1

MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 2
Chương 1. Giải tích trên thang thời gian 4
1.1. Thang thời gian……………………………………………………… 4
1.1.1. Định nghĩa thang thời gian…………………………………… …4
1.1.2. Các định nghĩa cơ bản………………………………………… 5
1.2. Không gian tôpô …………………………………………… ……….9
1.3. Hàm chính qui và hàm rd-liên tục 11
1.4. Phép toán vi phân 13
1.4.1. Định nghĩa đạo hàm Hilger……………………………… … 13
1.4.2. Tính chất của đạo hàm Hilger ………………………… ………15
1.4.3. Đạo hàm cấp cao………… ………………………… ……… 17
1.5. Phép toán tích phân…………………………………………… … 19
1.5.1. Tồn tại tiền nguyên hàm………………………………… …….19
1.5.2. Nguyên hàm……………………………………………….…… 19
1.5.3. Quy tắc xích…………………………………………….……… 21
Chương 2. Bất đẳng thức trên thang thời gian………………………………25
2.1. Các bất đẳng thức
Holder,

Cauchy- Schwarz, Minkowski 25
2.2. Bất đẳng thức Jensen…………………….…… ………… …………29
2.3. Các bất đẳng thức Gronwall, Bernoulli, Bihari…………………… ….31
2.4. Các bất đẳng thức Opial, Wirtinger……………….………………… 40
2.5. Bất đẳng thức Lyapunov………………………………… … ………46
2.6. Một số bất đẳng thức khác………………….……………… ……… 59
KẾT LUẬN…………………………………………………………………….84
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………………….85
2

MỞ ĐẦU
Lý thuyết về thang thời gian (time scale) được trình bày lần đầu tiên bởi
Stefan Hilger vào năm 1988 trong luận án Tiến sĩ khoa học của ông (dưới sự
hướng dẫn của Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các bài
toán mô tả bởi các hệ liên tục và rời rạc.
Cho đến nay đã có một số quyển sách, hàng chục luận án Tiến sĩ và hàng
nghìn bài báo nghiên cứu về thang thời gian. Giải tích (phép tính vi phân và tích
phân) trên thang thời gian đã được các tác giả nghiên cứu khá sâu rộng và đầy
đủ. Và từ đó nhiều kết quả quen thuộc trong trường hợp liên tục và rời rạc đã
được “chuyển dịch” sang thang thời gian. Chẳng hạn, đã có những kết quả rất
sâu sắc về tính ổn định, tính dao động, bài toán giá trị biên,…của hệ động lực
trên thang thời gian.
Các bất đẳng thức đóng vai trò quan trọng trong toán học nói chung, trong
nghiên cứu hệ động lực liên tục và hệ động lực rời rạc nói riêng. Hầu hết các bất
đẳng thức này đã được mở rộng sang cho thang thời gian.
Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề mà thời gian gần đây đang được nhiều
nhà toán học quan tâm là thang thời gian, đồng thời so sánh các bất đẳng thức vi
phân và sai phân với bất đẳng thức trên thang thời gian, để từ đó có cái nhìn tổng
quát hơn về bất đẳng thức, tôi đã chọn Bất đẳng thức trên thang thời gian và
Ứng dụng làm đề tài luận văn cao học của mình.
Luận văn gồm phần Mở đầu, hai chương, phần Kết luận và các Tài liệu tham
khảo.
Trong chương 1, chúng tôi nhắc lại khái niệm thang thời gian, các khái niệm
toán tử nhảy tiến, toán tử nhảy lùi, hàm hạt, các điểm trù mật và các điểm cô lập;
các khái niệm và tính chất của các phép tính vi phân, tích phân trên thang thời
gian cũng như đối chiếu kết quả trên một số thang thời gian thường gặp.
3

Chương 2 chúng tôi trình bày các bất đẳng thức cơ bản và quan trọng trên

thang thời gian như Bất đẳng thức
Holder

, Bất đẳng thức Gronwall, Bất đẳng
thức Bihari, Bất đẳng thức Opial, Bất đẳng thức Wirtinger, Bất đẳng thức
Lyapunov và một số bất đẳng thức khác; đồng thời chúng tôi cũng tham chiếu
các bất đẳng thức trên đối với các trường hợp thang thời gian liên tục và thang
thời gian rời rạc.
Để hoàn thành luận văn này, trước nhất tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu
sắc tới PGS.TS. Tạ Duy Phượng, người thầy đã dành thời gian hướng dẫn, tận
tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức, khả năng
nghiên cứu và tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn.
Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, Phòng Sau
đại học, Phòng Đào tạo, Khoa Toán-Tin Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái
Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Xin được cảm ơn Trường trung học phổ thông Quảng Hà, Tỉnh Quảng
Ninh, nơi tôi công tác, đã tạo mọi điều kiện để tôi hoàn thành nhiệm vụ học tập.
Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn đặc biệt đến những người thân, đồng
nghiệp và những người bạn đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, động viên, giúp đỡ tôi
trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn.
Thái Nguyên, tháng 04 năm 2014
Người thực hiện



Đỗ Văn Nhân


4


Chương 1
GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN
1.1. Thang thời gian
1.1.1. Định nghĩa thang thời gian
Định nghĩa 1.1 Thang thời gian (time scale) là một tập con đóng khác rỗng bất
kì trong tập hợp các số thực
.

