1
Đ
I TÌM BẤT ĐẲNG THỨC TRONG T
Ứ DIỆN VUÔNG
(Bài gửi đăng kỷ yếu
H
Ộ
I TH
Ả
O, T
Ậ
P HU
Ấ
N QU
Ố
C GIA CHO GIÁO VIÊN C
Ố
T CÁN
CÁC TR
ƯỜ
NG THPT CHUYÊN CHU K
Ỳ
2011 – 2015, MÔN TOÁN)
Lê Lễ , GV THPT chuyên Lê Quý Đôn, Ninh Thuận
Đ
T: 0976631898. E-mail:


T
ứ

di
ệ
n vuông là t
ứ
di
ệ
n có ba c
ạ
nh xu
ấ
t phát t
ừ
m
ộ
t
đỉ
nh
đ
ôi m
ộ
t vuông góc. T
ứ
di
ệ
n vuông có
các
đẳ
ng th
ứ
c

đơ
n gi
ả
n liên h
ệ
chi
ề
u cao, c
ạ
nh, góc và di
ệ
n tích. Trong bài vi
ế
t này, tác gi
ả
k
ế
t
hợp các đẳng thức đó với các bất đẳng thức cơ bản đưa đến một số bất đẳng thức thường xuất hiện
trong các đề thi Olympic, đề thi học sinh giỏi.
I.Bài toán mở đầu về đẳng thức .Cho tứ diện vuông SABC.

,,
SA a SB b SC c 
, chiề
u cao SH=h.
Gọi , ,


l

ần lượ
t là góc giữ
a SH và SA, SB,
SC ( , ,
 
lần lượt cũng là góc giữa (ABC)
và (SBC), (SCA), (SAB) ).
123
,,,
ABC
SBC
SCA
SAB
SS S S S S S S  .




Ta có:
1.

222 2
1111
abch

. (a)
2.
222 2
123
SSSS

. (b)
3.

222
cos cos cos 1

. (c)
4.

222222
tan tan tan tan tan tan 2

 
. (d)

Chứng minh.
1.
Lưu ý H là trực tâm
A
BC

. Gọi { }
KAHBC 
.
A
SK

vuông tại S với
đường cao SH
22 2

11 1
SA ShK
  .
B
SC

vuông tại S với đường cao SK
222
111
SK SB SC


222 2
1111
abch

.
2.

222 2
1111
abch

222 2
222 2
9999
ab
VV
c
V

h
V


2
22 2
1
22
2
22
3
(. )
(. ) (. )
(.)
cS
aS
ab
bS
hS
ch


22
23
22
1
SSSS
.
3.


222 2
1111
abch

222
222
1
hhh
abc

222
cos cos cos 1

.
4.

222
cos cos cos 1


222
111
1
1 tan 1 tan 1 tan



222222
tan tan tan tan tan tan 2


 .

II. Một số kết quả về bất đẳng thức
(Các đẳng thức đều xảy ra abc ).
1. Ta có
2
123
123
222
2
11
(
2
.
111
)
abc
h
SSS
SSS abbcca
h


 

(sử dụng (a)).
S
A
B
C

K
H
sent to
www.laisac.page.tl

2
Theo Cauchy:
3
222 222
111 1
3
abc abc

,
3
222
3
ab bc ca a b c

2
123
2
9
h
SSS



.
Kết quả 1.


2
123
2
9
h
SSS


.
(Bài đề nghị Olympic 30/4-2010)
2. Theo Bunhiacopski,
222
2
123 123
(1 1 1)( ) ( )
SSS SSS     
.
Kết hợp (b)
22
123 123
()33
SSS SSS
SS 

.
Kết quả 2.

123
3SSS S .

3.

Ký hiệu r là bán kính hình cầu nội tiếp tứ diện vuông SABC, ta có
123
11
11
1
33
tp
S
SSSS
rV V abch

 
11 111
rhabc

.
Theo Bunhiacopski,
2
222 2
111 1 1 1 3
() )
3(
abc a b c h
   
(s
ử
d
ụ

ng (a)).

3111
abc h

11 3
rh
h

311
rh


.
Kết quả 3.

13
h
r

.
(Bài đề nghị Olympic 30/4-2002)
4. Kết hợp (a) và Cauchy
3
2222 222
1111 1
3
habc abc

,

32222
()9caacbb 
2
2
133
27
()
hab
abc
hc





.
Kết quả 4.
133
habc


.
5. Kết hợp
11111
r abch

và
133
habc


 
1111 33
rab abcc


.
K
ế
t quả
5.
1111 33
rabcabc

 
.
6.
Cho 3abc. Ta có
111 111
3( ) ( )( ) 9
abc
abc abc
    
111
3
abc

.
Theo kết quả 5:
1111 33
rabcabc


 
3
133
3
6
r
r

 
.
Kết quả 6.
3abc
, ta có
33
6
r


.
(Bài đề nghị Olympic 30/4-2006)

3
7.
Theo kết quả 5:
1111 33
rabcabc


111 3

max{ , , } max{ , , } max{ , , } m
3
3ax{,,}abc abc abc abc


13
max{ , , } (3 3)
max{ , ,
3
}
abc r
r abc
  

.
Kết quả 7.
max{ , , } (3 3)
abc r
.
(200 bài thi vô địch Toán)

8. Ký hi
ệ
u R là bán kính hình c
ầ
u ngo
ạ
i ti
ế
p t

ứ
di
ệ
n vuông SABC, ta có
222
1
2
R
abc
.
Theo 3.
222
1 1111 111 1 1 1
r abchabc a b c
  


