


=
≥
ax
x
2
0
CHỦ ĐỀ 1
CĂN BẬC HAI – CĂN THỨC BẬC HAI
VẤN ĐỀ 1. CĂN BẬC HAI – CĂN BẬC HAI SỐ HỌC
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
a. Căn bậc hai của một số a > 0 là một x sao cho x
2
= a
VD : CBH của 4 là 2 và -2
b. Căn bậc hai số học của một số a không âm là một x, ký hiệu
là
a
sao cho
Vậy ta có : x =
a
⇔

VD :
5;24 == 25
Như vậy, khi biết căn bậc số học của một số, ta dể dàng xác đònh được các căn bậc hai
của nó. Chẳng hạn, căn bậc hai số học của 25 là 5 suy ra 25 có hai căn bậc hai là 5 và -5
• Chú ý :
Với hai số a và b không âm, ta có : a < b ⇔

ba <
II. LUYỆN TẬP
1. Điền vào chổ trống :
12
9
là của họcsố hai bậcCăn f) 26 là của hai bậcCăn e)
0,04 là của hai bậcCăn d)
2
1
là của họcsố hai bậcCăn
haicăn có không Số c)
4
3
là của họcsố hai bậcCăn
±
±)
)
b
a
2. Xác đònh tính đúng (Đ), sai (S) của các khẳng đònh sau :
Khẳng đònh Đ S
a) Mọi số dương đều có hai giá trò căn bậc hai đối nhau
b) Mọi số thực a đều có một giá trò căn bậc hai số học
c) Với mọi a ∈ R,
aa =
2
d) Với mọi a ∈ R,
0≥− a
e)
5,25,6 <

f)
7,045,0 <
g)
1,001,0 <
h) Nếu 0 < a < 1 thì
aa <
i) Nếu a > 1 thì
aa >
1



=
≥
ax
x
2
0
3. Tìm căn bậc số học của mỗi số sau rồi suy ra căn bậc hai của chúng :
121; 144; 169; 225; 256; 324; 361; 400; 0,01; 0,04; 0,49; 0,64; 0,25; 0,81.
4. So sánh :
a) 2 và
3
11) −+ 3 và 1 e) 2 và 2 d) 47 và 7 c) 41 và 6 b
5. Tìm x không âm, biết :
422053) <<−==== 2x f) x e) x d) x c) x b) x a
VẤN ĐỀ 2. CĂN THỨC BẬC HAI
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
a) Cho A là một biểu thức đại số, khi đó
A

được gọi là căn thức bậc hai.
b)
A
xác đònh (có nghóa) ⇔ A ≥ 0
c)
AA =
2
II. LUYỆN TẬP
1.
2
x1 i) 2x h)5x- g)
3
x
f)
x1-
1
e) d) 32x- c) 43x- b)
+
++
+++
3
4
72)
x
xa

2. Rút gọn rồi tính :
( ) ( )
86
2

23)
)1,0()
−+
684
222
(-5)2 h)(-5) g) 3-4- f) (-2)5
(-0,4)0,4 d) (-1,3)- c) (-0,3) b)
e
a
3. Xác đònh tính Đúng (Đ), sai (S) :
Khẳng đònh Đ S
a)
( )
3131
2
−=−
b)
( )
1221
2
−=−
c)
11 ±=
d)
xx −=−
2
)(
e)
-2 a với ≥+=+ 2)2(
2

aa
f)
20)2(
2
−=⇔=+ aa
g)
x mọi với axxa =
2
h)
0 x mọi với ≤=− xx 33
2
i)
2- a với <+=+ 2)2(
2
aa
2
4. Rút gọn các biểu thức sau :
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
222
222
32
32)
−+
+−
32 f) 17-4 e) 3-3 d)
24 c) 11-3 b) a
5. Rút gọn các biểu thức sau :
0 a với 9a7 d) 81a c)
0 a với 36a b) 0 a với