Thang thời gian thường được kí hiệu là
.


Ví dụ 1.1
1.1.1) Các tập
0
, , ,
   
,
[1;2] [3;4],

[1;2]


trong đó

là tập các số tự
nhiên,


1,2,3, ,



còn


0
0,1,2,


là những thang thời gian.
1.1.2) Các tập
 
0
0,
2 ,2 1
k k
k k

 
 


 ,


2 2
0 0
: ,
n n  
  



z
2 :z 
 
là
những thang thời gian.
1.1.3) Cho
1

q
là một số hữu tỉ cố định. Khi đó tập hợp




2 3
0
: 1, , , ,
n
q
q n q q q  
 
cũng là một thang thời gian.
1.1.4) Cho
0


n , các số điều hòa
n

H
được xác định như sau
0
1
1
0, .
n
n
k
H H
k

 


Khi đó


0
:
n
H n 


là một thang thời gian.
1.1.5) Các tập


, \ , 0;1
  

không phải là thang thời gian vì chúng tuy nằm
trong

nhưng không phải là tập đóng trong
.


1.1.6) Mặt phẳng phức

cũng không phải là thang thời gian vì nó là tập đóng
nhưng không nằm trong
.


5

Hai thang thời gian cơ bản và rất quan trọng thường gặp trong các chứng minh
trước đây là tập số thực

và tập số nguyên
.


1.1.2. Các định nghĩa cơ bản
Định nghĩa 1.2 Cho

là một thang thời gian, với mỗi
t



ta có các định
nghĩa sau:
Toán tử nhảy tiến (forward jump) là toán tử
:


 
được xác định bởi


( ): inf , .
t s s t

  


Toán tử nhảy lùi (backward jump) là toán tử
:


 
được xác định bởi


( ): sup , .
t s s t

  



Trong định nghĩa này chúng ta quy ước
inf : sup
 

và
sup : inf ,
 

trong đó

là tập hợp rỗng.
Ví dụ 1.2
1.2.1) Cho thang thời gian
.
t


Khi đó với mọi


t
ta có




( ) inf : inf , .
t s s t t t

     



Tương tự,




( ) sup : sup , .
t s s t t t

     


Như vậy,
( ) ( )
t t t
 
 
với mọi
.
t



1.2.2) Cho thang thời gian
.



Khi đó với mọi

t


ta có




( ) inf : inf 1, 2, 3, 1.
t s s t t t t t

        


Tương tự
( ) 1
t t

 
với mọi
.
t



1.2.3) Cho thang thời gian
0
:
2
n

n
 
 
 
 

 . Ta có
1
( )
2
t t

 
và
1
( )
2
t t

 
.
6

1.2.4) Cho thang thời gian


2 2
0 0
:n n  
  

. Nếu


t
thì tồn tại số
0


n
sao cho
2

t n
hay

t n
. Ta có:
 


2
2
2
( ) ( ) 1 1
 
    
t n n t và
 



2
2
2
( ) ( ) 1 1
 
    
t n n t .
1.2.5) Cho thang thời gian


z
2 :z 
 
. Nếu


t
thì tồn tại số


z
sao
cho
2 0
 
z
t
hay
2
log


z t
. Ta có:
2
log 1
1
( ) (2 ) 2 2 2
 


   
t
z z
t t
và
2
log 1
1
1
( ) (2 ) 2 2
2
 


   
t
z z
t t
.
Định nghĩa 1.3 Cho


là thang thời gian.
Điểm
t


được gọi là điểm cô lập phải (right-scattered) nếu
( )
t t


.
Điểm
t


được gọi là điểm cô lập trái (left-scattered) nếu
( )
t t


.
Điểm
t


được gọi là điểm cô lập (isolated) nếu
( ) ( )
t t t
 

 
.
Ví dụ 1.3
1.3.1) Cho thang thời gian



thì mọi điểm
t


đều là điểm cô lập.
1.3.2) Cho thang thời gian
0
:
2
n
n
 
 
 
 

 (xem ví dụ 1.2.3). Ta có điểm
0
t


là điểm cô lập phải, và mọi



t
,
0
t

đều là điểm cô lập.
1.3.3) Cho thang thời gian


z
2 :z 
 
(xem ví dụ 1.2.5). Ta có
1
( ) ( ) 2
2
t t t t t
 
   
với mọi
t


. Do đó mọi điểm
t


đều là điểm cô
lập.



