DẠNG 1: RÚT GỌN TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC.
Bài 1: Cho biểu thức
P =
( ) ( )
3
a1
2
2
a
a12
1
a12
1
−
+
−
−
+
+
a) Rút gọn P.
b) Tìm Min P.
Bài 2: Cho x, y là hai số khác nhau thỏa mãn: x
2
+ y = y
2
+ x
Tính giá trị biểu thức : P =
1 -xy
xy
2
y

2
x
++
Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q =
yx
y-x
+
Biết x
2
-2y
2
= xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0
Bài 4: Cho biểu thức
P =
3x
3x2
x-1
2x3
3x2x
11x15
+
+
−
−
+
−+
−
a) Tìm các giá trị của x sao cho P =
2
1

b) Chứng minh P ≤
3
2
Bài 5: Cho biểu thức
P =
a
2a
2a
1a
2aa
39a3a
1
−
−
+
+
+
−
−+
−+
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên.
Bài 6: Cho biểu thức
P =
2
a
16
a
8
-1

4-a4a4-a4a
+
−++
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức
P =
















−
−
+−
−
−
1a
2

1a
1
:
aa
1
1a
a
a) Rút gọn P.
b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2
2
c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0.
1
Bài 8: Cho biểu thức
P =

















−
−
−
−
−
+
x
2
x2x
1x
:
x4
8x
x2
x4
a) Rút gọn P.
b) Tính x để P = -1
c) T ìm m để với mọi giá trị x > 9 ta có m(
x
- 3)P > x + 1.
Bài 9: Cho biểu thức
P =

















+
−
−
+
++
−
xy
yx
xxy
y
yxy
x
:
yx
xy -y
x
a) Tìm x, y để P có nghĩa.
b) Rút gọn P.
c) Tìm giá trị của P với x = 3, y = 4 + 2
3
Bài 10: Cho biểu thức
P =

x
2007x
1x
14xx
1x
1-x
1x
1x
2
2
+
−
−−
+
+
−
−
+










a) Tìm x để P xác định.
b) Rút gọn P.

c) Tìm các giá trị nguyên của x để P nguyên.
Bài 11: Rút gọn P.
P =
2
224
22
22
22
22
b
baa4
:
baa
baa
baa
baa −
−+
−−
−
−−
−+











Với | a | >| b | > 0
Bài 12: Cho biểu thức
P =
2
2
x1
.
1x2x
2x
1x
2x
















−
++

+
−
−
−
a) Rút gọn P.
b) Chứng minh rằng nếu 0 < x < 1 thì P > 0.
c) Tìm GTLN của P.
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P =
6x5x
10x
3x4x
1x5
2x3x
2x
++
+
+
++
+
+
++
Không phụ thuộc vào biến số x.
Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức
P =
x
x
x
++−
−+−

+
52.549
347.32
4
63
Không phụ thuộc vào biến số x.
2
Bài 15: Cho biểu thức
P =
1x
1xx
xx
1xx
xx
22
++
+−
+
−
++
−
Rút gọn P với 0 ≤ x ≤ 1 .
Bài 16: Cho biểu thức
P =
1x
)12(x
x
x2x
1xx
xx

2
−
−
+
+
−
++
−
a) Rút gọn P.
b) Tìm GTNN của P
c) Tìm x để biểu thức Q =
P
x2
nhận giá trị là số nguyên.
Bài 17: Cho biểu thức
P =
1x2
x
1x2x
1x
1x
xx
1xx
xxx2x
−
+
−+
−
⋅
−

+
−
−
−+








a) Tìm x để P có nghĩa
b) Rút gọn P.
c) Với giá trị nào của x thì biểu thức P đạt GTNN và tìm GTNN đó.
Bài 18: Rút gọn biểu thức
P =
5310
53
5310
53
−+
−
−
++
+
Bài 19: Rút gọn biểu thức
a) A =
7474
−−+


b) B =
5210452104 +−+++
c) C =
532154154
−−−++
Bài 20: Tính giá trị biểu thức
P =
123412724 −−++−++ xxxx
Với
2
1
≤ x ≤ 5.
Bài 21: Chứng minh rằng:
P =
26
4813532
+
+−+
là một số nguyên.
Bài 22: Chứng minh đẳng thức:
1
2
3
11
2
3
1
2
3