64
2
<−+
≥+<−
32
2
35
352)
aa
aaaa
6. Phân tích thành nhân tử :
a) x
2
– 3 b) x
2
– 6 c)
332
2
++ xx
d) x
2
- 2
55 +x
Khẳng đònh Đ S
a) Mọi số dương đều có hai giá trò căn bậc hai đối nhau
b) Mọi số thực a đều có một giá trò căn bậc hai số học
c) Với mọi a ∈ R,
aa =
2
d) Với mọi a ∈ R,

0≥− a
e)
5,25,6 <
f)
7,045,0 <
g)
1,001,0 <
h) Nếu 0 < a < 1 thì
aa <
i) Nếu a > 1 thì
aa >

VẤN ĐỀ 3. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA CĂN THỨC
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
0)B 0;(A
B
A
0)B 0;(A
>≥=
≥≥=
B
A
BABA
II. LUYỆN TẬP
1. Tính :
5,1.5.48.30.4,6.4,0)
63.162.13.45.40.10)
2,7 h)2,5 g)
7 e) 2 d) 52 c) 5 b)
f

a
2. Tính :
42
3.)7.(64.09,0)
80.45)
24
2 h)12,1.360 g) 2 f)
2,5.14,4 d) 90.6,4 c) 75.48 b)
−e
a
3
3. Rút gọn các biểu thức sau :
0 a với a)-(3 h) 0 a với 5a g)
0 a với 13a f) 0 a với
3
2a
e)
b a với
b-a
1
d) 1 a với a)-27.48(1 c)
3 a với a b) 0a với
2
2
4
>−>−
>>
>−>
≥−<
2

24
22
180.2,0345.
52
8
3
.
)(
)3(36,0)
aaa
a
a
baa
aaa
4. Chứng minh :
( ) ( )
( )
nhau của đảo nghòch số hailà 2006( và 2006
22 b) 17-9
)20052005)
962221238179.)
2
+−
=−++−=+
c
a
5. Rút gọn rồi tính
3- b2;- a tại
2- x tại 9x6x4(1
2

==−+
=++
)44(9)
))
22
2
bbab
a
6. Tính :
0,5
12,5
d)
23
2300
c)
144
25
b)
169
9
)a
7. Rút gọn các biểu thức sau :
( )
( )
-2)(x 8-4x h)3)(x
2)-(x
g)
0)y1;y(x,
y
1-x

f) 0)(x
x2-x
e) 0) b0;(a
16a
d)
0)n 0;(m
45mn
c) 0)(x
48x
b) 0)(y
4
4
23
>
+
+
+<
−
−
+
−
>≠
−
+−
−
>
++
+
≠<
>>>>

2
2
3
1
)3(
1
12
112
1
128
20
3
7
63
)
232
2
4
2
66
6
3
3
x
xx
x
x
x
x
yy

xx
ba
b
m
x
y
y
a
8. Xác đònh tính đúng (Đ), sai (S) của các phép tính sau :
Khẳng đònh Đ S
a)
12
15.7
7
21
:
2
35
24
=
b)
7.25
01,0.48
63.100
=
c)
xyy
xy
yx
=

4
5,0
42
d)
0) z 0; x (với <>=
224
3
2
10.01,0
10
y
x
zy
x
z
4
9. Hãy chọn đáp án đúng
Cho biểu thức :
1)(a <
−
−
=
2
2
)1(
36
48
1
a
a

E
)1()1()
2
aaa −+===
8
1
d)
8
1
E c)
8
1
- E b)
8
1
E
10. Cho biểu thức :
b a 0 với <<
−
−
=
2
)( ba
ab
a
ba
E
. Sauk hi rút gọn ta được :
ba aE d) b-aE c) b- E b)b E ====)
VẤN ĐỀ 4. CÁC PHÉP BIỂN ĐỔI ĐƠN GIẢN CĂN THỨC BẬC HAI

oOo
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn
0) (B
≥=
BABA .
2
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
0) B 0;A ( BA
0) B 0;(A
≥≤−=
≥≥=
BA
BABA
.