7

Định nghĩa 1.4 Cho

là thang thời gian.
Điểm
t


được gọi là điểm trù mật phải (right-dense) nếu
( )
t t


.
Điểm
t


được gọi là điểm trù mật trái (left-dense) nếu
( )
t t


.
Điểm
t



được gọi là điểm trù mật (dense) nếu
( ) ( )
t t t
 
 
.
Ví dụ 1.4
1.4.1) Cho thang thời gian



thì mọi điểm
t


đều là điểm trù mật.
1.4.2) Cho thang thời gian
0,
[2 ,2 1]
k k
k k

 




 . Ta có
Nếu

(2 ,2 1)
t k k
 
thì
( ) ( )
t t t
 
 
nên
t
là điểm trù mật.
Nếu
2 1
t k
 
thì
( ) 1 2 2
t t k t

    
và
( )
t t


nên
t
là điểm cô lập phải
và là điểm trù mật trái.
Nếu

2
t k

thì
( ) 2
t t k

 
và
( ) 1 2 1
t t k t

    
nên
t
là điểm cô lập trái
và là điểm trù mật phải.
1.4.3) Cho thang thời gian


0
:
n
H n 


(Xem ví dụ 1.1.4). Ta có
1
1
1

1 1
( )
1
n
n n n
k
H H H
k n




   


,
1
1
1
1 1
( )
n
n n n
k
H H H
k n





   

và


0 0
H H

 .
Suy ra
0
H
là điểm trù mật trái và cô lập phải. Mọi điểm
0
n
H H

của

đều là
điểm cô lập.
1.4.4) Cho
1
q

, ta xác định


: :
k

q q k 


và
 
: 0 .
q q 
 
Xét
.
q




Ta có




1
( ) inf : 1, .
n m m
t q n m q q q qt


      

8


nếu
m
t q
 

và rõ ràng là


0 0.


Vì vậy ta được


t qt


và
 
t
t
q


với mọi
.
t

 


Do đó 0 là điểm trù mật phải và mọi điểm khác trong

đều là điểm cô lập.
Ta có bảng tóm tắt 1.1
t
là điểm cô lập phải
( )
t t



t
right-scattered
t
là điểm trù mật phải
( )
t t



t
right-dense
t
là điểm cô lập trái
( )
t t



t

left-scattered
t
là điểm trù mật trái
( )
t t



t
left-dense
t
là điểm cô lập
( ) ( )
t t t
 
 

t
isolated
t
là điểm trù mật
( ) ( )
t t t
 
 

t
dense
Bảng 1.1
Bảng 1.2 dưới đây mô tả hình ảnh hình học của các điểm

1
t
: Điểm trù mật
2
t
: Điểm trù mật trái và cô lập phải
3
t
: Điểm trù mật phải và cô lập trái
4
t
: Điểm cô lập

Bảng 1.2
1
t


2
t


●
● ●
●
4
t


3

t

●
9

Định nghĩa 1.5 Cho

là thang thời gian. Hàm hạt (grainiess function) là hàm


: 0;

 

được xác định bởi công thức
( ): ( )
t t t
 
 
.
Ví dụ 1.5
1.5.1) Cho thang thời gian



thì
( ) 0


t

với mọi
t


.
1.5.2) Cho thang thời gian



thì
( ) 1


t
với mọi
t


.
Định nghĩa 1.6 Cho

là thang thời gian và hàm
:
f

 
. Ta kí hiệu hàm
hợp của f và
:



 
là :f


 
được xác định theo công thức
( ) ( ( )).
f t f t



Ví dụ 1.6
1.6.1) Cho thang thời gian



thì
( ) ( )
f t f t

 với mọi
t


.
1.6.2) Cho thang thời gian




thì
( ) ( 1)
f t f t

 
với mọi
t


.
1.2. Không gian tôpô
Để hiểu rõ hơn các khái niệm liên tục, đạo hàm, tích phân trên thang thời
gian, sau đây chúng ta nhắc lại một vài kiến thức cơ bản nhất của tôpô đại
cương.
Định nghĩa 1.7 Cho tập hợp
X
. Giả sử

là một họ nào đó các tập con của
.
X

Họ

được gọi là một tôpô trên tập
X
(hay
X
được trang bị một tôpô


) nếu
các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
1) Tập

và tập
X
là các phần tử của họ

.
2) Hợp của một họ con tùy ý các phần tử của họ

là một phần tử của họ

.
3) Giao của hai phần tử tùy ý của họ

là một phần tử của họ

.
10

Cặp


,

X , trong đó

là tôpô đã cho trên
,

X
được gọi là một không gian tôpô.
Giả sử


,

X là một không gian tôpô,

M X
là một tập con nào đó.
Tôpô cảm sinh

M
trên
M
từ

được định nghĩa như sau.
Tập mở trong

M
là tất cả các tập có dạng
,
M
A M A
 
trong đó



A
. Khi ấy


: ,
   
 
M M M
A A M A A là một tôpô trên
M
.
Thật vậy ta có:
1) Vì

và
X
đều thuộc

nên suy ra

và
M M X
 
đều thuộc
.

