Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
MỤC LỤC
A. Mở đầu 2
B. Cơ sở lý luận 4
C. Nội dung đề tài 5
I. Các bất đẳng thức cơ bản 5
1. Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối 5
2. Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân 5
3. Bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacovski 6
II. Phương pháp chứng minh 6
1. Phương pháp chứng minh cơ bản 6
2. Mở rộng cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi 17
III. Bài
tập vận dụng và đề thi 37
1. Bài tập cơ bản 37
2. Bài tập nâng cao 40
3. Một số bất đẳng thức trong các đề thi đại học vừa qua 43
D. Kết luận 45
A. ĐẶT VẤN ĐỀ
I. Lý do chọn đề tài
- 1 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
Toán học là một khoa học tự nhiên, toán học ra đời từ rất sớm nhằm đáp ứng nhu cầu đo
đạc ruộng đất và xây dựng nhà cửa. Càng ngày xã hội loài người càng tiến dần lên ở mức độ
cao hơn và đến nay đang đang ở trình độ cao nhất từ mà loài người chưa từng có. Do đó toán
học củng không nằm ngoài quy luật phát triển từ sơ khai đến hiện đại.
Toán học nghiên cứu rất nhiều, rất đa dạng và phong phú. Trong đó các bài toán về bất
đẳng thức là những bài toán khó, để giải được các bài toán về bất đẳng thức, bên cạnh việc
nắm vững khái niệm và các tính chất cơ bản của bất đẳng, còn phải nắm được các phương
pháp chứng minh bất đẳng thức.
Có nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng và ta phải căn cứ vào đặc thù của mỗi

bài toán mà sử dụng phương pháp cho phù hợp. Mỗi bài toán chứng minh bất đẳng thức có thể
áp dụng được nhiều phương pháp giải khác nhau, cũng có bài phải phối hợp nhiều phương
pháp một cách hợp lí mới giải được.
Bài toán chứng minh bất đẳng thức được vận dụng nhiều vào các dạng bài toán giải và
biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình đặc biệt, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ
nhất của biểu thức và đề thi học sinh giỏi huyện, thành phố, tuyển sinh vào lớp 10 thường có
bài toán bất đẳng thức, trong khi đó sách giáo khoa phổ thông lại trình bày Vì vậy học sinh
cần thiết phải nắm được những kiến thức cơ bản về bất đẳng thức.
Trong thực tế ở trường THPT, học sinh gặp nhiều khó khăn khi giải các bài toán liên
quan về bất đẳng thức, vì các bài toán chứng minh bất đẳng thức thường không có cách giải
mẫu, không theo một phương pháp nhất định nên học sinh không xác định được hướng giải
bài toán. Mặt khác vì nhận thức của học sinh THPT còn có nhiều hạn chế và khả năng tư duy
chưa tốt do đó học sinh còn lúng túng nhiều và không biết vận dụng kiến thức vào giải các
dạng bài tập khác.
Trong nội dung của đề tài này xin được tập trung giới thiệu các tính chất cơ bản, một số
phương pháp hay được sử dụng khi chứng minh bất đẳng thức như: dùng định nghĩa, biến đổi
tương đương, dùng các bất đẳng thức đã biết, phương pháp phản chứng, tam tức bậc hai , một
số bài tập vận dụng và các ứng dụng của bất đẳng thức nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi
gặp các bài toán về chứng minh hay vận dụng bất đẳng thức, giúp học sinh có thể tự định
hướng được phương pháp chứng minh, giải các bài toán liên quan và hứng thú hơn khi học về
bất đẳng thức nói riêng và bộ môn Toán nói chung.
Qua chuyên đề “bất đẳng thức trong trường THPT” chúng tôi muốn giúp học học sinh có
thêm một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức đó là lý do tôi chọn đè tài này, khi
nghiên cứu không tránh khỏi những sai sót mắc phải rất mong được sự góp ý của các thầy cô
giáo, các bạn để đề tài hoàn thiện hơn, tôi xin chân thành cảm ơn!
II. Nhiệm vụ nghiên cứu.
- Kỹ năng giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức
- 2 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
- Kỹ năng vận dụng bất đẳng thức để giải các bài toán: tìm giá trị lớn nhất – giá trị nhỏ

nhất, giải hệ phương trình, phương trình nghiệm nguyên, phương trình vô tỉ.
III. Đối tượng nghiên cứu.
- Học sinh trung học phổ thông
- Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức và ứng dụng của nó.
IV. Phương pháp nghiên cứu:
Qua quá trình học tập từ trước đến nay, tham khảo tài liệu, thu thập tài liệu, đúc rút, tổng
kết kinh nghiệm, kiểm tra kết quả kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy,
điều tra trực tiếp thông qua các giờ học, thể hiện trên nhiều đối tượng học sinh khác nhau: học
sinh giỏi, khá và học sinh trung bình về môn toán.
V. Nội dung:
- Các bất đẳng thức cơ bản
- Các phương pháp chứng minh
+ Phương pháp chứng minh thông thường
+ Mở rộng cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi
- Bài tập vận dụng và đề thi
+ Bài tập cơ bản
+ Bài tập nâng cao
+ Một số bất đẳng thức trong các đề thi đại học vừa qua.
B. CƠ SỞ LÝ LUẬN
- 3 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
Để giải được bài toán đòi hỏi mỗi người phải đọc kỹ bài toán xem bài toán yêu cầu cái gì,
phải sử dụng những phương pháp nào để giải, đã gặp bài toán nào đã giải có dạng tương tự
như bài toán đó hay không để từ đó có thể tìm ra cách giải. Đối với học sinh việc vận dụng
khiến thức lý thuyết, nhận dạng bài toán để tìm ra cách giải chưa được rèn luyện nhiều đôi lúc
trình bày vấn đề này còn sơ sài.
Khi nghiên cứu về bất đẳng thức ta thấy rằng nó thật sự có tác dụng rèn luyện và phát huy
khả năng tư duy để giải toán không chỉ riêng gì bất đẳng thức mà còn giải các dạng toán khác
bởi muốn giải được nó đòi hỏi phải thật sự có một kiến thức toán học rất lớn.
Phương pháp để giải các bài toán bất đẳng thức không ở đâu xa xôi ngoài chương trình