11
2
3
1
=
−−
−
+
++
+
3
Bài 23: Cho x =
3
725
3
725 −−+
Tính giá trị của biểu thức f(x) = x
3
+ 3x
Bài 24: Cho E =
yx
xy1
yx
xy1
−
−
−
+
+
Tính giá trị của E biết:

x =
222.222.84 +−+++
y =
45272183
2012283
+−
+−
Bài 25: Tính P =
2008
2007
2
2008
2
2007
2
20071 +
+
+
Bài 26: Rút gọn biểu thức sau:
P =
51
1
+
+
95
1
+
+ +
20052001
1

+
Bài 27: Tính giá rẹi của biểu thức:
P = x
3
+ y
3

- 3(x + y) + 2004 biết rằng
x =
3
223
3
223 −++
y =
3
21217
3
21217 −++
Bài 28: Cho biểu thức A =






−









+
+
−
−
−
+
a
aa
a
a
a
a 1
4
1
1
1
1
a) Rút gọn A.
b) Tính A với a = (4 +
15
)(
10
-
6
)
154

−
Bài 29: Cho biểu thức
A =
( ) ( )
( )






−
−⋅
−−
−++−−
1
1
1
14
1414
2
x
xx
xxxx
a) x = ? thì A có nghĩa.
b) Rút gọn A.
Bài 30: Cho biểu thức
P =
xxx
x

xx
x
+
+
+++
+−
+
−+−
−+
1
1
11
11
11
11
a) Rút gọn P.
b) So sánh P với
2
2
.
Bài 31: Cho biểu thức
P =
1
2
1
3
1
1
+−
+

+
−
+
xxxxx
a) Rút gọn P.
4
b) Chứng minh: 0 ≤ P ≤ 1.
Bài 32: Cho biểu thức
P =
a
a
a
a
aa
a
−
+
−
−
+
−
+−
−
3
12
2
3
65
92
a) Rút gọn P.

b) a = ? thì P < 1
c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên.
Bài 33: Cho biểu thức
P =
x
x
yxyxx
x
yxy
x
−
−
−
−−+
−
−
1
1
22
2
2
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết 2x
2
+ y
2
- 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 34: Cho biểu thức
P =
x

x
yxyxx
x
yxy
x
−
−
−
−−+
−
−
1
1
22
2
2
a) Rút gọn P.
b) Tính P biết 2x
2
+ y
2
- 4x - 2xy + 4 = 0.
Bài 35: Cho biểu thức
P =
yxxy
yyxxyx
yx
yxyx
33
33

:
11211
+
+++








++
+








+
a) Rút gọn P.
b) Cho xy = 16. Tìm Min P.
5
DẠNG 2: BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT.
Bài 1: Cho a > b > 0 thỏa mãn: 3a
2
+3b

2
= 10ab.
Tính giá trị của biểu thức: P =
ba
ba
+
−
Bài 2: Cho x > y > 0 và 2x
2
+2y
2
= 5xy
Tính giá trị biểu thức E =
yx
yx
+
−
Bài 3: 1) Cho a + b + c = 0
CMR: a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
2) Cho xy + yz + zx = 0 và xyz ≠ 0
Tính giá trị biểu thức:
M =
222
z

xy
y
xz
x
yz
++
Bài 4: Cho a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc. Tính giá trị của biểu thức:
P =






+






+







+
a
c
c
b
b
a
111
Bài 5: a) Phân tích thành nhân tử:
(x + y + z)
3
- x
3
- y
3
-z
3
b) Cho các số x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 1 và x
3
+ y
3
+ z
3
= 1 .
Tính giá trị của biểu thức: A = x
2007