M

2) Giả sử
1 2

,
V V
là hai phần tử bất kì của

M
. Khi ấy tồn tại
1 2
,


U U sao cho
1 1
 
V M U
và
2 2
 
V M U
. Ta có






1 2 1 2 1 2
       
V V M U M U M U U
.
Vì

1 2

 
U U nên suy ra
1 2

 
M
V V (theo định nghĩa tập

M
).
3) Giả sử





I
V là một họ bất kì các tập thuộc

M
. Khi đó ta có


  
  
  
   
  

I I I
V M U M U
với ,

 
  
U I
.
Vì






I
U nên suy ra






M
I
V .
Từ 1), 2), 3) suy ra

M
là một tôpô và ta gọi


M
là tôpô cảm sinh từ

trên
M
.
Trong luận văn này ta luôn giả thiết rằng thang thời gian

được trang bị một
tôpô cảm sinh từ tôpô thông thường của tập số thực (tôpô thông thường trên tập
số thực

là tôpô tạo bởi các khoảng mở cùng với giao hữu hạn và hợp bất kì
của chúng), nghĩa là các tập mở của

là giao của các tập mở trong

với
.


Các khái niệm lân cận, giới hạn, được hiểu là lân cận, giới hạn trong tôpô
cảm sinh.



11

1.3. Hàm chính qui và hàm rd-liên tục


Định nghĩa 1.8 Hàm
:
f



được gọi là chính qui nếu giới hạn phải của nó
tồn tại (hữu hạn) tại mọi điểm trù mật phải trong

và giới hạn trái của nó tồn
tại (hữu hạn) tại mọi điểm trù mật trái trong

.
Định nghĩa 1.9 Hàm
:
f



được gọi là rd-liên tục nếu nó liên tục tại mọi
điểm trù mật phải trong

và giới hạn trái tồn tại (hữu hạn) tại các điểm trù mật
trái trong

.
Ví dụ 1.7 Toán tử nhảy tiến
:



 
là rd-liên tục.
Không gian các hàm rd-liên tục được kí hiệu bởi một trong các kí hiệu sau:


( , )
rd rd rd
C C C 

 
.
Hàm rd-liên tục
:
f



được gọi là hồi quy (regressive) nếu
1 ( ) ( ) 0,
t f t t

   

.
Ta kí hiệu tập tất cả các hàm rd-liên tục và hồi quy bởi một trong các kí hiệu sau
( ) ( , ).

  
R = R R


Với hai hàm hồi quy
, :
p q



ta xác định phép toán
: ;
p q p q pq

   

: ;
1
p
p
p

 





: .
p q p q
 
 


Nhận xét 1.1 Tập tất cả các hàm rd-liên tục và hồi quy
R
cùng với phép toán
cộng

ở trên tạo thành một nhóm Abel. Thật vậy ta có:
1)


R
, ở đây

là hàm số xác định bởi
( ) 0
t


với mọi
t


. Suy ra

 
R
.
2) Giả sử
,
p q


R
tức là
1 ( ) ( ) 0
t p t

 
và
1 ( ) ( ) 0
t q t

 
. Ta có

p q p q pq

   
và
1 ( ) (1 )(1 ) 0
p q pq p q
   
      
. Suy ra

p q
 
R
. Do đó
R
là đóng đối với phép toán cộng


.
3) Cho
, ,
p q r

R
. Ta có:
12






 
 
 
 
.
p q r p q pq r
p q pq r p q pq r
p q r qr p q r qr
p q r qr
p q r

  
  

     
      

      
   
  

4) Với mọi
p

R
ta có
p p p p
   
    
nên

là phần tử trung hòa
của
R
.
5) Với mọi
p

R
ta có








 
1 1
1
( ) .
1
p p p
p p
p p
p p
p p
p
p p
p p
p
p


 



   
 
  
 
 
     

  


Nên với mỗi
p

R
thì
p

là phần tử đối của
p
.
6) Với moi
,
p q

R
. Ta có
,
p q p q pq q p qp q p
 
        

Nghĩa là phép toán

có tính chất giao hoán.
Từ đó suy ra
R
là một nhóm Abel.
Tập tất cả các hàm rd-liên tục thỏa mãn
1 ( ) ( ) 0
t f t


 
với mọi
t


được
kí hiệu là
,


tức là


:1 ( ) ( ) 0, .
p t p t t


     

R R

Dễ thấy


là một nhóm con của
R
([6], trang 67).
Sau đây ta xét một số tính chất của hàm chính quy và hàm rd-liên tục.
Định lí 1.1 (Theorem 1.60, [6]) Giả sử

:
f



.
1) Nếu
f
là hàm liên tục thì
f
là rd-liên tục.
2) Nếu
f
là rd-liên tục thì
f
là hàm chính quy.
13

3) Nếu
f
là hàm chính quy hoặc rd-liên tục thì
f

cũng có tính chất đó.
4) Nếu
f
liên tục và
:
g




là chính quy hoặc rd-liên tục thì
f g

cũng
có tính chất đó.
Chứng minh Xem [6], trang 23-25.