của các em. Nhưng việc các em vận dụng nó như thế nào đó là vấn đề cốt lỏi. Muốn làm được
điều đó đòi hỏi học sinh phải thật sự nắm vững kiến thức, phải có lập luận lôgic, xét đầy đủ
các mặt khác nhau của bài toán, nhận dạng được bài toán. Đặc biệt các học sinh khá giỏi phải
linh hoạt, sáng tạo không chỉ giải được bài toán mà còn phải khái quát được dạng của nó để
đưa ra phương pháp chung cho các bài toán khác tuơng tự.
Khi giảng dạy cho học sinh các giáo viên phải rèn luyện cho các em nắm chắc phần lý
thuyết, đưa ra các ví dụ minh hoạ cụ thể, các bài tập vận dụng, nên chú ý tạo cho các em cách
nhìn nhận một bài toán để giải không nên giải tắt, làm tắt tạo cho học sinh khó hiểu thậm chí
không hình thành được lôgic của toán học.
Thời lượng chương trình dành cho bất đẳng thức ở phổ thông cơ sở là hạn chế. Do đó việc
học tập và vận dụng thành thao cho các em sẻ khó khăn đói với các em có học lực trung bình,
khá.
Bên cạnh đó, chúng ta cần phải mở rộng và nâng cao một số kiến thức để các em có thể
phát huy hết khả năng tư duy, sáng tạo của mình.
C. NỘI DUNG ĐỀ TÀI
I. Các bất đẳng thức cơ bản
- 4 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
1. Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối
Cho
,a b
∈
¡
, ta luôn có:
a ab b
+ ≤ +
(1)
a ab b
− ≥ −
(2)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
0ab
>
• Chứng minh (1):
( ) ( )
( )
2 2
2 2 2 2
*
(1)
2 2
a b
a
a b
a a
ab a
b b a b b
b
+
+ +
⇔ ≤ +
⇔ +≤
⇔ ≤
+
(*) luôn đúng
,a b
∀ ∈
¡
Dấu
" "

=
xảy ra khi và chỉ khi:
0ab
≥
.
• Chứng minh (2):

,a b
∀ ∈
¡
thì
( )
,a b b
∀ − ∈
¡
Áp dụng (1), ta có
( )
(2) a b b a b b
a a b
ba
b
a b
⇔ ≤
⇔
− + − +
− +
−⇔ ≤ −
≤
Vậy (2) đúng.
Ngoài ra ta còn có thể dùng quy nạp để chứng minh cho

n
số:
1 2
, , ,
n
a a a∀ ∈¡
, ta luôn có:
1 1
n
i
n
i
i
i
a a
= =
≤
∑ ∑
Dấu
" "
=
xảy ra khi và chỉ khi:
1
0
i
n
i
a
=
>

∏
.
2. Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân
Cho
,, , 0aa b b
∈ ≥
¡
, ta luôn có:
2
a
a
b
b
+
≥
(*).
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b
=
.
• Chứng minh
( )
( )
2
2 2
2 2
2
4
2 4
2 0

0; , , ,
(*)
0
a b ab
a ab b ab
a ab b
a b a b a b
⇔ + ≥
⇔ + + ≥
⇔ − + ≥
⇔ − ≥ ∀ ∈ ≥¡
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
.a b
=
Vậy (*) đã được chứng minh.
Ta mở rộng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân cho
n
số thực không âm:
- 5 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
1 2 1 2
, , , , , , , 0
n n
a a a aaa
∀ ∈ ≥
¡
, ta luôn có:
1
1
n

i
i
n
n
i
i
a
n
a
=
=
≥
∏
∑
Dấu
" "
=
xảy ra khi và chỉ khi:
1 2

n
a aa
= = =
.
3. Bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacovski
Cho
1 2 1 2
, ,,a ba b ∈¡
, ta luôn có:
2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2
) (( ( ) )aa a b b ab b
≥+ + +
(*)
Dấu
" "
=
xảy ra khi và chỉ khi:
1 1 2 2
, ,kb ka kba
= = ∈
¡
.
• Chứng minh:
( )
( )
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2
2 2 2 2
1 2 2 1 1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 2 1
2
1 2 2 1 1 1 2 2
* 2
0
; , , ,
2
2
0

b a a b a b b a a b
a a b a
a a a b
a a b
a b a b a b
b b a b
b b a b
b a b a b
+ + + +⇔ ≥
⇔ ≥
⇔ ≥
⇔ ≥ ∀
+
+
− +
− ∈¡
Dấu
" "
=
xảy ra khi và chỉ khi:
1 2 2 1
,b a ba kk
= = ∈
¡
, tức là
1 1 2 2
, ,kb ka kba
= = ∈
¡
.

Vậy (*) đã được chứng minh.
Ta mở rộng bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacovski cho
2n
số thực:
1 2 1 2
, , , , , , ,
n n
a ba a b b∀ ∈¡
, ta luôn có:
2
2 2
11 1
n
i i i i
i
n n
i i
a ab b
= = =
 
≥
 ÷
 
∑∑ ∑
Dấu
" "
=
xảy ra khi và chỉ khi:
, 1, ;
i i

b ia k n k
== ∈
¡
.
II. Các phương pháp chứng minh
1. Phương pháp chứng minh thông thường
a. Phương pháp dựa vào định nghĩa
Để chứng minh
A B
≥
, ta làm như sau:
- Lập hiệu
A B
−
- Biến đổi biểu thức
A B
−
và chứng minh
0A B
− ≥
- Kết luận
A B
≥
- Xét trường hợp
A B
=
khi nào
Ví dụ:
Chứng minh rằng:
2

a b
b a
+ ≥
;
0ab
∀ >
.
Chứng minh:
- 6 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
Ta có:
( )
2
2 2
2
2
a b
a b a b ab
b a ab ab
−
+ −
+ − = =
Vì
0ab
>
, nên
( )
2
0
a b

ab
−
≥
Vậy
2
a b
b a
+ ≥
;
0ab
∀ >
.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
a b
=
.
Bài tập tương tự:
Chứng minh rằng:
2 2
1 1
1 1
2
; , , 1.
1
a b ab
aa b b
+
+ +
≥ ∀ ∈ > −
+

¡
b. Phương pháp chứng minh trực tiếp
Để chứng minh
A B
≥
, ta làm như sau:
- Biến đổi vế phức tạp, thường là vế trái:
2
1 2
A A A B M
= = = = +
Vì
2
0M
≥
nên
2
B BM+ ≥
Nên
A B
≥
Dấu “ =” xảy ra khi và chỉ khi
0.M
=
Ví dụ:
Chứng minh rằng:
2
4 3 1; .x xx − + ≥ − ∀ ∈¡
Chứng minh:
Ta có:

( )
( )
2
2 2
4 3 1 4 4 1 2x x xx x
− + = − + − + = − + −
Do
( )
2
0;2 xx
− ≥ ∀ ∈
¡
Nên
2
4 3 1;x xx − + ≥ − ∀ ∈¡
Dấu ”=” xảy ra khi và chỉ khi
2.x
=
Bài tập tương tự:
Chứng minh rằng:
1 1 1
1.
1.2 2.3 99.100
+ + + <
c. Phương pháp so sánh
Để chứng minh
A B
≥
, ta làm như sau:
- Biến đổi riêng từng vế rồi so sánh kết quả. Suy ra điều phải chứng minh:

1 2

n
A A A A= = = =
1 2

n
B B B B= = = =
Nếu
n n
A B≥
, thì
A B
≥
.
Ví dụ:
Chứng minh rằng:
- 7 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
300 200
200 300
>
Chứng minh:
( )
100
300 3 100
200 200 8000000= =
( )
100
200 2 100

300 300 90000= =
Vì
100 100
8000000 90000
>
Nên
300 200
200 300 .
>
d. Dùng phép biến đổi tương đương
Để chứng minh
A B
≥
, ta làm như sau:
Ta biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức đúng
hoặc bất đẳng thức đã được chứng minh đúng.
Chú ý các bất đẳng thức sau:
- Bình phương của tổng, hiệu
- Lập phương của tổng, hiệu
( )
2
2 2 2
2 2 2b c ab bc aca b c a
+ + + + ++ + =
( )
2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2a b c d a ab bc cb c d d ac bd ad
+ + + = + + + + + ++ + +
( )

( )
3 3 3 2 2 2
3b c abc a b c a b ca ab bc ca
−+ + − = −+ + −+ +
Ví dụ:
Cho
,a b
∈
¡
Chứng minh rằng:
2 2
1 .a b ab a b
+ + ≥ + +
Chứng minh:
Ta có:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
1
1 0
2 1 0
2 2 1 2 1
1 1
0
0; ,

b ab a b
a b ab a b
a b ab a b
a ab b a a b
a
a b ba
b
ab
+ + ≥ + +
⇔ + + − − − ≥
⇔ + + − − − ≥
⇔ − + + − + + − + ≥
⇔ − − ≥ ∀+ + − ∈¡
Dấu ”=” xảy ra khi và chỉ khi
1.a b
= =
Bài tập tương tự:
Cho
0, ,,a cb c ab
∈ ≠
¡
.
Chứng minh rằng:
1 1 1
.
a b c
bc ca ba a b c
≥ + ++ +
e. Phương pháp làm trội
- 8 -

Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
Dùng tính chẩt của bất đẳng thức để đưa một vế của bất đẳng thức cần chứng minh
về dạng để tính tổng hữa hạn hoặc tích hữu hạn.
- Phương pháp chung để tính tổng hữu hạn:
1 2

n
uS uu + + +=
là biểu diễn số hạng tổng quát
k
u

về hiệu của 2 số hạng liên tiếp nhau:
1k k k
au a
+
= −
Lúc đó:
1 2 2 3 1
( ) ( ) ( )
n n n
S a a a a a a
−
= − + − + + −
1 n
aa
= −
-Phương pháp chung để tính tích hữu hạn
1 2


n n
uP u u=
là biểu diễn số hạng tổng
quát
k
u
về thương của 2 số hạng liên tiếp nhau
1
k
k
k
a
u
a
+
=
Lúc đó
1
2
1
1
.
i i
n
i
n
n
i
i
a

a
P
a
a
aa
−
+
=
==
∏
Ví dụ:
Chứng minh các bất đẳng thức sau với
n
∈
¥
:
a)
2 2 2
1 1 1 1
2
1 2 n n
+ + + < −
b)
2 2 2
1 1 1 5
.
1 2 3n
+ + + <
Chứng minh:
a) Với

1k
>
, ta có:
( )
2
1 1 1 1
1 1k k k k k
< = −
− −
Lần lượt thay
2,3, ,k n
=
rồi cộng lại có:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
1 2 .
2 1 2n n n n
+ + < − ⇒ + + + < −
b)Với mọi
1k >
ta có:
2
1 1
2
2 1 2
1
1k kk
 
≤ −
 ÷

− +
 
Lần lượt thay
2,3, ,k n
=
vào rồi cộng lại ta được:
2 2
2 2
2 2 2
1 1 1 1
2
2 3 2 1
1 1 2

2 3
1 1 1 5

1 2 3
n n
n
n
 
+ + < −
 ÷
+
 
⇔ + + <
⇔ + + + <
- 9 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT

Bài tập tương tự:
Chứng minh rằng:
Với mọi
*
n
∈
¥
, ta có:
1 1 1
2.
2
3 2 1n n
+ + + <
−
f. Phương pháp lượng giác
Sử dụng điều kiện của biến
0x k k
≤ ⇒ ≥
Đặt
sinx k a
=
với
22
a
π π
−
≤ ≤
hoặc
cosx k a
=

với
0 .a
π
≤ ≤
Ví dụ:
Chứng minh rằng:
2
9 54 13 a a
− + ≤
Chứng minh:
Điều kiện
3a
≤
.
Đặt
3sin ,
2 2
a
π π
α α
−
≤ ≤=

Khi đó:
2 2 2
3 9 4 3 9
3cos
9
9 9sin 12sin 1 sin 12sin
4sin

12sin
5
cos 15
5
15 cos( ) 15
a a
α α α α
α α
α α
α β
− −+ = =
= =
=
+ − +
+ +
− ≤
với
3 4
,sincos .
5 5
β β
= =
Bài tập tương tự:
Chứng minh rằng: nếu
1x <
và n là số nguyên lớn hơn 2 ta có:
( ) ( )
1 1 2
nn
n

x x
− − + <
g. Dùng bất đẳng thức trong tam giác
Nếu
, ,a b c
là số đó 3 cạnh của một tam giác thì a,b,c>0 và
b c a b c
− < < +
a c b a c
− < < +
a b c a b
− < < +
Ví dụ:
Cho
, ,a b c
là số đo 3 cạnh của một tam giác.
- 10 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
Chứng minh rằng:
2 2 2
2( )b c ab bc caa + + < + +
Chứng minh:
, ,a b c
là số đo 3 cạnh của tam giác nên ta có:
( )
2
0 a b c aa b c
< < + ⇒ +<
( )
2

0 b c a bb a c
< < + ⇒ +<
( )
2
0 c a b cc a b
< < + ⇒ +<
Cộng vế với vế của bất đẳng thức trên ta được
2 2 2
2( ).b c aba bc ca+ + < + +
Bài tập tương tự:
Cho
, ,a b c
là số đo 3 cạnh của tam giác.
Chứng minh rằng:
a)
( ) ( ) ( )
a b c b c a c aab bc
≥ + − + − + −
b)
3 2 2 3 2 2 3 2 2
( ) ( ) ( ) 0b c c aa b c a b− + − + − <
với
.a b c
< <
h. Dùng phương pháp quy nạp
Để chứng minh bất đẳng thức
( )
T n
:
n

∈
¥
ta thực hiện các bước sau:
- Chứng minh bất đẳng thức
( )
1T
đúng (kiểm tra mệnh đề đúng với số nhỏ nhất)
- Giả sử bất đẳng thức
( )
T k
đúng
- Ta chứng minh bất đẳng thức
( )
1T k
+
cũng đúng
Khi đó bất đẳng thức
( )
T n
đúng với mọi
n
∈
¥
.
Ví dụ:
Chứng minh rằng:
Với
2n
>
ta có:

2 2 1
n
n
> +
Chứng minh:
Với
3n
=
ta có
3
2 2.3 1
> +
Vậy
( )
3T
đúng
Giả sử
( )
T k
đúng, tức là:
2 2 1
k
k
> +
Chứng minh bất đẳng thức
( )
1T k
+
cũng đúng, nghĩa là phải chứng minh:
( )

1
2 12 1
k
k
+
> + +
Thật vậy, ta có:

1
2 2(2 1) 2 32.2
k k
k k
+
+= > > +
- 11 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
Nên bất đẳng thức
( )
1T k
+
cũng đúng
Vậy bất đẳng thức
( )
T n
đúng với mọi
n
∈
¥
.
Bài tập tương tự:

Chứng minh rằng:
2 2
(2 )! 2 ( !)
n
n n<
i. Phương pháp phản chứng.
- Kiến thức: Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng, ta hãy giả sử bất
đẳng thức đó sai, sau đó vận dụng các kiến thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều
vô lý.
- Điều vô lý có thể là trái với giả thiết, hoặc là những điều trái ngược nhau, từ đó
suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng.
- Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức:
+ Dùng mệnh đề đảo
+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết.
+ Phủ định rồi suy ra trái với điều đúng.
+ Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau.
+ Phủ định rồi suy ra kết luận.
Ví dụ:
Chứng minh rằng:
Không có 3 số a,b,c dương nào cùng thỏa mãn 3 bất đẳng thức:
1 1 1
2; 2; 2a b c
b c a
+ < + < + <
Chứng minh:
Giả sử tồn tại cả 3 số dương thỏa mãn bất đẳng thức
1 1 1
2; 2; 2a b c
b c a
<+ +<+ <

Cộng theo từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:
1 1 1
6a b c
b c a
     
+ + + <
 ÷  ÷ 
+
 
+
÷
   
(1)
Mà theo bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân
1 1 1
6a b c
a b c
     
+ + +
 ÷  ÷  ÷
  
+
 
+ ≥

Điều này mâu thuẫn với (1) nên không tồn tại 3 số
, ,a b c
dương cùng thỏa mãn bất
đẳng thức trên.
j. Sử dụng tính chất hàm lồi

Cho hàm số
( , )f a b
liên tục trên
¡
có tính chất:
( ) ( )
( )
1 2
1 2
1 2
2
; , ;
2
x
f
f x f x
x
x x a b
 


≤

+
+
∈
÷
- 12 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
Dấu của đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1 2
.x x
=
Khi đó:
( )
1 1
n
i
n
i
i i
x f x
f
n n
= =
 
 ÷
 ÷
≤
 ÷
 ÷
 
∑ ∑
(1)
với mọi
( )
; , 1,
i
a b i nx ∈ =
và dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi khi

1 2
.
n
x x x= = =
Ví dụ:
Chứng minh rằng:
Nếu
[ ]
,, 0x y
π
∈
thì
sin
sin
2
sin
2
y yx x
++
 
≤
 ÷
 
Chứng minh:
Ta có:
sin sin
sin cos
2 2
n
22

si
x y y xx y x y
+ − +
   
=
 ÷  ÷
 
+
≤
 
Vì
1cos
2
x y
−
≤
và
0in
2
s 0
2
;
x yx y
π
+
 
≥ ≤ ≤


+

÷

Cách khác:
( )
sinf x x
=
có
( )
" sin 0f x x
= − ≤
nên
( )
f x
là hàm lõm trên
[ ]
0;
π
và ta có bất đẳng thức (1).
Bài tập tương tự:
Cho
, ,A B C
là ba góc của một tam giác
Chứng minh rằng:
sin sin
3 3
.
2
sinA B C
+ + ≤
k. Dùng miền giá trị hàm

Bài toán:
Chứng minh rằng:
( )
,b f x a x
< < ∀
.
Đặt
( ) ( )
0y f x y f x
= ⇔ − =
(*)
Biện luận phương trình (*) theo
y
, suy ra
( )
, .y a b
∈
Ví dụ:
Chứng minh rằng:
2
2
1 1
3
3,
1
x x
x
x x
+ +
≤ ≤ ∀

− +
(1)
- 13 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
Chứng minh:
Đặt:
2
2
1
1
x x
x
y
x
+ +
=
− +
có miền xác định
D
=
¡
( ) ( )
2
1 1 1 0y x y x y
⇒ − + + − =−
có nghiệm
+Với
1 0y x
= ⇒ =
. Suy ra (1) đúng

+Với
1y
≠
, ta có
( ) ( )
2 2
0 1 4 1 0
1
3
3
y y
y
∆ ≥ ⇔ + − − ≥
⇔ ≤ ≤
Điều phải chứng minh.
Bài tập tương tự:
Chứng minh rằng:
2
2
1
1
2 1
;
2 3
x
x
x
x
x
− +

+
> ∀
+
.
l. Dùng tam thức bậc 2
Cho tam thức bậc 2:
( ) ( )
2
0 0bx c af x ax
+ + = ≠=
+ Nếu
0
∆ <
thì
( )
0;af x x
> ∀
+ Nếu
0∆ =
thì
( )
0;af x x
≥ ∀

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
2
b
x
a
−

=
.
+Nếu
0∆ >
lập bảng xét dấu
Định lí đảo về dấu cho tam thức bậc 2:
Cho tam thức bậc 2:
( ) ( )
2
0 0bx c af x ax
+ + = ≠=
Nếu tồn tại
α
∈
¡
sao cho
( )
0af x
<
thì
( )
0f x
=
có 2 nghiệm phân biệt và
1 2
.x x
α
< <
Hệ quả: Nếu tồn tại
,

α β
∈
¡
sao cho
( ) ( )
0f a f b
<
thì
( )
f x
có 2 nghiệm phân
biệt và trong 2 số
,
α β
có một số nằm ngoài khoảng hai nghiệm.
Chứng minh:
2
0;bxax c x+ + ≥ ∀
Ta chứng minh
0
0
a
∆ ≤
>



Ví dụ:
Chứng minh rằng:
( )

2 4 2 2 2 3
2 2 ;4 , .4y xyx x y xx xy y
+ + ∀+ + ≥
Chứng minh:
- 14 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
( ) ( )
( ) ( )
2 4 2 2 2 3 2
2
2 2 2 2
4 4 4
4
2
41 01
0x xy xy yy x y x
xy y y x y
+ − +
⇔ + − +
+ + ≥
+ ≥
Đặt
( )
.f x VT
=

Ta có:
( ) ( )
2 2

2 2 2 2 2
' 4 1 4 1 16 0;y y y y y y∆ = − − + = − ≤ ∀

( )
0; ,x xf y≥⇒ ∀
Bài tập tương tự:
Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a)
2 2
5 4 2 6 3 0; ,y xy x xyx y+ − + ∀− + >

b)
2 2 2
5 2 4 2 2 1 0; , ,y z xy yz z x zx y+ + − − − + ≥ ∀
c)
2 2
2 2 6 3 0; ,3 x xy x y x yy + + + + + ≥ ∀
m. Dùng đạo hàm (tính đơn điệu của hàm số)
Hàm số
( )
f x
liên tục trên
[ ]
,a b
và có đạo hàm trên
( )
,a b
.
+ Nếu
( )

0f x
>
với mọi
x
thuộc
( )
,a b
thì hàm
( )
f x
tăng trên
[ ]
,a b
. Khi đó
x a
∀ >
thì
( ) ( )
f x f a
>
.
+ Nếu
( )
0f x
<
với mọi
x
thuộc
( )
,a b

thì hàm
( )
f x
giảm trên
[ ]
,a b
. Khi đó
x a
∀ >
thì
( ) ( )
f x f a
<
.
Ví dụ:
Chứng minh rằng:
1 ; 0.
x
xe x> + ∀ ≠
Chứng minh:
Đặt
( )
1
x
xf x e
= − −
. Khi đó
( )
1'
x

f x e
= −
.
* Nếu
0x
>
thì
( )
' 0f x
>
nên
f
tăng với mọi
0x
>
. Do đó
( )
0f x
>
,
( )
0 0.1
x
f x e x
== ⇒ ⇒ =
* Nếu
0x
<
thì
( )

' 0f x
<
nên
f
giảm với mọi
0x
<
. Do đó
( )
0f x
>
,
( )
0 0.1
x
f x e x
== ⇒ ⇒ =
Vậy
1 ; 0.
x
xe x> + ∀ ≠
Bài tập tương tự:
Chứng minh rẳng:
0,
2
x
π
 
∈
 ÷

 
∀

thì
2 2 2 1
sinx tanx x
+ ≥ +
.
n. Phương pháp vec-tơ
Phương pháp sử dụng Vec-tơ
- 15 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
Việc chứng minh một bằng đẳng thức bằng vec-tơ thường dựa vào 3 tính chất sau
của vec-tơ:
-
( )
2
2
0a a= ≥
r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
0a
=
r r
.
-
a b a b≥+ +
r r r r
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
,a b

r r
cùng chiều.
-
a bb a≤
r rr r
.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
,a b
r r
cùng phương.
Ví dụ 1:
Cho
ABCV
, chứng minh rằng:
cos2 cos 2 s2
3
2
coA B C
≥ −+ +
.
Chứng minh:
Gọi
,O R
lần lượt là tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp
ABCV
Ta có:
2 2 2
2
2 2
( ) 2( . . . ) 0

