BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH





NGUYỄN MINH KHẢI





BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN DẠNG GRONWALL
VÀ ỨNG DỤNG




LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC




TP. HỒ CHÍ MINH - 2006
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH


NGUYỄN MINH KHẢI

BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN DẠNG GRONWALL
VÀ ỨNG DỤNG


Chuyên ngành
: Giải Tích

Mã số
: 60 46 01


LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC



NGƯỜI HƯỚNG DẪN

: TS. TRẦN MINH THUYẾT




TP. Hồ Chí Minh - 2006

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, xin trân trọng cảm ơn TS. Trần Minh Thuyết, người đã tận tâm
hướng dẫn, chỉ bảo cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn.
Xin trân trọng cảm ơn Quý Thầy, Cô thuộc khoa Toán –Tin trường Đại học

Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh, Đại học Khoa Học Tự Nhiên và phòng sau
Đại học đã truyền đạt kiến thức và kinh nghiệm quý báu cho tôi trong suốt quá
trình học tập.
Xin trân trọng cảm ơn TS. Nguyễn Thành Long, Th.S Võ Giang Giai, Cử
nhân Phạm Thanh Sơn đã đọc luận văn và đóng góp nhiều ý kiến bổ ích.
Xin chân thành cảm ơn các bạn lớp Cao học Giải tích khoá 13, đã động viên
và nhiệt tình giúp đỡ tôi trong suốt thời gian qua.
Vì kiến thức của học viên còn nhiều hạn chế nên trong luận văn có thể có
những thiếu sót. Kính mong quý Thầy, Cô và các bạn đồng nghiệp giúp đỡ.



Nguyễn Minh Khải

1
Chương Mở đầu
Chương MỞ ĐẦU
Vào năm 1919, Gronwall [6] đã phát biểu và chứng minh kết quả sau:
Nếu
:[ , ]uhR
α
α
+→ liên tục, thỏa

0()[ ()], [, ],
α
αα
≤≤+ ∀∈ +
∫
t

ut a bus ds t h
thì

() , [ , ]
αα
≤∀∈+
bh
u t ahe t h ,
trong đó, các hằng số thực
,, 0abh≥ và
0
α
>
là cho trước.
Đây là kết quả đầu tiên để nghiên cứu nhiều bất đẳng thức tích phân dạng
Volterra. Dạng bất đẳng thức nầy là công cụ cần thiết trong việc đánh giá tường
minh cho các ẩn hàm. Từ khi bất đẳng thức nầy xuất hiện, nó đã được quan tâm
nghiên cứu ở nhiều khía cạnh khác nhau. Trong số nhiều kết quả thuộc chủ đề
nầy, bất đẳng thức Bellman [2] quen thuộc sau:
Giả sử
()
x
t và ()kt là các hàm liên tục không âm với
α
≥t
.
Nếu
a
là một hằng số,
0≥a

,và

0 () ()() , ,
α
α
≤≤+ ∀≥
∫
t
xt a ksusds t

thì

() exp () , .
α
α
⎛⎞
≤∀≥
⎜⎟
⎝⎠
∫
t
xt a ksds t
Dễ thấy rằng kết quả của Bellman tổng quát hơn kết quả của Gronwall. Vì lí
do nầy mà tại sao các bất đẳng thức thuộc loại nầy được gọi là “bất đẳng thức
Gronwall - Bellman” hay “bất đẳng thức Gronwall”. Các bất đẳng thức thuộc loại
Gronwall cung cấp một công cụ cần thiết để nghiên cứu lý thuyết phương trình
vi phân, phương trình và bất phương trình tích phân các loại (xem Gronwall [6]).
Một số ứng dụng của kết quả nầy để nghiên cứu tính ổn đònh nghiệm của các
2
Chương Mở đầu

phương trình vi phân tuyến tính và phi tuyến có thể tìm thấy trong Bellman [2].
Một số ứng dụng vào lý thuyết tồn tại và duy nhất của phương trình vi phân có
thể tìm thấy trong Bihari [3]. Trong thời gian qua nhiều tác giả đã thiết lập nhiều
bất đẳng thức tích phân thuộc loại Gronwall theo hai hay nhiều biến độc lập (xem
[4.5]). Dó nhiên, các kết quả như vậy còn có thể áp dụng vào việc nghiên cứu lý
thuyết các phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình tích phân
Volterra.
Hầu hết các vấn đề trình bày trong luận văn nầy là các kiến thức đã được
biết hay đã được nghiên cứu nên nội dung luận văn không có gì mới. Tuy nhiên
các kiến thức và kết quả trình bày trong luận văn được hệ thống lại một cách cơ
bản. Hơn nữa các chứng minh trong luận văn được trình bày chi tiết hơn và có
những giải thích rõ ràng mà trong các tài liệu khác không chứng minh hoặc bỏ
qua.
Luận văn nầy ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn
được chia thành 4 chương.
Chương 1 các kiến thức chuẩn bò.
Chương 2 chúng tôi thiết lập một số bất đẳng thức tích phân thuộc loại
Gronwall cho hàm theo hai biến độc lập, mà những tích phân nầy đều tồn tại trên
miền xác đònh của chúng.
Trong chương 3 chúng tôi giới thiệu một số dạng bất đẳng thức tích phân
thuộc loại Gronwall liên quan đến tích phân lặp mà hàm
u trong bất đẳng thức
Gronwall được thay thế bởi hàm
p
u
, và hằng số a được thay thế bởi hàm a
không âm, không giảm. Tùy theo giá trò
p thay đổi mà chúng tôi thu được các
kết quả đánh giá đòa phương hay toàn cục, bằng các phương pháp xử lý khác
nhau.

3
Chương Mở đầu
Trong chương 4 chúng tôi giới thiệu một số bất đẳng thức tích phân khác đối
với hàm cho hàm theo hai biến độc lập. Sau cùng, chúng tôi xét một số ví dụ áp
dụng các bất đẳng thức tích phân ở trên để đánh giá tính bò chận và chứng minh
sự duy nhất nghiệm của một bài toán biên.

4
Chương 1 Các kiến thức chuẩn bò
Chương 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương nầy chúng tôi trình bày và chứng minh một số bổ đề sẽ được
áp dụng trong các chương sau.
Bổ đề 1.1 (Gronwall)
Nếu
:[ , ]uhR
α
α
+→
liên tục, thỏa

0()[ ()], [, ],
α
αα
≤≤+ ∀∈ +
∫
t
ut a bus ds t h

thì


() , [ , ], , , 0.
αα
≤∀∈+ ≥
bh
ut ahe t h a b h
Chứng minh
Đặt
()
() () , .
α
α
=+ ∀≥
∫
t
vt a bus ds t
Khi đó
() 0,0 () ().
α
=≤≤vutvt
Hay

() () ()
′
=+ ≤+vt abut abvt

() ()
′
−≤vt bvt a

()

()
() () () .
−− −
′
′
=−≤
bt bt bt
vte e v t bvt ae
Tích phân trên
[,]
α
t , ta được

()
()
α
α
−− −−
≤=−
∫
t
bt bs b bt
a
vte a e ds e e
b


()
()
() () 1, [ , ].

α
αα
−
≤≤ − ∀∈ +
bt
a
ut vt e t h
b

Mặt khác, do đònh lý Lagrange, ta có
(0,1)
θ
∈
sao cho

() ( )
1( ) ,
αθαα
α
−+−
−= −
bt b h
ebte

()
() .
θα α
αα
+−
≤+− ≤

bh bh
b h e bhe
Vậy bổ đề 1.1 được chứng minh.
5
Chương 1 Các kiến thức chuẩn bò
Bổ đề 1.2 ( Bellman)
Nếu
,:[, ) [0, )uk
α
+∞ → +∞
liên tục, thỏa

() ()() , , 0,
α
α
≤+ ∀≥ ≥
∫
t
ut a ksusds t a

thì

()
() e , .
α
α
∫
≤∀≥
t
ksds

ut a t

Chứng minh
Đặt () ()() 0, .
α
α
=+ > ∀≥
∫
t
vt a ksusds t
Ta có

() , () (),
α
=≤vautvt

() () () ()().
′
=≤v t ktut ktvt
Do đó

() ()() 0.
′
−
≤vt ktvt
Suy ra

()
() ()
() () ()() 0.

αα
−−
′
⎛⎞
∫∫
⎜⎟
′
=−≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
tt
ksds ksds
evte vtktvt
Tích phân hai vế trên
[,]
α
t , ta được

()
() ( ) 0,
α
α
α
−
∫
−≤∀≥
t
ksds
evtv t


() ()
() ( ) , .
αα
α
α
∫∫
≤=∀≥
tt
ksds ksds
vt v e ae t
Hay

()
() () , .
α
α
∫
≤≤ ∀≥
t
ksds
ut vt ae t
Vậy bổ đề 1.2 được chứng minh.
6
Chương 1 Các kiến thức chuẩn bò
Bổ đề 1.3


Cho
()bt

là hàm liên tục,
()
f
t
là hàm khả tích,
()vt
là hàm khả vi

trên
[, )
α
∞

thỏa

0
() ()() (), ,
() .
α
α
′
≤+ ∀≥
⎧
⎨
≤
⎩
vt btvt ft t
vv

Khi đó


0
() exp () ()exp () , .
αα
τ
τα
⎛⎞ ⎛ ⎞
≤+ ∀≥
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
∫∫∫
ttt
s
vt v bsds f s b d ds t

Chứng minh
Nhân hai vế bất đẳng thức () ()() ()
′
≤
+vt btvt ft bởi
exp ( )
α
τ
τ
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
∫
t

bd
, ta được

()exp ( ) ()()exp () ()exp () ,
ααα
τ
τττττ
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
′
−− −≤ −
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠
∫∫∫
ttt
vt bd btvt bd ft bd

hay

()exp ( ) ()exp () .
αα
τ
τττ
⎛⎞
⎛⎞ ⎛⎞
−≤−
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
⎝⎠

∫∫
tt
d
vt bd ft bd
dt

Lấy tích phân hai vế từ
α
đến t , ta được

()exp () ( ) ()exp () .
ααα
ττ α ττ
⎛⎞ ⎛⎞
−−≤ −
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
∫∫∫
tts
vt b d v f s b d ds

Do đó

()()exp() ()exp ()exp()
αα α α
αττ ττ ττ
⎛⎞ ⎛ ⎞⎛⎞
≤+−
⎜⎟ ⎜ ⎟⎜⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠⎝⎠

∫∫ ∫ ∫
tt s t
vt v b d f s b d b d ds


() ( )exp () ()exp () ()
α
αα α
αττ ττττ
⎛⎞ ⎛ ⎞
≤++
⎜⎟ ⎜ ⎟
⎝⎠ ⎝ ⎠
∫∫∫∫
tt t
s
vt v b d f s b d b d ds

0
() exp () ()exp () , .
αα
τ
τττα
⎛⎞ ⎛⎞
≤+ ∀≥
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
∫∫∫
ttt
s

vt v b d f s b d ds t

Vậy bổ đề 1.3 được chứng minh.
7
Chương 1 Các kiến thức chuẩn bò
Bổ đề 1.4

Cho
(, ), (, ), (, )uxy axy bxy
là những hàm liên tục không âm với mọi
,
x
yR
+
∈
.
(i) Giả sử
(, )axy
là hàm không giảm theo
x
, không tăng theo
,y
với mọi
,
x
yR
+
∈
.
Nếu


0
(, ) (, ) (,)(,) , , ,
∞
+
≤+ ∀∈
∫∫
x
y
u x y a x y b s t u s t dtds x y R

thì

0
(, ) (, )exp (,) , , .
∞
+
⎛⎞
≤∀∈
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
x
y
uxy axy bstdtds xy R

(ii) Giả sử
(, )axy
là hàm không tăng với mọi

,
x
yR
+
∈
.
Nếu

(, ) (, ) (,)(,) , , ,
∞∞
+
≤+ ∀∈
∫∫
xy
u x y a x y b s t u s t dtds x y R

thì

(, ) (, )exp (,) , , .
∞∞
+
⎛⎞
≤∀∈
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
xy
uxy axy bstdtds xy R


Chứng minh
i. Đặt (, ) (, ) 0, 0.
ε
ε
ε
=+>>axy axy
Ta có

0
(, ) (, ) (,)(,) , , .
ε
∞
+
≤+ ∈
∫∫
x
y
u x y a x y b s t u s t dtds x y R

Chia hai vế cho
(, )
ε
axy
ta được,

0
(, ) 1
1(,) (,)
(, ) (, )
εε

∞
≤+
∫∫
x
y
uxy
b s t u s t dtds
axy axy


0
1
1(,) (,).
(,)
ε
∞
≤+
∫∫
x
y
b s t u s t dtds
ast

8
Chương 1 Các kiến thức chuẩn bò
Đặt
0
1
(, ) 1 (,) (,) .
(,)

ε
∞
=+
∫∫
x
y
vxy bst ustdtds
ast

Khi đó

(, )
(0, ) 1, ( , ).
(, )
ε
=≤
uxy
vy vxy
axy


1
(, ) (,) (,)
(,)
ε
∞
=
∫
x
y

vxy bxt uxtdt
axt


(,)(,)
∞
≤
∫
y
bxtvxtdt

(, ) (,) .
∞
≤
∫
y
vxy bxtdt

Do đó

(, )
(,) .
(, )
∞
≤
∫
x
y
vxy
bxtdt

vxy

Lấy tích phân hai vế từ
0 đến ,
x
ta được

00
(, )
(,) .
(, )
∞
≤
∫∫∫
xx
x
y
vsy
ds b s t dtds
vsy

Do đó

0
(, )
ln ( , ) .
(0, )
∞
≤
∫∫

x
y
vxy
bstdtds
vy

Suy ra

0
(, ) (0, )exp (,) ,
∞
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
x
y
vxy v y bstdtds

hay

0
(, ) (, )exp (,) .
ε
∞
⎛⎞
≤
⎜⎟

⎜⎟
⎝⎠
∫∫
x
y
uxy a xy bstdtds
Cho
0
ε
→ , ta có
9
Chương 1 Các kiến thức chuẩn bò

0
(, ) (, )exp (,) .
∞
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
x
y
uxy axy bstdtds
Vậy (i) được chứng minh.
ii. Đặt
(, ) (, ) 0, 0axy axy
ε
ε

ε
=+>>
Ta có

(, ) (, ) (,)(,) , , .
ε
∞∞
+
≤+ ∈
∫∫
xy
u x y a x y b s t u s t dtds x y R
Chia hai vế cho
(, )
ε
axy
ta được

(, ) 1
1(,) (,)
(, ) (,)
εε
∞∞
≤+
∫∫
xy
uxy
b s t u s t dtds
axy axy



1
1(,) (,).
(,)
ε
∞∞
≤+
∫∫
xy
b s t u s t dtds
ast

Đặt
1
(, ) 1 (,) (,) .
(,)
ε
∞∞
=+
∫∫
xy
vxy bst ustdtds
ast

Khi đó
(, )
(,)1, (,),
(, )
ε
∞= ≤

uxy
vy vxy
axy


1
(, ) (,) (,)
(,)
(, ) (,)(,)
(, ) (, ) (,)
ε
∞
∞
∞
=−
−≤
−≤
∫
∫
∫
x
y
x
y
x
y
vxy bxt uxtdt
axt
vxy bxtvxtdt
vxy vxybxtdt


Do đó

(, )
(,) .
(, )
∞
−≤
∫
x
y
vxy
bxtdt
vxy

Lấy tích phân hai vế từ
x
đến
∞
và chú ý rằng ln ( , ) 0,
∞
=vy ta được

(, )
(,) .
(, )
∞∞∞
−≤
∫∫∫
x

xxy
vsy
ds b s t dtds
vsy

10
Chương 1 Các kiến thức chuẩn bò
Do đó

(, )
ln ( , ) .
(,)
∞∞
≤
∞
∫∫
xy
vxy
bstdtds
vy

Hay

(, ) ( , )exp (,) .
∞∞
⎛⎞
≤∞
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

∫∫
xy
v x y v y b s t dtds

Khi đó
(, ) (, )exp (,) .
ε
∞∞
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
xy
uxy a xy bstdtds

Cho
0,
ε
→ ta có

()() ()
,,exp,.
xy
uxy axy bstdtds
∞∞
⎛⎞
≤
⎜⎟

⎜⎟
⎝⎠
∫∫

Vậy (ii) được chứng minh.
Bổ đề 1.4 được chứng minh.
11
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến
Chương 2 BẤT ĐẲNG THỨC TÍCH PHÂN CHO HÀM HAI BIẾN
Trong phần nầy chúng tôi thuyết lập một số bất đẳng thức tích phân thuộc
loại Gronwall cho hàm hai biến độc lập, mà những tích phân nầy đều tồn tại trên
miền xác đònh của chúng.
Bổ đề 2.1

Cho
(), (), ()ut kt bt
là hàm liên tục,
()at
là hàm khả tích,
(), ()bt kt
không
âm trên
[, ]
αβ
.
(i) Nếu

() () () () () , [ , ],
α
αβ

≤+ ∀∈
∫
t
ut at bt ksusds t

thì

() () () () ()exp () () , [ , ].
α
αβ
⎛⎞
≤+ ∀∈
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
tt
s
ut at bt asks brkrdr ds t

(ii) Nếu

() () () () () , [ , ],
β
α
β
≤+ ∀∈
∫
t
ut at bt ksusds t


thì

() () () () ()exp () () , [ , ].
β
α
β
⎛⎞
≤+ ∀∈
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
s
tt
ut at bt asks brkrdr ds t

Chứng minh
i. Đặt
() ()() , [ , ].
α
αβ
=∀∈
∫
t
vt ksusds t

Khi đó
() 0,
α
=v () () ()(), [ , ].
α

β
≤+ ∀∈ut at btvt t
Hay

(
)
() () () () () ()()
′
=≤ +v t ktut kt at btvt

() () () ()().≤+ktat ktbtvt

12
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến
Áp dụng bổ đề 1.3, chọn
0
() 0,
α
=
=vv
ta được

() ()()exp ()() , .
α
α
⎛⎞
≤∀≥
⎜⎟
⎝⎠
∫∫

tt
s
v t k s a s b r k r dr ds t

() () () () ()exp () () , .
α
α
⎛⎞
≤+ ∀≥
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
tt
s
ut at bt asks brkrdr ds t
Phần (i) được chứng minh.
ii. Đặt
() ()() , [ , ].
β
α
β
=∀∈
∫
t
vt ksusds t
Khi đó
() 0,
α
=v () () ()(), [ , ].
αβ

≤+ ∀∈ut at btvt t
Hay

(
)
() () () () () ()() ,
′
=≤ +vt ktut kt at btvt

() () () ()().≤+ktat ktbtvt
Áp dụng bổ đề 1.3, chọn
0
() 0,
β
=
=vv ta được

() () ()exp () () , .
β
β
⎛⎞
≤∀≤
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
s
tt
vt ksas brkrdr ds t

() () () () ()exp () () , .

β
β
⎛⎞
≤+ ∀≤
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
s
tt
u t a t b t a s k s b r k r dr ds t

Phần (ii) được chứng minh.
Bổ đề 2.1 được chứng minh.
Đònh lý 2.1

Cho
(,), (, ), (,), (, ), (,), (,)uxy axy bxy cxy dxy f xy
là hàm thực liên tục
không âm trên
0, 0≥≥
x
y
. Cho
()Hx
là hàm thực dương, liên tục, không giảm
trên
0,≥
x

()Wx

là hàm thực dương, liên tục, tăng và thỏa điều kiện

()()(),
(.) () (), , .
+
+≤ +
⎧
⎨
≤∀∈
⎩
Wx y Wx Wy
Wxy WxWy xy R

13
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến
Giả sử
(,), (, )axy f xy
là hàm không giảm theo biến
x
, trên
0,≥
x
cho trước
0
α
≥ ,
nếu
(,)uxy
thỏa



(,) (,) (, ) (,)(, )
α
≤+
∫
x
uxy axy bxy csyusy ds

()
0
( , ) ( , ) ( , ) , 0, 0,
α
∞
⎛⎞
+∀≥≥≥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
x
y
fxyH dstWust dtds x y
(2.1)
Khi đó

(
{
1
(,) (, ) (,) (,) ( )
−

⎡
≤+
⎣
uxy pxy axy f xyH G GC


()
)
}
0
(,) (,) (,) , , 0,
∞
⎤
+∀≥
⎦
∫∫
x
y
d s t W p s t f s t dtds x y (2.2)
trong đó

(,) 1 (,) (,)exp (,)(,) ,
α
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
xx
s

p
xy bxy csy brycrydr ds
(2.3)

()
00
(,) (,)(,) ,C dstW pstast dtds
∞∞
=
∫∫
(2.4)

()
()
0
,0,
()
=>
∫
r
ds
Gr r
WHs
(2.5)

1
G
−
là hàm ngược của
G

, với mọi
0, 0,≥≥
x
y


()
0
( ) (,) (,) (,)
∞
+
∫∫
x
y
G C d s t W p s t f s t dtds
thuộc miền xác đònh của
1
.
−
G
Chú thích

Hàm
G
xác đònh bởi (2.5) là hàm liên tục và tăng ngặt trên [0, )+∞ , do đó
tồn tại hàm ngược
1
G
−
xác đònh trên một khoảng tương ứng.

14
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến
Chứng minh
Đặt
()
0
(,) (, ) (, ) (,) (,)
x
y
z
xy axy f xyH dstW ust dtds
∞
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
(2.6)
Từ (2.1), ta được

(,) (,) (,) (,)(,) .
x
uxy zxy bxy csyusyds
α
≤+
∫
(2.7)
Ta có
(, )

z
xy
là hàm liên tục không âm theo biến
0≥
x
. Cố đònh 0≥
y
trong
(2.7) áp dụng (i) của bổ đề 2.1 vào (2.7), ta được

(,) (,) (,) (,)(,)exp (,)(,) .
α
⎛⎞
≤+
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
xx
s
uxy zxy bxy zsycsy brycrydrds
Hơn nữa
(, )
z
xy là hàm không giảm theo 0≥
x
, ta được

(,) (,)(,),uxy zxypxy≤ (2.8)
trong đó
()

,
p
xy được xác đònh bởi (2.3), từ (2.6), (2.8), ta được

(
)
(,) (,) (,) (,) (,) ,uxy pxy axy f xyHvxy≤⎡+ ⎤
⎣⎦
(2.9)
và
()
0
(,) (,) (,) .
x
y
vxy dstW ust dtds
∞
=
∫∫

Chú ý rằng
W là hàm tăng, từ (2.9) ta được

()
()
0
(, ) (,) (,) (,) (,) (,)
∞
≤⎡+⎤
⎣⎦

∫∫
x
y
vxy dstW pst ast f stH vst dtds

Từ tính chất của
W , ta có

()
0
(, ) (,) (,)(,)
∞
≤
∫∫
x
y
vxy dstW pstast dtds

()()
()
0
(,) (,) (,) (,)
∞
+
∫∫
x
y
dstW pstfst W Hvst dtds



()
00
(,) (,)(,)dstW pstast dtds
∞∞
≤
∫∫

15
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến

()()
()
0
(,) (,) (,) (,) .
x
y
dstW pstfst W Hvst dtds
∞
+
∫∫
(2.10)
Đặt
(,)rxy
là vế phải của (2.10), khi đó

()
00
(0, ) (, ) (,) (,)(,) .r y rx dstW pstast dtds C
∞∞
=∞= =

∫∫

Từ (2.10) và
(,)rxy là hàm không tăng theo 0, ( , ) ( , )≥≤yvxyrxy và

()()
()
(, ) (,) (,) (,) (,)
∞
=
∫
x
y
r xy d xtW pxt f xt W H vxt dt


( )()
()
(,) (,) (,) (,)
∞
≤
∫
y
dxtW pxtfxt WHrxt dt


()
()
()
(, ) (,) (,) (,) .

y
WHrxy dxtWpxtfxt dt
∞
≤
∫
(2.11)
Chia 2 vế của (2.11) cho
(
)
(
)
(,)WHrxy , ta được

()
()
()
(,)
(,) (,) (,) .
(,)
x
y
rxy
dxtW pxtfxt dt
WHrxy
∞
≤
∫
(2.12)
Từ (2.5) và (2.12), ta được


() ( )
(,) (,) (,) (,) .
x
y
Grxy dxtWpxtfxtdt
∞
≤
∫
(2.13)
Đặt
x
s= trong (2.13), sau đó lấy tích phân theo s từ 0 đến
x
, ta được

()() ( )
0
(,) (0,) (,) (,) (,) .
x
y
Grxy Gr y dstW pstfst dtds
∞
≤+
∫∫

Do
1−
G là hàm tăng nên

()

1
0
(, ) ( ) (,) (,) (,) .
∞
−
⎡⎤
≤+
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫∫
x
y
r x y G G C d s t W p s t f s t dtds
(2.14)
Từ (2.9) và
(,) (,)vxy rxy≤ và (2.14), ta được
16
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến

(
{
1
(,) (, ) (, ) (,) ( )
−
⎡
≤+
⎣
uxy pxy axy f xyH G GC



())
}
0
(,) (,) (,) , 0, 0.
α
∞
+⎤∀≥≥∀≥
⎦
∫∫
x
y
d s t W p s t f s t dtds x y
Đònh lý 2.1 được chứng minh.
Đònh lý 2.2


Cho
(,), (, ), (,), (, ), (,), (,)uxy axy bxy cxy dxy f xy
là hàm thực liên tục
không âm trên
0, 0≥≥
x
y
. Cho
()Hx
là hàm thực dương, liên tục, không giảm
trên
0≥
x

,
()Wx
là hàm thực dương, liên tục, tăng trên
0≥
x
và thỏa điều kiện

()()(),
(.) () (), , 0.
+≤ +
⎧
⎨
≤∀≥
⎩
Wx y Wx Wy
Wxy WxWy xy

Giả sử
(, ), (,)axy f xy
là hàm không tăng trên
0≥
x
, cho trước
0
β
≥
, nếu
(,)uxy
thỏa
(, ) (, ) (, ) (, )(, )

β
≤+
∫
x
uxy axy bxy csyusyds

()
(, ) (,) (,) , [0, ], 0.
β
∞∞
⎛⎞
+∀∈∀≥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
xy
fxyH dstWustdtds x y
(2.15)
Khi đó

(
{
1
(,) (,) (,) (,) ()
−
⎡
≤+
⎣
uxy pxy axy f xyH G GC


()
)
}
(,) (,) (,) , [0, ], 0,
β
∞∞
⎤
+∀∈∀≥
⎦
∫∫
xy
d s t W p s t f s t dtds x y (2.16)
trong đó

(,) 1 (, ) (, )exp (, )(, ) ,
s
xx
p
xy bxy csy brycrydr ds
β
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
(2.17)

() ()()
()

00
,,,,CdstWpstastdtds
∞∞
=
∫∫
(2.18)
17
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến

()
()
0
,0,
()
=>
∫
r
ds
Gr r
WHs
(2.19)

1
G
−
là hàm ngược của
G
và với mọi
,0,≥
x

y


()
( ) (,) (,) (,)
∞∞
+
∫∫
xy
G C d s t W p s t f s t dtds
thuộc miền xác đònh của
1
G
−
.
Chú thích

Hàm
G
xác đònh bởi (2.19) là hàm liên tục và tăng ngặt trên
[0, )+∞
, do đó
tồn tại hàm ngược
1
G
−
xác đònh trên một khoảng tương ứng.
Chứng minh
Đặt


()
(,) (, ) (, ) (,) (,)
xy
z
xy axy f xyH dstW ust dtds
∞∞
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
(2.20)
Từ (2.15), ta được

(,) (,) (,) (,)(,) .
x
uxy zxy bxy csyusyds
β
≤+
∫
(2.21)
Ta có
(,)
z
xy
là hàm liên tục không âm theo biến
0≥
x
. Cố đònh

+
∈
yR

trong (2.21) áp dụng (ii) của bổ đề 2.1 vào (2.21), ta được

(,) (,) (,) (,)(,)exp (,)(,) .
s
xx
uxy zxy bxy zsycsy brycrydrds
β
⎛⎞
≤+
⎜⎟
⎝⎠
∫∫

Hơn nữa
(, )
z
xy là hàm không tăng theo ,
+
∈
x
R ta được

(,) (,)(, ),uxy zxypxy≤ (2.22)
với
(,)
p

xy
được xác đònh bởi (2.17), từ (2.21), (2.22), ta được

(
)
(,) (,) (,) (,) (,) ,uxy pxy axy f xyHvxy≤⎡+ ⎤
⎣⎦
(2.23)
và
()
(,) (,) (,) .
xy
vxy dstW ust dtds
∞∞
=
∫∫

18
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến
Chú ý rằng
W
là hàm tăng, từ (2.23) ta được

()
()
(, ) (,) (,) (,) (,) (,) .
∞∞
≤⎡+⎤
⎣⎦
∫∫

xy
vxy dstW pst ast f stH vst dtds
Từ tính chất
W ta được

(,) (,) ((,)(,))
∞∞
≤
∫∫
xy
vxy dstW pstast dtds

() ()()
()
()
()
()
,,, ,
∞∞
+
∫∫
xy
dstWpstfst WHvst dtds

()
00
(,) (,)(,)d s t W p s t a s t dt ds
∞∞
≤
∫∫



()()
()
(,) (,) (,) (,) .
xy
dstWpstfst WHvst dtds
∞∞
+
∫∫
(2.24)
Đặt
(,)rxy
là vế phải của (2.24), khi đó

()
00
( , ) (, ) (,) (,)(,) .
∞∞
∞= ∞= =
∫∫
r y rx dstW pstast dtds C
Từ (2.24) và
(,)rxy
là hàm không tăng theo
,(,) (,)
+
∈
≤yRvxy rxy
và


()()
()
(, ) (,) (,) (,) (,)
∞
−=
∫
x
y
r xy dxtW pxt f xt W H vxt dt


( )()
()
(,) (,) (,) (,)
∞
≤
∫
y
dxtW pxtfxt WHrxt dt

()
()
()
(, ) (,) (,) (,) .
∞
≤
∫
y
WHrxy dxtWpxtfxt dt (2.25)

Chia 2 vế của (2.25) cho
(
)
(
)
(,)WHrxy , ta được

()
()
()()
(,)
,(,)(,).
(,)
∞
−≤
∫
x
y
rxy
dxtWpxtfxt dt
WHrxy
(2.26)
Tích phân (2.26) và từ (2.19), ta được
19
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến

()
(,) (,) (,) (,) .
∞
−≤

∫
x
y
G xy dxtW pxt f xt dt (2.27)
Đặt
x
s= trong (2.27), sau đó lấy tích phân theo s từ
x
đến
∞
, ta được

()( ) ()
(,) ( , ) (,) (,) (,) .
xy
Grxy Gr y dstW pstfst dtds
∞∞
≤∞+
∫∫

Do
1−
G là hàm tăng, ta có

()
1
(, ) ( ) (,) (,) (,) .
∞∞
−
⎡⎤

≤+
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
∫∫
xy
r x y G G C d s t W p s t f s t dtds
(2.28)
Từ (2.23), (2.28) và
(,) (,)vxy rxy
≤
, ta được

(
{
1
(,) (,) (,) (,) ()
−
⎡
≤+
⎣
uxy pxy axy f xyH G GC


())
}
(,) (,) (,) , [0, ], 0.
β
∞∞
+⎤∀∈≥

⎦
∫∫
xy
d s t W p s t f s t dtds x y
Đònh lý 2.2 được chứng minh.
Đònh lý 2.3

Cho
(,), (, ), (,), (, ), (, )uxy axy bxy cxy fxy
là những hàm liên tục không âm
trên
,0.≥
x
y

Hàm
3
:LR R
++
→
liên tục thỏa điều kiện

1
0 (,,) (,,) (,,) ( ), , 0, 0,
φ
−
≤−≤ −∀≥≥≥Lxyu Lxyv Mxyv u v xy u v
(2.29)
trong đó
()

,,
M
xyv
là hàm thực liên tục không âm trên
,, 0.≥
x
yv

Hàm
: RR
φ
++
→
liên tục và tăng ngặt,
(
)
00,
φ
=
hàm ngược
1
φ
−
của
φ
thỏa
điều kiện
() ()
(
)

111
.uv u v
φφφ
−−−
≤
, với mọi
,uv R
+
∈
.

Giả sử
(,),axy (,)
f
xy
là không giảm theo
x
R
+
∈
, cho
0
α
≥
cố đònh, nếu
hàm
(,)uxy
thỏa
20
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến


(, ) (, ) (, ) (, )(, )
x
uxy axy bxy csyusyds
α
≤+
∫


()
0
(, ) ,,(,) , , 0,
φα
∞
⎛⎞
+∀≥≥
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
x
y
fxy Lstustdtds x y (2.30)
Khi đó

(,) (,)≤uxy pxy

(,) (,)((,)
φ
+

axy f xy exy


()()
1
0
exp , , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , , ,
φ
∞
−
+
⎫
⎛⎞
⎪
×∀∈
⎜⎟
⎬
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎭
∫∫
x
y
M
stpstast pst f st dtds xy R
(2.31)
trong đó

() ()() ()()

,1 , ,exp , , ,
xx
s
p
xy bxy csy brycrydrds
α
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
(2.32)

()
0
(,) ,, (,)(,) .
x
y
e x y L s t p s t a s t dtds
∞
=
∫∫
(2.33)
Chứng minh
Đặt

()
0
(,) (, ) (, ) ,,(,)
x

y
z
xy axy f xy Lstust dtds
φ
∞
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
. (2.34)
Từ (2.30), ta được