Giải tích trên thang thời gian (phép toán vi phân, tích phân) đã được trình bày
trong [6]. Đây là sự mở rộng của giải tích trên tập số thực (thang thời gian liên
tục


).
1.4. Phép toán vi phân
1.4.1. Định nghĩa đạo hàm Hilger
Định nghĩa 1.10 Cho thang thời gian

. Ta kí hiệu tập


như sau


\ sup , s
;
:
.
up

, sup

 



 


  



Định nghĩa 1.11 Giả sử
:
f



và
t



. Delta đạo hàm (đạo hàm Hilger)
của hàm
f
tại điểm
t




là một số (nếu nó tồn tại), kí hiệu là
( )
f t

, nếu với
mỗi
0


cho trước tồn tại một lân cận
U
của
t
(nghĩa là,


,U t t
 
   


với một

nào đó) sao cho với mọi
s U

ta có
 



 
( ) ( ) ( ) ( ) .
f t f s f t t s t s
   

 
    
 

Định nghĩa 1.12 Hàm
f
được gọi là

-khả vi (ngắn gọn, khả vi) trên


nếu
nó có đạo hàm tại mọi điểm
.
t




Sau đây ta xét một ví dụ tính đạo hàm Hilger trên thang thời gian.
Ví dụ 1.8 Cho thang thời gian

bất kì.

1.8.1) Nếu
:

 
f
,
( ) ,
f t
 
 

với mọi



t
thì
( ) 0
f t



.
t

 


14


Thật vậy, ( )f t t


  

nên


( )f t
 


t

 

.
Với mọi
0,
s U

 
ta có






 

( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ). ( )
( ). ( ) ( ) .
f t f s f t t s f t t s
f t t s t s
    
  
 

      
   

Chia cả hai vế cho
( )
t s


ta được
( ) , 0.
f t
 

  

Suy ra
( ) 0
f t


với mọi




t
.
1.8.2) Nếu
:

 
f
,
( )
f t t

với mọi



t
thì
( ) 1
f t



t

 

.
Thật vậy, với mọi

0,




U t
 sao cho với mọi


s U t
 ta có






( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) .
f t f s f t t s t s f t t s t s
     
 
        

Chia cả hai vế cho
( )
t s


ta được
1 ( ) , 0.

f t
 

   

Suy ra
( ) 1
f t


với mọi



t
.
1.8.3) Giả sử
:

 
f
và
2
( )

f t t

t

 


. Khi ấy
( ) ( )


 
f t t t

t

 

.
Thật vậy, với mọi
0,





U t
 sao cho với mọi


s U t
 ta có







2 2
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) s ( ) ( ) ( ) .
f t f s f t t s t f t t s t s
     
 
        

Chia cả hai vế cho
( )
t s


ta được


( ) ( ) , 0.
t s f t
  

    

Suy ra


( )
f t t t



 
với mọi



t
.
15

Nếu



thì
( )


t t
. Do đó
( ) 2 ( )


 
f t t f t
.
Nếu

 
thì
( ) 1


 
t t
. Do đó
( ) 2 1 ( ),
f t t f t

    trong đó




: 1
f f t f t
    là sai phân tiến của hàm
f
tại
.
t

Ví dụ này chỉ ra rằng,

đạo hàm phụ thuộc vào hàm nhảy tiến
( )
t

của thang
thời gian

, tức là phụ thuộc vào cấu trúc của thang thời gian


.
1.4.2. Tính chất của đạo hàm Hilger
Định lí 1.2 (Theorem 1.16, [6]) Xét hàm số
:
f



và
t



. Khi đó ta có:
1) Nếu
f
là

-khả vi tại
t



thì
f
liên tục tại
t
.
2) Nếu

f
liên tục tại
t



và
t
là điểm cô lập phải thì
f
là

-khả vi tại

t



và
( ( )) ( )
( ) .
( )
f t f t
f t
t







3) Nếu
t



là điểm trù mật phải thì
f
là

- khả vi tại
t



khi và chỉ khi
tồn tại giới hạn hữu hạn
( ) ( )
lim
s t
f t f s
t s



và khi ấy
( ) ( )
( ) lim
s t
f t f s

f t
t s





.
4) Nếu
f
là

-khả vi tại
t



thì
( ( )) ( ) ( ) ( )
f t f t t f t
 

  .
Chứng minh Xem [6], trang 6-7.
Nhận xét 1.2 Từ Định lí 1.2 ta có
1) Nếu



thì mọi điểm

t


là điểm trù mật phải. Do đó
f
là

-khả vi tại
t


khi và chỉ khi tồn tại giới hạn hữu hạn
( ) ( )
lim
s t
f t f s
t s



và khi ấy
( ) ( )
( ) lim ( )
s t
f t f s
f t f t
t s





 

, tức là

-đạo hàm trùng với đạo hàm thông
thường.
2) Nếu



thì mọi điểm
t


là điểm cô lập. Do đó
f
là

-khả vi tại mọi
điểm
t


và
16

( ( )) ( ) ( 1) ( )
( ) ( 1) ( ): ( )
( ) 1

f t f t f t f t
f t f t f t f t
t



  
      
,
tức là

-đạo hàm trùng với sai phân tiến của
f
tại
t
.
Như vậy, khái niệm delta đạo hàm thống nhất hai khái niệm đạo hàm và sai
phân thông thường. Đây là kết quả hết sức quan trọng mà Hilger đã đạt được
nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ động lực liên tục và hệ động lực
rời rạc.
Ta tiếp tục tìm hiểu các tính chất khác của đạo hàm Hilger qua định lí sau.
Định lí 1.3 (Theorem 1.20, [6]) Cho các hàm số
:
f



và
:
g




là các
hàm

-khả vi tại
t



. Khi đó ta có:
1) Hàm
:
f g
 


là

-khả vi tại
t



và


( ) ( ) ( )
f g t f t g t


 
   .
2) Với hằng số

bất kì thì hàm
:
f


 
là khả vi tại
t



và


( ) ( )
f t f t
 


 .
3) Hàm fg
:




là

-khả vi tại
t



và


( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ))
fg t f t g t f t g t f t g t f t g t
 

   
    .
4) Nếu
( ) ( ( )) 0
f t f t


thì
1
f
là

-khả vi tại
t




và
1 ( )
( )
( ) ( ( ))
f t
t
f f t f t



 
 
 
 
.
5) Nếu
( ) ( ( )) 0
g t g t


thì
f
g
là

-khả vi tại
t




và
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ( ))
f f t g t f t g t
t
g g t g t


 
 


 
 
.
Chứng minh Xem [6], trang 8-9.
17

Ta có bảng so sánh 1.3

bất kì

 


 




. .
k f k f



 
. .
k f k f



( . ) .
k f k f
  



f g f g

 
  

 
f g f g

 
  




f g f g
     



. . .
f g f g f g


 
 
 
. . .
f g f g f g

 
 


. . . ( 1)
f g f g f g t
     

. .
.
f f g f g
g g g



 
 


 
 

2
. .
f f g f g
g g

 
 


 
 

. .
. ( 1)
f f g f g
g g g t
 
  
 
 

 


Bảng 1.3
1.4.3. Đạo hàm cấp cao
Định nghĩa 1.13 Giả sử :f




là hàm khả vi trên


và
2
:f





là
hàm khả vi trên
2


với
2
( )
  

 
. Delta đạo hàm cấp hai (được viết là

f

) của hàm
f
là delta đạo hàm của hàm
f

, và được tính theo công thức


f f

 
 .
Ví dụ 1.9 Cho thang thời gian

bất kì. Biết
:

 
f
và
( ) .
f t t

Tính
f

.
Theo Ví dụ 1.8.2 ta có

( ) 1
f t



t

 

. Lại theo Ví dụ 1.8.1 ta suy ra


 
( ) ( ) 1 0
f t f t


 
  

t

 

.
18

Ví dụ 1.10 Cho thang thời gian
0
:

2
n
n
 
 
 
 

 và
2
( )
f t t

. Theo Ví dụ 1.2.3
ta có
1
( )
2
t t

 
. Lại theo Ví dụ 1.8.3 thì
( ) ( )


 
f t t t
. Vậy
1
( ) 2

2
f t t

 
.
Coi
1
( ) 2 2 ( ) ( )
2
f t t t g t


    với
( )
t t


và
( ) 1
g t

. Áp dụng khẳng định
1) và 2) của Định lí 1.3, sau đó áp dụng
( ) 1
t



và
( ) 0

g t


(Ví dụ 1.8.1 và
1.8.2) ta được
     
1
( ) 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) ( )
2
f t t t g t t g t
 

  

 
     
 
 






2 ( ) ( ) 2.1 0 2.
t g t

 
    


Tương tự như định nghĩa delta đạo hàm cấp hai, ta có thể định nghĩa delta đạo
hàm cấp
n
như sau.
Định nghĩa 1.14 Cho :f




có đạo hàm cấp
1
n

,
1
n
f


là hàm khả vi
trên
n


với


1n n

 


  thì delta đạo hàm cấp
n
(được viết là
n
f

) của hàm
f
là delta đạo hàm của hàm
1
n
f


, được tính theo công thức


1n n
f f


 
 .
Định nghĩa 1.15 Hàm liên tục
:
f




gọi là tiền khả vi trên miền
D
nếu các
điều kiện sau đồng thời thỏa mãn
1)
D



;
2)
\
D


không chứa điểm cô lập phải của D;
3)
f
khả vi với mọi
.
t D


19

1.5. Phép toán tích phân
1.5.1. Tồn tại tiền nguyên hàm
Định lí 1.4 (Theorem 1.70, [6]) Nếu hàm
:
f




là chính qui thì tồn tại hàm
F
là tiền khả vi trên miền khả vi
D T

 sao cho
( ) ( )
F t f t

 với mọi
.
t D


Chứng minh. Xem [6], trang 319-321.
Ta gọi một hàm
F
như trong Định lí 1.4 là tiền nguyên hàm của
f
.
Định nghĩa 1.16 Giả sử
:
f



là hàm chính quy và

F
là tiền nguyên hàm
của
f
. Tích phân không xác định của hàm
f
là
( ) ( )
f t t F t C
  

,
C
là hằng số.
Ví dụ 1.11
1.11.1) Nếu



thì
( ) ( )d ( )
f t t f t t F t C
   
 
với
C


.
1.11.2) Nếu


 
thì
1
1 1
t t t
t
a a a
a
a a


 

 
 
 
 
. Vậy
1
t
t
a
a t C
a
  


.
Định nghĩa 1.17 Giả sử

:
f



là hàm chính quy và
F
là tiền nguyên hàm
của
f
. Tích phân xác định của hàm
f
là
( ) : ( ) ( )
t
s
f F t F s
 
  

, với mọi
,
s t


.
1.5.2. Nguyên hàm
Định nghĩa 1.18 Một hàm
:
F




được gọi là nguyên hàm của
:
f




trên


nếu
( ) ( )
F t f t

 , với mọi
t



.
20

Định lí 1.5 (Theorem 1.74, [6]) Mọi hàm rd-liên tục đều có nguyên hàm. Trong
trường hợp riêng, nếu
0
t



thì nguyên hàm
F
của hàm
f
xác định bởi công
thức
0
( ) ( )
t
t
F t f
 
 

với
t


.
Chứng minh Xem [6], trang 27.

Định lí 1.6 (Theorem 1.75, [6]) Nếu
rd
f C

và
t




thì
( )
( ) ( ) ( )
t
t
f t f t

  
 

.
Chứng minh Xem [6], trang 28.

Định lí 1.7 (Theorem 1.76, [6]) Nếu
0
f


thì
f
là hàm không giảm.
Chứng minh Xem [6], trang 28.

Định lí 1.8 (Theorem 1.77, [6]) Nếu
, ,
a b c


,




và ,
rd
f g C

thì
1)
 
( ) ( ) ( ) ( )
b b b
a a a
f t g t t f t t g t t
     
  
.
2)
 
( ) ( )
b b
a a
f t t f t t
 
  
 
.
3)
( ) ( )
b a

ba
f t t f t t
   
 
.
4)
( ) ( ) ( )
a a
b c b
c
f t t f t t f t t
    
  
.
21

5)
   
( ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
b b
a a
f t g t t fg b fg a f t g t t

 
    
 
.
6)
( ) 0
a

a
f t t
 

.
7) Nếu
( ) ( )
f t g t
 trên


,
a b
thì
( ) ( )
b b
a a
f t t g t t
  
 
.
8) Nếu
( ) 0
f t

trên


,
a b

thì
( ) 0
b
a
f t t
 

.
Chứng minh Xem [6], trang 29.

Định lí 1.9 (Theorem 1.79, [6]) Cho
,
a b


, và
rd
f C

.
1) Nếu



thì
( ) ( )
b
a
b
a

f t t f t
d
t
 
 
.
Đây chính là kí hiệu tích phân Riemann thông thường.
2) Nếu

 
thì
1
( ) ( )
b
b
t a
a
f t t f t


 


với
a b

.
Chứng minh Xem [6], trang 30.

1.5.3. Quy tắc xích

Nhận xét 1.3 Ta đã biết công thức đạo hàm của hàm hợp trên


   
( ) ( ) ( ).
f g t f g t g t

 



Tuy nhiên, như ví dụ dưới đây chỉ ra, quy tắc này không còn đúng cho thang thời
gian bất kì.
Ví dụ 1.12
Giả sử

 
và
, :
f g

 
,
2
( ) , ( ) 2
f t t g t t
 
.
22


Ta có
( ) 1
t t

 
,
( ) ( ) 2 1
f t t t t


   
và
( ) 2
g t


. Lại có


2
( ) ( ( )) (2 ) 4
f g t f g t f t t
  

.
Do đó
 


 

2
( ) 4 4 t ( ) 4(2 1) 8 4
f g t t t t t



      
 .
Trong khi đó


( ) 2 ( ) 1 4 1
f g t g t t

   
và


( ) ( ) 8 2
f g t g t t
 
 
.
Vì vậy ta có




( ) ( ) ( )
f g t f g t g t


 


, với mọi
t


.
Ví dụ 1.13
Giả sử

 
và
, :
f g

 
,
2
( ) ( )
f t g t t
 
. Ta có
( ) ( ) ( ) 2 1
f t g t t t t

 
    
(xem Ví dụ 1.5).

Lại có


2 4
( ) ( ( )) ( )
f g t f g t f t t
  

. Suy ra
 






 


     
2
4 2 2 2 2 2
2
2
3 2
( ) . ( )
2 1 1 2 1
4 6 4 1.
f g t t t t t t t t
t t t t

t t t

   

   
    
   


Trong khi đó thì


2
( ) 2 ( ) 1 2 1
f g t g t t

   

và






2 3 2
( ) ( ) 2 1 2 1 4 2 2 1
f g t g t t t t t t
 
      

.
Vì vậy ta có




( ) ( ) ( )
f g t f g t g t

 


, với mọi
t


.
Tuy nhiên, ta vẫn có Định lí sau.

Định lí 1.10 (Theorem 1.87, [6]) Giả sử
:
g

 
là hàm liên tục theo tôpô
trong

,
:
g




là hàm

-khả vi trên


và
:
f



là hàm khả vi liên
tục. Khi ấy tồn tại hằng số


, ( )
c t t

 sao cho




( ) ( ) ( )
f g t f g c g t







23

Chứng minh Xem [6], trang 31-32.
Ví dụ 1.14
Cho

 
,
2
( ) , ( ) 2 ,
f t t g t t
 
tìm trực tiếp giá trị
c
đảm bảo bởi Định lí 1.10
sao cho




(3) ( ) (3).
f g f g c g







Sử dụng các tính toán ở Ví dụ 1.12 thì phương trình này trở thành


28 4 2.
c

Giải ra ta được
 
 
7
3, 3 3,4
2
c

   
 
thỏa mãn Định lí 1.10.
Nhận xét 1.4 Nếu

 
thì


t t


. Khi ấy ta có
   

( ) ( ) ( )
f g t f g t g t

 


là
công thức quen thuộc.
Định lí 1.11 (Theorem 1.90, [6]) Cho
:
f



là hàm liên tục khả vi và
:
g



là

-khả vi. Khi ấy
:
f g

 

là


-khả vi và ta có
 
 
1
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f g t f g t h t g t dh g t


 


 

 
 





 .
Chứng minh Xem [6], trang 32-33.
Ví dụ 1.15
Cho
:
g

 
và

:
f

 
được xác định bởi
2
( )
g t t

và


( ) exp .
f x x

Khi đó


2
2
( ) 1
g t t t

  
và


( ) exp .
f x x


 Áp dụng Định lí 1.11 ta có
 
 
1
0
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f g t f g t h t g t dh g t


 


 

 
 







   
 
 
 
 
 
1 1

2 2
0 0
2 1 2 1 2exp exp 2exp1 1
t t h t dh t t h t dh
      
 


 
 
 
 
1
2
0
1
exp e2 1 2xp 1
2 1
t t h t
t
 
  
 
 


24


 

 
 
 
 
2 2
1
exp ex2 1 2 1 1 2 1
p exp exp .
1
2 1
t t t t t
t

     
 

  
 

Mặt khác, tính sai phân
f

ta được
 


 


 



 




     
 
2
2
2 2 2
1 ex 1
2 1 2 1 1
p exp
exp exp exp exp .
t t
t t t t
f g t f g t f t
t
g     
  


  

 


Như vậy, ta có







( ) .
f g t f g t

 


Ta có bảng tổng kết và so sánh 1.4
Thang thời gian






Toán tử nhảy lùi
( )
t


t

1
t



Toán tử nhảy tiến
( )
t


t

1
t


Hàm hạt
( )
t


0 1
f
là rd-liên tục
f
là liên tục Mọi hàm
f

Đạo hàm
( )
f t


( )

f t


( )
f t


Tích phân
( ) ( )
b
a
f t t



( ) ( )
b
a
f t d t


1
( )
b
t a
f t



(nếu

a b

)
Tích phân từng phần
trong



( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ( )) ( ).




 
 


b
a
b
a
f t g t t
fg b fg a
f t g t t

Tích phân từng phần
trong


.
Nếu
T


thì

( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( )) ( ).


 




b
a
b
a
f t g t t
fg b fg a
f t g t d t

Tích phân từng phần
trong

.
Nếu

T


thì

1
( ) ( )
( )( ) ( )( )
( ) ( ).




 
 


b
t a
b
t a
f t g t
fg b fg a
g t f t

Bảng 1.4
25

Chương 2
BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN THANG THỜI GIAN

2.1. Các bất đẳng thức
Holder

, Cauchy- Schwarz, Minkowski
Trước khi phát biểu và chứng minh Bất đẳng thức
Holder

trên thang thời gian
ta xét một bổ đề cơ bản sau đây.
Bổ đề 2.1 Cho
,
p q
là các số thực,
1
p

và
1
p
q
p


. Với mỗi cặp số thực
không âm
,
 
bất kỳ, ta luôn có bất đẳng thức
1 1
p q

p q
 
 
 
.
Chứng minh Lưu ý đầu tiên là nếu một trong hai hoặc cả hai số
,
 
bằng 0 thì
bất đẳng thức cần chứng minh là luôn đúng.
Vì vậy giả sử
, 0

 
. Khi đó ta có
1 1 1 1 1 1
exp ln exp ln ln
1 1
exp ln ln
p q p q p q
p q
     
 
 
   
   
   
   
 
 

 
   
 
 
 
 
 


   
1 1
exp ln ln
 
 
p q
(vì hàm
x
e
là hàm lồi)

.
p q
 
 

Vậy Bổ đề được chứng minh.
Định lí dưới đây mở rộng Bất đẳng thức
Holder

quen thuộc trong giải tích

sang cho thang thời gian.