đề 1
CâuI 1/. Tính
1.6. 250
2/. Tìm m để hàm số y = (m 3)x + 2 nghịch biến
3/. Tìm a để PT: x
2
2x + a + 3 = 0 có nghiệm kép
CâuII
1) giải pt:
3 0x x =
2) giải hệ
3 7
2 3 1
x y
x y
+ =


=

CâuIII
Cho biểu thức
2 2 1
.
1
2 1
x x x
A
x
x x x

+ +
=
ữ
ữ

+ +

với x > 0 , x 1
1) rút gọn A
2) Tìm x

Z để A

Z
CâuIV Cho pt: x
2
2(m 1)x + m
2
4m +3 = 0
1) Tìm m để PT có hai nghiệm phân biệt
2) Tìm m để
2 2
1 2
6x x+ =
CâuV
Hai ô tô khởi hành cùng một lúc từ A đến B dài 240 km , mỗi giờ ô
tô thứ nhất chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 12 km , nên đến B trớc ô
tô thứ hai là 100 phút , Tìm vận tốc mỗi ô tô.
CâuVI Cho ABCD nội tiếp (O) , P là trung điểm của cung nhỏ AB .
Hai dây PC và PD cắt AB thứ tự tại E và F , AD và PC kéo dài cắt

nhau tại I , BC và PD kéo dài cắt nhau tại K .chứng minh rằng:
1) Tứ giác CDFE nội tiếp. 2/.IH // AB
3/. PA là tiếp tuyến của đờng tròn ngioạ tiếp tam giác AFD.
đề 2
CâuI1)Tính
27 48 75+
2) tìm a để
2 1a
có nghĩa
3)Tìm m để hàm số y = (2m +1)x 1 là hàm số bậc nhất.
4)Tìm m để PT: x
2
5x + m 2 = 0 có hai nghiệm phân biệt
CâuII
1)giải pt: x
4
8x
2
9 = 0 2)giải hệ
2 3 4
6 2
x y
x y
=


+ =

CâuIII
Cho biểu thức

2
1
x x x
A
x x x


=
ữ
ữ


với x > 0 , x 1
1) Rút gọn A 2) Tìm x để A > 0
3) Tính giá trị của A khi
3 8x = +
CâuIV
Cho pt: x
2
2(m 1)x + m +3 = 0
1)Tìm m để PT có nghiệm kép 2/.Tìm m để
2 2
1 2
12x x+ =
CâuV
Một chiếc thuyền khởi hành từ bến A . sau 5 giờ 20 phút thì một ca
nô đuổi theo và gặp thuyền tại một điểm cách A là 20 km . tính vận
tốc của thuyền , biết rằng vận tốc của ca nô lớn hơn vận tốc của
thuyền là 12 km (vận tốc của dòng nớc không đáng kể)
CâuVI . Cho tam giác ABC có

à
0
90A =
và AB > AC .kẻ đờng cao
AH.Trên nửa mặt phẳng bờ BC chứa điểm A vẽ hai nửa đờng tròn đ-
ờng kính BH và CH chúng cắt AB và AC thứ tự tại E và F, chứng
minh rằng: 1)Tứ giác AEHF là hình chữ nhật.
2) tứ giác BEFC nội tiếp
3) AE.AB = AF.AC
đề 3
CâuI1)Tính
( ) ( )
2 2
1 2 2 2 +
2) tìm a để
3 2a +
có nghĩa
3)Tìm m để hàm số y = (-2m +1)x + 5 đồng biến.
CâuII 1)giải pt: x
4
24x
2
25 = 0 2)giải hệ
3 2 9
5 2
x y
x y
=



+ =

CâuIII Cho biểu thức
1 1 1 2
:
1 2 1
a a
A
a a a a

+ +

=
ữ
ữ
ữ



với a > 0 , a 1 , a 4
1)Rút gọn A 2) Tìm a để A > 0 3)Tìm a

Z để
1
A

Z
CâuIV Cho pt: x
2
(m + 1)x + m - 3 = 0

1)Tìm m để PT có một nghiệm bằng -2 và tìm nghiệm còn lại.
2)Tìm m để
2 2
1 2
11x x+ =
Câu V. Một mảnh đất hình chữ nhật có diiện tích 70 m
2
. nếu tăng
chiều rộng thêm 2 m và chiều dài giảm đi 4 m thì diện tích lúc đó
vẫn không đổi . tìm kích thớc của mảnh đất.
Câu VI. Cho (O) đờng kính AB . Điểm I nằm giữa A và O sao cho
2
3
AI AO
=
.kẻ đây MN vuông góc AB tại I ,gọi C là điểm tuỳ ý thuộc
cung lớn MN (C khác M ,N , B) Nối AC cắt MN tại E
1) chứng minh Tứ giác IECB nội tiếp
2)chứng minh . AM
2
= AE .AC
3) chứng minh AE.AC IA .IB = IA
2
Hết
đề 4
CâuI.1)Tính
( )
2
3 2 12 27 +
2) Tìm x để

3 1x +
có nghĩa
3) Tính: tg25
0
cotg65
0
4)Tìm m để đờng thẳng y = (2m +1)x + 5 // y = -x +3
CâuII. 1/.giải pt: x 5
x
+ 4 = 0 2/. giải hệ
2 5
3 2 1
x y
x y
=


=

CâuIII. Cho biểu thức
2 2 1
. 2
1
2 1
a a a
P
a
a a a

+ +


= +
ữ
ữ
ữ

+ +


với a > 0 , a 1
1)Rút gọn P 2) Tìm a để P <-1
CâuIV. Cho pt: x
2
2(m - 1)x + m +5 = 0
1)Tìm m để PT một nghiệm kép
2)Tìm m để
2 2
1 2 1 2
16x x x x+ =
Câu V. Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể sau 16 giờ thì đầy .Nếu
để vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ ,vòi thứ hai chảy trong 6 giờ thì đợc
1
4
bể. Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình sau bao lâu thì đầy bể.
Câu VI
Cho hình vuông ABCD .Lấy E

BC .Qua B kẻ đờng vuông góc với
đờng thẳng DE tại H và cắt đờng DC tại K.chứng minh rằng
1) Tứ giác DBHC nội tiếp

2) KH.KB = KC .KD
Hết
đề 5
CâuI. 1)Trục căn thức
2
1 3

2) tìm a để
3 a
có nghĩa
3)Tìm m để hàm số y = (-2m +3)x + 1 đồng biến.
4) tìm m để pt : x
2
+ 3x m = 0 có hai nghiệm phân biệt
CâuII. 1)giải pt: x
3
+ 3x
2
4x = 0 2)giải hệ
3 5
2 3
x y
x y
=


+ =

CâuIII. Cho biểu thức
đề 6

CâuI. 1)Tính
( ) ( )
2 2
3 2 3 3
2) Tìm x để
3 x
có nghĩa
3) Tính: tg52
0
cotg38
0
4)Tìm m để hs y = (3m -1)x + 5 đồng biến
CâuII. 1)giải pt: x 5
x
-6 = 0 2)giải hệ
3 4
2 3 1
x y
x y
=


+ =

CâuIII. Cho biểu thức
4 8 1 2
:
4
2 2
x x x

A
x
x x x x


=
ữ ữ
ữ ữ

+

với x > 0 , x 4
1)Rút gọn A 2) Tìm x để A = -1

CâuIV. Cho pt: x
2
2(m + 3)x + m + 3 = 0
1)Tìm m để PT có nghiệm kép 2)Tìm m để
1 2
1 1
1
x x
+ =
CâuV
Một ngời đi xe máy từ A đến B dài 100 km sau đó 15 phút một ô tô
đI từ B đến A và gặp xe máy tại điểm C là chính giữa quãng đờng
AB. Tìm vận tốc mỗi xe biết rằng mỗi giờ ô tô đi nhanh hơnĩe máy
là 10 km.
Câu VI
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Kẻ các đờng cao BD

và CE (D

AC , E

AB ) cắt (O) thứ tự tại N và M chứng minh
rằng:
1) Tứ giác BEDC nội tiếp
2) AE .AB = AD .AC
3) DE // MN
4 1 2
1 :
1 1
1
x x
P
x x
x


=
ữ

+

với a > 0 , x 1 , x 4
1)Rút gọn P 2) Tìm a để P =
1
2
CâuIV. Cho pt: x
2

2(m +1)x + m +3 = 0
1)Tìm m để PT một nghiệm kép
2)Tìm m để
2 2
1 2 1 2
16x x x x+ =
CâuV
Một đội xe dự định chở 200 tấn thóc .Nếu tăng 5 xe và giảm số thóc
phải chở đi 20 tấn thì mỗi xe lúc đớỉch nhẹ hơn dự định là là 1 tấn.
Tính ssó xe của đội lúc đầu
CâuVI. Cho đoạn thẳng AB và M ở giữa A và B .Trên nửa mặt
phẳng bờ AB Vẽ hai tia Ax và By cùng vuông góc với AB.Trên Ax
lấy điểm C .từ M kẻ MD vuông góc với MC (D

By) ,đờng tròn đ-
ờng kính MC cắt CD tại E. AE cắt CM tại I , BE cắt DM tại K .cmr:
1/.tam giác AEB đồng dạng tam giác CDM
2/. Tứ giác IMKE nội tiếp
3/.Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABCD lớn nhất
đề 7
CâuI. 1)Tính
2 3
. 6
3 2

+
ữ
ữ

2) tìm a để

5 a
có nghĩa
3)Tìm m để hàm số y = (-2m +1)x + 5 nghịch biến.
CâuII. 1)giải pt: x(x-5) = 6 2)giải hệ
3 7
2 3 1
x y
x y
=


+ =

CâuIII. Cho biểu thức
9 3 1 1
:
9
3 3
x x x
A
x
x x x x

+ +
=
ữ ữ
ữ ữ

+


với x > 0 , x 9 ,
1)Rút gọn A 2) Tìm x để A <-1

CâuIV. Cho pt: x
2
+2 (m -2)x + m
2
-3m - 2 = 0
1)Tìm m để PT có hai nghiệaiphan biệt.
2)Tìm m để
2 2
1 2
8x x+ =
Câu V
Trong tháng I hai tổ sản xuất đợc 600 chi tiết máy.sang tháng II tổ
một vợt mức 18% và tổ hai vợt mức 21% nên sản xuất đợc 720 chi
tiết máy .Tính số chi tiết máy của mỗi tổ làm đợc trong tháng I
Câu VI
Cho (O;R) hai điểm C ,D

(O) .B là trung điểm của cung nhỏ
CD ,vẽ đờng kính BA trên tia đối của tia AB lấy điểm S nối S với C
cắt (O) tại M .MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H chứng minh
rằng :
1)Tứ giác AMHK nội tiếp
2) HK // CD
3) OK.OS = R
2
Hết
đề 8

CâuI. 1)Tính
18 32 2 2+
2) tìm a để
5 2a +
có nghĩa
3)Tìm m để hàm số y = (2- m)x + 3 đồng biến.
CâuII. 1)giải pt: x - 2
x
= 0 2)giải hệ
4 9
3 5 1
x y
x y
+ =


=

CâuIII Cho biểu thức
1 1 1 1 2
:
1
1 1 1 1
x x
A
x
x x x x

+


= +
ữ
ữ
ữ

+ +


với x 0 , x 1
1)Rút gọn A. 2) Tìm x để A =
1
2
3)Tìm x

Z để A

Z
CâuIV. Cho pt: x
2
2(m + 3)x + m +5 = 0
1)Tìm m để PT có nghiệm kép. 2)Tìm m để
2 2
1 2
13x x+ =
Câu V
Một mảnh đất hình chữ nhật ,Nếu giảm mỗi cạnh đi 2 m thì diện
tích mảnh đất giảm đi 84 m
2
.Nếu tăng chiều dài thêm 3 m và tăng
chiều rộng thêm 2 m thì diện tích lú đó tăng 114 m

2
. Tìm kích thớc
của mảnh đất.
Câu VI
Cho (O) đờng kính AB . M nằm giữa O và B ,dây DE vuông góc với
AB tại M ,trên tia đối của của tia BA lấy điểm C sao cho MA =MC ,
đờng thẳng DB cắt đờng CE tại F .chứng minh rằng:
1) Tứ giác ADCE là hình thoi
2) Tứ giác CDMF nội tiếp
3) MF là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính BC.
Hết
đề 9
CâuI.1)Tính
45 5
2) Tìm x để
1
2x
có nghĩa
3)Tìm m để đờng thẳng y = 2x + m+5 // y = 2x - 3
CâuII. 1)giải hệ
2 5
3 2 1
x y
x y
=


=

2) (x

2
+3x)
2
- 2(x
2
+3x) 8 = 0
CâuIII. Cho biểu thức
1 2 5 2
4
2 2
a a a
P
a
a a
+ +
= +

+
với a 0 , a 4
1)Rút gọn P 2) Tìm a để P =2
CâuIV. Cho pt: x
2
(m - 1)x + m +5 = 0
1)Tìm m để PT một nghiệm bằng 3
đề 10
CâuI
1)Tính
6,4. 250
2)Tìm m để hàm số y = (m 3)x + 2 là hàm số bậc nhất
3)Tìm a để

2 1a
có nghĩa
CâuII
1) giải pt:
3 2 0x x + =
2) giải hệ
5 2 9
5 3 1
x y
x y
+ =


=

CâuIII
Cho biểu thức
1 1 1
:
1 2
x
A
x x x x
+

= +
ữ


với x > 0 , x 1

1)rút gọn A
2)Tìm GTNN cuar
2 2
1 2 1 2
A x x x x= +
CâuV Một xe máy đI từ A đến B dài 120 km với vận tốc dự định
.khi đI đợc
2
3
quãng đờng thì dừng xe nghỉ 12 phút ,để đến B đúng
hẹn ngời đó đã tăng vận tốc thêm 10 km/h trên quãng đờng còn
lại .tìm vận tốc dự định
CâuVI
Cho tam giác ABC có
à
0
90A =
.kẻ đờng cao AH vẽ đờng tròn
tâm O đờng kính AH cắt AB , AC thứ tự tại E và F.chứng minh
rằng:
1)Tứ giác AEHF là hình chữ nhật
2)Tứ giác BEFC nội tiếp
3)Gọi K là trung điểm của HC, đờng vuông góc với EC tại C cắt FK
tại P
Chứng minh BP //AC
2)Tìm x để A < -1
CâuIV
Cho pt: x
2
+ (m 1)x +m - 3 = 0

1)Tìm m để PT có một nghiệm bằng 2,và tìm nghiệm còn lại
2)Tìm GTNN của A =
2 2
1 2
x x+
CâuV
Một ca nô xuôi dòng từ A đến B dài 90 km. rồi ngợc trở về A biết
thời gian xuôi ít hơn thời gian ngợc là 4 giờ và vận tốc xuôi lớn hơn
vận tốc ngợc là 6 km/h .Tìm vận tốc lúc xuôi và vận tốc lúc ngợc
dòng.
CâuVI
Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O). kẻ hai tiếp tuyến AB
và AC (B ,C là hai tiếp điểm) gọi M là trung điểm của AB , MC cắt
(O) tại tại I , AI cắt (O) tại điểm thứ hai là D chứng minh rằng:
1) Tứ giác ABOC nội tiếp
2) MB
2
= MI .MC
3) Tam giác BCD cân
đề 11
CâuI. 1)Tính
18 2
2) tìm a để
5 2a +
có nghĩa
3) vẽ đồ thị hàm số y = x + 3
CâuII. 1)giải pt: x
4
- 7x
2

+12 = 0 2)giải hệ
2 3 9
3 8
x y
x y
+ =


=

CâuIII
Cho biểu thức
1 2 3 3 2
:
1 1
1 1
x x x x
A
x x
x x

+ +

= +
ữ
ữ
ữ

+



với x
0 , x 1
1)Rút gọn A
2)Tìm x

Z để A

Z
Câu IV.Một tàu thuỷ chạy trên một khúc sông dài 80 km cả đi và về
hết 8 giờ 20phút .Tính vận tốc của tàu thuỷ khi nớc yên lặng , biết
rằng vận tốc của dòng nớc là 4 km/h.
Hết
Câu VI
Cho nửa (O) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Bx , Lấy hai điểm C
và D thuộc nửa (O) sao cho hai tia AC và AD cắt Bx thứ tự tại E và
F (F nằm giữa B và E).chứng minh rằng:
1) Tam giác ABF đồng dạng tam giác BDF
2) Tứ giác CEFD nội tiếp
3) Khi C , D di động trên nửa (O) thì AC.AE = AD.AF và có
giá trị không đổi.
Hết
THI TUYN SINH LP 10, THPT H NI
Mụn : Toỏn Nm hc : 20082009 Thi gian : 120 phỳt
Bi 1: (2,5 ) Cho biu thc:
1
:
1
x x
P

x x x x

= +
ữ
+ +

a) Rỳt gn P. b) Tớnh giỏ tr ca P khi x = 4. c) Tỡm x P =
13
3
Bi 2: (2 ) (Gii bi toỏn sau bng cỏch lp phng trỡnh)
Thỏng th nht hai t sn xut c 900 chi tit mỏy. Thỏng th hai t I vt mc 15% v t II vt mc 10% so vi thỏng th nht,
vỡ vy hai t ó sn xut c 1010 chi tit mỏy. Hi thỏng th nht mi t sn xut c bao nhiờu chi tit mỏy?
Bi 3: (3,5) Cho Parabol (P): y =
1
4
x
2
v ng thng (d): y = mx + 1.
a) Chng minh vi mi giỏ tr ca m ng thng (d) luụn ct Parabol (P) ti hai im phõn bit.
b) Gi A, B l hai giao im ca (d) v (P). Tớnh din tớch tam giỏc OAB theo m ( Vi O l gc ta ).
Bi 4: (3,5 ) Cho ng trũn (O) cú ng kớnh AB = 2R v E l im bt kỡ trờn ng trũn ú (E khỏc A v B). ng phõn giỏc gúc
AEB ct on thng AB ti F v ct ng trũn (O) ti im th hai l K.
a) Chng minh tam giỏc KAF ng dng vi tam giỏc KEA.
b) Gi I l giao im ca ng trung trc on EF vi OE, chng minh ng trũn (I) bỏn kớnh IE tip xỳc vi ng trũn (O) ti
E v tip xỳc vi ng thng AB ti F.
c) Chng minh MN // AB, trong ú M v N ln lt l giao im th hai ca AE, BE vi ng trũn (I).
d) Tớnh giỏ tr nh nht ca chu vi tam giỏc KPQ theo R khi E chuyn ng trờn ng trũn (O), vi P l giao im ca NF v AK;
Q l giao im ca MF v BK.
Bi 5: (0,5 ) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A, bit:
A = (x 1)

4
+ (x 3)
4
+ 6(x 1)
2
(x 3)
2
.
THI TUYN SINH LP 10, THPT TP H NI
Mụn : Toỏn Nm hc : 20072008 Thi gian : 120 phỳt
Bi 1: (2,5 im)Cho biu thc
3 6 4
1
1 1
x x
P
x
x x

= +

+
1. Rỳt gn biu thc P 2. Tỡm x
1
P <
2
.
Bi 2: (2,5 im) Gii bi toỏn sau bng cỏch lp phng trỡnh
Mt ngi i xe p t A n B cỏch nhau 24km. Khi t B tr v A ngi ú tng vn tc thờm 4km/h so vi lỳc i, vỡ vy thi
gian v ớt hn thi gian i 30 phỳt. Tớnh vn tc ca xe p khi i t A n B.

Bi 3: (1 im) Cho phng trỡnh: x
2
+ bx + c = 0.
1. Gii phng trỡnh khi b = 3 v c = 2 2. Tỡm b,c phng trỡnh ó cho cú hai nghim phõn bit v tớch ca chỳng bng 1
Bi 4: (3,5 im)
Cho ng trũn (O; R) tip xỳc vi ng thng d ti A. Trờn d ly im H khụng trựng vi im A v AH <R. Qua H k ng
thng vuụng gúc vi d, ng thng ny ct ng trũn ti hai im E v B ( E nm gia B v H).
a) Chng minh
ã
ã
ABE = EAH
v ABH EAH.
b) Ly im C trờn d sao cho H l trung im ca on AC, ng thng CE ct AB ti K. Chng minh AHEK l t giỏc ni
tip.
c) Xỏc nh v trớ im H
AB= R 3
.
Bi 5: (0,5 im)
Cho ng thng y = (m 1)x + 2. Tỡm m khong cỏch t gc ta n ng thng ú l ln nht.
SGD-ĐT hà nội
đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán (PTTH)
Năm học 94-95
Bài1: Cho biểu thức:










+
+








++


+
=
a
a
a
aa
a
a
a
P
1
1
.
1
1

12
3
3
a) Rút gọn P b) Xét dấu của biểu thức: P.
a1

Bài2: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngợc từ B trở về A. Thời gian xuôi ít hơn thời gian đi ngợc 1 giờ
20 phút. Tính k.cách giữa hai bến A và B biết rằng vận tốc dòng nớc là 5 km/h và vận tốc riêng của ca nô lúc xuôi và ngợc bằng nhau
Bài3:Cho ABC cân (AB=AC,
A

<90
0
) một cung tròn BC nằm bên trong ABC và tiếp xúc với AB, AC tại B và C. Trên cung BC lấy một
điểm M rồi hạ các đờng vuông góc MI, IK và Q là giao điểm của MC, IH
a) Chứng minh rằng các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc
b) Chứng minh rằng tia đối của tia MI là phân giác góc HMK
c) Chứng minh rằng tứ giácMPIQ nội tiếp đợc. Suy ra PQ // BC
d) Gọi (O
1
) là đờng tròn qua M, P, K; (O
2
) là đờng tròn qua M, Q, H ; N là giao điểm thứ hai của (O
1
), (O
2
) và D là trung điểm của BC.
Chứng minh rằng M, N, D thẳng hàng.
Bài4: Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn pt: 5x - 2
01)2(

2
=+++ yyx

đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán (PTTH)
Năm học 95-96
Bài1: Cho biểu thức:









+


+








=
1
2

2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
A
a) Rút gọn A b) Tìm giá trị của a để A >
6
1
Bài2: Cho phơng trình: x
2
- 2(m + 2)x + m + 1 = 0 a) Giải phơng trình khi m = -
2
3
b) Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu.
c) Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm của phơng trình. Tìm giá trị của m để:
x
1
(1 - 2x
2

) + x
2
(1 - 2x
1
) = m
2

Bài3: Cho tam giác ABC (AC > AB; góc BAC > 90
0
). I, K lần lợt là các trung điểm của AB, AC. Các đờng tròn đờng kính AB, AC cắt nhau
tại điểm thứ hai D; tia BA cắt đờng tròn (K) tại điểm thứ hai E; tai CA cắt đờng tròn I tại điểm thứ hai F.
a) Chứng minh B, C, D thẳng hàng
O
K
F
E
D
C
B
A
b) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp
c) Chứng minh ba đờng thẳng AD, BF, CE đồng quy
d) Gọi H là giao điểm thứ hai của tia DF với đờng tròn ngoại tiếp AEF. Hãy so sánh độ dài các đoạn DH , DE
Bài4: Xét các phơng trình bậc hai:
ax
2
+ bx + c = 0 (1)
cx
2
+ bx + a = 0 (2)

Tìm hệ thức giữa a, b, c là điều kiện cần và đủ để hai phơng trình trên có một nghiệm chung duy nhất
Đề 1
Câu1 : Cho biểu thức
A=
2
)1(
:
1
1
1
1
2
2233











+
+









+


x
xx
x
x
x
x
x
x
Với x
2
;1
.a, Ruý gọn biểu thức A
.b , Tính giá trị của biểu thức khi cho x=
226 +
c. Tìm giá trị của x để A=3
Câu2.a, Giải hệ phơng trình:




=+
=+
1232

4)(3)(
2
yx
yxyx
b. Giải bất phơng trình:

3
1524
2
23
++

xx
xxx
<0
Câu3. Cho phơng trình (2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xác định m để phơng trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1,0)
Câu 4. Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC .Điểm A thuộc nửa đờng tròn đó Dng hình vuông ABCD thuộc nửa mặt phẳng bờ AB,
không chứa đỉnh C. Gọi Flà giao điểm của Aevà nửa đờng tròn (O) . Gọi Klà giao điểm của CFvà ED
a. chứng minh rằng 4 điểm E,B,F,K. nằm trên một đờng tròn
b. Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao. ?
đáp án
Câu 1: a. Rút gọn A=
x
x 2
2

b.Thay x=

226 +
vào A ta đợc A=
226
224
+
+
c.A=3<=> x
2
-3x-2=0=> x=
2
173
Câu 2 : a)Đặt x-y=a ta đợc pt: a
2
+3a=4 => a=-1;a=-4 Từ đó ta có



=+
=+
1232
4)(3)(
2
yx
yxyx
<=>
*



=+

=
1232
1
yx
yx
(1) *



=+
=
1232
4
yx
yx
(2) Giải hệ (1) ta đợc x=3, y=2
Giải hệ (2) ta đợc x=0, y=4
Vậy hệ phơng trình có nghiệm là x=3, y=2 hoặc x=0; y=4
b) Ta có x
3
-4x
2
-2x-15=(x-5)(x
2
+x+3)
mà x
2
+x+3=(x+1/2)
2
+11/4>0 với mọi x

Vậy bất phơng trình tơng đơng với x-5>0 =>x>5
Câu 3: Phơng trình: ( 2m-1)x
2
-2mx+1=0
Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành x+1=0=> x=1
Xét 2m-10=> m 1/2 khi đó ta có
,

= m
2
-2m+1= (m-1)
2
0 mọi m=> pt có nghiệm với mọi m
ta thấy nghiệm x=1 không thuộc (-1,0)
với m 1/2 pt còn có nghiệm x=
12
1

+
m
mm
=
12
1
m
pt có nghiệm trong khoảng (-1,0)=> -1<
12
1
m
<0






<
>+

012
01
12
1
m
m
=>





<
>

012
0
12
2
m
m
m

=>m<0 Vậy Pt có nghiệm trong khoảng (-1,0) khi và chỉ khi m<0
Câu 4: a. Ta có

KEB= 90
0

mặt khác

BFC= 90
0
( góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn)
do CF kéo dài cắt ED tại D
=>

BFK= 90
0
=> E,F thuộc đờng tròn đờng kính BK
hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đờng tròn đờng kính BK.
b.

BCF=

BAF Mà

BAF=

BAE=45
0
=>


BCF= 45
0
Ta có

BKF=

BEF Mà

BEF=

BEA=45
0
(EA là đờng chéo của hình vuông ABED)=>

BKF=45
0
Vì

BKC=

BCK= 45
0
=> tam giác BCK vuông cân tại B

Đề 2
Bài 1: Cho biểu thức: P =
( )










+








+
+



1
122
:
11
x
xx
xx
xx
xx
xx

a,Rút gọn P
b,Tìm x nguyên để P có giá trị nguyên.
Bài 2: Cho phơng trình: x
2
-( 2m + 1)x + m
2
+ m - 6= 0 (*)
a.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm âm. b.Tìm m để phơng trình (*) có 2 nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn
3
2
3
1
xx
=50
Bài 3: Cho phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt x
1
, x
2
Chứng minh:
a,Phơng trình ct
2
+ bt + a =0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt t
1
và t

2
. b,Chứng minh: x
1
+ x
2
+ t
1
+ t
2


4
Bài 4: Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O . H là trực tâm của tam giác. D là một điểm trên cung BC không chứa
điểm A.
a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành.
b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đờng thẳng AB và AC . Cmr 3 điểm P; H; Q thẳng hàng.
c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất.
Bài 5: Cho hai số dơng x; y thoả mãn: x + y

1, Tìm giá trị nhỏ nhất của: A =
xyyx
5011
22
+
+
Đáp án
Bài 1: (2 điểm). ĐK: x
1;0 x

a, Rút gọn: P =

( )
( )
( )
1
12
:
1
12
2




x
x
xx
xx
z
<=> P =
1
1
)1(
1
2

+
=


x

x
x
x

b. P =
1
2
1
1
1

+=

+
xx
x
Để P nguyên thì
)(121
9321
0011
4211
Loaixx
xxx
xxx
xxx
==
===
===
===


Vậy với x=
{ }
9;4;0
thì P có giá trị nguyên.
Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì:
( )
( )







<+=+
>+=
++=
012
06
06412
21
2
21
2
2
mxx
mmxx
mmm

3

2
1
0)3)(2(
025
<







<
>+
>=
m
m
mm

b. Giải phơng trình:
( )
50)3(2
3
3
=+ mm











=
+
=

=+=++
2
51
2
51
0150)733(5
2
1
22
m
m
mmmm

Bài 3: a. Vì x
1
là nghiệm của phơng trình: ax
2
+ bx + c = 0 nên ax
1
2
+ bx

1
+ c =0. .
Vì x
1
> 0 => c.
.0
1
.
1
1
2
1
=++






a
x
b
x
Chứng tỏ
1
1
x
là một nghiệm dơng của phơng trình: ct
2
+ bt + a = 0; t

1
=
1
1
x
Vì x
2
là nghiệm
của phơng trình:
ax
2
+ bx + c = 0 => ax
2
2
+ bx
2
+ c =0
vì x
2
> 0 nên c.
0
1
.
1
2
2
2
=+









+








a
x
b
x
điều này chứng tỏ
2
1
x
là một nghiệm dơng của phơng trình ct
2
+ bt + a = 0 ; t
2
=
2
1

x

Vậy nếu phơng trình: ax
2
+ bx + c =0 có hai nghiẹm dơng phân biệt x
1
; x
2
thì phơng trình : ct
2
+ bt + a =0 cũng có hai nghiệm dơng phân
biệt t
1
; t
2
. t
1
=
1
1
x
; t
2
=
2
1
x
b. Do x
1
; x

1
; t
1
; t
2
đều là những nghiệm dơng nên
t
1
+ x
1
=
1
1
x
+ x
1


2 t
2
+ x
2
=
2
1
x
+ x
2



2
Do đó x
1
+ x
2
+ t
1
+ t
2


4
Bài 4
a. Giả sử đã tìm đợc điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình bình hành . Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam giác
ABC nên
CH
AB
và BH
AC
=> BD
AB
và CD
AC
.
Do đó:

ABD = 90
0
và


ACD = 90
0
.
Vậy AD là đờng kính của đờng tròn tâm O
Ngợc lại nếu D là đầu đờng kính AD
của đờng tròn tâm O thì
tứ giác BHCD là hình bình hành.
b) Vì P đối xứng với D qua AB nên

APB =

ADB
nhng

ADB =

ACB nhng

ADB =

ACB
Do đó:

APB =

ACB Mặt khác:

AHB +

ACB = 180

0
=>

APB +

AHB = 180
0

Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên

PAB =

PHB
Mà

PAB =

DAB do đó:

PHB =

DAB
Chứng minh tơng tự ta có:

CHQ =

DAC
Vậy

PHQ =


PHB +

BHC +

CHQ =

BAC +

BHC = 180
0
Ba điểm P; H; Q thẳng hàng
c). Ta thấy

APQ là tam giác cân đỉnh A
Có AP = AQ = AD và

PAQ =

2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ
đạt giá trị lớn nhất AP và AQ là lớn nhất hay AD là lớn nhất
D là đầu đờng kính kẻ từ A của đờng tròn tâm O

Đề 3
Bài 1: Cho biểu thức:
( ) ( )( )
yx
xy
xyx
y

yyx
x
P
+

++

+
=
111))1)((
a). Tìm điều kiện của x và y để P xác định . Rút gọn P.
b). Tìm x,y nguyên thỏa mãn phơng trình P = 2.
Bài 2: Cho parabol (P) : y = -x
2
và đờng thẳng (d) có hệ số góc m đi qua điểm M(-1 ; -2) .
a). Chứng minh rằng với mọi giá trị của m (d) luôn cắt (P) tại hai điểm A , B phân biệt
b). Xác định m để A,B nằm về hai phía của trục tung.
Bài 3: Giải hệ phơng trình :
H
O
P
Q
D
C
B
A









=++
=++
=++
27
1
111
9
zxyzxy
zyx
zyx
Bài 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đờng tròn
);( BCAC

. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có
chứa điểm C , kẻ tia Ax tiếp xúc với đờng tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC . Tia BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N.
a). Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân .
b). Khi MB = MQ , tính BC theo R.
Bài 5: Cho
Rzyx

,,
thỏa mãn :
zyxzyx
++
=++
1111

Hãy tính giá trị của biểu thức : M =
4
3
+ (x
8
y
8
)(y
9
+ z
9
)(z
10
x
10
) .
Đáp án
Bài 1: a). Điều kiện để P xác định là :;
0;1;0;0
+
yxyyx
.
*). Rút gọn P:
( )
( ) ( ) ( )
(1 ) (1 )
1 1
x x y y xy x y
P
x y x y

+ +
=
+ +
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
1 1
x y x x y y xy x y
x y x y
+ + +
=
+ +
( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 1
x y x y x xy y xy
x y x y
+ + +
=
+ +
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1 1 1
1 1
x x y x y x x
x y
+ + + +
=
+
( )

1
x y y y x
y
+
=

( ) ( ) ( )
( )
1 1 1
1
x y y y y
y
+
=

.x xy y= +
Vậy P =
.yxyx
+
b). P = 2

.yxyx
+
= 2

( ) ( )
( )( )
111
111
=+

=++
yx
yyx
Ta có: 1 +
1y

1 1x

0 4x
x = 0; 1; 2; 3 ; 4
Thay vào ta cócác cặp giá trị (4; 0) và (2 ; 2) thoả mãn
Bài 2: a). Đờng thẳng (d) có hệ số góc m và đi qua điểm M(-1 ; -2) . Nên phơng trình đờng thẳng (d) là : y = mx + m 2.
Hoành độ giao điểm của (d) và (P) là nghiệm của phơng trình:
- x
2
= mx + m 2


x
2
+ mx + m 2 = 0 (*)
Vì phơng trình (*) có
( )
mmmm
>+=+=
04284
2
2
nên phơng trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt , do đó (d)
và (P) luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B.

b). A và B nằm về hai phía của trục tung

phơng trình : x
2
+ mx + m 2 = 0 có hai nghiệm trái dấu

m 2 < 0

m < 2.
Bài 3 :
( )
( )







=++
=++
=++
327
)2(1
111
19
xzyzxy
zyx
zyx
ĐKXĐ :

.0,0,0

zyx
Q
N
M
O
C
B
A

( ) ( )
( )
( ) ( )
2
2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
2
2
2
81 2 81
81 2 27
2( ) 2 0
( ) ( ) ( ) 0
( ) 0
( ) 0
( ) 0
x y z x y z xy yz zx

x y z xy yz zx x y z
x y z xy yz zx x y z xy yz zx
x y y z z x
x y
x y
y z y z x y z
z x
z x
+ + = + + + + + =
+ + = + + + + =
+ + = + + + + + + =
+ + =

=
=



= = = =


=
=


Thay vào (1) => x = y = z = 3 .
Ta thấy x = y = z = 3 thõa mãn hệ phơng trình . Vậy hệ phơng trình có nghiệm duy nhất x = y = z = 3.
Bài 4:
a). Xét
ABM


và
NBM

.
Ta có: AB là đờng kính của đờng tròn (O)
nên :AMB = NMB = 90
o
.
M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC
nên ABM = MBN => BAM = BNM
=>
BAN

cân đỉnh B.
Tứ giác AMCB nội tiếp
=> BAM = MCN ( cùng bù với góc MCB).
=> MCN = MNC ( cùng bằng góc BAM).
=> Tam giác MCN cân đỉnh M
b). Xét
MCB

và
MNQ

có :
MC = MN (theo cm trên MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt)


BMC =


MNQ ( vì :

MCB =

MNC ;

MBC =

MQN ).
=>
) ( cgcMNQMCB
=
=> BC = NQ .
Xét tam giác vuông ABQ có

BQAC
AB
2
= BC . BQ = BC(BN + NQ)
=> AB
2
= BC .( AB + BC) = BC( BC + 2R)
=> 4R
2
= BC( BC + 2R) => BC =
R)15(

Bài 5:
Từ :

zyxzyx
++
=++
1111
=>
0
1111
=
++
++
zyxzyx
=>
( )
0
=
++
++
+
+
zyxz
zzyx
xy
yx

( )
( )
( ) ( )( )
0)(0
)(
0

11
2
=+++=








++
+++
+=








++
++
xzzyyx
zyxxyz
xyzzyzx
yx
zyxzxy
yz

Ta có : x
8
y
8
= (x + y)(x-y)(x
2
+y
2
)(x
4
+ y
4
).=
y
9
+ z
9
= (y + z)(y
8
y
7
z + y
6
z
2
- + z
8
)
z
10

- x
10
= (z + x)(z
4
z
3
x + z
2
x
2
zx
3
+ x
4
)(z
5
- x
5
)
Vậy M =
4
3
+ (x + y) (y + z) (z + x).A =
4
3
Đề 4
Bài 1: 1) Cho đờng thẳng d xác định bởi y = 2x + 4. Đờng thẳng d
/
đối xứng với đờng thẳng d qua đờng thẳng y = x là:
A.y =

2
1
x + 2 ; B.y = x - 2 ; C.y =
2
1
x - 2 ; D.y = - 2x - 4
Hãy chọn câu trả lời đúng.
2) Một hình trụ có chiều cao gấp đôi đờng kính đáy đựng đầy nớc, nhúng chìm vào bình một hình cầu khi lấy ra mực nớc trong
bình còn lại
3
2
bình. Tỉ số giữa bán kính hình trụ và bán kính hình cầu là A.2 ; B.
3
2
; C.
3
3
; D. một kết quả khác.
Bìa2: 1) Giải phơng trình: 2x
4
- 11 x
3
+ 19x
2
- 11 x + 2 = 0
2) Cho x + y = 1 (x > 0; y > 0) Tìm giá trị lớn nhất của A =
x
+
y
Bài 3: 1) Tìm các số nguyên a, b, c sao cho đa thức : (x + a)(x - 4) 7 . Phân tích thành thừa số đợc : (x + b).(x + c)

2) Cho tam giác nhọn xây, B, C lần lợt là các điểm cố định trên tia Ax, Ay sao cho AB < AC, điểm M di động trong góc xAy sao
cho
MB
MA
=
2
1
Xác định vị trí điểm M để MB + 2 MC đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 4: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và CD vuông góc với nhau, lấy điểm I bất kỳ trên đoan CD.
a) Tìm điểm M trên tia AD, điểm N trên tia AC sao cho I lag trung điểm của MN.
b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi. c) Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua hai điểm cố định.
Hớng dẫn
M
D
C
B
A
x
K
O
N
M
I
D
C
B
A
Bài 1: 1) Chọn C. Trả lời đúng.
2) Chọn D. Kết quả khác: Đáp số là: 1
Bài 2 : 1)A = (n + 1)

4
+ n
4
+ 1 = (n
2
+ 2n + 1)
2
- n
2
+ (n
4
+ n
2
+ 1)
= (n
2
+ 3n + 1)(n
2
+ n + 1) + (n
2
+ n + 1)(n
2
- n + 1)
= (n
2
+ n + 1)(2n
2
+ 2n + 2) = 2(n
2
+ n + 1)

2
Vậy A chia hết cho 1 số chính phơng khác 1 với mọi số nguyên dơng n.
2) Do A > 0 nên A lớn nhất

A
2
lớn nhất.
Xét A
2
= (
x
+
y
)
2
= x + y + 2
xy
= 1 + 2
xy
(1)
Ta có:
2
yx +

xy
(Bất đẳng thức Cô si) => 1 > 2
xy
(2)
Từ (1) và (2) suy ra: A
2

= 1 + 2
xy
< 1 + 2 = 2 Max A
2
= 2 <=> x = y =
2
1
, max A =
2
<=> x = y =
2
1
Bài3 Câu 1Với mọi x ta có (x + a)(x - 4) - 7 = (x + b)(x + c)
Nên với x = 4 thì - 7 = (4 + b)(4 + c)
Có 2 trờng hợp: 4 + b = 1 và 4 + b = 7
4 + c = - 7 4 + c = - 1
Trờng hợp thứ nhất cho b = - 3, c = - 11, a = - 10
Ta có (x - 10)(x - 4) - 7 = (x - 3)(x - 11)
Trờng hợp thứ hai cho b = 3, c = - 5, a = 2
Ta có (x + 2)(x - 4) - 7 = (x + 3)(x - 5)
Câu2 (1,5điểm)
Gọi D là điểm trên cạnh AB sao cho: AD =
4
1
AB. Ta có D
là điểm cố định
Mà
AB
MA
=

2
1
(gt) do đó
MA
AD
=
2
1

Xét tam giác AMB và tam giác ADM có MâB (chung)

AB
MA
=
MA
AD
=
2
1
Do đó AMB ~ ADM =>
MD
MB
=
AD
MA
= 2
=> MD = 2MD (0,25 điểm)
Xét ba điểm M, D, C : MD + MC > DC (không đổi)
Do đó MB + 2MC = 2(MD + MC) > 2DC
Dấu "=" xảy ra <=> M thuộc đoạn thẳng DC

Giá trị nhỏ nhất của MB + 2 MC là 2 DC
* Cách dựng điểm M.
- Dựng đờng tròn tâm A bán kính
2
1
AB
- Dựng D trên tia Ax sao cho AD =
4
1
AB
M là giao điểm của DC và đờng tròn (A;
2
1
AB)
Bài 4: a) Dựng (I, IA) cắt AD tại M cắt tia AC tại N
Do MâN = 90
0
nên MN là đờng kính
Vậy I là trung điểm của MN
b) Kẻ MK // AC ta có : INC = IMK (g.c.g)
=> CN = MK = MD (vì MKD vuông cân)
Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA
=> AM = AN = AD + AC không đổi
c) Ta có IA = IB = IM = IN
Vậy đờng tròn ngoại tiếp AMN đi qua hai điểm A, B cố định .
Đề 5
Bài 1. Cho ba số x, y, z thoã mãn đồng thời :

2 2 2
2 1 2 1 2 1 0x y y z z x+ + = + + = + + =

; Tính giá trị của biểu thức :
2007 2007 2007
A x y z= + +
.
Bài 2). Cho :
2 2
5 4 2014M x x y xy y= + + +
.Với giá trị nào của x, y thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 3. Giải hệ phơng trình :
( ) ( )
2 2
18
1 . 1 72
x y x y
x x y y

+ + + =


+ + =


Bài 4. Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB bán kính R. Tiếp tuyến tại điểm M bbất kỳ trên đờng tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần l-
ợt tại C và D.
a.Chứng minh : AC . BD = R
2
.
b.Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ nhất .
Bài 5.Cho a, b là các số thực dơng. Chứng minh rằng :
( )

2
2 2
2
a b
a b a b b a
+
+ + +
Bài 6).Cho tam giác ABC có phân giác AD. Chứng minh : AD
2
= AB . AC - BD . DC.
Hớng dẫn giải
Bài 1. Từ giả thiết ta có :
2
2
2
2 1 0
2 1 0
2 1 0
x y
y z
z x

+ + =

+ + =


+ + =



Cộng từng vế các đẳng thức ta có :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1 0x x y y z z+ + + + + + + + =

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 0x y z + + + + + =

1 0
1 0
1 0
x
y
z
+ =


+ =


+ =


1x y z = = =


( ) ( ) ( )
2007 2007 2007
2007 2007 2007

1 1 1 3A x y z = + + = + + =
Vậy : A = -3.
Bài 2.(1,5 điểm) Ta có :
( ) ( )
( )
2 2
4 4 2 1 2 2 2007M x x y y xy x y= + + + + + + + +

( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 1 2 1 2007M x y x y= + + +

( ) ( ) ( )
2
2
1 3
2 1 1 2007
2 4
M x y y

= + + +



Do
( )
2
1 0y
và
( ) ( )

2
1
2 1 0
2
x y

+



,x y

2007M


min
2007 2; 1M x y = = =

Bài 3. Đặt :
( )
( )
1
1
u x x
v y y

= +


= +



Ta có :
18
72
u v
uv
+ =


=



u ; v là nghiệm của phơng trình :
2
1 2
18 72 0 12; 6X X X X + = = =


12
6
u
v
=


=

;

6
12
u
v
=


=




( )
( )
1 12
1 6
x x
y y

+ =


+ =


;
( )
( )
1 6
1 12

x x
y y

+ =


+ =



Giải hai hệ trên ta đợc : Nghiệm của hệ là :
(3 ; 2) ; (-4 ; 2) ; (3 ; -3) ; (-4 ; -3) và các hoán vị.
Bài 4. a.Ta có CA = CM; DB = DM
Các tia OC và OD là phân giác của hai góc AOM và MOB nên OC

OD
Tam giác COD vuông đỉnh O, OM là đờng cao thuộc cạnh huyền CD nên :
MO
2
= CM . MD

R
2
= AC . BD
b.Các tứ giác ACMO ; BDMO nội tiếp
ã
ã
ã
ã
;MCO MAO MDO MBO = =


( )
.COD AMB g gV : V
(0,25đ)
oh
d
c
m
b
a
Do đó :
1
. .
. .
Chu vi COD OM
Chu vi AMB MH
=
V
V
(MH
1


AB)
Do MH
1


OM nên
1

1
OM
MH



Chu vi
COD V
chu vi
AMBV

Dấu = xảy ra

MH
1
= OM

M

O

M là điểm chính giữa của cung
ằ
AB

Bài 5 (1,5 điểm) Ta có :
2 2
1 1
0; 0
2 2

a b


ữ ữ



a , b > 0
1 1
0; 0
4 4
a a b b + +

1 1
( ) ( ) 0
4 4
a a b b + + +


a , b > 0
1
0
2
a b a b + + + >
Mặt khác
2 0a b ab+ >

Nhân từng vế ta có :
( ) ( )
( )

1
2
2
a b a b ab a b

+ + + +



( )
( )
2
2 2
2
a b
a b a b b a
+
+ + +

Bài 6. (1 điểm) Vẽ đờng tròn tâm O ngoại tiếp
ABCV

Gọi E là giao điểm của AD và (O)
Ta có:
ABD CEDV : V
(g.g)
. .
BD AD
AB ED BD CD
ED CD

= =

( )
2
. .
. .
AD AE AD BD CD
AD AD AE BD CD
=
=

Lại có :
( )
.ABD AEC g gV : V

2
. .
. .
AB AD
AB AC AE AD
AE AC
AD AB AC BD CD
= =
=

Đè 6
Câu 1: Cho hàm số f(x) =
44
2
+ xx

a) Tính f(-1); f(5)
b) Tìm x để f(x) = 10
c) Rút gọn A =
4
)(
2
x
xf
khi x
2
Câu 2: Giải hệ phơng trình



+=+
+=
)3)(72()72)(3(
)4)(2()2(
yxyx
yxyx
Câu 3: Cho biểu thứcA =










+












+
1
:
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
xx
với x > 0 và x 1
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị của x để A = 3

Câu 4: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB. Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính
BC.
a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH
b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d.
Câu 5: Cho phơng trình 2x
2
+ (2m - 1)x + m - 1 = 0
d
e
c
b
a
Không giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thỏa mãn: 3x
1
- 4x
2
= 11
đáp án
Câu 1a) f(x) =
2)2(44
22
==+ xxxx
Suy ra f(-1) = 3; f(5) = 3
b)




=
=




=
=
=
8
12
102
102
10)(
x
x
x
x
xf
c)
)2)(2(
2
4
)(
2
+

=


=
xx
x
x
xf
A
Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra
2
1
+
=
x
A
Với x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra
2
1
+
=
x
A
Câu 2
( 2) ( 2)( 4) 2 2 4 8 4
( 3)(2 7) (2 7)( 3) 2 6 7 21 2 7 6 21 0
x y x y xy x xy y x x y
x y x y xy y x xy y x x y
= + = + = =



+ = + + = + + = =


x -2

y 2
Câu
3 a) Ta có: A =









+












+
1

:
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
xx
=









+














+
++
11
)1(
:
1
1
)1)(1(
)1)(1(
x
x
x
xx
x
x
xx
xxx
=










+












+
1
:
1
1
1
1
x
xxx
x
x
x
xx
=

1
:
1
11

++
x
x
x
xxx
=
1
:
1
2

+
x
x
x
x
=
x
x
x
x 1
1
2



+
=
x
x2
b) A = 3 =>
x
x2
= 3 => 3x +
x
- 2 = 0 => x = 2/3
Câu 4
Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC)
a) nên theo định lý Ta let áp dụng cho CPB ta có

CB
CH
PB
EH
=
; (1)
Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)
=>

POB =

ACB (hai góc đồng vị)
=> AHC

POB
Do đó:

OB
CH
PB
AH
=
(2)
Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trung điểm của AH.
b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH
2
= BH.CH = (2R - CH).CH
Theo (1) và do AH = 2EH ta có
.)2(
2PB
AH.CB
2PB
AH.CB
AH
2
= R

AH
2
.4PB
2
= (4R.PB - AH.CB).AH.CB

4AH.PB
2
= 4R.PB.CB - AH.CB
2


AH (4PB
2
+CB
2
) = 4R.PB.CB
2
222
222
222
2222
d
Rd.2.R
4R)R4(d
Rd.8R

(2R)4PB
4R.2R.PB
CB4.PB
4R.CB.PB
AH

=
+

=
+
=
+
=

Câu 5 Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thì > 0
O
B
C
H
E
A
P
<=> (2m - 1)
2
- 4. 2. (m - 1) > 0
Từ đó suy ra m 1,5 (1)
Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:










=

=


=+
114x3x
2
1m
.xx
2
12m
xx
21
21
21










=



=
=
11
8m-26

77m
4
7
4m-13
3
8m-26
77m
x
7
4m-13
x
1
1

Giải phơng trình
11
8m-26
77m
4
7
4m-13
3 =



ta đợc m = - 2 và m = 4,125 (2)
Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x
1
+
x

2
= 11
Đề 7
Câu 1: Cho P =
2
1
x
x x
+

+
1
1
x
x x
+
+ +
-
1
1
x
x
+

a/. Rút gọn P. b/. Chứng minh: P <
1
3
với x

0 và x


1.
Câu 2: Cho phơng trình : x
2
2(m - 1)x + m
2
3 = 0
( 1 )
; m là tham số.
a/. Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm.
b/. Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm sao cho nghiệm này bằng ba lần nghiệm kia.
Câu 3: a/. Giải phơng trình :
1
x
+
2
1
2 x
= 2
b/. Cho a, b, c là các số thực thõa mãn :
0
0
2 4 2 0
2 7 11 0
a
b
a b c
a b c







+ + =


+ =

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của Q = 6 a + 7 b + 2006 c.
Câu 4: Cho
ABCV
cân tại A với AB > BC. Điểm D di động trên cạnh AB, ( D không trùng với A, B). Gọi (O) là đờng tròn ngoại tiếp
BCDV
. Tiếp tuyến của (O) tại C và D cắt nhau ở K .
a/. Chứng minh tứ giác ADCK nội tiếp. b/. Tứ giác ABCK là hình gì? Vì sao?
c/. Xác định vị trí điểm D sao cho tứ giác ABCK là hình bình hành.
Đáp án
Câu 1: Điều kiện: x

0 và x

1. (0,25 điểm)
P =
2
1
x
x x
+


+
1
1
x
x x
+
+ +
-
1
( 1)( 1)
x
x x
+
+
=
3
2
( ) 1
x
x
+

+
1
1
x
x x
+
+ +
-

1
1x
=
2 ( 1)( 1) ( 1)
( 1)( 1)
x x x x x
x x x
+ + + + +
+ +
=
( 1)( 1)
x x
x x x

+ +
=
1
x
x x+ +
b/. Với x

0 và x

1 .Ta có: P <
1
3


1
x

x x+ +
<
1
3

3
x
< x +
x
+ 1 ; ( vì x +
x
+ 1 > 0 )

x - 2
x
+ 1 > 0

(
x
- 1)
2
> 0. ( Đúng vì x

0 và x

1)
Câu 2:a/. Phơng trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi




0.

(m - 1)
2
m
2
3

0

4 2m

0

m

2.
b/. Với m

2 thì (1) có 2 nghiệm. Gọi một nghiệm của (1) là a thì nghiệm kia là 3a . Theo Viet ,ta có:

2
3 2 2
.3 3
a a m
a a m
+ =


=



a=
1
2
m


3(
1
2
m
)
2
= m
2
3

m
2
+ 6m 15 = 0

m = 3

2
6
( thõa mãn điều kiện).
Câu 3: Điều kiện x

0 ; 2 x

2
> 0

x

0 ;
x
<
2
. Đặt y =
2
2 x
> 0 Ta có:
2 2
2 (1)
1 1
2 (2)
x y
x y

+ =


+ =


Từ (2) có : x + y = 2xy. Thay vào (1) có : xy = 1 hoặc xy = -
1
2
* Nếu xy = 1 thì x+ y = 2. Khi đó x, y là nghiệm của phơng trình:

X
2
2X + 1 = 0

X = 1

x = y = 1.
* Nếu xy = -
1
2
thì x+ y = -1. Khi đó x, y là nghiệm của phơng trình: X
2
+ X -
1
2
= 0

X =
1 3
2

Vì y > 0 nên: y =
1 3
2
+


x =
1 3
2


Vậy phơng trình có hai nghiệm: x
1
= 1 ; x
2
=
1 3
2

Câu 4: c/. Theo câu b, tứ giác ABCK là hình thang.
Do đó, tứ giác ABCK là hình bình hành

AB // CK


ã
ã
BAC ACK=
Mà
ã
1
2
ACK =
sđ
ằ
EC
=
1
2
sđ

ằ
BD
=
ã
DCB
Nên
ã
ã
BCD BAC=
Dựng tia Cy sao cho
ã
ã
BCy BAC=
.Khi đó, D là giao điểm của
ằ
AB
và Cy.
Với giả thiết
ằ
AB
>
ằ
BC
thì
ã
BCA
>
ã
BAC
>

ã
BDC
.


D

AB .
Vậy điểm D xác định nh trên là điểm cần tìm.
Đề 8
Câu 1: a) Xác định x

R để biểu thức :A =
xx
xx
+
+
1
1
1
2
2
Là một số tự nhiên
b. Cho biểu thức: P =
22
2
12 ++
+
++
+

++ zzx
z
yyz
y
xxy
x
Biết x.y.z = 4 , tính
P
.
Câu 2:Cho các điểm A(-2;0) ; B(0;4) ; C(1;1) ; D(-3;2)
a. Chứng minh 3 điểm A, B ,D thẳng hàng; 3 điểm A, B, C không thẳng hàng.
b. Tính diện tích tam giác ABC.
Câu3 Giải phơng trình:
521
3
= xx
Câu 4 Cho đờng tròn (O;R) và một điểm A sao cho OA = R
2
. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn. Một góc xOy = 45
0
cắt đoạn
thẳng AB và AC lần lợt tại D và E.
Chứng minh rằng:
a.DE là tiếp tuyến của đờng tròn ( O ).
b.
RDER <<
3
2

đáp án

Câu 1: a.
A =
xxxxx
xxxx
xx
xx 2)1(1
)1).(1(
1
1
22
22
2
2
=+++=
+++
++
+
A là số tự nhiên

-2x là số tự nhiên

x =
2
k
(trong đó k

Z và k

0 )
b.Điều kiện xác định: x,y,z


0, kết hpọ với x.y.z = 4 ta đợc x, y, z > 0 và
2=xyz

Nhân cả tử và mẫu của hạng tử thứ 2 với
x
; thay 2 ở mẫu của hạng tử thứ 3 bởi
xyz
ta đợc:
P =
1
2
2
2(
2
22
=
++
++
=
++
+
++
+
++ xxy
xyx
xyxz
z
xxy
xy

xxy
x
(1đ)


1=P
vì P > 0
O
K
D
C
B
A
Câu 2: a.Đờng thẳng đi qua 2 điểm A và B có dạng y = ax + b
Điểm A(-2;0) và B(0;4) thuộc đờng thẳng AB nên

b = 4; a = 2
Vậy đờng thẳng AB là y = 2x + 4.
Điểm C(1;1) có toạ độ không thoả mãn y = 2x + 4 nên C không thuộc đờng thẳng AB

A, B, C không thẳng hàng.
Điểm D(-3;2) có toạ độ thoả mãn y = 2x + 4 nên điểm D thuộc đờng thẳng AB

A,B,D thẳng hàn
b.Ta có :
AB
2
= (-2 0)
2
+ (0 4)

2
=20
AC
2
= (-2 1)
2
+ (0 1)
2
=10
BC
2
= (0 1)
2
+ (4 1)
2
= 10


AB
2
= AC
2
+ BC
2


ABC vuông tại C
Vậy S

ABC

= 1/2AC.BC =
510.10
2
1
=
( đơn vị diện tích )
Câu 3: Đkxđ x

1, đặt
vxux ==
3
2;1
ta có hệ phơng trình:



=+
=
1
5
32
vu
vu
Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế ta đợc: v = 2

x = 10.
Câu 4
a.áp dụng định lí Pitago tính đợc
AB = AC = R


ABOC là hình
vuông (0.5đ)
Kẻ bán kính OM sao cho
BOD = MOD

MOE = EOC (0.5đ)
Chứng minh BOD = MOD

OMD = OBD = 90
0
Tơng tự: OME = 90
0

D, M, E thẳng hàng. Do đó DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O).
b.Xét ADE có DE < AD +AE mà DE = DB + EC

2ED < AD +AE +DB + EC hay 2DE < AB + AC = 2R

DE < R
Ta có DE > AD; DE > AE ; DE = DB + EC
Cộng từng vế ta đợc: 3DE > 2R

DE >
3
2
R
Vậy R > DE >
3
2
R

Đề 9
Câu 1: Cho hàm số f(x) =
44
2
+ xx
a) Tính f(-1); f(5) b) Tìm x để f(x) = 10 c) Rút gọn A =
4
)(
2
x
xf
khi x
2
Câu 2: Giải hệ phơng trình



+=+
+=
)3)(72()72)(3(
)4)(2()2(
yxyx
yxyx
Câu 3: Cho biểu thức A =










+












+
1
:
1
1
1
1
x
x
x
x
x
x
xx

với x > 0 và x 1
a) Rút gọn A 2) Tìm giá trị của x để A = 3
Câu 4: Từ điểm P nằm ngoài đờng tròn tâm O bán kính R, kẻ hai tiếp tuyến PA; PB. Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A đến đờng kính
BC. a) Chứng minh rằng PC cắt AH tại trung điểm E của AH b) Giả sử PO = d. Tính AH theo R và d.
Câu 5: Cho phơng trình 2x
2
+ (2m - 1)x + m - 1 = 0 Không giải PT , tìm m để PT có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
thỏa mãn: 3x
1
- 4x
2
= 11
đáp án
Câu 1
a) f(x) =
2)2(44
22
==+ xxxx
Suy ra f(-1) = 3; f(5) = 3
b)



=
=





=
=
=
8
12
102
102
10)(
x
x
x
x
xf
B
M
A
O
C
D
E
c)
)2)(2(
2
4
)(
2
+


=

=
xx
x
x
xf
A
Với x > 2 suy ra x - 2 > 0 suy ra
2
1
+
=
x
A
Với x < 2 suy ra x - 2 < 0 suy ra
2
1
+
=
x
A
Câu 2



=
=





=+
=




+=+
+=




+=+
+=
2y
-2x


0
4
2167221762
8422
)3)(72()72)(3(
)4)(2()2(
yx
yx
xyxyxyxy
xyxyxxy

yxyx
yxyx
Câu 3a) Ta có: A =









+












+
1
:
1
1

1
1
x
x
x
x
x
x
xx
=









+














+
++
11
)1(
:
1
1
)1)(1(
)1)(1(
x
x
x
xx
x
x
xx
xxx
=










+












+
1
:
1
1
1
1
x
xxx
x
x
x
xx
=
1
:
1

11

++
x
x
x
xxx
=
1
:
1
2

+
x
x
x
x
=
x
x
x
x 1
1
2


+
=
x

x2
b) A = 3 =>
x
x2
= 3 => 3x +
x
- 2 = 0 => x = 2/3
Câu 4 a)Do HA // PB (Cùng vuông góc với BC)
b)nên theo định lý Ta let áp dụng cho tam giác CPB ta có
CB
CH
PB
EH
=
; (1)
Mặt khác, do PO // AC (cùng vuông góc với AB)
=> POB = ACB (hai góc đồng vị)=> AHC

POB Do đó:
OB
CH
PB
AH
=
(2)
Do CB = 2OB, kết hợp (1) và (2) ta suy ra AH = 2EH hay E là trug điểm của AH.

b) Xét tam giác vuông BAC, đờng cao AH ta có AH
2
= BH.CH = (2R - CH).CH

Theo (1) và do AH = 2EH ta có
.)2(
2PB
AH.CB
2PB
AH.CB
AH
2
= R

AH
2
.4PB
2
= (4R.PB - AH.CB).AH.CB

4AH.PB
2
= 4R.PB.CB - AH.CB
2

AH (4PB
2
+CB
2
) = 4R.PB.CB
O
B
C
H

E
A
P
2
222
222
222
2222
d
Rd.2.R
4R)R4(d
Rd.8R

(2R)4PB
4R.2R.PB
CB4.PB
4R.CB.PB
AH

=
+

=
+
=
+
=
Câu 5 (1đ)
Để phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x
1

; x
2
thì > 0
<=> (2m - 1)
2
- 4. 2. (m - 1) > 0
Từ đó suy ra m 1,5 (1)
Mặt khác, theo định lý Viét và giả thiết ta có:










=

=

=+
114x3x
2
1m
.xx
2
12m
xx

21
21
21










=



=
=
11
8m-26
77m
4
7
4m-13
3
8m-26
77m
x
7

4m-13
x
1
1

Giải phơng trình
11
8m-26
77m
4
7
4m-13
3 =



ta đợc m = - 2 và m = 4,125 (2)
Đối chiếu điều kiện (1) và (2) ta có: Với m = - 2 hoặc m = 4,125 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt t
Đề 10
Câu I : Tính giá trị của biểu thức:
A =
53
1
+
+
75
1
+
+
97

1
+
+ +
9997
1
+
B = 35 + 335 + 3335 + +

399
35 3333
số

Câu II :Phân tích thành nhân tử :
1)
X
2
-7X -18 2/. (x+1) (x+2)(x+3)(x+4) 3/. 1+ a
5
+ a
10
Câu III :
1) Chứng minh : (ab+cd)
2


(a
2
+c
2
)( b

2
+d
2
)
2) áp dụng : cho x+4y = 5 . Tìm GTNN của biểu thức : M= 4x
2
+ 4y
2

Câu 4 : Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), I là trung điểm của BC, M là một điểm trên đoạn CI ( M khác C và I ). Đ ờng thẳng
AM cắt (O) tại D, tiếp tuyến của đờng tròn ngoại tiếp tam giác AIM tại M cắt BD và DC tại P và Q.
a) Chứng minh DM.AI= MP.IB
b) Tính tỉ số :
MQ
MP
Câu 5:
Cho P =
x
xx

+
1
34
2
Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa, rút gọn biểu thức.
đáp án
Câu 1 :
1) A =
53
1

+
+
75
1
+
+
97
1
+
+ +
9997
1
+

=
2
1
(
35
+
57
+
79
+ +
9799
) =
2
1
(
399

)
2) B = 35 + 335 + 3335 + +

399
35 3333
số
=
=33 +2 +333+2 +3333+2+ + 333 33+2
= 2.99 + ( 33+333+3333+ +333 33)
= 198 +
3
1
( 99+999+9999+ +999 99)
198 +
3
1
( 10
2
-1 +10
3
- 1+10
4
- 1+ +10
100
1) = 198 33 +
B =










27
1010
2101
+165
Câu
2: 1)
x
2
-7x -18 = x
2
-4 7x-14 = (x-2)(x+2) - 7(x+2) = (x+2)(x-9) (1đ)
2)(x+1)(x+2)(x+3)(x+4) -3= (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)-3
= (x
2
+5x +4)(x
2
+ 5x+6)-3= [x
2
+5x +4][(x
2
+ 5x+4)+2]-3
= (x
2
+5x +4)
2

+ 2(x
2
+5x +4)-3=(x
2
+5x +4)
2
- 1+ 2(x
2
+5x +4)-2
= [(x
2
+5x +4)-1][(x
2
+5x +4)+1] +2[(x
2
+5x +4)-1]
= (x
2
+5x +3)(x
2
+5x +7)
3) a
10
+a
5
+1 = a
10
+a
9
+a

8
+a
7
+a
6
+ a
5
+a
5
+a
4
+a
3
+a
2
+a +1 - (a
9
+a
8
+a
7
)- (a
6
+ a
5
+a
4
)- ( a
3
+a

2
+a )
= a
8
(a
2
+a+1) +a
5
(a
2
+a+1)+ a
3
(a
2
+a+1)+ (a
2
+a+1)-a
7
(a
2
+a+1) -a
4
(a
2
+a+1)-a(a
2
+a+1) =(a
2
+a+1)( a
8

-a
7
+ a
5
-a
4
+a
3
- a +1)
Câu 3: 4đ
1) Ta có : (ab+cd)
2


(a
2
+c
2
)( b
2
+d
2
) <=>
a
2
b
2
+2abcd+c
2
d

2


a
2
b
2
+ a
2
d
2
+c
2
b
2
+c
2
d
2
<=>
0

a
2
d
2
- 2cbcd+c
2
b
2

<=>
0

(ad - bc)
2
(đpcm )
Dấu = xãy ra khi ad=bc.
2) áp dụng hằng đẳng thức trên ta có :
5
2
= (x+4y)
2
= (x. + 4y)

(x
2
+ y
2
)
)161( +
=>
x
2
+ y
2



17
25

=> 4x
2
+ 4y
2



17
100
dấu = xãy ra khi x=
17
5
, y =
17
20
(2đ)
Câu 4 : 5đ
Ta có : góc DMP= góc AMQ = góc AIC. Mặt khác góc ADB = góc BCA=>

MPD đồng dạng với

ICA =>
IA
MP
CI
DM
=
=> DM.IA=MP.CI hay DM.IA=MP.IB (1).
Ta có góc ADC = góc CBA,
Góc DMQ = 180

0
- AMQ=180
0
- góc AIM = góc BIA.
Do đó

DMQ đồng dạng với

BIA =>
IA
MQ
BI
DM
=
=> DM.IA=MQ.IB (2)
Từ (1) và (2) ta suy ra
MQ
MP
= 1
Câu 5
Để P xác định thì : x
2
-4x+3

0 và 1-x >0
Từ 1-x > 0 => x < 1
Mặt khác : x
2
-4x+3 = (x-1)(x-3), Vì x < 1 nên ta có :
(x-1) < 0 và (x-3) < 0 từ đó suy ra tích của (x-1)(x-3) > 0

Vậy với x < 1 thì biểu thức có nghĩa.
Với x < 1 Ta có :
P =
x
xx

+
1
34
2
=
x
x
xx
=


3
1
)3)(1(
Đề 11
Câu 1 : a. Rút gọn biểu thức .
( )
22
1
11
1
+
++=
a

a
A
Với a > 0.
b. Tính giá trị của tổng.
222222
100
1
99
1
1
3
1
2
1
1
2
1
1
1
1 +++++++++=B
Câu 2 : Cho pt
01
2
=+ mmxx
a. Chứng minh rằng pt luôn luôn có nghiệm với
m

.
b. Gọi
21

, xx
là hai nghiệm của pt. Tìm GTLN, GTNN của bt.
( )
12
32
21
2
2
2
1
21
+++
+
=
xxxx
xx
P
Câu 3 : Cho
1,1 yx
Chứng minh.
xy
yx
+

+
+
+
1
2
1

1
1
1
22
Câu 4 Cho đờng tròn tâm o và dây AB. M là điểm chuyển động trên đờng tròn, từM kẻ MH AB (H AB). Gọi E và F lần lợt là
hình chiếu vuông góc của H trên MA và MB. Qua M kẻ đờng thẳng vuông góc với è cắt dây AB tại D.
1. Chứng minh rằng đờng thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi trên đờng tròn.
2. Chứng minh.
BH
AD
BD
AH
MB
MA
.
2
2
=
H ớng dẫn
Câu 1 a. Bình phơng 2 vế
( )
1
1
2
+
++
=
aa
aa
A

(Vì a > 0).
c. áp dụng câu a.

100
9999
100
1
100
1
11
1
==
+
+=
B
aa
A
Câu 2 a. : cm
m 0
B (2 đ) áp dụng hệ thức Viet ta có:



=
=+
1
21
21
mxx
mxx


2
12
2
+
+
=
m
m
P
(1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn.
11
2
2
1
1
2
1
==
==

mGTNN
mGTLN
P
Câu 3 : Chuyển vế quy đồng ta đợc.
bđt
( )
( )
( )
( )

( )
( )
0
1111
22

++

+
++


xyy
yxy
xyx
xyx
( ) ( )
01
2
xyyx
đúng vì
1xy
Câu 4: a
- Kẻ thêm đờng phụ.
- Chứng minh MD là đờng kính của (o)
=>
b.
Gọi E', F' lần lợt là hình chiếu của D trên MA và MB.
Đặt HE = H
1


HF = H
2
( )
1


.
2
2
2
1
MBhHF
MAhHE
BH
AD
BD
AH
=
HEF

''
EDF

hHEhHF
2
=
Thay vào (1) ta có:
BH
AD

BD
AH
MB
MA
.
2
2
=
Đề 12
M
o
E'
E
A
F
F'
B
I
D
H
Câu 1: Cho biểu thức D =






+
+
+


+
ab
ba
ab
ba
11
:







++
+
ab
abba
1
2
1
a) Tìm điều kiện xác định của D và rút gọn D
b) Tính giá trị của D với a =
32
2

c) Tìm giá trị lớn nhất của D
Câu 2: Cho phơng trình
32

2

x
2
- mx +
32
2

m
2
+ 4m - 1 = 0 (1)
a) Giải phơng trình (1) với m = -1
b) Tìm m để phơng trình (1) có 2 nghiệm thoã mãn
21
21
11
xx
xx
+=+
Câu 3: Cho tam giác ABC đờng phân giác AI, biết AB = c, AC = b,
)90(

0
==

A
Chứng minh rằng AI =
cb
Cosbc
+

2
.2

(Cho Sin2

CosSin2=
)
Câu 4: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB và một điểm N di động trên một nửa đờng tròn sao cho
.BNAN



