tài liệu KHAI TRIỂN TAYLOR
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (192.86 KB, 61 trang )
KHAI TRIỂN TAYLOR
Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
0 0
0 0 0
( )
0
0
( )
1! 2!
!
′ ′′
= + − + −
+ + − +L
n
n
n
f x f x
f x f x x x x
f x
x x
n
R
x
f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x
0
:
( )
( )
( 1)
1
0
,
( 1)!
n
n
n
f c
x x
n
R
+
+
= −
+
(khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x
0
)
c nằm giữa x và x
0
Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2
0 0
0 0 0
( )
0 0
0
( )
1! 2!
!
( )
′ ′′
= + − + −
+ + − −+L
n
n
n
f x f x
f x f x x x x x
f x
x x
n
o x x
f có đạo hàm cấp n tại x
0
:
Phần dư Peano.
x
0
= 0: khai triển Maclaurin.
Ý nghĩa của khai triển Taylor
f(x): biểu thức phức tạp
⇒ cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần bằng
f(x) để thuận tiện trong tính toán.
Hàm đơn giản nhất là đa thức.
f(x) = sinx
( ) ( )f x x o x
= +
( ) ( )f x x o x
= +
f(x) = sinx
3
3
( ) ( )
3!
x
f x x o x= − +
3
3
( ) ( )
3!
x
f x x o x= − +
( ) ( )f x x o x= +
f(x) = sinx
4
2 1
7
1
( ) ( 1) ( )
(2 1)!
n
n
n
x
f x o x
n
−
=
= − +
−
∑
3
3
( ) ( )
3!
x
f x x o x= − +
( ) ( )f x x o x= +
4
2 1
7
1
( ) ( 1) ( )
(2 1)!
n
n
n
x
f x o x
n
−
=
= − +
−
∑
f(x) = sinx
Ví dụ 1.
(khai triển f thành đa thức theo lũy thừa của (x – 1)
đến (x – 1)
3
)
•
Với phần dư Peano, chỉ cần tính đến đh cấp 3.
•
Với phần dư Lagrange, phải tính đến đh cấp 4.
Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1
cho
1
( )f x
x
=
(1) 1f⇒ =
1
( )f x
x
=
2
1
( )f x
x
′
= −
(1) 1f
′
⇒ = −
3
2
( )f x
x
′′
=
(1) 2f
′′
⇒ =
4
6
( )f x
x
′′′
= −
(1) 6f
′′′
⇒ = −
( )
2
3 3
(1) (1)
( ) (1) ( 1) ( 1)
1! 2!
(1)
( 1) ( 1)
3!
f f
f x f x x
f
x o x
′ ′′
= + − + −
′′′
+ − + −
(4)
5
24
( )f x
x
=
( )
2
3 3
(1) (1)
( ) (1) ( 1) ( 1)
1! 2 !
(1)
( 1) ( 1)
3!
f f
f x f x x
f
x o x
′ ′′
= + − + −
′′′
+ − + −
( )
2 3 3
1 2 6
( ) 1 ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1! 2! 3!
f x x x x o x
= − − + − − − + −
( )
32 3
1 ( 1) ( 1) ( ( 1)1)x ox x x
= − − + − − −+−
Phần dư Peano
(4)
5
24
( )f x
x
=
Nếu dùng phần dư Lagrange:
32
3
( 1)( ) 1 ( 1) ( 1)f x x x Rx
= − − + − +−−
)4
4
3
(
( )
( 1)
4!
f
R x
c
= −
4
4
5 5
1 24 ( 1)
( 1)
4!
x
x
c c
−
= − =
Ví dụ 2
2
( ) 2tan (1 tan )f x x x
′′
= +
2 2 2
( ) 2(1 tan ) 6tan (1 tan )f x x x x
′′′
= + + +
( )
2
3 3
(0) (0)
( ) (0) ( 0) ( 0)
1! 2!
(0)
( 0) ( 0)
3!
f f
f x f x x
f
x o x
′ ′′
= + − + −
′′′
+ − + −
Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho f(x) = tan x
2
( ) 1 tanf x x
′
= +
3
3
tan ( )
3
x
x x o x= + +
Ví dụ 3
Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = -1,
f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1)
Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f
(4)
(x) = 0
⇒ Khai triển Taylor của f đên cấp 3 không có
phần dư.
2 3
(2) (2) (2)
( ) (2) ( 2) ( 2) ( 2)
1! 2! 3!
f f f
f x f x x x
′ ′′ ′′′
= + − + − + −
2 3
(2) (2) (2)
( ) (2) ( 2) ( 2) ( 2)
1! 2! 3!
f f f
f x f x x x
′ ′′ ′′′
= + − + − + −
Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = -1,
f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1)
2 3
1 4 12
0 ( 2) ( 2) ( 2)
1! 2! 3!
x x x
= − − + − + −
2 3
( 2) 2( 2) 2( 2)x x x
= − − + − + −
2
( ) 1 4( 2) 6( 2)f x x x
′
⇒ = − + − + −
(1) 1, (1) 1f f
′
⇒ = =
Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản
( )
( )
k x
f x e=
( )
( )
1
(0)
(0) ( 0) ( 0)
!
n
k
x k n
k
f
e f x o x
k
=
= + − + −
∑
1
1
1 ( )
!
n
x k n
k
e x o x
k
=
= + +
∑
(x
0
= 0)
(. )1
x
f x e
=
( )
(0) 1
k
f⇒ =
1
( )
( 1) ( 1)!