22 22 22
ab bc ca a b b c c a
abc
  

.
22 22 22
222
.
2
Rabbcca abbcca
abc
r abc

  


.
S
ử
d
ụ
ng Cauchy:
3
222
3ab bc ca a b c
 ,
322 22 22 444
3 abcab bc ca 
và
3222 222
3abc abc
33222
322
4
2
44
33(31)
.3
2
3
2
Rabc abc
abc

r abc


.
K
ế
t qu
ả
8.
3( 3 1)
2
R
r


.
(Bài đề nghị Olympic 30/4, 10 năm, 1995-2005)

9.
S
ử
d
ụ
ng Cauchy:
23
222222
1
22 22 22
123
111

()( )9
SSSSSS
SSSS SS
 




222
22 22 22
123
94( )
SSS
SSSS SS



(sử dụng (b))

2
22
1
22 22 2
3
2
123
2
4( 9111)
S
SS

SS SS SS
  



3
2
2
2
22
1
22 22 2
3
2
1
3
4
)
S
SS
SSSSSS




.

Kết quả 9.
2
22

1
22 22
3
3
2
2
2
12
3
)
4
S
SS
SSSS SS




.
(Bài đề nghị Olympic 30/4-2010)

10.
Sử dụng (c) và Bunhiacopski, ta có
222
1.cos 1.cos 1.cos (1 1 1)(cos cos cos )
  
 
cos cos cos 3

.


4
Kết quả 10.
cos cos cos 3


.

11.
Đặt
222
cos , cos , cosxyz


. Từ (c), được
,, 0
1
xyz
x
yz



 

.
2
2
11
tan 1 1

cos
yz
x
x



. Tương tự:
22
tan , tan
x
z
zx y
y

 
.
222222
tan tan tan cot cot cot



xy yzzx
yzz
x
yz
zxy
x
xy




.
Ta có
6
xyyzzx
zxyz
xy yzzx
zxxyy

  .
3
2
yzzxx
xy
y
z


(Nesbit).
Vậy
222222
15
tan tan tan cot cot cot
2


.
Kết quả 11.
222222

15
tan tan tan cot cot cot
2


.
(Bài
đề
ngh
ị
Olympic 30/4, 10 n
ă
m, 1995-2005)

12.
Đặt
222
cos , cos , cos
xyz


. Từ (c), được
,, 0
1
xyz
x
yz




 

.
Do
1
3
1
3
x y

và
y
x

cùng dấu (hoặc cùng bằng 0),
1
3
1
3
yz

và
zy
,
1
3
1
3
zx


và
x
z

c
ũ
ng v
ậ
y, nên
)( ) )
11 11 11
((())()0
33 33 3
(
3
xy
yz
zx
yx zy xz
. B
ất đẳ
ng thức trên
22 2
0
333
xyz
yz xzx yxy z
  

13 13 13

0
333
xyz
xyz




 
3111 3
33 3 3
3
33
x yz x y z
x
yz
 
111 2 2 2
.3 .3 .33 33
x yz x y z
z
xy
    
  

222
2 2 2
sin sin sin 2 2 cos 2 2 cos 2 2 cos
cos .3 cos .3 cos .33 33
    




.
Kết qu
ả
12.
222
2
2
2
sin sin sin
2 2 cos 2 2 cos 2 2 cos
cos .3 cos .3 cos .
333 3

  




.
(Bài đề nghị Olympic 30/4, 10 năm, 1995-2005)

13.
Từ (c):
222
cos cos cos 1



222
sin sin sin 2

   .
Đặ
t
22 2
0,,1
sin , sin , sin ,
2
mnp
mnp
mnp

 

 

 

.
Theo Bunhiacopski:
22
22
14 81 1
(1 )( )
16
97
m
m

m
m
  
491
(1. . )
4
97
m
m
.
22
22
14 81 1
(1 )( )
16
97
n
n
n
n
  
491
(1. . )
4
97
n
n
.
22
22

14 81 1
(1 )( )
16
97
p
p
p
p
  
491
(1. . )
4
97
p
p
.

5
Do đ
ó
222
22 2
111
mnp
mn p
  
49
111
[()
]

4
97
mn
mn
p
p

49 97
(2 . )
4
7
9
22
9

Đẳng thứ
c
2
3
mnp

3.abc h
 .

Kết quả 13.
44 4
444
1119
7
sin

sin
sin
sin sin sin 2


  .
(Bài đề nghị Olympic 30/4, 10 năm, 1995-2005)

14.
Theo Bunhiacopski:
2
(tan tan tan )
 

222
tan ta ta3n(n)
 


222
tan tan tan3( 2)

 (sử dụng (d))
2
222
(6tan tan tan )
tan tan t n
3
a







2222
cot cot cot tan tan tan )] co
[( 6tcotcot3
      



2222
cot cot cot cot cot cot ) cot cot cot(36
     
.

Kết quả 14.
2222
cot cot cot cot cot cot ) co(tcotcot36
     
  .
(Bài đề nghị Olympic 30/4-2007)
III. Một số kết quả tương tự.
1.
222
cos cos cos cos cos cos
63
cos cos cos
 



.
2.

22 2
2222 22
cos
cos cos 3
sin sin sin sin sin sin 4

 
 
 
.
3.

4444
222
()()()3(3)
cos cos cos
xxx
yy
x
y
y

,với mọi x,y dương.
4.


2
()2
3
Vh r
hrR

 .



Phan Rang, ngày 15 tháng 6 năm 2011
Lê Lễ , GV THPT chuyên Lê Quý Đôn, Ninh Thuận
Nơi ở: 33-Mạc Thị Bưởi-Thành phố Phan Rang Tháp Chàm
ĐT: 0976631898. E-mail: