. Phần cuối chương chúng tôi
áp dụng các kết quả đó vào chứng minh sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức biến
phân. Các kếtquả chủ yếu
dựa trên hai bài báo [1] và [ÕJ.
2.1. Toán tử chiếu trên không gian Hilbert
Mục này chúng tôi trình bày những tính chất chính của toán tử chiếu trong không
gian Hilbert đã biết trong [2].
Định nghĩa 2.1. Một tập K c H được gọi là nón nếu
e K,VA >0^ Xx £ K.
Một nón được gọi là nón lồi nếu nó là nón và là một tập lồi.
Định nghĩa 2.2. Cho K c H, x° e K. Nón pháp tuyến ngoài của tập K tại xữ là
tập hợp
NK (£°) := {tư : (w, X — x°) < 0; \/x € K} .
Định nghĩa 2.3. Cho H là không gian Hỉỉbert và K là tập con khác
rỗng
lồi đóng của H. Toán tử PK : H —>■ K được gọi là toán tử chiếu metric nếu
Рк ánh xạ mỗi điểm X G H thành phần tử gần nhất X G к với X, nghĩa ỉà X là
nghiệm của bài toán cực tiểu hóa
\ \ x - x \ \ = inf ||a;-f|| (2.1)

2
Sự tồn tại của toán tử P
K
:
Mệnh đề 2.1. Cho К G H ỉà tập ỉồỉ đóng khác rỗng. Khi đó:
1 ) Với y G H, 7Г G К hai tính chất sau là tương đương:
A ) 7Г G Рк{у)\
B ) у - 7Г G N
K
( 7г);
2 ) Với mọi у G н, hình chiếu Р к{ у

)

của у trên к luôn tồn tại và duy nhất;
3 ) Nếu у ệ K, thì ( P

K

( y ) — y, x — P

K

{ ỳ ))

= 0 là siêu phẳng tựa của К
tại Рк (у) và tách hẳn у khỏi к, tức là
(PK (у) - y, x - P
K
(у )) > 0, \ / x G К

v à
(

Р к { у

) - у, у - Р к ( у

)) < о
4 ) Ánh xạ у —¥ Рк ( у )

có các tính chất sau:
a) II Р к ( х )

- Рк(у)\\ < ||s - У 11 ,Vz,Vy (tính không giãn);
b)

( P

K

( x

) - р

к

( у ) , х -

y


)

> \\PR:(x) - P

K

(y)\\

2



(tính đồng bức);
Chứng minh. 1) Giả sử có 7Г = Рк{у) cần chứng minh у — 7Г € N
K
(7r). Lấy X £ К
và Л £ (0,1). Đặt
X\ := Xx + (1 — A)7T.
Ta CÓ X, 7Ĩ G К và tập К lồi nênX\ G к.
Do 7Г = Р к { у ) suy га ||тг - уII < IIу - агА|| .
||тг - у\\
2
< IIу - жл||2
||тг - у\\
2
< IIу - (Ах + (1 - Л)тг)||2
|2 ^ II л / _ I I2
7Г - У II < II А(тг - х) + (у - тг) II К — УII2 < -^2||7Г
—
х

\\
2
+ \\у ~ кЦ
2
+ 2Л (тт — X, у — 7г)
hay
2
Л2 ||7Г — ж||2 + 2А (7Г — ж, у — 7г) >0.
Do л > о nên Л||7Г — х||2 + 2 (7Г — ж, у — 7г) >0 đúng \/х £ к vầ \ £ (о, 1).
Do đó Л —>■ о thì (7Г — X, у — 7г) >0 đúng Væ G if. Suy га у — 7Г €
N
K
( ĩ ĩ ) , ả o у — 7 Ĩ G N
K
( 7г). Ta chứng minh 7Г = N
K
( y ) .
Do у — ĨT e N
K
( 7г), Vx G Ä\ Ta có (у
— тт)
т
(х — 7г)
< О
- 7г)
г
(я - у + у-7 г)<0 <(=> llỉ/ -
7ГII + (у - 7г)г(ж - у) < 0.
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có
||у - тг||2 < { у - к )

т
{ х - у ) < II у - 7Г|| II у - ж|| .
Suy ra IIу — 7ГII < IIу — ж|| , Væ € к. Do đó 7Г = Рк(у)-
2) Nếu у G С thì
р(у ) = У,
Р к { у ) = 0.
Nếu у ị К, ta có Рк{у) = ||тг — уII . Nên theo nghĩa cận dưới đúng, tồn tại một dãy
{zfe} ẽ K sao cho
lim \\xk - y\\ = P

K

( y

) < +
00
.
u
_V IV> 111
'
Vì dãy { x
k
} bị chặn nên tồn tại một dãy con {íc^} hội tụ yến đến điểm 7r nào đó.
Do K đóng và lồi nên K đóng yếu, suy ra 7T £ K . Vậy
Suy ra
7
r là hình chiếu của y trên K .
Ta chứng minh tính duy nhất. Giả sử tồn tại hai điểm 7T1 và 7T2 là hình chiếu
của y trên K thì y — 7T1 G N
K

( i ĩ
l
) , y — 7T2 G N
K
( 7T2). Suy ra
{ ĩ ĩ
1
- y, ^
1
- 7T2) > 0,
2