De+Da HSG Toan9 huyen Yên Thành - 2011
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (117.74 KB, 5 trang )
PHÒNG GD&DT YÊN THÀNH
®Ò kiÓm tra chän ®éi tuyÓn häc sinh giái líp 9
M«n: To¸n - Thêi gian lµm bµi 120 phót
Bài 1. (2®)
Cho biểu thức:
A=
x
x
x
x
xx
x
−
+
−
−
+
−
+−
−
3
12
2
3
65
92
a, Rút gọn biểu thức A
b, Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.
Bài 2. (2®)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
B =
2
x
+
2
21 xx
−−
Bài 3. (2®)
Giải phương trình:
22
2
84
4
xx
x
−=−+
Bài 4. (3®)
Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi D, F và H lần lượt là trung điểm của AB, AC và
BC, O là giao điểm của các đường trung trực
∆
ABC; G và E tương ứng là trọng tâm các
∆
ABC và
∆
ACD. Từ G kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC tại I. Chứng minh:
a,
GH HI
AD DO
=
b,
∆
ADG ~
∆
DOE Từ đó suy ra OE
⊥
CD
Bµi 5. (1®)
Chứng minh rằng nếu tam giác mà độ dài các đường trung tuyến đều bé hơn 1 thì
diện tích tam giác đó bé hơn 0,67.
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Híng dÉn chÊm to¸n 9
C©u Néi dung §iÓm
1
a, Điều kiện :
0; 4; 9x x x≥ ≠ ≠
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 9 3 2 1
5 6 2 3
2 9 3 2 1
=
2 3
3 2
2 9 3 3 2 1 2
=
3 2
2 9 9 2 4 2
=
3 2
1 2
2 1
=
3
3 2 3 2
x x x
A
x x x x
x x x
x x
x x
x x x x x
x x
x x x x x
x x
x x
x x x
x
x x x x
− + +
= − −
− + − −
− + +
− +
− −
− −
− − + − + + −
− −
− − + + + − −
− −
+ −
− − +
= =
−
− − − −
b, A
3
4
1
−
+=
x
nguyên
3
4
−
⇔
x
nguyên
3−⇒ x
∈
Ư(4)
*
3−x
= 1
16=⇒ x
*
3−x
= -1
4=⇒ x
(loại)
*
3−x
= 2
25=⇒ x
*
3−x
= -2
1=⇒ x
*
3−x
=4
49=⇒ x
*
3−x
=- 4 : Không có x
Vậy x
∈
{1;16;25;49}
2
+ ĐK: 1- x- 2x
2
0
⇔
(x+1)(1-2x)
0
⇔
- 1 x
2
1
+ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm 1 và (1- x- 2x
2
)
.
Ta có:
2
2
1 1 2
1.(1 2 )
2
x x
x x
+ − −
≥ − −
Hay
2
2
2 2
1 2
2
x x
x x
− −
− − ≤
2
2
2 2
1 2
2 2 2
x x x x
x x
− −
⇔ + − − ≤ +
2
1 1B x⇔ ≤ − ≤
Dấu bằng xẩy ra
2
1 1 2
0
0
x x
x
x
= − −
⇔ ⇔ =
=
Vậy giá trị lớn nhất của B là 1 khi x = 0
≥
≥
≤
≤
3
22
2
84
4
xx
x
−=−+
(1)
ĐK:
04
2
≥−x
222 ≤≤ x
⇔
(2)
08
2
≥− x
222 −≤≤− x
(1)
⇔
2
2
2
2
22
2
22
8
4
)24(
8
4
4444
8
4
44
x
x
x
xx
x
xx
−=
+−
⇔−=
+−+−
⇔−=
−+
)4(26421448
2
24
22222
2
xxxxx
x
−+=−⇔−=−⇔−=
+−
⇔
(*)
Đặt
)0(4
2
≥=− ttx
(*) trở thành:
0)2)(32(06226
22
=+−⇔=−+⇔−= tttttt
⇔
2
5
4
25
4
9
4
2
3
22
±=⇔=⇔=−⇔= xxxt
(thoả mãn 2)
2−=t
(loại)
Vậy phương trình có 2 nghiệm là:
2
5
±=x
4
a,
∆
GHI ~
∆
ADO
GH HI
AD DO
⇒ =
b,
GH AD
HI DO
⇒ =
; mà DE =
2
3
DF
=
2
2
3
HC HI=
GH =
1
2
AG
GH AG AD
HI DE DO
= =
Mặt khác góc DAG bằng góc ODE
Suy ra
∆
ADG ~
∆
DOE
Góc AGD bằng góc DAO suy ra OE
⊥
CD
A
B
C
H
D
F
G
I
O
E
5
- Ký hiệu:
+ Các trung tuyến và đường cao xuất phát từ các đỉnh A, B, C tương ứng là
m
a
, m
b
, m
c
và h
a
, h
b
, h
c
+ Các cạnh đối diện với các đỉnh A, B, C tương ứng là a, b, c
+ Diện tích tam giác ABC là S
- Ta có 2S < a.h
a
= b.h
b
= c.h
c
(1)
có ah
a
< am
a
< a (2) vì m
a
< 1
Tương tự: bh
b
< b (3); ch
c
< c (4)
Từ (1), (2), (3), (4) ta có 6S < a + b + c (5)
mà a <
2
3
(m
b
+ m
c
) <
2 2 4
3 3 3
+ =
(vì độ dài các đường trung tuyến nhỏ hơn 1)
Tương tự b <
4
3
, c <
4
3
.
Vậy từ (5) suy ra S < 0,666 hay S < 0,67
Ghi chó: Mọi cách giải đúng đều cho điểm tối đa