+ y
2007
+ z
2007
Bài 6: Cho a + b + c = 0 và a
2
+ b
2
+ c
2
= 14. Tính giá trị của biểu thức:
P = a
4
+ b
4
+ c
4
Bài 7: Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn:
a
100
+ b
100
=

a
101
+ b
101
= a

102
+ b
102
Tính giá trị của biểu thức P = a
2007
+ b
2007
Bài 8: Cho
1=+
b
y
a
x
và
2
−=
ab
xy
. Tính
3
3
3
3
b
y
a
x
+
Bài 9: Cho a + b + c = 0 . Tính giá trị của biểu thức
P =

222222222
111
cbabcaacb
−+
+
−+
+
−+
Bài 10: Cho
bab
y
a
x
+
=+
1
4
4
; x
2
+ y
2
= 1. Chứng minh rằng:
a) bx
2
= ay
2
;
b)
10041004

2008
1004
2008
)(
2
bab
y
a
x
+
=+
6
Bài 11: Chứng minh rằng nếu xyz = 1 thì:

xzzyzyxyx ++
+
++
+
++ 1
1
1
1
1
1
= 1
Bài 12: Cho a + b + c = 0. Tính giá trị biểu thức:
A = (a – b)c
3
+ (c – a)b
3

+ (b – c)a
3
Bài 13: Cho a, b, c đôi một khác nhau. Tính giá trị của biểu thức:
P =
))(())(())((
222
acbc
c
abcb
b
caba
a
−−
+
−−
+
−−
Bài 14: Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác. Cho biết (a + b)(b + c)(c + a) = 8abc
Chứng minh: Tam giác đã cho là tam giác đều.
Bài 15: Chứng minh rằng: Nếu a,b,c khác nhau thì:

accbbabcac
ba
abcb
bc
caba
cb
−
+
−

+
−
=
−−
−
+
−−
−
+
−−
− 222
))(())(())((
Bài 16: Cho biết a + b + c = 2p
Chứng minh rằng:
))()((
1111
cpbpapp
abc
pcpbpap −−−
=−
−
+
−
+
−
Bài 17: Cho a, b khác 0 thỏa mãn a + b = 1. Chứng minh :
3
)2(2
11
2233

+
−
=
−
+
− ba
ab
a
b
b
a
Bài 18: Cho
1=++
c
z
b
y
a
x
và
0=++
z
c
y
b
x
a
Tính giá trị biểu thức A =
2
2

2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
++
Bài 19: Cho a, b, c đôi một khác nhau và
0=
−
+
−
+
− ba
c
ac
b
cb
a
Tính giá trị của P =
222
)()()( ca
c
ac
b
cb

a
−
+
−
+
−
Bài 20: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x(y
2
– z
2
) + y(z
2
– x
2
) + z(x
2
– y
2
)
b) x(y + z)
2
+ y(z + x)
2
+ z(x + y)
2
– 4xyz
Bài 21: Cho ba số phân biệt a, b,c. Chứng minh rằng biểu thức
A = a
4

(b – c) + b
4
(c – a) + c
4
(a – b) luôn khác 0.
Bài 22: Cho bốn số nguyên thỏa mãn điều kiện: a + b = c + d và ab + 1 = cd
Chứng minh: c = d.
Bài 23: Cho x , y là các số dương thỏa mãn điều kiện: 9y(y – x) = 4x
2
.
Tính giá trị biểu thức: A =
yx
yx
+
−
Bài 24: Cho x, y là các số khác khác 0 sao cho 3x
2
– y
2
= 2xy.
Tính giá trị của phân thức A =
22
6
2
yxyx
xy
++−
Bài 25: Cho x, y, z khác 0 và a, b, c dương thoả mãn ax + by + cz = 0 và a + b +c = 2007.
Tính giá trị của biểu thức: P =
222

222
)()()( yxabzxaczybc
czbyax
−+−+−
++
7
Bài 26: Cho x, y, z khác 0 và x + y + z = 2008.
Tính giá trị biểu thức:
P =
))(())(())((
333
xzyz
z
zyxy
y
zxyx
x
−−
+
−−
+
−−
Bài 27: Cho





=++
=++

=++
1
1
1
333
222
zyx
zyx
zyx

Tính giá trị của biểu thức: P = x
2007

+ y
2007

+ z
2007
.
Bài 28: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. Tính giá trị của biểu thức:
P =
[ ]
[ ]
22
22
)()(
)()(
bcacba
cbacba
−−++

−++−
Bài 29: Cho biểu thức P = (b
2
+ c
2
– a
2
)
2
– 4b
2
c
2
.
Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba cạnh của một tam giác thì P < 0.
Bài 30: Cho các số dương x, y ,z thỏa mãn:





=++
=++
=++
15
8
3
zxzx
zyyz
zyxy

Tính giá trị biểu thức: P = x + y + z.
Bài 31: Cho các số x, y, z thỏa mãn hệ phương trình:






=++
=++
1
1
333
222
zyx
zyx
Tính giá trị biểu thức P = xyz. (Đề thi HSG tỉnh 2003)
Bài 32: a) Thu gọn biểu thức: P =
432
48632
++
++++
b) Tính giá trị biểu thức: Q =
yx
yx
+
−

Biết x
2

– 2y
2
= xy và y ≠ 0 , x + y ≠ 0. (Đề thi HSG tỉnh 2004-2005)
Bài 33: Chứng minh rằng nếu: x + y + z = 0 thì:
2(x
5
+ y
5
+ z
5
) = 5xyz(x
2
+ y
2
+ z
2
) (Đề thi HSG tỉnh 2005-2006)
Bài 34: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn điều kiện: a
2
= b
2
+ c
2
.
a) So sánh a và b + c.
b) So sánh a
3
và b
3
+ c

3
. (Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
Bài 35: 1) Giải phương trình: x
3
-6x – 40 = 0
2) Tính A =
33
2142021420 −++
(Đề thi HSG tỉnh 2006-2007)
8
DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI.
Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x
2
– 2(m – 1)x – 3 – m = 0 (1)
a) Giải phương trình khi m = 2.
b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m.
c) Tìm m sao cho nghiệm số x
1,
x
2
của phương trình thỏa mãn
điều kiện
2
1
x
+
2
2
x
≥

10.
Bài 2: Cho các số a, b, c thỏa điều kiện:
( )



−+<+
>
acbcabac
c
2
0
2
Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 luôn luôn có nghiệm.
Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện: a
2
+ ab + ac < 0.
Chứng minh rằng phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.
Bài 4: Cho phương trình x
2
+ px + q = 0. Tìm p, q biết rằng phương trình có hai
nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:




=−
=−
35
5
3
2
3
1
21
xx
xx
Bài 5: CMR với mọi giá trị thực a, b, c thì phương trình
(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm.
Bài 6: CMR phương trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0) có nghiệm biết rằng 5a + 2c = b
Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác. CMR phương trình sau có nghiệm:
(a
2
+ b
2
– c
2
)x
2

- 4abx + (a
2
+ b
2
– c
2
) = 0
Bài 8: CMR phương trình ax
2
+ bx + c = 0 ( a
≠
0) có nghiệm nếu
4
2
+≥
a
c
a
b
Bài 9: Cho phương trình : 3x
2
- 5x + m = 0. Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa
mãn:
2
1
x
-
2
2
x

=
9
5
Bài 10: Cho phương trình: x
2
– 2(m + 4)x +m
2
– 8 = 0. Xác định m để phương trình có hai
nghiệm x
1
, x
2
thỏa mãn:
a) A = x
1
+ x
2
-3x
1
x
2
đạt GTLN
b) B = x
1
2
+ x
2
2
- đạt GTNN.
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa x

1
,

x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 11: Giả sử x
1
,

x
2
là hai nghiệm của phương trình bậc 2:
3x
2
- cx + 2c - 1 = 0. Tính theo c giá trị của biểu thức:
S =
3
2
3
1
11
xx
+
Bài 12: Cho phương trình : x
2
- 2
3
x + 1 = 0. Có hai nghiệm là x
1

,

x
2.
Không giải phương
trình trên hãy tính giá trị của biểu thức:
A =
2
3
1
3
21
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
+
++
9
Bài 13: Cho phương trình: x
2
– 2(a - 1)x + 2a – 5 = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của a.
2) Tìm giá trị của a để pt (1) có hai nghiệm x
1
,


x
2
thỏa mãn điều kiện:
x
1
2
+ x
2
2
= 6.
3. Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x
1
,

x
2
thỏa mãn điều kiện:
x
1
< 1 <

x
2
.
Bài 14: Cho phương trình: x
2
– 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Gọi x

1
,

x
2
là hai nghiệm của phương trình (1) .
Tìm GTNN của M = x
1
2
+ x
2
2
Bài 15: Cho a, b là hai số thực thỏa mãn điều kiện:
2
111
=+
ba
CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm:
x
2
+ ax + b = 0 và x
2
+ bx + a = 0.
Bài 16: Cho phương trình: x
2
– 2(m + 1)x + 2m +10 = 0 (1)
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình (1) theo m.
b) Tìm m sao cho 10x
1
x

2
+ x
1
2
+ x
2
2
đạt GTNN. Tìm GTNN đó.
Bài 17: Chứng minh rằng với mọi số a, b, c khác 0, tồn tại một trong các phương trình
sau phải có nghiệm:
ax
2
+ 2bx + c = 0 (1)
bx
2
+ 2cx + a = 0 (2)
cx
2
+ 2ax + b = 0 (2)
Bài 18: Cho phương trình: x
2
– (m - 1)x + m
2
+ m – 2 = 0 (1)
a) CMR phương trình (1) luôn luôn có nghiệm trái dấu với mọi giá trị của m.
b) Với giá trị nào của m, biểu thức P = x
1
2
+ x
2

2
đạt GTNN.
Bài 19: Cho phương trình: x
2
– 2(m - 1)x – 3 - m = 0 (1)
1) CMR phương trình (1) luôn có hai nghiệm với mọi giá trị của m.
2) Tìm giá trị của m để pt (1) có hai nghiệm x
1
,

x
2
thỏa mãn điều kiện:
x
1
2
+ x
2
2

≥
10.
3) Xác định giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x
1
,

x
2
thỏa mãn điều kiện:
E = x

1
2
+ x
2
2
đạt GTNN.
Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x
2
+ ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dương.
CMR: a
2
+ b
2
là một hợp số.
10
DẠNG 4: PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO.
Giải phương trình:
Bài 1: x
3
+ 2x
2
+ 2
2
x + 2
2
.
Bài 2: (x + 1)
4
= 2(x
4

+ 1)
Bài 3: 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x
2
Bài 4: 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x
Bài 5: (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144
Bài 6: (x + 2)
4
+ (x + 8)
4
= 272
Bài 7: a) (x +
2
)
4
+ (x + 1)
4
= 33 + 12
2
b) (x - 2)
6
+ (x - 4)
6
= 64
Bài 8: a) x
4
- 10x
3
+ 26x
2
- 10x + 1 = 0

b) x
4
+ 3x
3
- 14x
2
- 6x + 4 = 0
c) x
4
- 3x
3
+ 3x + 1 = 0
Bài 9: a) x
4
= 24x + 32
b) x
3
+ 3x
2
- 3x + 1 = 0
Bài 10:
198
35
=−+− xx
Bài 11:
1
253
7
23
2

22
=
++
−
+− xx
x
xx
x
Bài 12: x
2
+
( )
12
2
4
2
2
=
+x
x
Bài 13: 20
0
1
4
48
1
2
5
1
2

2
2
22
=
−
−
+






−
+
−






+
−
x
x
x
x
x
x

Bài 14: a)
4
1
7
13
3
22
−=
++
+
+− xx
x
xx
x
b)
1512
4
156
1510
22
2
+−
=
+−
+−
xx
x
xx
xx
c)

4
1
56
55
54
53
2
2
2
2
−=
+−
+−
−
+−
+−
xx
xx
xx
xx
Bài 15: a) x
2
+
( )
40
9
81
2
2
=

+x
x
b) x
2
+
( )
15
1
2
2
=
+x
x
Bài 16: a)
9
40
2
11
22
=






−
−
+







−
x
x
x
x
b)
0
1
4
2
5
1
2
1
2
2
2
22
=
−
−
−







−
−
+






+
+
x
x
x
x
x
x
c) x.
15
1
8
1
8
=







−
−
−
−
−
x
x
x
x
x
Bài 17: x
2
+
2
1






−
x
x
= 8( Đề thi HSG V1 2004)
Bài 18:
23151 −=−−− xxx

11
Bài 19:
271
33
=−++ xx
Bài 20:
21212 =−−+−+ xxxx
Bài 21: 3x
2
+ 21x + 18 + 2
277
2
=++ xx
Bài 22: a) (x - 2)
4
+ (x - 3)
4
= 1
b) x
4
+ 2x
3
- 6x
2
+ 2x + 1 = 0
c) x
4
+ 10x
3
+ 26x

2
+ 1 = 0
Bài 23: (x + 2)
2
+ (x + 3)
3
+ (x + 4)
4
= 2 ( Đề thi HSG V1 2003)
Bài 24: a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3
b) (x
2
+ 3x - 4)(x
2
+ x - 6) = 24
Bài 25: a) x
3
- 6x + 4 = 0
b) x
4
- 4x
3
+ 3x
2
+ 2x - 1 = 0
Bài 26: a) x
4
+ 2x
3
+ 5x

2
+ 4x - 12 = 0
b) x
4
- 4x
3
- 10x
2
+ 37x - 14 = 0
Bài 27:
0
4
3
10
48
3
2
2
=






−−+
x
x
x
x

Bài 28: a) Phân tích thành nhân tử: 2(a
2
+ b
2
) -5ab
b) Giải phương trình: 2(x
2
+ 2) = 5
1
3
+x
( Đề thi HSG 1998)
Bài 29:
3
53
14
5 =
−+
−
−−
x
x
x
Bài 30: x
4
- 4
3
x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000)
Bài 31:
05

2
4
2
4
=−
−
+
x
x
x
( Đề thi HSG V2 2003)
Bài 32: a) x
4
- 4x
3
- 19x
2
+ 106x - 120 = 0
b) (x
2
- x + 1)
4
- 10(x
2
- x + 1)
2
+9x
4
= 0
Bài 33: (x + 3

x
+ 2)(x + 9
x
+18) = 168x (Đề thi HSG 2005)
Bài 34: a) x
2
+ 4x + 5 = 2
32 +x
b) 3
8
3
+x
= 2x
2
- 6x + 4
c)
2
32
4
2 =
+−
+−
x
x
Bài 35:
0321
333
=+++++ xxx
Bài 36: Cho phương trình: x
4

-4x
3
+8x = m
a) Giải phương trình khi m = 5.
b) Định m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
Bài 37: Cho phương trình (x + a)
4
+ (x + b)
4
= c. Tìm điều kiện của a, b, c để phương
trình có nghiệm.
Bài 38: Giải phương trình: x
4
+ 2x
3
+ 5x
2
+ 4x - 5 = 0
Bài 39: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 4x
4
+ 8x
2
y + 3y
2
- 4y - 15 = 0.
Bài 40: x
2
+ 9x

+ 20 = 2

103 +x
Bài 41: x
2
+ 3x

+ 1 = (x + 3)
1
2
+x
Bài 42: x
2
+
2006+x
=2006
12
DẠNG 5: BẤT ĐẲNG THỨC
Bài 1) Với a, b > 0 thì
ab
ba
≥
+
2
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?
Bài 2) CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có:
≥++ ))((
2222
yxba
(ax + by)
2
.Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 3) Cho a, b, c, d > 0. Cm:
( )( )
dbcacdab ++≤+
Bài 4) CM bất đẳng thức:
( ) ( )
22
2222
dbcadcba +++≥+++
Bài 5) Cho a, b, c là các số dương cm bất đẳng thức:

2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a ++
≥
+
+
+
+
+
Bài 6) CM với mọi n nguyên dương thì:
2
1
2
1


2
1
1
1
>++
+
+
+ nnn
Bài 7) Cho a
3
+ b
3
= 2. Cmr: a + b
≤
2.
Bài 8) Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1)
a
2
+ b
2
+ c
2
= 2 (2)
CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn







−
0;
3
4
khi biễu diễn trên trục số.
Bài 9) Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5.
CMR: 2a
2
+ 3b
2

≥
5.
Bài 10) Cho a, b là hai số thỏa mãn điều kiện: a + 4b = 1.
CM: a
2
+ 4b
2

≥

5
1
. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? (Đề thi HSG 2003).
Bài 11) Chứng minh:
3
1
2222
22222

<
++−
+++−
(Đề thi HSG 2001).
Bài 12) Chứng minh:
a)
≥++ ))((
2222
yxba
(ax + by)
2

b)
2420 ≤−+−< xx
Bài 13) Cho a, b, c > 0. Cm:
2
3
≥
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
Bài 14) Cho
100

1

3
1
2
1
1 ++++=S
.
CMR: S không là số tự nhiên.
Bài 15) a) Cho x, y dương. CMR:
yxyx +
≥+
411
. Dấu bằng xảy ra khi nào?
b) Tam giác ABC có chu vi
2
cba
P
++
=
.
13
Cm:






++≥

−
+
−
+
− cbacpbpap
111
2
111

Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì?
Bài 16) a) CM x > 1 ta có:
2
1
≥
−x
x
b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của:
11
22
−
+
−
=
a
b
b
a
P
Bài 17) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác.
CM: a

2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
Bài 18) CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì
9
111
≥






++
cba
.
Bài 19) CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì:
ab + bc + ca
≤
a
2
+ b
2
+ c
2
< 2(ab + bc + ca)
Bài 20) Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2.

CMR: a
2
+ b
2
+ c
2
+ 2abc < 2.( Đề thi HSG 2004-2005).
Bài 21) Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)
2
+ ( b - 2)
2
= 5. Cm: a + 2b
≤
10.
Bài 22) Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a
2
+ b
2
= 4 + ab.
CMR:
8
3
8
22
≤+≤ ba
.
Dấu bằng xảy ra khi nào?
Bài 23) CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT:
3
211

≥
+
++
baba
Bài 24) CMR nếu:
a)
51
≤≤
a
thì
105413 ≤−+− aa
b) a + b
2;01;0 =+≥+≥ bab
thì
2211 ≤+++ ba
Bài 25) Cho biểu thức
1
4
1
1
1
3
23453434
−+−+−
−
−−+
−
−+−
=
xxxxxxxxxxx

P
CMR:
9
32
0 << P
với
1±≠∀x
.
Bài 26) a) Cho a, b, k là các số dương và
kb
ka
b
a
Cmr
b
a
+
+
<< :.1
b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì:
ba
c
ac
b
cb
a
+
+
+
+

+
< 2.
Bài 27) Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1.
Chứng minh rằng:
9
1
1
1
1 ≥






+






+
ba
(Đề thi HSG V2 2003 - 2004)
Bài 28) Chứng minh bất đẳng thức sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0:









+≥++
x
y
y
x
x
y
y
x
34
2
2
2
2
( Đề thi HSG V2 2006 - 2007)
14
DẠNG 6: CỰC TRỊ
Bài 1) Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x
2
+ y
2
= 1.
Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = x + y.
Bài 2) Cho x, y > 0, x + y = 1. Tìm GTNN của P =
2 2
1 1

1 1
x y
 
 
− −
 ÷
 ÷
 
 
Bài 3) Cho P =
( )
2
2
2 1
1
x x
x
+ +
+
. Tìm GTNN, GTLN của P và các giá trị tương ứng của x.
Bài 4) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức A = (x
4
+ 1)(y
4
+ 1) biết x,y
≥
0, x + y =
10
Bài 5) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức B = 2x + 3y biết 2x
2

+ 3y
2
≤ 5.
Bài 6) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P = x
2
+ y
2
. Biết x
2
(x
2
+2y
2
– 3) + (y
2
– 2)
2
= 1
Bài 7) Tìm GTLN và GTNN của biểu thức P =
2
2
1
1
x x
x x
− +
+ +
Bài 8) Tìm GTLN của A = x +
2 x−
Bài 9) Tìm GTLN của P =

x y z
y z x
+ +
với x, y, z > 0.
Bài 10) Tìm GTLN của P =
2 2
( 1990) ( 1991)x x− + −
Bài 11) Cho M =
3 4 1 15 8 1a a a a+ − − + + − −
a) Tìm điều kiện của a để M được xác định.
b) Tìm GTNN của M và giá trị của A tương ứng.
Bài 12) Cho ba số dương x, y, z thỏa mãn:
1 1 1
2
1 1 1x y z
+ + ≥
+ + +
. Tìm GTNN của P = x.y.z.
Bài 13) Tìm GTNN của P =
2 1
1 x x
+
−
Bài 14) Cho x, y thỏa mãn x
2
+ 4y
2
= 25. Tìm GTLN và GTNN của biểu thức
P = x + 2y.
Bài 15) Cho x, y là hai số thỏa mãn: x + 2y = 3.

Tìm GTNN của E = x
2
+ 2y
2
.
Bài 16) Cho x > 0, y > 0 thỏa mãn: x + y
≤
1. Tìm GTNN của biểu thức
P =
2 2
1
x y+
+
2
xy
+ 4xy
Bài 17) Tìm GTLN và GTNN của: P =
2
2
1
1
x x
x
+ +
+
với x bất kỳ.
Bài 18) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x + y
≤
1. Tìm GTNN của biểu thức
A =

2 2
1 2
x y xy
+
+
Bài 19) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P =
2
2
1 1
x y
x y
 
 
+ + +
 ÷
 ÷
 
 
Bài 20) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P = 2(x
4
+ y
4
) +
1
4xy
15
Bài 21) Cho x,y > 0; x + y = 1. Tìm GTNN của biểu thức P =
1 1
1 1
x y

 
 
+ +
 ÷
 ÷
 
 
Bài 22) Cho x, y là hai số dương thỏa mãn: x
2
+ y
2
= 4.
Tìm GTNN của biểu thức P =
2
2
1 1
x y
y x
 
 
+ + +
 ÷
 ÷
 
 
Bài 23) Cho ba số dương a, b, c có a + b + c = 1. Tìm GTNN của biểu thức:
E =
2 2 2
1 1 1
a b c

a b c
     
+ + + + +
 ÷  ÷  ÷
     
Bài 24) Cho a, b là hai số thực bất kỳ có tổng bằng 1. Tìm GTNN của:
P = a
3
+ b
3
Bài 25) Cho a, b là hai số dương thỏa a + b = 1.
Tìm GTNN của P =
1 1
1 1a b
+
+ +
Bài 26) Cho hai số x, y thỏa mãn xy = 2. Tìm GTNN của P =
2 2
x y
x y
+
−
Bài 27) Cho hai số dương x, y có x + y = 1. Tìm GTNN của
P = 8(x
4
+ y
4
) +
1
xy

Bài 28) Cho x, y liên hệ với nhau bởi hệ thức: x
2
+ 2xy + 7(x + y) + 2y
2
+10 = 0
Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x + y + 1
Bài 29) Tìm GTNN, GTLN của biểu thức S = x
x
+ y
y
biết
x
+
y
= 1
Bài 30) Tìm GTNN của biểu thức P =
2
2
2 2000x x
x
− +
16