S 27. THI TH I HC MễN TON
Thi gian lm bi: 180 phỳt.
I/ PHN CHUNG CHO TT C TH SINH (7,0 im)
Cõu 1. (2,0 im). Cho hm s
2
( )
3
x
y C
x
+
=

1) Kho sỏt s bin thiờn v v th (C) ca hm s.
2) Tỡm trờn th ( C) im M sao cho khong cỏch t im M n ng tim cn ngang
bng 5 ln khong cỏch t im M n ng tim cn ng.
Cõu 2. (1, 0 im). Gii phng trỡnh:
( )
6 6
8 sin cos 3 3sin 4 3 3 cos2 9sin 2 11x x x x x
+ + = +
Cõu 3. (1,0 im). Gii h phng trỡnh trờn
Ă
:
x x y xy y
x y x y
3 2 2 3
6 9 4 0
2

+ =

+ + =


Cõu 4. (1,0 im). Tỡm nguyờn hm ca hm s:
( )
2
3
1 x
f x
x x

=
+
trờn on


1;8
Cõu 5. (1,0 im). Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh thoi, hai ng chộo
AC =
2 3a
, BD = 2a v ct nhau ti O; hai mt phng (SAC) v (SBD) cựng vuụng gúc
vi mt phng (ABCD). Bit khong cỏch t O n mt phng (SAB) bng
3
4
a
. Tớnh th
tớch khi chúp S.ABCD theo a.
Cõu 6. (1,0 im). Cho

*
,a b
+

Ă
. Chng minh rng:
a b b a a b
2 2
3 3 1 1
2 2
4 4 2 2

+ + + + + +
ữ ữ ữ ữ

II/ PHN RIấNG (3,0 im): Thớ sinh ch c lm mt trong hai phn (phn A hoc B)
A. Theo chng trỡnh Chun
Cõu 7a. (2,0 im)
1. Trong mt phng ta Oxy cho ng thng
: 2 3 0x y
+ =
v hai im A(1; 0),
B(3; - 4). Hóy tỡm trờn ng thng

mt im M sao cho
3MA MB+
uuur uuur
nh nht.
2. Trong mt phng to Oxy cho tam giỏc ABC, cú im A(2; 3), trng tõm G(2; 0).
Hai nh B v C ln lt nm trờn hai ng thng d

1
: x + y + 5 = 0 v d
2
: x + 2y 7
= 0. Vit phng trỡnh ng trũn cú tõm C v tip xỳc vi ng thng BG.
Cõu 8a. (1,0 im) Gii bt phng trỡnh trờn
Ă
:
1 3 3 1 3
8 2 4 2 5
+ +
+ +
x x x
.
B. Theo chng trỡnh Nõng cao
Cõu 7b. (2,0 im)
1. Trong mt phng vi h to Oxy, cho im
P( 7;8)

v hai ng thng
1
:2 5 3 0d x y+ + =
;
2
:5 2 7 0d x y
=
ct nhau ti A . Vit phng trỡnh ng thng
3
d
i qua P to vi

1
d
,
2
d
thnh tam giỏc cõn ti A v cú din tớch bng
14,5
.
2. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Hypebol (H):
1
916
22
=
yx
. Viết phơng trình chính tắc
của elip (E) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm của (H) và ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sở
của (H).
Cõu 8b. (1,0 im) Cho khai trin Niutow
( )
x 1
3
x 1
2
2
8
1
log 3 1
log 9 7
5
2 2



+
+

+
ữ

. Hóy tỡm cỏc giỏ tr
ca
x

Ă
, bit rng s hng th 6 t trỏi sang phi trong khai trin ny l 224.
Ht
ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 27.
I/ PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
* Tập xác định
{ }
\ 3D
=
¡
* Sự biến thiên:
+/ Giới hạn và tiệm cận:

lim 1; lim 1
x x
y y
→−∞ →+∞
= =

: Đồ thị có tiệm cận ngang là
1y
=

3 3
lim ; lim
x x
y y
+ −
→ →
= +∞ = −∞
: Đồ thị có tiệm cận đứng là
3x
=
+/ Ta có:
( )
2
5
' 0; 3
3
y x
x
−
= < ∀ ≠
−
,
Bảng biến thiên:
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
( )
;3

−∞
và
( )
3;
+∞
.
* Đồ thị:

12
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-25
-20
-15
-10
-5
5
10
15
20
Gọi M là điểm thuộc đồ thị (C):
5

;1 , 3
3
M a a
a
 
= + ≠
 ÷
−
 
Tiệm cận đứng
1
: 3 0x∆ − =
; tiệm cận ngang
2
: 1 0y∆ − =
Theo giải thiết:
( ) ( )
2 1
5
; 5 ; 5 3
3
d M d M a
a
∆ = ∆ ⇔ = −
−
(1)
Giải phương trình (1), ta được:
4; 2a a
= =
Vậy các điểm cần tìm là:

( ) ( )
4;6 & ' 2; 4M M
= = −
Câu 2.
(1,0
điểm)
Phương trình
( )
2 2
8 1 3sin cos 3 3sin 4 3 3 os2 9sin 2 11 0x x x c x x
− + − + − =
( )
( )
2
3 3 os2 2sin 2 1 3 2sin 2 3sin 2 1 0c x x x x
⇔ − − − + =
( )
( )
( )
( )
2sin 2 1 0 1
2sin 2 1 3 os2 sin 2 1 0
3 os2 sin 2 1 2
x
x c x x
c x x
− =
⇔ − − + = ⇔

− = −



Giải phương trình (1):
( )
1
12
sin 2
5
2
12
x k
x k
x k
π
π
π
π

= +

= ⇔ ∈


= +


¢
x
−∞


3

+∞
'y

−

0

0

−
y

1

+∞



−∞

1
Giải phương trình (2):
( )
1
4
3 os2 sin 2 1 os 2
5
6 2

12
x k
c x x c x k
x k
π
π
π
π
π

= +

 
− = − ⇔ + = − ⇔ ∈

 ÷
 

= − +


¢
Câu 3.
(1,0
điểm)
Ta có: (1) ⇔
x y x y
2
( ) ( 4 ) 0− − =
⇔

x y
x y4

=

=

Với x = y: Thay vào (2) ta được x = y = 2
Với x = 4y: Thay vào (2) ta được
x y32 8 15; 8 2 15= − = −
Câu 4.
(1,0
điểm)
Vì hàm số liên tục trên
[ ]
1;8
. Ta có:
2
2
3
1
1
1
1
x
x
dx dx
x x
x
x

−
−
=
+
+
∫ ∫
=
2
1 1
1 ( )
1
ln( )
1 1
d x
x x
dx x C
x
x x
x x
− +
= − =− + +
+ +
∫ ∫
Vậy nguyên hàm của hàm số
( )
2
3
1 x
f x
x x

−
=
+
trên đoạn
[ ]
1;8
là:
( )
1
ln( ) ;F x x C C
x
= − + + ∈
¡
Câu 5.
(1,0
điểm)
Từ giả thiết, ta có tam giác ABO vuông tại O và AO =
3a
; BO = a , do đó
·
0
60A DB =
.
Hay
ABD
∆
đều. Do
( ) ( ) ( )
;SAC SBD ABCD
⊥

nên giao tuyến của chúng
SO⊥ (ABCD).
Gọi H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có
DH AB
⊥
và DH =
3a
;
OK // DH và
1 3
2 2
a
OK DH
= =
⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK)
Gọi I là hình chiếu của O lên SK ⇒ OI ⊥ (SAB), hay OI
3
4
a
OI =
Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao ⇒
2 2 2
1 1 1
2
a
SO
OI OK SO
= + ⇒ =
Diện tích đáy
2

4 2. . 2 3
D
S
ABC ABO
S OA OB a
∆
= = =
;
đường cao của hình chóp
2
a
SO =
.
Thể tích khối chóp S.ABCD:
3
.
1 3
.
3 3
D DS ABC ABC
a
V S SO
= =
Câu 6.
(1,0
điểm)
Ta có:
a a b a ba b a a b a
2
2 2

1 1 1 1
2 2 2 2
3 1
4 4
 
= − + + + ≥ + +
 ÷
 
+ + = − + + + +
Tương tự:
b a a b
2
1
2
3
4
+ + ≥ + +
.
Ta sẽ chứng minh
a b a b
2
1 1 1
2 (2
2 2 2
    
+ + ≥ + +
 ÷  ÷ ÷
    
(*)
Thật vậy, (*) ⇔

a b ab a b ab a b
2 2
1 1
4
4 4
2
≥
+ + + + + + + +
⇔
a b
2
0( )
≥
−
.
S
A
B
K
H
C
O
I
D
3a
a
Dấu "=" xảy ra ⇔
a b
1
2

= =
.
A. Theo chương trình Chuẩn
7a.
(2,0
điểm)
Gọi I là trung điểm của AB, J là trung điểm của IB. Khi đó I(1 ; -2), J(
5
; 3
2
−
)
Ta có :
3 ( ) 2 2 2 4MA MB MA MB MB MI MB MJ
+ = + + = + =
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
Vì vậy
3MA MB+
uuur uuur
nhỏ nhất khi M là hình chiếu vuông góc của J trên đường thẳng
∆
Đường thẳng JM qua J và vuông góc với
∆
có phương trình : 2x – y – 8 = 0.
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ
2
2 3 0
5
2 8 0 19
5

x
x y
x y
y
−

=

+ − =


⇔
 
− − =


=


. Vậy M(
19 2
;
5 5
−
)
Giả sử
1 2
( ; ) 5; ( ; ) 2 7
B B B B C C C C
B x y d x y C x y d x y

∈ ⇒ = − − ∈ ⇒ = − +
Vì G là trọng tâm nên ta có hệ:
2 6
3 0
B C
B C
x x
y y
+ + =


+ + =


Từ các phương trình trên ta có: B(-1;- 4) ; C(5;1)
Ta có
(3;4) (4; 3)
BG
BG VTPT n
⇒ −
uuur uuur
nên phương trình BG: 4x – 3y – 8 = 0
Bán kính R = d(C; BG) =
9
5

⇒
phương trình đường tròn: (x – 5)
2
+(y – 1)

2
=
81
25
8a.
(1,0
điểm)
Giải bất phương trình:
1 3 3 1 3
8 2 4 2 5
+ − − + −
+ − + ≤
x x x
.
Điều kiện: x ≤ 3. Đặt
3
2 1
x
t
−
= ≥
. BPT ⇔
2
8 2 2 5
+ − + ≤
t t t
2 2
2
5 2 0
8 2 5 2 8 2 0

5 22 17 0
− ≥


⇔ + − ≤ − ⇔ + − ≥


− + ≥

t
t t t t t
t x
5
0
2
2 4 0 1
17
1;
5

≤ ≤


⇔ − ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤



≤ ≥

t

t t
t t
Với
3
0 1 2 1 3 0 3
−
≤ ≤ ⇒ ≤ ⇔ − ≤ ⇔ =
x
t x x
B. Theo chương trình Nâng cao
7b.
(2,0
điểm)
1. (1,0 điểm). Viết phương trình đường thẳng
3
d
đi qua P tạo với
1
d
,
2
d
Ta có
A(1; 1)
−
và
1 2
d d
⊥
. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi

1
d
,
2
d
là: ∆
1
:
7 3 4 0x y
+ − =
và ∆
2
:
3 7 10 0x y
− − =
3
d
tạo với
1
d
,
2
d
một tam giác vuông cân
⇒
3
d
vuông góc với ∆
1
hoặc ∆

2.
.
⇒ Phương trình của
3
d
có dạng:
7 3 0x y C
+ + =
hay
3 7 0
′
− + =
x y C
Mặt khác,
3
d
qua
( 7;8)P
−
nên C = 25 ; C′ = 77
Suy ra :
3
: 7 3 25 0d x y+ + =
hay
3
:3 7 77 0d x y− + =
Theo giả thiết tam giác vuông cân có diện tích bằng
29
2
⇒ cạnh huyền bằng

58
Suy ra độ dài đường cao A H =
58
2
=
3
( , )d A d
• Với
3
: 7 3 25 0d x y
+ + =
thì
3
58
( ; )
2
d A d =
( tm)
• Với
3
:3 7 77 0d x y− + =
thì
3
87
( ; )
58
d A d
=
( loại )
2. (1,0 điểm). Viết ph¬ng tr×nh chÝnh t¾c cña (E)

Hypebol (H) có các tiêu điểm
( ) ( )
1 2
5;0 ; 5;0F F
−
. Hình chữ nhật cơ sở của (H) có một
đỉnh là M( 4; 3),
Gỉa sử PT chính tắc của (E) có dạng:
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
( với a > b và
2 2 2
a b c
= +
)
(E) Cũng có hai tiêu điểm
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2
5;0 ; 5;0 5 1F F a b
− ⇒ − =
( ) ( ) ( )

2bab16a9E3;4M
2222
=+⇔∈
Từ (1) và (2) ta có hệ:



=
=
⇔



=+
+=
15b
40a
bab16a9
b5a
2
2
2222
222
Vậy phương trình chính tắc của (E) là:
1
15
y
40
x
22

=+
8b.
(1,0
điểm)
Hãy tìm các giá trị của
x
∈
¡
,
Ta có:
( )
k 8
8
k 8 k k
8
k 0
a b C a b
=
−
=
+ =
∑
.
Áp dụng với
( )
( )
( )
x 1
3
x 1

2
2
1
1 1
log 3 1
log 9 7
x 1 x 1
5
3 5
a 2 9 7 b 2 3 1 = ;
−
−
− +
−
+
− −
= + = = +
+ Theo thứ tự trong khai triển trên, số hạng thứ sáu tính theo chiều từ trái sang phải của
khai triển là
( ) ( ) ( ) ( )
3 5
1 1
1
5 x 1 x 1 x 1 x 1
3 5
6 8
T C 9 7 . 3 1 56 9 7 . 3 1
− −
− − − −
   

= + + = + +
 ÷  ÷
   
+ Theo giả thiết ta có :
( ) ( )
x 1
1
x 1 x 1 x 1 x 1
x 1
9 7
56 9 7 . 3 1 4 9 7 4(3 1)
3 1
= 224
−
−
− − − −
−
+
+ + ⇔ = ⇔ + = +
+
( )
x 1
2
x 1 x 1
x 1
3 1 x 1
3 4(3 ) 3 0
x 2
3 3
−

− −
−

= =

⇔ − + = ⇔ ⇔


=
=


Hết