Vễ vào trong đờng tròn hình
vuông ANMP.
a) Chứng minh rằng đờng thẳng NP luôn đi qua điểm cố định Q.
b) Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác NAB. Chứng minh tứ giác ABMI nội tiếp.
c) Chứng minh đờng thẳng MP luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 5: Cho x,y,z; xy + yz + zx = 0 và x + y + z = -1
Hãy tính giá trị của:
B =
x
xyz
y
zx
z
xy
++
Đáp án
Câu 1: a) - Điều kiện xác định của D là









1
0
0
ab
b
a
- Rút gọn D
D =







+
ab
aba
1
22
:








++
ab
abba
1
D =
1
2
+a
a
b) a =
13)13(
1
32(2
32
2
2
+=+=
+
=
+
a
Vậy D =
34
232
1

32
2
322


=
+
+
c) áp dụng bất đẳng thức cauchy ta có
112 + Daa
Vậy giá trị của D là 1
Câu 2: a) m = -1 phơng trình (1)
0920
2
9
2
1
22
=+=+ xxxx





+=
=

101
101
2

1
x
x
1
2
1
2
1
F
I
Q
P
N
M
B
A
c
b
a
I
C
B
A

2

2
b) Để phơng trình 1 có 2 nghiệm thì
4
1

0280 + mm

(
*
)
+ Để phơng trình có nghiệm khác 0





+


+
234
234
014
2
1
2
1
2
m
m
mm
(
*
)
+




=
=+
=++=+
01
0
0)1)((
11
21
21
212121
21
xx
xx
xxxxxx
xx





+=
=
=





=+
=

194
194
0
038
02
2
m
m
m
mm
m
Kết hợp với điều kiện (*)và (**) ta đợc m = 0 và
194 =m
Câu 3:
+
;
2
.
2
1

cSinAIS
ABI
=

+
;

2
.
2
1

bSinAIS
AIC
=

+
;
2
1

bcSinS
ABC
=

AICABIABC
SSS

+=
cb
bcCos
cbSin
bcSin
AI
cbAISinbcSin
+
=

+
=
+=
2
2
)(
2
)(
2





Câu 4: a)
21

NN =
Gọi Q = NP
)(O
QA QB =
)
)
Suy ra Q cố định
b)
)

(



211
AMA ==

Tứ giác ABMI nội tiếp
c) Trên tia đối của QB lấy điểm F sao cho QF = QB, F cố định.
Tam giác ABF có: AQ = QB = QF


ABF vuông tại A

00
45

45

== BFAB
Lại có
==
1
0
1

45

PAFBP
Tứ giác APQF nội tiếp

0
90



== FQAFPA
Ta có:
000
1809090

=+=+ MPAFPA

M
1
,P,F Thẳng hàng
Câu 5: Biến đổi B = xyz








++
222
111
zyx
=
2
2
. ==
xyz
xyz

Đề 13
Bài 1: Cho biểu thức A =
2
4( 1) 4( 1)
1
. 1
1
4( 1)
x x x x
x
x x
+ +


ữ



a) Tìm điều kiện của x để A xác định
b) Rút gọn A
Bài 2 : Trên cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A(5; 2) và B(3; -4)
a) Viết phơng tình đờng thẳng AB
b) Xác định điểm M trên trục hoành để tam giác MAB cân tại M
Bài 3 : Tìm tất cả các số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau:
x
2
- m
2
x + m + 1 = 0
có nghiệm nguyên.

Bài 4 : Cho tam giác ABC. Phân giác AD (D BC) vẽ đờng tròn tâm O qua A và D đồng thời tiếp xúc với BC tại D. Đờng tròn này cắt AB
và AC lần lợt tại E và F. Chứng minh
a) EF // BC
b) Các tam giác AED và ADC; àD và ABD là các tam giác đồng dạng.
c) AE.AC = à.AB = AC
2
Bài 5 : Cho các số dơng x, y thỏa mãn điều kiện x
2
+ y
2
x
3
+ y
4
. Chứng minh:
x
3
+ y
3
x
2
+ y
2
x + y 2
Đáp án
Bài 1:
a) Điều kiện x thỏa mãn
2
1 0
4( 1) 0

4( 1) 0
4( 1) 0
x
x x
x x
x x






+


>


1
1
1
2
x
x
x
x












x > 1 và x 2
KL: A xác định khi 1 < x < 2 hoặc x > 2
b) Rút gọn A
A =
2 2
2
( 1 1) ( 1 1)
2
.
1
( 2)
x x
x
x
x
+ +



A =
1 1 1 1
2
.

2 1
x x
x
x x
+ +


Với 1 < x < 2 A =
2
1 x
Với x > 2 A =
2
1x
Kết luận
Với 1 < x < 2 thì A =
2
1 x
Với x > 2 thì A =
2
1x
Bài 2:
a) A và B có hoành độ và tung độ đều khác nhau nên phơng trình đờng thẳng AB có dạng y = ax + b
A(5; 2) AB 5a + b = 2
B(3; -4) AB 3a + b = -4
Giải hệ ta có a = 3; b = -13
Vậy phơng trình đờng thẳng AB là y = 3x - 13
b) Giả sử M (x, 0) xx ta có
MA =
2 2
( 5) (0 2)x +

MB =
2 2
( 3) (0 4)x + +
MAB cân MA = MB
2 2
( 5) 4 ( 3) 16x x + = +
(x - 5)
2
+ 4 = (x - 3)
2
+ 16
x = 1
Kết luận: Điểm cần tìm: M(1; 0)
Bài 3:
Phơng trình có nghiệm nguyên khi = m
4
- 4m - 4 là số chính phơng
Ta lại có: m = 0; 1 thì < 0 loại
m = 2 thì = 4 = 2
2
nhận
m 3 thì 2m(m - 2) > 5 2m
2
- 4m - 5 > 0
- (2m
2
- 2m - 5) < < + 4m + 4
m
4
- 2m + 1 < < m

4
(m
2
- 1)
2
< < (m
2
)
2
không chính phơng
Vậy m = 2 là giá trị cần tìm.
Bài 4:
a)
ã ã
ằ
1
( )
2
EAD EFD sdED= =
(0,25)
ã
ã
ằ
1
( )
2
FAD FDC sdFD= =
(0,25)
mà
ã

ã ã
ã
EDA FAD EFD FDC= =
(0,25)
EF // BC (2 góc so le trong bằng nhau)
b) AD là phân giác góc BAC nên
ằ ằ
DE DF=
F
E
A
B
C
D
sđ
ã
1
2
ACD =
sđ(
ẳ
ằ
AED DF
) =
1
2
sđ
ằ
AE
= sđ

ã
ADE
do đó
ã
ã
ACD ADE=
và
ã
ã
EAD DAC=
D ADC (g.g)
Tơng tự: sđ
ã
ằ
ẳ
ằ
1 1
( )
2 2
ADF sd AF sd AFD DF= =
=
ẳ
ằ
ã
1
( )
2
sd AFD DE sd ABD =

ã

ã
ADF ABD=
do đó AFD ~ (g.g
c) Theo trên:
+ AED ~ DB

AE AD
AD AC
=
hay AD
2
= AE.AC (1)
+ ADF ~ ABD
AD AF
AB AD
=
AD
2
= AB.AF (2)
Từ (1) và (2) ta có AD
2
= AE.AC = AB.AF
Bài 5 (1đ):
Ta có (y
2
- y) + 2 0 2y
3
y
4
+ y

2
(x
3
+ y
2
) + (x
2
+ y
3
) (x
2
+ y
2
) + (y
4
+ x
3
)
mà x
3
+ y
4
x
2
+ y
3
do đó
x
3
+ y

3
x
2
+ y
2
(1)
+ Ta có: x(x - 1)
2
0: y(y + 1)(y - 1)
2
0
x(x - 1)
2
+ y(y + 1)(y - 1)
2
0
x
3
- 2x
2
+ x + y
4
- y
3
- y
2
+ y 0
(x
2
+ y

2
) + (x
2
+ y3) (x + y) + (x
3
+ y
4
)
mà x
2
+ y
3
x
3
+ y
4
x
2
+ y
2
x + y (2)
và (x + 1)(x - 1) 0. (y - 1)(y
3
-1) 0
x
3
- x
2
- x + 1 + y
4

- y - y
3
+ 1 0
(x + y) + (x
2
+ y
3
) 2 + (x
3
+ y
4
)
mà x
2
+ y
3
x
3
+ y
4
x + y 2
Từ (1) (2) và (3) ta có:
x
3
+ y
3
x
2
+ y
2

x + y 2
Đề 14
Câu 1: x- 4(x-1) + x + 4(x-1) 1
cho A= ( 1 - )
x
2
- 4(x-1) x-1
a/ rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.
Câu 2: Xác định các giá trị của tham số m để phơng trình
x
2
-(m+5)x-m+6 =0
Có 2 nghiệm x
1
và x
2
thoã mãn một trong 2 điều kiện sau:
a/ Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vị.
b/ 2x
1
+3x
2
=13
Câu 3Tìm giá trị của m để hệ phơng trình
mx-y=1
m
3
x+(m
2

-1)y =2
vô nghiệm, vô số nghiệm.
Câu 4: tìm max và min của biểu thức: x
2
+3x+1
x
2
+1
Câu 5: Từ một đỉnh A của hình vuông ABCD kẻ hai tia tạo với nhau một góc 45
0
. Một tia cắt cạnh BC tại E cắt đờng chéo BD tại P. Tia kia
cắt cạnh CD tại F và cắt đờng chéo BD tại Q.
a/ Chứng minh rằng 5 điểm E, P, Q, F và C cùng nằm trên một đờng tròn.
b/ Chứng minh rằng: S
AEF
=2S
AQP
c/ Kẻ trung trực của cạnh CD cắt AE tại M tính số đo góc MAB biết CPD=CM
h ớng dẫn
Câu 1: a/ Biểu thức A xác định khi x2 và x>1
( x-1 -1)
2
+ ( x-1 +1)
2
x-2
A= . ( )
(x-2)
2
x-1
x- 1 -1 + x-1 + 1 x- 2 2 x- 1 2

= . = =
x-2 x-1 x-1 x-1
b/ Để A nguyên thì x- 1 là ớc dơng của 1 và 2
* x- 1 =1 thì x=0 loại