- Trang chủ >>
- THPT Quốc Gia >>
- Toán
Đề thi thử đại học môn Toán tuyển chọn số 26
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (223.46 KB, 6 trang )
ĐỀ SỐ 26. THI THỬ ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút.
Câu I: (2,0 điểm) Cho hàm số : y = x
4
– 5x
2
+ 4
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số.
2) Tìm tất cả các điểm M trên đồ thị (C) của hàm số sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt
(C) tại hai điểm phân biệt khác M
Câu II: (2,0 điểm)
1. Giải phương trình:
2 os6x + 2cos4x - 3 os2x = sin2x + 3c c
2. Giải hệ phương trình:
( )
2
2
4 2 2 2
x - y + x + y= y
(x,y R)
x - 4x y+3x = -y
∈
Câu III: (1,0 điểm) Tính tích phân
/4
2
0
ln(sin cos )
cos
x x
dx
x
π
+
∫
Câu IV: (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là nửa lục giác đều nội tiếp
trong đường tròn đường kính AD = 2a, SA
^
(ABCD),
6SA a=
, H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB. Tìm thể tích khối chóp H.SCD và tính khoảng cách giữa hai
đường thẳng AD và SC.
Câu V: (1,0 điểm) Xét các số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1. T×m gi¸ trÞ nhá
nhÊt cña biÓu thøc A =
( )
+
+ cba
3
1
( )
+
+ cab
3
1
( )
abc +
3
1
Câu VI (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(0, 2) và elip có phương trình
2
2
x
+ y = 1
4
. Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M cắt elip tại A, B sao cho
3MA -5MB = 0
r
uuuv uuuv
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (0, 0, 5), điểm B (5, 0, 2) và mặt
phẳng (P) có phương trình z = 2. Viết phương trình đường thẳng
D
đi qua điểm B,
D
nằm trong mặt phẳng (P) sao cho khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng
D
bằng 5.
Câu VII (1,0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn
2 52z i- - =
, tìm số phức z mà
4 2z i- +
là nhỏ nhất.
Hết
ĐẤP ÁN ĐỀ SỐ 26
CÂU NỘI DUNG
I-1
(1điểm)
y = x
4
– 5x
2
+ 4
+ TXĐ: R
+Giới hạn và tiệm cận:
lim
x
y
→±∞
= +∞
+ Sự biến thiên: y’ = 4x
3
− 10x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x =
5
2
±
Hàm số nghịch biến trên: (−∞;
5
2
−
) và (0;
5
2
)
Hàm số đồng biến trên: (
5
2
; +∞ )và (
5
2
−
,0)
Các điểm dực trị x
CĐ
= 0, y
CĐ
= 4;
5
2
x
= −
CT1
, y
CT1
=
9
4
−
;
5
2
x
=
CT2
, y
CT2
=
9
4
−
;
§å thÞ:
4
x
0
0
-
-
0
0
+
+
+∞ +∞
y’
−∞
+∞
y
4
I-2
(1điểm)
LÊy M(m ; m
4
– 5m
2
+ 4) ∈ (C)
Ph¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M : y = (4m