( )
(1 )
k
k
k
k
f x
x
−
− −
=
+
( )
( )
1
(0)
ln(1 ) (0 )
!
n
k
k n
k
f
x f x o x
k
=
+ = + +
∑
1
1
ln(1 ) ( 1) ( )
n
k
k n
k
x
x o x
k
−
=
+ = − +
∑
( )2 l ). n(1 f x x
= +
( ) 1
(0) ( 1) ( 1)!
k k
f k
−
⇒ = − −
( )
( ) ( 1) ( 1)(1 )
k k
f x k x
α
α α α
−
= − − + +L
( )
( )
1
(0)
(1 ) (0)
!
n
k
k n
k
f
x f x o x
k
α
=
+ = + +
∑
2
( 1)
(1 ) 1
1! 2!
( 1) ( 1)
( )
!
n n
x x x
n
x o x
n
α
α α α
α α α
−
+ = + + +
− − +
+ +
L
L
( )3 1 ). ( f x x
α
= +
( )
(0) ( 1) ( 1)
k
f k
α α α
= − − +L
Áp dụng cho α = - 1.
2 3
1
1 ( 1) ( )
1
n n n
x x x x o x
x
= − + − + + − +
+
L
2
( 1)
(1 ) 1
1! 2!
( 1) ( 1)
( )
!
n n
x x x
n
x o x
n
α
α α α
α α α
−
+ = + + +
− − +
+ +
L
L
( )
( ) sin
2
k
f x x k
π
= +
÷
( )
2 1
( )
2 1
0
(0)
sin (0)
!
n
k
k n
k
f
x f x o x
k
−
−
=
= + +
∑
( ) sin3. f x x
=
( )
(0) sin
2
k
f k
π
⇒ =
( )
(2 1) 1
2 (0) 0
2 1 (0) ( 1)
k
p p
k p f
k p f
− −
= ⇒ =
= − ⇒ = −
( )
2 1
1 2 1
1
sin ( 1)
(2 1)!
n
k
k n
k
x
x o x
k
−
− −
=
= − +
−
∑
( )
2
( )
2
0
(0)
sin ( 0)
!
n
k
k n
k
f
x f x o x
k
=
= + +
∑
( )
2 1
1 2
1
sin ( 1)
(2 1)!
n
k
nk
k
o x
x
x
k
−
−
=
= − +
−
∑
Lưu ý cho hàm sin x
f
(2n)
(0) = 0 ⇒ hệ số của x
2n
là 0.
Bảng công thức kt Maclaurin cơ bản
2
1 ( )
1! 2! !
x
n
n
x x x
e o x
n
= + + + + +L
2 3
1
( 1) ( )
2 3
ln(1 )
n
n n
x x x
x o xx
n
−
= − + − + − ++ L
2
( 1)
1
1! 2!
(
(1 )
1) ( 1)
( )
!
n n
x x
n
n
x
x o x
α
α α α
α α α
−
= + + +
− − +
+ +
+ L
L
2 3
1 ( 1)
1
1
( )
n n n
x x x o x
x
x= − + − + + − +
+
L
( )
3 5 2 1
1 2 1
( 1)
3! 5! (2 1)!
sin
n
n n
x
x x x
x o x
n
−
− −
= − + − + − +
−
L
( )
( )
2n
hay o x+
( )
2 4 2
2
1 ( 1)
2! 4! (
c
2 )!
os
n
n n
x x x
o xx
n
= − + − + − +L
( )
( )
2 1n
o xhay
+
+
Khai triển Maclaurin của arctan và hyperbolic
( )
3 5 2 1
2 1
sinh
3! 5! (2 1)!
−
−
= + + + + +
−
L
n
n
x x x
x x o x
n
( )
3 5 2 1
1 2 1
arctan ( 1)
3 5 2 1
n
n n
x x x
x x o x
n
−
− −
= − + − + − +
−
L
( )
2 4 2
2
cosh 1
2! 4! (2 )!
= + + + + +L
n
n
x x x
x o x
n
Giống sinx, cosx nhưng không đan dấu
Giống sinx, nhưng mẫu số không có giai thừa.
Lưu ý về thay tương đương cho sinh, cosh
, 0sinh khi x x x⇒ →:
( )
3 5 2 1
2 1
sinh
3! 5! (2 1)!
n
n
x x x
x x o x
n
−
−
= + + − + +
−
L
( )
2 4 2
2
cosh 1
2! 4! (2 )!
n
n
x x x
x o x
n
= + + − + +L
bậc cao hơn x (khi x→0)
2
cosh 1 0
2
,khi x
x
x⇒ − →:
