- Trang chủ >>
- Đề thi >>
- Đề thi lớp 9
Đề học sinh giỏi tham khảo bồi dưỡng học sinh các huyện, sở (31)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (128.36 KB, 4 trang )
Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2012 - 2013
Môn thi : Toỏn
Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề )
Bi 1 ( 6 im )
Cho P =
+
+
3
2
2
3
6
9
:
9
3
1
x
x
x
x
xx
x
x
xx
1. Rỳt gn P.
2. Tỡm x P > 0
3. Vi x > 4, x 9. Tỡm giỏ tr ln nht ca P.(x + 1)
Bi 2 ( 4 im )
1. Tỡm tt c s t nhiờn n sao cho n
2
14n 256 l 1 s chớnh phng.
2. Cho: a > 0, b > 0 v ab = 1. Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc
A =
( )
( )
ba
baba
+
++++
4
1
22
Bi 3 ( 2 im )
Cho h phng trỡnh :
=+
=+
20122012
20122012
yx
yx
1. Chng minh rng : x = y
2. Tỡm nghim ca h phng trỡnh.
Bi 4 ( 5 im )
Cho hai ng trũn ( O; R) v ( O
; R
) tip xỳc ngoi ti A( R > R
). V dõy AM
ca ng trũn ( O ) v dõy AN ca ng trũn ( O) sao cho AM
AN. Gi BC l
tip tuyn chung ngoi ca hai ng trũn (O) v (O) vi B
(O) v C
(O)
1. Chng minh OM // ON.
2. Chng minh : Ba ng thng MN, BC, OO ng qui.
3. Xỏc nh v trớ ca M v N t giỏc MNOO cú din tớch ln nht. Tớnh giỏ
tr ln nht ú.
Bi 5 ( 3 im )
1. Cho tam giỏc nhn ABC. Gi ha, hb, hc ln lt l cỏc ng cao v ma, mb,
mc ln lt l trung tuyn ca cỏc cnh BC, CA, AB; R v r ln lt l bỏn kớnh ca
cỏc ng trũn ngoi tip v ni tip ca tam giỏc ABC. Chng minh rng :
r
rR
hc
mc
hb
mb
ha
ma
+
++
2. Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn dng a,b sao cho : a + b
2
chia ht cho a
2
b 1.
__________________________________________________________
Hớng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp 9
Năm học 2012 - 2013
M«n thi : To¸n
Bài Nội dung Điểm
Bài 1
(6 đ )
1. Tìm đúng điều kiện : x ≥ 0, x ≠ 4, x ≠9
P =
( )( )
+
−
−
−
−
+
−+
−
−
−
−
3
2
2
3
23
9
:
9
3
1
x
x
x
x
xx
x
x
xx
= … =
x−2
2
2. P > 0
≠≠≥
>−
9,4,0
02
xxx
x
40
<≤
x
0,5đ.
0,5đ.
2,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
3. P. ( x + 1 ) =
+
−
+−−=
−
+−
4
2
5
23
2
)1(3
x
x
x
x
Áp dụng bất đẳng thức Cô si chỉ ra Max
[ ]
1256)1.( −−=+xP
Chỉ ra dấu bằng x =
( )
2
25 +
1,0đ.
0,5đ.
0,5đ.
Bài 2
(4đ)
1. Đặt n
2
– 14n – 256 = K
2
( K є N )
( n – 7 )
2
– K
2
= 305 ( n – K – 7 )( n + K – 7 ) = 305
= 1.305 = 61.5
Xét các trường hợp: do n + K -7 > n – K – 7
n – K – 7 = 1 và n + K – 7 = 305 => n = 160
n – K – 7 = - 305 và n + K – 7 = -1 => n = -146 ( loại )
n – K – 7 = 5 và n + K – 7 = 61 => n = 40
n – K – 7 = -61 và n + K – 7 = -5 => n = -26 ( loại )
Vậy n = 40, K = 28 hoặc n = 160 , K = 152
2. Áp dụng bất đẳng thức cô si cho 2 số dương a
2
và b
2
222
2222
==≥+
abbaba
A =
( )
( )
( )
+
+++≥
+
++++
ba
ba
ba
baba
2
12
4
1
22
=
( )
ba
ba
ba
++
+
+++
4
2
. Áp dụng BĐT Cô si có
A
( )
82422
4
.22 =++=+
+
++≥ ab
ba
ba
-> Giá trị nhỏ nhất của A=8 a = b = 1
1,0đ.