3
– 10m)(x – m) + m
4
– 5m
2
+ 4 (d)
Hoµnh ®é cña (d) & (C) lµ nghiÖm ph¬ng tr×nh:
x
4
– 5x
2
+ 4 = (4m
3
– 10m)(x – m) + m
4
– 5m
2
+ 4
⇔
(x – m)
2
(x
2
+ 2mx + 3m
2
– 5) = 0 (1)
CÇn t×m m ®Ó x
2
+ 2mx + 3m
2
– 5 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt kh¸c m
§iÒu kiÖn lµ
≠−
>−
056
025
2
2
m
m
C¸c ®iÓm M(m ;m
4
– 5m
2
+ 4) ∈(C) víi hoµnh ®é
10 10 30
; \
2 2 6
m
∈ − ±
÷
÷
II-1
(1 điểm)
2 os6x+2cos4x- 3 os2x =sin2x+ 3c c ⇔
4cos5xcosx = 2sinxcosx + 2
3
cos
2
x
os x=0
2cos5x =sinx+ 3 cos
c
x
⇔
cos 0
os5x=cos(x- )
6
x
c
π
=
⇔
2
24 2
36 3
x k
k
x
k
x
π
π
π π
π π
= +
⇔ = − +
= +
II-2
(1 điểm)
Hệ tương đương
2
2 2 2
(1 2 ) 0 (1)
( ) 3 (1 2 ) 0 (2)
+ + − =
+ + − =
x y x y
x y x y
Thay (1) vào (2) được
( )
2
2 2
0
1
(1 2 ) 3 (1 2 ) 0 2 (1 2 )(2 ) 0
2
2
x
x y x y x y y y
y
=
− + − = ⇔ − − = ⇔ =
=
Với x = 0 suy ra y = 0
Với 1-2y = 0 thay vào (1) suy ra
2
1
2
x y
−
= − =
(Vô lí)
Với y = 2 suy ra x = 1 hoặc x = 2
Hệ có 3 nghiệm (0,0), (1,2), (2,2)
III
(1 điểm)
Đặt u =
ln(sin cos )x x+
⇒
du =
cos sin
sin cos
x x
dx
x x
−
+
dv =
2
1 sin cos
tan 1
cos cos
x x
dx v x
x x
+
⇒ = + =
Ta có : I =
/4
/4
0
0
cos sin
(tan 1)ln(sin cos )
cos
x x
x x x dx
x
π
π
−
+ + −
∫
=
/4
0
3
2ln 2 ( ln cos ) ln 2
4 2
x x
π
π
− + = − +
IV
(1 im)
Trong tam giỏc vuụng SAB cú
2
2 2 2
2 2 2 2
.
6 6
7
7
SA SH SB
SH SA SA a
SB
SB SA A B a
=
= = = =ị
+
B.SCD S.BCD
6 6
V = V = V
7 7
6 6
= . 6.
7 7
HSDC
BCD BCD
SA S a S=
K l hỡnh chiu ca B trờn AD ta cú: BK.AD = AB.BD suy ra
2
. 3 1 3
.
2 2 4
BCD
A B BD a a
BK S BK BC
A D
= = = =ị
, suy ra:
3
9 2
V
14
HSDC
a
=
Do AD//(SBC) nờn
( ) ( )
( , )
( , ) ( , )
AD SC
AD SBC A SBC
d d d
= =
Dng hỡnh bỡnh hnh ADBE. Do AB
^
BD nờn AB
^
DE
t
( )
( , )A SBC
d
= h ta cú
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 9
6 3 6h SA AB AE SA AB BD a a a a
= + + = + + = + + =
Suy ra
( , )AD SC
d
= h =
6
3
a
V
(1im)
ặt x =
c
z
b
y
a
1
,
1
,
1
==
. Do
11 == xyzabc
Khi đó:
=
+
+
+
+
+
=
xy
z
zx
y
zy
x
A
111111
333
3 3 3 2 2 2
x yz y xz z xy x y z
y z z x x y y z z x x y
+ + = + +
+ + + + + +
(*)
p dụng bất đẳng thức Trung bình cộng- trung bình nhân cho các số dơng ta có:
2
4
x y z
x
y z
+
+
+
,
2
4
y z x
y
z x
+
+
+
,
2
4
z x y
z
x y
+
+
+
.
Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều trên ta có :
2 2 2
2
x y z x y z
y z z x x y
+ +
+ +
+ + +
Dấu = xảy ra khi x = y = z.
A=
2
3
2
3
2
3
222
=
++
+
+
+
+
+
xyz
zyx
yx
z
xz
y
zy
x
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A bằng
3
2
t khi a = b = c = 1
VI- 1
(1 điểm)
Đường thẳng d qua M(0,2) có phương trình
2 2
( 0)
2
x mt
m n
y nt
=
+ ≠
= +
Để d cắt elip ở 2 điểm phân biệt điều kiện là phương trình
( )
2
2 2 2
2
2
2 1 4 3 0
4 4
m t m
nt n t nt
æ ö
÷
ç
÷
+ + = + + + =Û
ç
÷
ç
÷
ç
è ø
có 2 nghiệm phân biệt
Điều kiện là:
2
2
2
2
0
4
3
0
4
m
n
m
n
ì
ï
ï
+ ¹
ï
ï
ï
í
ï
ï
= - >D
ï
ï
ï
î
Xét A
( )
1 1
, 2mt nt+
, B
( )
2 2
, 2mt nt+
,
( ) ( )
1 1 2 2
, , ,MA mt nt MB mt nt
uuur uuur
1 2
5 0 3 5MA MB t t- = =Û
uuur uuur
Theo định lí Vi- et có
1 2
2
2
1 2
2
2
4
4
3
.
4
n
t t
m
n
t t
m
n
ì
ï
-
ï
+ =
ï
ï
ï
ï
+
ï
ï
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
+
ï
ï
ï
î
Suy ra
2 2
m n=
Cho m = 1 suy ra n = 1 hoặc n = - 1
Phương trình d là
2
x t
y t
ì
ï
=
ï
í
ï
= +
ï
î
hoặc
2
x t
y t
ì
ï
=
ï
í
ï
= -
ï
î
VI-2
(1 điểm)
Gọi H là hình chiếu của A trên
D
thì H thuộc (P) và mặt cầu tâm A bán kính 5
nên
2 2 2 2 2
2 2
( 5) 25 16 (1)
z z
x y z x y
ì ì
ï ï
= =
ï ï
ï ï
Û
í í
ï ï
+ + - = + =
ï ï
ï ï
î î
Gọi A’ là hình chiếu của A trên
D
thì A’(0, 0, 2). Ta có:
( 5, , 0) ' ( , , 0)BH x y A H x y- ^
uuur uuuur
nên có
2 2
. ' 0 5 0 (2)HB HA x x y= - + =Û
uuur uuur
Từ (1), (2) tìm được
16
5
12
5
x
y
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
ï
=
ï
ï
ï
î
hoặc
16
5
12
5
x
y
ì
ï
ï
=
ï
ï
ï
í
ï
-
ï
=
ï
ï
ï
î
Với H (
16
5
,
12
5
, 2) suy ra
5 3
: 4
2
x t
y t
z
ì
ï
= -
ï
ï
ï
=D
í
ï
ï
=
ï
ï
î
Với H (
16
5
, -
12
5
, 2) suy ra
5 3
: 4
2
x t
y t
z
ì
ï
= +
ï
ï
ï
=D
í
ï
ï
=
ï
ï
î
VII.
(1 điểm)
Gọi z = x + iy khi đó M(x,y) biểu diễn z
2 2
2 52 ( 2) ( 1) 52z i x y- - = - + - =Û
M nằm trên đường tròn (C) tâm I(2,1) bán kính R =
52
A(4, -2) biểu diễn 4 – 2i. Ta có AM =
4 2z i- +
Ta cần tìm M thuộc (C ) để AM nhỏ nhất
AI có phương trình
4 2
2 3
x t
y t
ì
ï
= -
ï
í
ï
= - +
ï
î
Thay vào phương trình (C ):
2 2
3
4( 1) 9( 1) 52
1
t
t t
t
ì
ï
=
ï
- + - = Û
í
ï
= -
ï
î
t = - 1 suy ra M
1
(6, -5) và AM =
13
; t = 3 suy ra M
2
(-2, 7) và AM =
3 13
Vậy M(6, -5) là điểm cần tìm.