3 2 (cos2 cos2 cos2 ) 0
OA OB OC OA OB OC OAOB OB OC OC OA
R R A B C
+ + = + + + + + ≥
⇔ + + + ≥
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuuruuur uuur uuur uuuruuur
Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 2:
Chứng minh rằng:
2 2
2;1 1a a a a a+ + ≥+ − ∀+ ∈¡
(1)
Chứng minh:
( )
2 2 2 2
1 3 1 3
1 ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2
a a
+ + + − +⇔ ≥
.
Trong mặt phẳng toạ độ
Oxy
đặt:
1 3 1 3
( ; ); ( ; )
2 2 2 2
u a v a

= + = −
r r
Áp dụng tính chất
a b a b≥+ +
r r r r
, ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ 3:
Chứng minh rằng:
, , ,a b c d
∀ ∈
¡
, ta có:
- 16 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
))((
2222
dbcacdab
++≤+
(2)
Chứng minh:
Đặt
( , ); ( , )u a c v b d
= =
r r
.
Áp dụng tính chất
a bb a≤
r rr r
ta có ngay điều phải chứng minh.
Bài tập vận dụng

a) Cho
ABCV
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
cos6cos .cos .cos AA B C cos B cos C
≤ + +
.
b) Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
3( ); , , 0.x xy y y yz z z zx x x y z x y z
+ + + + + + + + ≥ + + >
c) Giả sử





=++
=++
16
3
22
22
zyzy
yxyx
có nghiệm.
Chứng minh rằng:
8xy yz zx
+ + ≤

.
2. Mở rộng cho việc bồi dưỡng HSG
a) Bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân
i) Ta mở rộng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân cho
n
số
thực không âm:
1 2 1 2
, , , , , , , 0
n n
a a a aaa
∀ ∈ ≥
¡
, ta luôn có:
( )
1
1
*
n
i
i
n
n
i
i
a
a
n
=
=

≥
∏
∑
Dấu
" "
=
xảy ra khi và chỉ khi:
1 2

n
a aa
= = =
.
ii) Một số kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình
nhân
• Kỹ thuật chọn điểm rơi trong chứng minh các bất đẳng thức có điều
kiện
Bài toán 1: Cho
a
là các số dương sao cho
1a b
+ =
. Chứng minh các bất
đẳng thức sau:
a)
2 2
1
2
a b
+ ≥

b)
4 4
1
8
a b
+ ≥
c)
8 8
1
128
ba
+ ≥
Chứng minh:
- 17 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
a) Áp dụng (*), ta có:
( )
( ) ( )
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
*
1

*
b
a b
a b ab
a b
a
a
a b
b
+
≥
⇔ + ≥
⇔ + ≥
+ ≥⇔
+
b) Áp dụng (**) hai lần liên tiếp, ta có:
( )
2
2 2
4 4
2
4 4
4 4
2
1
2
2
1
8
a b

b
ba
b
a
a
+
+ ≥
 
 ÷
 
⇔ + ≥
⇔ + ≥
c) Áp dụng bất đẳng thức ở b), ta có:
( )
2
4 4
8 8
2
8 8
8 8
2
1
8
2
1
128
a
a b
b
a b

a b
+
+ ≥
 
 ÷
 
⇔ + ≥
⇔ + ≥
Nhận xét:
 Các bất đẳng thức là những trường hợp riêng của bất đẳng thức tổng quát
sau:
Cho a và b là các số dương có tổng bằng 1. Chứng minh rằng:
2 2
2 1
1
2
nn
n
a b
−
+ ≥
Bất đẳng thức này được chứng minh bằng phương pháp qui nạp theo
n
.
 Nếu thay giả thiết
1a b
+ =

bằng giả thiết
a b

α
+ =
, ta có bất đẳng thức
sau:
2
2 2
2 1
2
n
n
n
n
a b
α
−
+ ≥
 Một sự hạn chế của phương pháp này là chỉ chứng minh được cho trường
hợp số mũ của
a
và
b
là số chẵn. Bây giờ, cho
a
và
b
là các số dương
thỏa
1a b
+ =
, ta hãy xét các bất đẳng thức sau:

a)
3 3
1
4
a b
+ ≥
- 18 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
b)
5 5
1
16
ba
+ ≥
c)
9 9
1
256
ba
+ ≥
Ta nhận thấy rằng đây là các bất đẳng thức đối xứng, nên đẳng thức xảy ra
khi và chỉ khi
a b
=
. Do đó nếu
1a b
+ =
thì chắc chắn đẳng thức xảy ra khi:
1
2

a b
= =
Từ đó giúp ta hình thành một cách chứng minh như sau:
a) Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân, ta có:
( )
3
3 3
3
3 3
3 3
3 3
1 1
2 2
1 1
2 2
3
4
3
4
1 3
2 4
1
4
a
b
a
a
b
a b
a b

b

+ ≥




+ ≥


⇔ + + ≥ +
⇔
+
+ ≥
+
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
2
a b
= =
Chứng minh tương tự như trên ta có được b), c).
Và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
.
2
a b
= =
Tổng quát: Cho
a
và

b
là hai số thực dương và
a b
α
+ =
. Khi đó ta có:
1
2
n
n n
n
ba
α
−
+ ≥
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân:
( ) ( )
1
1
1

2 2 2

2
2
2 2
.
2
2

2 2
2
n n n n
n
n n n n
n
n n
n n
na
nb
n n a
b
a b
a
b
α α α α
α α α α
α α
−
−
−

 
+ ≥

 ÷
  

 


+ ≥
 ÷

 

 
⇔ +
     
+ + +
 ÷  ÷  ÷
     
     
+ + +
 ÷  ÷  ÷
     
 
 ÷

+ − ≥ +
 ÷
 
Suy ra
1
.
2
n
n
n
n
ba

α
−
+ ≥
 Bây giờ ta thử tăng thêm một biến ở vế trái. Khi đó, với
, , 0;a b c a b c
α
> + + =
.
Ta hãy xét cá bất đẳng thức sau:
a)
2 2 2
b Aa c
+ + ≥
- 19 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
b)
3 3 3
b Ba c
+ + ≥
c)
n n n
b Na c
+ + ≥
Với kĩ thuật tương tự như trên ta hoàn toàn có thể chỉ ra được:
2
3
1
3
9
3

n
n
A
B
C
α
α
α
−

=



=



=


 Từ các trường hợp riêng trên, ta thử tổng quát thành một bài toán lớn:
Bài toán: Cho k số thực dương
1 2
, , ,
k
aa a
thỏa
1 2


k
a aa
α
+ + + =
Chứng minh rằng:
1 2
1

n
n n n
k
n
a a
k
a
α
−
+ + + ≥
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân, ta có:
( )
1
1 1
1
2 2
1





