Khai trien taylor
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (331.23 KB, 8 trang )
BỘ MÔN TOÁN ỨNG DỤNG - ĐHBK
TOÁN 1
GIẢI TÍCH HÀM MỘT BIẾN
•
BÀI 6: KHAI TRIỂN TAYLOR
•
TS. NGUYỄN QUỐC LÂN (12/2007)
CÁC ĐỊNH LÝ TRUNG BÌNH
Cực trò tại x
0
: ∃ ε > 0 : ∀ x ∈ (x
0
– ε, x
0
+ ε) ⇒ f(x) ≤ f(x
0
)
Fermat: f đạt cực trò tại x
0
∈ (a,b) & khả vi tại x
0
⇒ f’(x
0
) = 0
Minh hoạ hình học:
ĐỊNH LÝ ROLL
Hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a, b), f(a) = f(b)
⇒ ∃ x
0
∈(a, b): f’(x
0
) = 0
Minh hoạ hình học:
Giải: Xét hàm phụ
VD: Chứng minh
phương trình 4ax
3
+
3bx
2
+ 2cx – (a + b +
c) = 0 có ít nhất 1
nghiệm thực trong
khoảng (0, 1)
ĐỊNH LÝ (SỐ GIA) LAGRANGE
Hàm f(x) liên tục trên [a,b], khả vi trong (a,b)
⇒ ∃ c ∈ (a, b): f(b) – f(a) = f’(c)(b – a)
VD: CMinh BĐThức
yxyx −≤− arctgarctg
p dụng: Khảo sát
tính đơn điệu của
hàm y = f(x) bằng
đạo hàm
KHAI TRIỂN TAYLOR
CT Taylor (phần dư Peano): f có đhàm đến cấp n trên (a,b)
( )
( )
( ) ( )
( )
00
0
0
0
,
!
)( xxxxoxx
k
xf
xf
n
n
k
k
k
→−+−=
∑
=
Hàm y = f(x) có đạo hàm tại x
0
⇒ f(x) ≈ f(x
0
) + f’(x
0
)(x – x
0
)
Công thức Taylor: f có đạo hàm cấp n+1 trên (a,b); x
0
, x∈(a, b)
( ) ( )( )
( )
( )
( )
( )
( )
?
!
!2
''
'
0
0
2
0
0
000
+−++−+−+=
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xxxfxff
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
xxcxx
n
cf
xx
k
xf
xf
xR
n
n
n
k
k
k
n
,,
)!1(!
0
1
0
)1(
0
0
0
∈−
+
+−=⇒
+
+
=
∑
: Phần dư Lagrange
KHAI TRIỂN MAC – LAURINT
x
0
= 0: Khai triển Mac – Laurint (phổ biến)
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
)(
!
0
!
0
0'0)(
0
xRx
k
f
xRx
n
f
xffxf
n
n
k
k
k
n
n
n
+=++++=
∑
=
Phần dư Lagrange:
( )
( ) ( )
xxccx
n
cf
xR
n
n
n
,0,
)!1(
)(
1
)1(
∈=
+
=
+
+
Phần dư Peano:
( )
0,)(
1
→=
+
xxoxR
n
n
VD: Khai triển Mac – Laurint của hàm a/ e
x
b/ cosx
( )
0,
!!2
1
1
2
→+++++=
+
xxo
n
xx
xe
n
n
x
( )
( )
( )
0,
!2
1
!4!2
1cos
12
242
→+−+−+−=
+
xxo
n
xxx
x
n
n
n
Kết quả:
MINH HOẠ KHAI TRIỂN MAC – LAURINT
Minh hoạ hình học khai triển Mac - Laurint hàm f(x) = sinx
xxp =)(
1
6
)(
3
2
x
xxp −=
1206
)(
53
3
xx
xxp +−=
Chú ý: Đồ thò đa
thức xấp xỉ tiến
dần về đồ thò hàm
được khai triển
KHAI TRIỂN MAC – LAURINT HÀM CƠ BẢN
Khai triển e
x
: tách mũ chẵn, lẻ & đan dấu. cos chẵn → mũ
chẵn; sin lẻ → mũ lẻ; tg lẻ → mũ lẻ. K0 đan dấu → shx, chx
Hàm lượng giác: sinx, cosx. Hàm tgx (chỉ đến cấp ba)
( )
( )
0,
)!12(
1
!5!3
sin
2
12
1
53
→+
−
−
+++−=
−
−
xxo
n
xxx
xx
n
n
n
( )
( )
0,
)!2(
1
!4!2
1cos
12
242
→+
−
+++−=
+
xxo
n
xxx
x
n
n
n
( )
0,
3
tg
4
3
→++= xxo
x
xx