(,) (,) (,) (,)(, ) .
α
≤+
∫
x
uxy zxy bxy csyusyds (2.35)
Ta có
(, )
z
xy
là hàm liên tục không âm theo
+
∈
x
R . Cố đònh
+

∈yR trong
(2.35) và sử dụng (i) của bổ đề 2.1 vào (2.35), ta được

(,) (,) (,) (,)(,)exp (,)(,) .
xx
s
uxy zxy bxy zsycsy brycrydrds
α
⎛⎞
≤+
⎜⎟
⎝⎠
∫∫

Hơn nữa
(, )
z
xy là hàm không giảm theo
+
∈
x
R , ta được
21
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến

(,) (,)(,)uxy zxypxy≤
, (2.36)
với
()
,

p
xy là hàm xác đònh bởi (2.32). Ta suy từ (2.34), (2.36), rằng

(
)
()
(,) (,) (,) (,) (,),
φ
≤+uxy pxy axy f xy vxy
(2.37)
và
()
0
(,) ,,(,)
x
y
vxy Lstust dtds
∞
=
∫∫
.
Từ (2.37) và giả thiết về hàm
L và hàm
φ
, ta được

()( )
()
{
0

(,) ,, (,) (,) , (,)
x
y
vxy L stpst ast f st vst
φ
∞
≤⎡+⎤
⎣
⎦
∫∫


()
(
)
}
,, (,)(,) ,, (,)(,)−+L st pstast Lst pstast dtds

()
0
,, (,)(,)
x
y
Lstpstast dtds
∞
≤
∫∫


() ()

()
1
0
,, (,)(,) (,) (,) (,) .
φφ
∞
−
+
∫∫
x
y
M
stpstast pst f st vst dtds
Do đó

()()
1
0
(, ) (, ) ,, (,)(,) (,) (,) (,) ,
φ
∞
−
≤+
∫∫
x
y
vxy exy M st pstast pst f st vstdtds
(2.38)
trong đó
(,)exy

là hàm liên tục không âm, không giảm theo
+
∈
x
R
và không
tăng theo
+
∈yR
, như trong (2.33).
Áp dụng (i) của bổ đề 1.4 vào (2.38), ta được

()()
1
0
(, ) (, )exp ,, (,)(,) (,) (,)
φ
∞
−
⎛⎞
≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
x
y
vxy exy M stpstast pst f st dtds (2.39)
Sử dụng (2.37) vào (2.39), ta được


(, ) (, )≤uxy pxy (,) (,)((,)
φ
+
axy f xy exy

()()
1
0
exp , , ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) , , .
φ
∞
−
+
⎫
⎛⎞
⎪
×∀∈
⎜⎟
⎬
⎜⎟
⎪
⎝⎠
⎭
∫∫
x
y
M
stpstast pstfst dtds xy R
22
Chương 2 Bất đẳng thức tích phân cho hàm hai biến

Đònh lý 2.3 được chứng minh.
Đònh lý 2.4

Cho
(,), (,), (, ), (,), (,)uxy axy bxy cxy fxy
là các hàm thực liên tục không
âm xác đònh cho mỗi
,.
+
∈
x
yR

Hàm
3
:LR R
++
→
là hàm liên tục thỏa điều kiện

1
0 (,,) (,,) (,,) ( ), , 0, 0.
φ
−
≤−≤ −∀≥≥≥Lxyu Lxyv Mxyv u v xy u v

trong đó
(,,)
M
xyv

là hàm thực liên tục, không âm xác đònh trên
,, 0.≥
x
yv

Hàm
: RR
φ
++
→
liên tục, tăng ngặt với
(0) 0
φ
=
,
1
φ
−
là hàm ngược của

φ

thỏa điều kiện
111
(.) () ()
φφφ
−−−
≤uv u v
, với mọi
,uv R

+
∈
.
Giả sử
(,),axy (,)
f
xy
là không tăng theo
+
∈
x
R
, cho
0
β
≥
cố đònh, nếu
hàm
(,)uxy
thỏa
(,) (,) (,) (,)(,)
x
uxy axy bxy csyusyds
β
≤+
∫


()
(,) ,,(,) , ,, , ,

φββ
∞∞
+
⎛⎞
+∈≤
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
xy
fxy Lstust dtds xy R x (2.40)
Khi đó
{
(,) (,) (,) (,)[(,)uxy pxy axy f xy exy
φ
≤+

()()
1
exp( ,, (,)(,) (,) (,) )]}, , 0,
φ
∞∞
−
×∀≥
∫∫
xy
M st pstast pst f st dtds xy (2.41)
trong đó
(,) 1 (,) (,)exp (,)(,) ,
s

xx
p
xy bxy csy brycrydr ds
β
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠
∫∫
(2.42)

()
(,) ,, (,)(,) .
xy
exy Lst pstast dtds
∞∞
=
∫∫
(2.43)
Chứng minh