1
n n n n
n
n n n n
n
n n n n
n
n n
n n
n
i i
a
k
a
k k k
a
k k k
a
k k k
k n
k
a
k
a
k
a n a
k
α α α α
α α α α
α α α α

α α
−
−
−
     
+ + +
 ÷  ÷  ÷

 
+ ≥

 ÷
 


 

+ ≥

 ÷

 



 
+ ≥


     

     
+ + +
 ÷  ÷  ÷
     
     
+ + +
 ÷  ÷  ÷
     
÷

 

⇔
   
+ −
 ÷  ÷
  
≥

1
1 1
1
1
n n
i i
n
n
n
i
n

i
a
k
α
−
= =
−
=
⇔ ≥
∑ ∑
∑
Và dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 2

k
a a a
k
α
= = = =
.
• Kĩ thuật tách – ghép bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân
Bài toán 1:
Cho
, , 0a b c
>
. Chứng minh rằng:
2 2 2
.
2
a b c

b c c a a b
a b c+
≥+ +
+
+ + +
Chứng minh:
Áp dụng bất đẳng thức trung bình cộng – trung bình nhân, ta có:
2 2
2
4 4
a a
b c
a
c
b b c
b
c
+
+ +
+ +
≥ =
- 20 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
Tương tự, ta có:
2 2
2
4 4
b b
c a
b

a
c c a
c
a
+
+ +
+ +
≥ =
2 2
2
4 4
c c
a b
c
b
a a b
a
b
+
+ +
+ +
≥ =
Cộng vế theo vế, ta có:
2 2 2
2
a b c
b c
a b
c a
c

a b
+ +
+ + +
+ +
≥
Đẳng thức xảy ra
a cb
= =
Nhận xét:
 Trong bài toán trên, tại sao chúng ta lại ghép
2
?
4
ca
b c
b
+
+
+
Mục đích của việc ghép này là làm mất các biến ở mẫu vì vế phải của bất
đẳng thức là một biểu thức không chứa biến ở mẫu. Nhưng tại sao lại ghép
b c
+
hay
2
b c
+
,… điều này xuất phát từ điều kiện để đẳng thức xảy ra là
.a cb
= =

 Nếu
1abc
=
thì
3a b c
+ + ≥
nên bất đẳng thức trở thành:
2 2 2
3
.
2
a b c
b c c a a b
+
+
≥+
+ +
 Phương pháp trên được sử dụng rất nhiều trong chứng minh bất đẳng
thức.
Bài tập vận dụng:
1) Cho
, , 0x y z
≥
và
1xyz
=
. Chứng minh rằng:
3 3 3
z x y zx y+ + ≥ + +
.

2) Cho
, ,a b c
là ba số thực dương sao cho
1abc
=
Chứng minh rằng:
21 1 1
1
7
1
.
81
a b c
a b c
   
+ + +
 ÷ ÷ ÷
+ + +
   
≥
b) Bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacovski
Định lý:
Cho
2n
số
1 2 1 2
, , , , , , ,
n n
a ba a b b
∈

¡
, ta luôn có:
1 1
2
2 2
1
.
n n n
i
i i
i i i
i
aa bb
= ==
 
≥
 ÷
 
∑ ∑∑
Dấu
" "
=
xảy ra khi và chỉ khi:
, 1, ;
i i
b ia k n k
== ∈
¡
.
Hệ quả 1: Cho

;, , 0a b a b
∈ >
¡
thì:
1 41
aa bb
≥
+
+
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b
=
.
- 21 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
Hệ quả 2: Cho
;, , , , 0a b c a b c
∈ >
¡
thì:
1 1 91
a b c a b c
+ ≥+
+ +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
a b c
= =
.
Hệ quả 3: Cho
, , , , , 0; , ,a b c x y z x y z

∈ >
¡
thì:
( )
2
2 2 2
a b
x
c
x y z
y z
a b c
+ +
≥
+
+
+
+
Dấu
" "
=
xảy ra khi và chỉ khi:
a b c
x y z
= =
Hệ quả 4: Cho
, , , , , 0; , ,a b c x y z x y z
∈ >
¡
thì:

( )
2
2
2 2
1 2
1 2
1 2 1 2

.
.
n
n
n n
a
a a
x x x
x x x
a a a
+ + +
≥
+ +
+
+
+ +
Dấu
" "
=
xảy ra khi và chỉ khi:
1 2
1 2

.
n
n
a
a a
x x x
= = =
Ví dụ 1: Cho
2 2
1a b
+ =
Chứng minh rằng:
1 1 2 2.a b b a+ + + +≥
Chứng minh:
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy – Bunhiacovski, ta có:
( )
( )
2 2
1
21
11 1
1
a b a b
a
a b b a
a bb b a
+ + +
⇔ +
≤ + + +
≤+

+
+ ++
Ta lại có:
( ) ( )
2 2 2 2
1 1
2
a b
a
b a
b
≤ + +
⇔ + ≤
+
Suy ra điều phải chứng minh.
Dấu
" "
=
xảy ra khi và chỉ khi:
1
.
2
a b= =
Ví dụ 2 ( Bất đẳng thức Nesbit ):
Cho
, , 0a b c
>
.
Chứng minh rằng:
3

.
2
a b c
b c c a a b
+ + ≥
+ + +
Chứng minh:
Áp dụng hệ quả 3, ta có:
- 22 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
( ) ( ) ( )
( )
( )
2 2 2
2
c a b
2
a b c
a b b c c a
a b c
b c c a a b
a b c
b c
a b c
ab bc cc a a b a
= + +
+ + +
+ +
+ + +
⇔

+ +
≥
+ +
+ +
++ +
Mà
( ) ( )
2
3 ab cb b aa cc
≥ + ++ +
Nên
3
2
a b c
b c c a a b
+
+ +
≥+
+
Dấu
" "
=
xảy ra khi và chỉ khi:
.a b c
= =
Bài tập vận dụng:
Áp dụng các hệ quả và bất đẳng thức Nesbit để chứng minh:
1)
2 2 2
1

a b c
b c c a a b
+ +
+ +
≥
+
2)
( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1
2
ab bc ca
c a b a b c b c ba a c
 
≥ + +
 ÷

+ +
+ +

+
3)
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
9
.
4
a b c
b c c a a

a b c
b
+ +
+ + +
≥
+ +
c) Bất đẳng thức Chebychev
Với 2 dãy số thực đơn điệu tăng
1 2
, , ,
n
aa a
và
1 2
, , ,
n
bb b
ta có:
( ) ( )
1 1 2 2 1 2 1 2
1

n n n n
b a b a b a a a ba b b
n
+ + + ≥ + + + + + +
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 2 1 2
,
n n

a a ba b b= === =
Hệ quả: Nếu
1 2
, , ,
n
aa a
là các số thực dương có tổng bằng
n
thì
1 1 1
1 2 1 2

n n n n n
n n
n
a a a a a a
+ + +
+ +≥+ + + +
.
Ví dụ:
Cho các số thực dương
1 2
, , ,
n
aa a
thỏa mãn
1 2
1.
n
aa a+ + + =

.
Chứng minh rằng:
1 2
1 2

2 2 2 2 1
n
n
a
a a n
a a a n
+
−
≥+ +
− − −
Chứng minh:
Vì bất đẳng thức đối xứng với tất cả các biến nên ta giả sử được
1 2

n
a a a≥ ≥ ≥
. Khi đó:
1 2
1 1 1

2 2 2
n
a a a
≥ ≥ ≥
− − −

Theo bất đẳng thức Chebychev thì
- 23 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
( )
( )
1 2
1 2
1 2
1
2 . 2 1
1 1 1

2 2 2
2 1
n
n
n
VT a
a a a
a a
n
n n
n a a
T
n
VT
V
a n
n
 

+ + + + +
 ÷
− −
≥ +
≥ =
− +
−
 
⇔
+ + −
≥
−
⇔
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 2
1

n
a a
n
a
= ==
.
Bài tập vận dụng:
1) Cho các số thực
, , 1a b c
>
thỏa mãn
2 2 2
1 1 1

1
1 1 1a b c
− − −
+ + =
Chứng minh rằng:
1 1
1 1 1
1.
1a b c
+ +
+
≤
+ +
2) Cho các số thực dương
, , ,a b c d
thỏa mãn
4a b c d
+ + + =
. Chứng minh
bất đẳng thức
2 2 2 2
1
.
11 1 1 1
1 1
3
1 1
1 1 1a b c d
+ +
+ +

≤+
+ +
3) Cho các số thực dương
, , ,a b c d
thỏa mãn điều kiện
1 1 1 1
a b c d
a b c d
+ + + = + + +
Chứng minh rằng:
( )
2 2 2 2
3 3 32 3a b ca b c d d
+ + ≥ + + + + + + ++
.
d) Phương pháp dồn biến
Để giới thiệu phương pháp này, chúng ta cùng xét bài toán sau:
Bài toán:
Cho
( )
0, ;, 1, a b ca b c
∈ +∞ + + =
Chứng minh rằng:
( )
4 5.
1
2
1 1
8 ab bc ca
a b c

+ + + + + ≥
Chứng minh:
- Đặt
( ) ( ) ( )
0
1 1 1
, , 48 ; , , ,f a b c ab bc ca a b c
a b c
= + + + + ∈+ ∀ +∞
Vì vai trò
, ,a b c
như nhau, nên không giảm tính tổng quát ta giả sử
{ }
max , , (*)a a b c
=
. Ta cần chứng minh:
( ) ( )
5 1, 2,f a b c
≥
( )
0, , ,a b c
∈∀ +∞
, đặt
(**)
2
b c
t
+
=
.

Để chứng minh (1) ta cần chứng minh:
- 24 -
Chuyên đề bất đẳng thức trong trường THPT
(i)
( ) ( ) ( )
, , , , 2f a b c f a t t
≥
( )
0, , ,a b c
∈∀ +∞
(ii)
( ) ( )
5 3, 2,f a t t
≥
( )
0, ; 2 1, aa tt
∈ +∞ + =∀
Thật vậy:
Chứng minh (i):
Ta có:
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
2
2
2
2
1 1 1

, , , , 4 48
2
+c
48
2
1
12
4
b c
f a b c f a t t bc
b c b c
b
b c
bc
bc b c
b c
b
c
c b c
b
−
−
 
+
 
= + − + −
 
 ÷
+
 

 
 
 
+
 
= + −
 
 ÷
+
 
 
 
 
= − −
 
+
 
Mặt khác, do
{ }
max , ,a a b c
=
và
1a b c
+ + =
, nên:
1 2
;
3 3
a b c ≤+≥
Suy ra

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
2
3
1
1
1
1
2
4
27
2
12
, , , , 0
1
bc b c
bc b c
bc b c
bc b
b
c
c
b c
b c
f a b c f a t t

≥
+
 
+
 ÷
 
≥
+
≥
>
+
⇔
+
⇔
+
⇔
⇒
+
− ≥
Suy ra (2) đúng.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
b c
=
.
Chứng minh (ii):
Với
( )
0, ; 2 1, aa tt
∈ +∞ + =∀


Suy ra
1 2a t
= −
thì:
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
2
2 2
25 (4
1 2
3 48 2
4 1
1
3
2
)
1
0 5
t
at t
a t
t
t t
⇔ + − +
−
≥
−

⇔ ≥
−
Rõ ràng (5) đúng, do đó (3) đúng.
- 25 -