0,25đ.
0,25đ.
0,25đ.
0,25đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ
Bài 3
(2đ)
Điều kiện
≤≤
≤≤
20120
20120
y
x
Từ 2 phương trình của hệ ta có :
yxyx +−=−+ 20122012
<->
yyxx −−=−− 20122012
Nếu x > y thì
yx −−>−− 20122012
=> VT > VP ( mâu thuẫn )
Tương tự nếu x < y => VT < VP ( mâu thuẫn )
0,5đ.
0,5đ.
=> x = y
=> Hệ
=−+
=
20122012 xx
yx
)2(
)1(
Bình phương 2 vế của pt (2) => x = 0 hoặc x = 2012
=> Nghiệm của hệ ( x;y) = (0;0),(2012;2012)
0,5đ.
0,5đ.
Bài 4
(5đ)
1.
'
11
OO
=
)
ˆ
2180(
1
0
A
−=
=> OM //O’N
2. Gọi P là giao điểm của MN và OO’
Có :
R
R
OM
NO
PO
PO '''
==
Gọi P’ là giao điểm của BC và OO’
Do OB // O’C =>
R
R
OB
CO
OP
OP ''
'
''
==
=> P = P’ -> đpcm
3. MNO’C là hình thang có
S =
( ) ( )
2
'
'
2
'
'
2
'
2
''
2
RR
OO
RR
HO
RRHONOOM +
=⋅
+
≤⋅
+
=
+
Dấu “ = “ xảy ra H
≡
O OM
⊥
OO’ và O’N
⊥
OO’
Vậy Max S =
( )
2
'
2
RR +
2,0đ.
0,75đ.
0,75đ.
1,0đ.
0,5đ.
Bài 5
(2đ)
1.
Gọi O và I là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABC
A
1
, B
1
, C
1
lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB
Có : AA
1
= m
a
≤ R + OA
1
đẳng thức xảy ra AB = AC
BB
1
= m
b
≤ R + OB
1
đẳng thức xảy ra AB = BC
CC
1
= m
c
≤ R + OC
1
đẳng thức xảy ra AC = BC
=>
+++
++≤++
cbacbac
c
b
b
a
a
h
OC
h
OB
h
OA
hhh
R
h
m
h
m
h
m
111
111
(1)
Có 2S = ( a + b + c)r ->
cba
h
S
h
S
h
S
cba
r
S 2222
++=++=
Với ( AB = c , BC = a , AC = b ) =>
rhhh
cba
1111
=++
(2)
2S =
111111
222
OC
h
S
OB
h
S
OA
h
S
OCcOBbOAa
cba
⋅+⋅+⋅=++
=
++
cba
h
OC
h
OB
h
OA
S
111
2
=>
1
111
=++
cba
h
OC
h
OB
h
OA
(3)
Từ (1),(2),(3) =>
r
rR
h
m
h
m
h
m
c
c
b
b
a
a
+
≤++
Dấu đẳng thức xảy ra ∆ABC đều
2. Theo đề bài có : a + b
2
= K(a
2
b – 1) ( K є N* )
a + K = b( Ka
2
– b ) a + K = mb (1)
Với Ka
2
– b = m ( m є N*) -> m + b = Ka
2
(2)
Từ (1) và (2) có ( m – 1 )( b - 1 )= mb – b – m + 1
= a + K – Ka
2
+ 1 = ( a + 1)( K + 1 – Ka ) (3)
Vì m > 0 theo (1) nên ( m – 1 )( b – 1) ≥ 0 . Từ (3)
=> K + 1 – Ka ≥ 0 => K + 1 ≥ Ka => 1 ≥ K( a – 1 )
=>
==
=
⇒
=−
=−
1,2
1
1)1(
0)1(
Ka
a
aK
aK
* Nếu a = 1 từ (3) => (m – 1)(b – 1) = 2 => b = 2 hoặc b = 3
=> (a; b) = ( 1; 2) và ( 1; 3)
* Nếu a = 2, K = 1 => ( m -1)(b – 1 ) = 0
Khi m = 1 từ (1) => ( a; b ) = ( 2; 3 )
Khi b = 1 => (a; b) = ( 2; 1)
Thử lại ta có đáp số ( a,b) = (1,2),(1,3), (2,3),(2,1)
0,5đ.
0,5đ.
0,5đ.
0,75đ.
0,25đ.
