1- PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC CƠ BẢN
1-Phương trình sinu = a
+ a <-1 hay a > 1 : phương trình vô nghiệm
+ -1 ≤ a ≤1 : Nếu a không là giá trò đặc biệt thì nghiệm của pt là :
zk
kau
kau
au
∈
+−=
+=
⇔=



,
2arcsin
2arcsin
sin
ππ
π
Nếu a là giá trò đặc biệt ,thì biến đổi đưa pt về dạng :
zk
kvu
kvu
vu
∈
+−=
+=
⇔=




,
2
2
sinsin
ππ
π
2-Phương trình cosu = a
+ a <-1 hay a > 1 : phương trình vô nghiệm
+ -1 ≤ a ≤1 : Nếu a không là giá trò đặc biệt thì nghiệm của pt là :
zk
kau
kau
au
∈
+−=
+=
⇔=



,
2arccos
2arccos
cos
π
π
Nếu a là giá trò đặc biệt ,thì biến đổi đưa pt về dạng :

zk
kvu
kvu
vu
∈
+−=
+=
⇔=



,
2
2
coscos
π
π
3- Phương trình tanu = a Điều kiện :
zkkuu ∈+≠⇔≠ ,
2
0cos
π
π
Nếu a không là giá trò đặc biệt ta có :
zkkauau
∈+=⇔=
,arctantan
π

Nếu a là giá trò đặc biệt ,thì biến đổi đưa phương trình về dạng :

zkkvuvu
∈+=⇔=
,tantan
π
4- Phươpng trình cotu = a Điều kiện :
zkku
∈≠
,
π
Nếu a không là giá trò đặc biệt :
zkkaarcuau
∈+=⇔=
,cotcot
π
Nếu a là giá trò đặc biệt ,thì biến đổi đưa phương trình về dạng :
zkkvuvu
∈+=⇔=
,cotcot
π
BÀI TẬP
Bài 1 : Giải các phương trình
1)
1
5
2cos2 =−







π
x
2)
( )
123sin −=−x
3)
( )
33
0
45cot =− x
4)
03
6
2sin2 =−−






π
x
5)
( )
04sin
0
453cos =−+ xx
6)
01

43
2
cos2 =+−






π
x
7)
( )
( )
012tan3cossin =++ xxx
8)
01
3
2
cot3.13
2
sin
=++−



















xx
9) tan(2x+60
0
) = 10
10)












−=+
6

cot
3
2tan
ππ
xx
11)
0
4
3
3cos
6
2cos =−−+












ππ
xx
12)
( )
0
302cos

2
cos −−= x
x
Bài 2 : Giải các phương trình
1)
032
2
sin4 =−x
2) sin2x – cosx = 0 3) sin2x + 2cos
2
x = 0
4) sin
2
x + cos
2
2x = 1 5) sin2x + cos2x = 0 6) 8 sinx cosx cos2x = -
2
7) tan2x.cot3x = 2 8 ) sin
2
2x- cos
2
x = 0 9) tan3x.tan2x = 1
10)
xx cossin3 =
11)
3
1
3
2
2

cot
=
x
12) cosxcos2xcos4xcos8x =
16
1

Bài 3 : Giải phương trình :
0
2sin1
2cos
=
− x
x
3. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI THEO MỘT HÀM SỐ LƯNG GIÁC
Phương trình bậc 2 theo 1 hàm số lượng giác là pt có một trong các dạng sau :
asin
2
x + bsinx + c = 0 (1) atan
2
x + btanx + c = 0 (3)
acos
2
x + bcosx + c = 0 (2) acot
2
x + bcotx + c = 0 (4)

1

Caựch giaỷi : t n ph t bng mt trong cỏc hslg trờn,pt (1) v (2) iu kin -1 t 1 ,pt (3) v ((4) phi cú

iu kin ca tanx v cotx

BI TP
Bi 1 :Gii cỏc phng trỡnh
1) 2cos
2
x 3cosx + 1 = 0 2)
032tan)31(2
2
tan =++ xx
3)
05
2
cot6
2
cot
2
=+
xx
4)
03sin)31(2sin4
2
=++ xx
Bi 2 : Gii cỏc phng trỡnh :
1) 8cos
2
x + 2sinx - 5 = 0 2)
02cos22cos2 =+ xx

3) cos2x -

3
sinx =1 4)
( )
023sin3122cos2 =++ xx
5) 6 sin
2
3x +cos12x =14 6)
0sin2cos
2
= xx
7) cos4x + cos2x =2 8)
0332cot32tan3 =+ xx
9) 2cos
2
x sin
2
x - 4cosx + 2 = 0 10) 9sin
2
x -5cos
2
x -5sinx + 4 = 0
11) cos2x + sin
2
x +2cosx + 1 = 0 12) tanx + 2cotx = 3
13)
02
2
cos2
2
sin

2
=+
xx
14) sin
3
x+cos
3
x =sinx + cosx
15)sin
4
x + cos
4
x =
x2sin
2
1
16) 2cos
2
2x +3sin
2
x = 2
17) 2 cos
2
x = sin
4
x 18)
2
2sin2
cossin
33

x
xx

=+

19) (3-2cosx)cosx = 2cos2x -1 20)
2
sin2cos22cos
2
x
xx =+
3/ PHệễNG TRèNH BAC NHAT THEO SINX VAỉ COSX : a sinx + b cosx = c (1)

KIN THC CN NH

)cos(sin.sincos.cos
)sin(sin.coscos.sin
bababa
bababa

=
=
Gii cỏc phng trỡnh :
1)
32sin32cos3 = xx
2)
( ) ( )
130cos30sin3
00
=+ xx

3) 3sin2x + 4 cos2x = 5 4)
( )
3sin2)cos(2 =++ xx

5) sinx + cosx =
2
6)
0cos322sin
2
=+ xx
7)
( )
14cos34sin = xx
8) tan15
0
.cosx + sinx -1 = 0
9)
2
1
sin2sin
2
=+ xx
10)
2
cos1
sin1
=

+
x

x
4 /Mt s pt ỏp dng cụng thc bin i :
Vd: Gii cỏc phng trỡnh
1) sinx + sin2x + sin3x = 0 2) cos3x cos4x + cos5x = 0 (*)
3) cos3x.cos7x = sin4x.sin6x 4) cos
2
x + cos
2
2x + cos
2
3x + cos
2
4x = 2 (*)
5) 2sin2x.sinx =1 + cosx cos3x 6) cos
2
2x + cos
2
x = 1
7) 2 + cos
2
x + sin2x = 3sin
2
x 8) sinx + cos2x +sin3x + cos4x = 0
5 Tỡm h s trong khai trin ca nh thc Niuton

2

BT a)Tỡm h s ca s hng cha x
4
trong khai trin

10
1






+
x
x
b)Tỡm h s ca s hng cha x trong khai trin
20
2







x
x
a) Tỡm s hng khụng cha x trong khai trin
6
2
1
2








x
x
b) Tỡm s hng th 8 trong khai trin (1-2x)
12
c) Tỡm s hng th 6 trong khai trin
12
2
4
x
x


ữ

d) Tỡm heọ soỏ cuỷa x
8
trong khai trieồn
16
5
3
1
2x
x



ữ


6 Xỏc sut
1) Cú 4 qu cu trng , 5 qu xanh , 6 qu . Chn 3 qu .Tớnh xỏc sut chn c:
a) Ba qu cựng mu. b) Ba qu khỏc mu . c) t nht mt qu trng.
d) Khụng cú qu trng no . e) Cú ỳng mt qu trng f) t nht hai qu trng .
2) Mt bỡnh cú 16 viờn bi vi 7 bi trng ,6 bi en,3 bi .
a) Ly ngu nhiờn 3 viờn bi .Tớnh xỏc sut :
i) Ly c 3 bi . ii) Ly c 3 bi khụng iii) ly c ớt nht 1 bi
b) Ly ngu nhiờn hai bi . Tớnh xỏc sut ly c:
i) Hai bi khỏc mu. ii) Hai bi cựng mu
7/ Phộp bin hỡnh v hỡnh hc khụng gian
Bi 1 : Trong mp ta Oxy cho im M(-2;5) ,ng thng (d) :2x y + 3 = 0
v ng trũn ( C ) : x
2
+ y
2
- 2x + 4y - 4 = 0
1) Tỡm nh ca M,d qua phộp tnh tin vộc t
)1;2(=

u
2) Tỡm nh ca ( C ) qua phộp v t tõm O ,t s k = 2 .
Bi 2 : Trong mp ta Oxy cho ng thng (d) :5x 4 y + 3 = 0
v ng trũn ( C ) : x
2
+ y
2
- x - 4y - 3 = 0

3) Tỡm ta nh ca tõm ng trũn(C) qua phộp tnh tin theo vộct
( 3;4)u

=
4) Tỡm nh ca d, ( C ) qua phộp v t tõm
1
( , )
3
O
V

.
Bi 3: Trong mt phng ta Oxy cho ng trũn (C) cú phng trỡnh:
2 2
2 4 6 0x y x y+ + =
.
Tỡm nh ca (C) qua phộp tnh tin theo
v
r
(-2;5).
Bi 4: Trong mt phng ta Oxy cho ng thng d cú phng trỡnh: x-y-5=0.
Vit phng trỡnh ng thng d l nh ca d qua phộp v t t s k = -2.

Bi 5 : ( 2 im ) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh bỡnh hnh ,tõm O .
1)Tỡm giao tuyn ca hao mt phng :
a)(SAC) v (SBD)
b)(SAB) v (SCD)
2) Gi M l trung im ca SD . Tỡm giao im ca :
a) SA vi mp(MBC)
b) SO vi mp(MBC)

Bi 6: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy l t giỏc ABCD cú hai cnh i din khụng song song. Ly im M
thuc min trong tam giỏc SCD.Tỡm giao tuyn ca hai mt phng:
a. (SBM) v (SCD)
b. (ABM) v (SCD)
c. (ABM) v (SAC).
Bi 7.Cho t din ABCD.Trờn cỏc cnh AB,AC,BD ln lt ly cỏc im M,N,P sao cho MN khụng //BC, MP
khụng //AD. Tỡm cỏc giao tuyn sau:
a) (MNP)

(ABC) b) (MNP)

(ABD)
c) (MNP)

(BCD) d) (MNP)

(ACD)

3

Bài 8.Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lần lượt lấy các điểm M,N sao cho MN không //BC,trong tam
giác BCD lấy điểm I. Tìm các giao tuyến sau:
a) (MNI)

(ABC) b) (MNI)

(BCD)
c) (MNI)

(ABD) d) (MNI)


(ACD)
Bài 9.Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Tìm các giao tuyến sau:
a) (SAC)

(SBD) b) (SAB)

(SCD) c) (SAD)

(SBC)
Bài 10 Cho tứ diện ABCD.Trong 2 tam giác ABC và BCD lấy 2 điểm M,N.Tìm các giao tuyến sau:
a) (BMN)

(ACD) b) (CMN)

(ABD) c) (DMN)

(ABC)
Bài 11 Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm I ,trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm J,K.Tìm
các giao tuyến sau:
a) (ABJ)

(ACD) b) (IJK)

(ACD)
c) (IJK)

(ABD) d) (IJK)

(ABC)

Bài 12.Cho tứ diện ABCD.Trên các cạnh AB,AC lấy 2 điểmM,N; trong tam giác BCD lấy điểm P.Tìm các giao
điểm sau:
a) MP

(ACD) b) AD

(MNP) c) BD

(MNP)
Bài 13.Cho hình chóp S.ABCD có đáy không phải hình thang.Trên cạnh SC lấy một điểm E
a)Tìm giao điểm F của đường thẳng SD với mặt phẳng (ABE)
b) Chứng minh rằng 3 đường thẳng AB ,CD và EF đồng qui 5.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm M
,trong 2 tam giác BCD và ACD lần lượt lấy 2 điểm N,K.Tìm các giao tuyến sau:
a) CD

(ABK) b) MK

(BCD)
c) CD

(MNK) d) AD

(MNK)
Bài 14.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O.Gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA
và SC.Gọi (P) là mặt phẳng qua 3 điểm M,N và B
a) Tìm các giao tuyến (P) ∩ (SAB) và (P) ∩ (SBC)
b)Tìm giao điểm I của đường thẳng SO với mặt phẳng (P) và giao điểm K của đường thẳng SD với mặt phẳng
(P)
c)Xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) và mặt phẳng (SDC)
d)Xác định các giao điểm E, F của các đường thẳng DA,DC với (P). Chứng minh rằng E ,B ,F thẳng hàng

Bài 15.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành .Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và SC
a)Xác định I = AN ∩ (SBD) và J = MN ∩ (SBD)
b)Tính các tỉ số ; và
Bài 16.Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB.Gọi I và J lần lượt là trung điểm của SB và SC
a)Xác định giao tuyến (SAD) ∩ (SBC)
b)Tìm giao điểm của SD với mặt phẳng (AIJ)
c)Dựng thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (AIJ)
Bài 17.Cho tứ diện ABCD,gọi M và N lần lượt là trung điểm của AC và BC.Trên đoạn BD ta lấy điểm P sao
cho BP = 2PD.Tìm giao điểm của:
a)CD với mặt phẳng (MNP) b)AD với mặt phẳng (MNP)
Bài 18.Cho tứ diện SABC. Gọi I và H lần lượt là trung điểm của SA và AB.Trên đoạn SC ta lấy điểm K sao cho
CK = 3KS
a)Tìm giao điểm của đường thẳng BC và mặt phẳng (IHK)
b)Gọi M là trung điểm IH.Tìm giao điểm của KM với mặt phẳng (ABC)
Bài 19.Cho hình chóp S.ABCD sao cho ABCD không phải là hình thang.Trên cạnh SC lấy một điểm M
Tìm giao điểm N của đường thẳng SD với mặt phẳng (AMB)

4