Toán 11 - 1 - Hè 2010
Bài 1: CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NHỚ
I. CÁC CUNG LIÊN KẾT
1) Hai cung(góc) phụ nhau:
• sin
2
π
α
 
−
 ÷
 
=………………
• cos
2
π
α
 
−
 ÷
 
=………………
• tan
2
π
α
 
−
 ÷
 
=………………

• cot
2
π
α
 
−
 ÷
 
=………………
2) Hai cung(góc) bù nhau
• sin
( )
π α
−
=……………
• cos
( )
π α
−
=……………
• tan
( )
π α
−
=……………
• cot
( )
π α
−
=……………

•
3) Hai cung(góc) hơn kém
π
• sin
( )
π α
+
=……………
• cos
( )
π α
+
=……………
• tan
( )
π α
+
=……………
• cot
( )
π α
+
=……………
4) Hai cung(góc) đối nhau
• sin
( )
α
−
=…………
• cos

( )
α
−
=…………
• tan
( )
α
−
=…………
• cot
( )
α
−
=…………
II. CÁC CÔNG THỨC CỘNG
• sin(a + b) = ……………………………………………………………
• cos(a + b) = …………………………………………………………….
• tan(a + b) = ……………………………………………………………
• cot(a + b) = ……………………………………………………………
III. CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI, HẠ BẬC
• sin2a = ………………………………………………………………………
• cos2a = ………………………………………………………………………
• tan2a = ………………………………………………………………………
•
2
sin a =
……………………
•
2
cos a =

……………………
•
2
tan a =
……………………
• sina.cosa = ………………
IV. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TỔNG THÀNH TÍCH
• cosa + cosb = …………………………………………………………………
• cosa + cosb = …………………………………………………………………
Toán 11 - 2 - Hè 2010
• sina + sinb = …………………………………………………………………
• sina - sinb = …………………………………………………………………
•
V. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG
• cosa .cosb = …………………………………………………………………
• sina . cosb = …………………………………………………………………
• cosa . sinb = …………………………………………………………………
• sina .sinb = …………………………………………………………………
VI. CÁC CÔNG THỨC KHÁC
• sina + cosa = ……………………………………………………………………
• sina - cosa = ……………………………………………………………………
• cosa - sina = ……………………………………………………………………
Bài 2: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
Phương trình lượng giác cơ bản là các phương trình có dạng :
sinu = m (1), cosu = m (2), tanu = m (3), cotu = m (4)
Trong đó u là biểu thức chứa x.
1. Phương trình dạng sinu = m (1)
Dạng phương trình Cách giải
sinu = m (1)
(1) có nghiệm

1m⇔ ≤
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
sinu = sinv (1’)
u, v là các biểu
thức chứa x
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:
a)
3
sin
2
x =
b)
sin 2 sin
5 5
x
π π
   
− =
 ÷  ÷
   
c)
( )
0
sin 3 sin 30x x= +
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Toán 11 - 3 - Hè 2010
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Hãy đưa về dạng (1’) các phương trình sau:
• sinu = cosv……………………………………………………………
• sinu = -sinv……………………………………………………………
• sinu = - cosv……………………………………………………………
Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:
a) sin(2x + 10
0
) + sin(x – 19
0
) = 0 b) sin4x = cosx c)
sin 2 cos
3
x x
π
 
− +
 ÷
 
= 0
………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Toán 11 - 4 - Hè 2010
2. Phương trình dạng cosu = m (2)
Dạng phương trình Cách giải
cosu = m (2)
(1) có nghiệm
1m
⇔ ≤
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
cosu = cosv (2’)
u, v là các biểu
thức chứa x
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:
a)

2
cos
2
x =
b)
( )
cos 2 1 cos
5
x
π
 
− =
 ÷
 
c)
2
cos3
5
x =
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

Hãy đưa về dạng (2’) phương trình sau:
• cosu = - cosv……………………………………………………………
ĐẶC BIỆT:
Sinu = 1
⇔
……………………………… cosu = 1
⇔
………………………………
Sinu = -1
⇔
………………………………. cosu = 1
⇔
………………………………

Sinu = 0
⇔
………………………………

cosu = 0
⇔
………………………………
Toán 11 - 5 - Hè 2010
3. Phương trình dạng tanu = m (3)
Dạng phương trình Cách giải
tanu = m (3)
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
tanu =tanv (3’)
u, v là các biểu

thức chứa x
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Ví dụ 4: Giải các phương trình sau:
a)
1
t an4
3
x =
b)
t an3 tanx x=
c)
0
tan(2 30 ) 3x + =
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Hãy đưa về dạng (3’) các phương trình sau:
• tanu = cotv……………………………………………………………
• tanu = -tanv……………………………………………………………
• tanu = - cotv……………………………………………………………
Ví dụ 5: Giải các phương trình sau:

a)
( )
0
t an4 tan 2 20 0x x+ − =
b)
t an3 cot 0x x
+ =
c)
tan(2 ) cot( 2)
3
x x
π
+ = −
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Toán 11 - 6 - Hè 2010
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
4. Phương trình dạng cotu = m (4)

Dạng phương trình Cách giải
cotu = m (4)
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
cotu = cotv (4’)
u, v là các biểu
thức chứa x
………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………
Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:
a)
cot(2 ) 3
4
x
π
+ = −
b)
( )
0
cot 3 10 cotx x+ =
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Toán 11 - 7 - Hè 2010
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
Hãy đưa về dạng (4’) các phương trình sau:
• cotu = - cotv……………………………………………………………
Ví dụ 7: Giải phương trình sau:
0
cot 4 cot30 0x + =
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
………………………………………………………………………………………………………
ĐẶC BIỆT
tanu = 0
⇔
………………………………

cotu = 0
⇔
………………………………
BÀI TẬP
Bài 1: Giải các phương trình sau:
a)
2
sin
2
x =
b)
5
sin 3 sin 0

6
x
π
+ =
c)
( )
0
sin 20 cos2 0x x+ + =
d)
( )
0
2
cos 3 15
2
x − = −
e)
cos2 sin
10
x
π
=
f)
( )
0 0
cos 20 cos15 0x + + =
Bài 2: Giải các phương trình sau:
a) tanx = -1 b)
( )
0
tan 3 15 3x − = −

c)
3 tan 3 0x + =
d)
tan 5
3
x
π
 
− =
 ÷
 
e)
1
cot 2 cot( )
2
x = −
f)
2 1 1
cot tan
6 2
x +
   
=
 ÷  ÷
   
Bài 3: Giải các phương trình sau:
a)
cot cot2
4
x x

π
 
+ =
 ÷
 
b)
tan tan
2
x
x=
c)
( )
0
tan 2 10 cot 0x x+ + =
d)
tan 2 tan 0
3
x x
π
 
− + =
 ÷
 
e)
1
cot 2 cot( )
2
x = −
f)
0

tan(2 15 ) cot 0x x+ + =
Bài 4: Tìm nghiệm của các phương trình sau trên khoảng đã cho:
a)
1
sin 2 , 0
2
x x
π
= − < <
b)
0 0 0
3
cos( 20 ) , 90 270
2
x x+ = < <