2
2
3. Khử mẫu của biểu thức lấy căn

0) AB ; 0(B
≥≠=
B
AB
B
A
4. Trục căn thức ở mẫu
a. Trường hợp mẫu có dạng một tích
0) C 0;(B >≠=
CB

CA
CB
A
.
.
b. Trường hợp có dạng một tổng hoặc một hiệu
CB
CBA
CB
A
−
=
±
)( 
5
II. LUYỆN TẬP
1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn :
2
7.63.a 288000,05- 20000 108 ;;;;54
2. Đưa thừa số vào trong dấu căn
0 y và 0 x với
x
2
x
3
2
- 25- >>;;;53 xy
3. So sánh :
2
1

6 và
2
1
d)
5
1
và
3
1
c) 53 và 7 b) 12 và 33 615051)a
4. Khử mẫu của các biểu thức sau :
b
a
a
b
36
9
;;;;
600
1
3
b
a
;
b
a
ab
50
3


540
11

5. Trục căn ở mẫu của các biểu thức sau :
yx −+−−
+
−+
+ 1
;
710
3
;
56
2
;
32
32
;
13
2
;
1
;
25
222
;
203
1
;
52

5
;
10
5
3
3

6. Rút gọn các biểu thức sau :
( ) ( )
( )
( )
3
1
15
11
33
75248
4
3
3
4
12
3
4
)
32:6.)2(35327523818)
80
4
1
5349

49
3
4520
2
3
45)
4
+−+−+
−−−−++−
+−−+−
2
1
h)
48 f) 2 e)
2
1

7
5
c)
49
12
b) 180
g
d
a
7. Rút gọn các biểu thức sau :
8. Cho biểu thức :
x
x

x
x
x
x
P
−
+
+
+
+
−
+
=
4
52
2
2
2
1
a) Rút gọn P nếu x ≥ 0; x ≠ 4
b) Tìm x để P = 2
9. Cho biểu thức :









−
+
−
−
+








−
−
=
1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
Q

a) Rút gọn Q với a > 0; a ≠ 4 và a ≠ 1
b) Tìm giá trò của a để Q dương.
10. Cho biểu thức :
222222
:1
baa
b
ba
a
ba
a
R
−−








−
+−
−
=
với a > b > 0
a) Rút gọn R
b) Xácđònh giá trò của R khi a = 3b
6
0) b0; b0; a (

a
aa
c)
0) x 0; (m
x2x-1
m
b)0) b0; (a
b
a

2
≠>>
−
−
+
+
≠>
+−
+
>>++
1
:
1
81
484
.)
2
b
bb
mxmxm

a
b
b
a
aba
11. Cho biểu thức :
1 x và 0 x với ≠≥








−
+
+








++
−
−
+

= x
x
x
xx
x
x
x
A
1
1
1
1
12
3
3
a) Rút gọn A
b) Tìm x khi A = 3
12. Cho biểu thức
9 x và 0 x với ≠>








−
−
+









−
+
+
+
=
xxx
x
x
x
x
x
C
1
3
13
:
9
9
3
a) Rút gọn C
b) Tìm x sao cho C < -1
13. Chứng minh các đẳng thức sau :

1)
22
2222
1
1
1
1
1
:)
2
57
1
:
31
515
21
714
)
5,1
6
1
.
3
216
8
6
)
2
=









−
+








−
+
+
−
=
−
−
+
−
−
−
+
≠≥−=









−
−
−








+
+
+
≠−=
−
+
−=
−









−
−
+
−
−
−=








−
−
ba
ba
ab
ba
bbaa
f
ba
b
ab

b
ba
ba
ba
b
a
a
aa
ba
baab
abba
c
b
a
a
e)
1) a và 0 a (với
a
aa
1 d)
b)a và dương ba, (với
32

14. Cho biểu thức :
( )
ab
abba
ba
abba
A

+
−
−
−+
=
4
2
a) Tìm điều kiện để A có nghóa
b) Khi A có nghóa, chứng minh rằng giá trò của A không phụ thuộc vào a
7
CHỦ ĐỀ 2
HÀM SỐ BẬC NHẤT
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
 Hàm số bậc nhất có dạng tổng quát là : y = ax + b (a ≠ 0) (*)
 Hàm số (*) đồng biến khi a > 0
 Hàm số (*) nghòch biến khi a < 0
 Đồ thò của hàm số (*) là đường thẳng có hệ số góc là a.
 Cho hai đường thẳng :
(d
1
) : y = a
1
x + b
1
(d
2
) : y = a
2
x + b
2

• (d
1
) // (d
2
) ⇔



≠
=
21
21
bb
aa
• (d
1
) cắt (d
2
) ⇔ a
1
≠ a
2
• (d
1
) trùng (d
2
) ⇔




=
=
21
21
bb
aa
II. LUYỆN TẬP
1. Cho hàm số : y =
x
4
3
. Tính
f(-5); f(-4); f(-1); f(0); f(
)
2
1
f(1); f(2) f(4) f(a) f(a+1)
2. Trong các hàm số dưới nay, hàm nào là hàm số bậc nhất ? Hãy xác đònh các hệ số a, b và
xét tính đồng biến hay nghòch biến của nó
a) y = 3 – 0,5x b) y = -1,5x c) y = 5 – 2x
2
d) y =
1)12( +− x
e) y =
)2(3 −x
f) y +
32 −= x
3. Cho hàm số bậc nhất y = (m + 1)x + 5
a) Tìm m để hàm số là hàm đồng biến
b) Tìm m để hàm số là hàm nghòch biến

4. Cho hàm số y = (m – 3)x
a) Tìm m để hàm đồng biến
b) Tìm m để đồ thò hàm số đi qua điểm A(1; 2)
c) Tìm m để đồ thò hàm số đi qua điểm B(1; -2)
d) Vẽ đồ thò ứng với m tìm được ở câu b), c)
5. Cho hàm số y = (a – 1)x + a.
a) Tìm a để đồ thò hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2
b) Tìm a để đồ thò hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoàng độ bằng -3
c) Vẽ đồ thò hàm số ứng với a tìm được ở câu a, b trên cùng hệ trục tọa độ và tìm tọa độ
giao điểm
8
6. a) Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ Oxy đồ thò các hàm số sau :
D
1
: y = x
D
2
: y = 2x
D
3
: y = -x + 3
b) Đừơng thẳng D
3
cắt D
1
, D
2
theo thứ tự tại A, B. Tìm tọa độ của A, B và tính diện tích tam
giác OAB.
7. Biết rằng với x = 4 thì hàm số y = 2x + b có giá trò là 5.

a) Tìm b
b) vẽ đồ thò ứng với b tìm được ở câu a
8. Cho đường thẳng y = (1 – 4m)x + m – 2 (d)
a) Tìm m để (d) đi qua gốc tọa độ
b) Tìm m để (d) cắt trục tung tại một điểm có tung độ bằng
2
3
c) Tìm m để (d) cắt trục hoàng tại điểm có hoành độ bằng
2
1
9. Cho đường thẳng y = (m – 2)x + n (m ≠ 2) (d)
Tìm các giá trò của m và n trong mỗi trường hợp sau :
a) (d) đi qua hai điểm A(-1; 2); B(3; -4)
b) (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 -
2
và cắt trục hoành
tại điểm có hoành độ bằng 2 +
2
c) Đường thẳng (d) cắt đường thẳng -2y + x – 3 = 0
d) Đường thẳng (d) song song với đường thẳng 3x + 2y = 1
e) Đường thẳng (d) trùng với đường thẳng y – 2x + 3 = 0
10. Với giá trò nào của m thì đồ thò hai hàm số y = 2x + 3 + m và y = 3x + 5 – m cắt
nhau tại một điểm nằm trên trục tung
11. Tìm giá trò của a để hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 song song
nhau
12. Xác đònh k và m để hai đường thẳng sau nay trung nhau :
y = kx + (m – 2) ; y = (5 – k)x + (4 – m)
13. a) Vẽ đồ thò hai hàm số sau trên cùng mặt phẳng tọa độ :
y = 0,5x + 2; y = 5 – 2x
b) Gọi giao điểm của hai đường thẳng trên với trục hoành theo thứ tự là A và B và giao điểm

của hai đường thẳng là C. Tìm tọa độ A, B, C
9
CHỦ ĐỀ 3
HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
Phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng tổng quát : ax + by + c = 0 (1)
Nghiệm tổng quát của phương trình (1) là :






−=∈
b
c
-x y
b
a
Rx ;
Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số có dạng tổng quát là :



=+
=+
''' cybxa
cbyax
(*)
Hệ (*) có vô số nghiệm nếu :

''' c
c
b
b
a
a
==
Hệ (*) vô nghiệm nếu :
''' c
c
b
b
a
a
≠=
Hệ (*) có nghiệm duy nhất nếu :
'' b
b
a
a
≠
Để giải hệ phương trình ta có thể dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số (xem
trong sách Toán 9 tập 2).
II. LUYỆN TẬP.
Bài 1. Giải các hệ phương trình sau :



=
=




=+
=



=
=+



=
=+



=+
=
62y-6x
3y-3x
e)
6y3x
12y-7x
d)
53y-x
35y4x
c)
-8y-2x

15y3x
b)
232y5x
5y-3x
)a
Bài 3. Giải các hệ phương trình sau :





=−
=+



=
=+





=+−
−=−



=+
=




=+
=+



=+
=



=
=+



=+
=
2
9
323
5322
h)
96y-0,75x
-2,64y0,35x
g)
187852
7215453

f)
-813y12x
57y-8x
)
414y9x
14,2y3,3x
d)
0,521y15x
89y-10x
c)
-243y-4x
167y4x
b)
3111y10x
-711y-2x
)
yx
yx
yx
yx
e
a
Bài 4. Giải các hệ phương trình sau :








−=
−
−
+
=
−
+
+







=+
=−







=−
=+



+=+

++=+



+=+
+=+
8
311
8
51
yx
1
e)
35
94
9
7
x
15
d)
5
111
5
411
)
2xy-2)-x)(y(y1)x)(y-(y
2xy1)y)(x-(x1) -y)(x (x
b)
3) 1)(2y -(6x 6) -1)(3y (4x
1) -7)(y (2x5)3)(2y-(x

)
yxyx
yx
yx
y
yx
yx
c
a
10
Bài 5. Giải các hệ phương trình sau :



−−=+
−=+−



−−=+
−=+
xyx
xy
yxx
xyx
a
3)12(5)27(3
)32()1(54x
b)
12)5(342

13)2(5
)
22
Bài 6. Tìm giá trò của a và b để hai đường thẳng :
(d
1
) : (3a – 1)x + 2by = 56
(d
2
) :
3)23(
2
1
=+− ybax
Cắt nhau tại điểm M(2; -5)
Bài 7. Tìm a và b
a) để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5; 3) và B






−1;
2
3
b) Để đường thẳng ax – 8y = b đi qua điểm M(9; -6 và đi qua giao điểm của hai đường
thẳng (d
1
) : 2x + 5y = 17; (d

2
) : 4x – 10y = 14
Bài 8. Cho hệ phương trình :



=+
=−+
132
012
yx
yx
Nghiệm của hệ là :



=
=



=
=





=
=




−=
=
0y
1x
D)
1y
-1x
C)
2
1
y
0x
B)
1
1
)
y
x
A
Bài 9. Với giá trò nào của m thì hệ sau vô nghiệm :



=+
=−+
3
0132

ymx
yx
kháctrò giáMột D) 0m C)
3
2
m B) ==−=
3
2
)mA
Bài 10. Với giá trò nào của m thì hệ sau vô số nghiệm :



=+
=+
42
23
ymx
yx
A) m = 0 B) m = 3 C) m = 6 D) m = 9
11
CHỦ ĐỀ 4
HÀM SỐ y = ax
2
(a ≠ 0)
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
Cho hàm số y = f(x) = ax
2
( a ≠ 0)
a > 0 a < 0

Nghòch biến khi x < 0
Đồng biến khi x > 0
x -∞ 0 -∞
y
0
Đồ thò :
Đồng biến khi x < 0
Nghòch biến khi x < 0
x -∞ 0 -∞
y 0

Đồ thò
II. LUYỆN TẬP
1. Vẽ đồ thò của các hàm số sau :
a) y = x
2
b) y = -x
2
c) y =
2
2
1
x−
d) y =
2
2
1
x
e) y =
2

2
3
x
2. Cho hàm số y = f(x) =
2
5
1
x
. Phát biểu nào sau đây là sai ?
A) Hàm số xác đònh với mọi x, có hệ số a =
5
1
B) Hàm số đồng biến khi x < 0 và nghòch biến khi x > 0
C) f(0) = 0; f(5) = 5; f(-5) = 5; f(a) = f(-a)
D) Nếu f(x) = 0 thì x = 0 và nếu f(x) = 1 thì x =
5±
3. Cho hàm số y = f(x) = ax
2
có đồ thò là parabol (P). Kết luận nào sau đây là sai ?
A) Nếu điểm
( )
)(6;3 PM ∈−
thì a = -2
B) Nếu điểm N(-2; 10) ∈ (P) thì a =
2
5
C) Nếu điểm P(m; n) ∈ (P) thì điềm Q(-m; n) ∈ (P)
D) F(x) = f(-x) với mọi x
12
4. Cho hàm số y = 0,1x

2
a) Vẽ đồ thò hàm số
b) Các điểm sau đây có thuộc đồ thò hay không : A(3; 0,9), B(-5; 2,5), C(-
10; 1)
5. Cho hàm số y = ax
2
. Xác đònh hệ số a trong các trường hợp sau :
a) Đồ thò của nó đi qua điểm A(3; 12)
b) Đồ thò của nó đi qua điểm B(-2; 3)
c) Vẽ đồ thò hàm số ứng với hệ số a tìm được ở câu a.
6. Cho hàm số y = 0,2x
2
a) Biết rằng điểm A(-2; b) thuộc đồ thò, hãy tính b. Điểm A’(2; b) có
thuộc đồ thò không ? vì sao ?
b) Biết điểm C(c; 6) thuộc đồ thò, hãy tính c. Điểm C’(c; -6) có thuộc
đồ thò không ? vì sao ?
7. Cho hai hàm số : y = 2x
2
và y = x
a) Vẽ đồ thò hai hàm số trên cùng mặt phẳng tọa độ
b) Tìm tọa độ giao điểm của hai đồ thò.
8. Cho hàm số y = ax
2
.
a) Xác đònh hệ số a biết rằng đồ thò của nó cắt đường thẳng y = -2x +
3 tại điểm A có hoành độ bằng 1
b) Vẽ đồ thò của hàm số y = -2x + 3 và của hàm số y = ax
2
với giá trò
của a vừa tìm được trong câu a) trên cùng mặt phẳng tọa độ. Dựa vào đồ thò tìm tọa

độ giao điểm
9. Cho hàm số y = ax
2

a) Xác đònh hàm số biết đồ thò của nó đi qua điểm A(1; -1)
b) Vẽ đồ thò với hệ số a vừa tìm được trong câu a)
c) Tìm trên Parabol vừa vẽ điểm có hoành độ bằng 3
10. Tìm giá trò của m và n để các điểm B(-2; m) và C(n; 1) thuộc đồ thò hàm số y =
2
3
1
x
11. Cho hai hàm số y =
2
3
1
x
và y = -x + 6
a) Vẽ đồ thò hai hàm số này trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
b) Tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thò.
13
CHỦ ĐỀ 5.
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
I. TÓM TẮT KIẾN THỨC
Phương trình bậc hai một ẩn có dạng tổng quát là : ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0) (*)
∆ = b
2
– 4ac

• TH1 : ∆ < 0
 Phương trình (*) vô nghiệm
• TH2 : ∆ = 0
 Phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
=
a
b
2
−
• TH3 : ∆ > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt :
Trong trường hợp hệ số b chia hết cho 2, thì ta sử dụng cộng thức nghiệm thu gọn :
Tính b’ =
2
b

∆’ = b’
2
– ac
• TH1 : ∆’ < 0
Phương trình vô nghiệm
• TH2 : ∆’ = 0
Phương trình có nghiệm kép x
1
= x
2
=

a
b'−
• TH2 : ∆’ > 0
Phương trình có hai nghiệm phân biệt
:
Chú ý :
• Nếu a + b + c = 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm x
1
= 1; x
2
=
a
c
• Nếu a – b + c = 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm x
1
= -1; x
2
=
a
c−
ĐỊNH LÝ VIETÉ
Nếu phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có hai nghiệm x
1
và x
2
thì :
a
c

xx
a
b
xx
=
−=+
21
21
.
14
a
b
x
a
b
x
''
;
''
21
∆−−
=
∆+−
=
a
b
x
a
b
x

2
;
2
21
∆−−
=
∆+−
=
II. LUYỆN TẬP
Bài 1. Giải các phương trình sau :
a) 7x
2
– 5x = 0 b)
062
2
=+− xx
c) 3,4x
2
+ 8,2x = 0
d)
0
3
7
5
2
2
=−− xx
e) 5x
2
– 20 = 0 f) 1,2x

2
– 0,192 = 0
Bài 2. Giải các phương trình sau :
a) (x – 3)
2
= 4 b)
03
2
1
2
=−






− x
c)
( )
0822
2
=−−x
Bài 3. Giải các phương trình sau :
a) 2x
2
– 5x + 1 = 0 b) 4x
2
+ 4x + 1 = 0 c) 5x
2

– x + 2 = 0
d) -3x
2
+ 2x + 8 = 0 e) 2x
2
+ 3x – 2 = 0 f) 2x
2
– 3x + 5 = 0
g) -3x
2
+ 5x + 2 = 0 h) x
2
+ 8x – 20 = 0 i) x
2
– 6x – 27 = 0
j) 4x
2
– 12x – 7 = 0 k) x
2
– 4x + 2 = 0 l) x
2
– 2x – 2 = 0
Bài 4. Giải các phương trình sau :
a) 5x
2
– 6x – 1 = 0 b) -3x
2
+ 14x – 8 = 0 c) -7x
2
+ 4x = 3

d) 9x
2
+ 6x + 1 = 0 e) 3x
2
– 2x – 5 = 0 f) 5x
2
+ 2x – 16 = 0
g)
0
3
16
2
3
1
2
=−+ xx
h)
023
2
1
2
=+− xx
i) 7x
2
– 9x + 2 = 0
Bài 5. Giải các phương trình sau :
5.1) 3x
2
– 2x = x
2

+ 3 5.2)
( )
)1)(1(122
2
+−=−− xxx
5.3) 3x
2
+ 3 = 2(x + 1) 5.4) 0,5x(x + 1) = (x – 1)
2
5.5) (2x – 1)x(x – 2) = 5 5.6) (3x – 2)(2x – 3) = 4
5.7) (x – 3)
2
= 2(x + 9) 5.8) (x – 3)(x + 3) + x(x + 5) + 6 = 0
5.9) (4x – 5)
2
– 6(4x – 5) + 8 = 0 5.10) (x
2
+ 3x – 1)
2
+ 2(x
2
+ 3x – 1) – 8 = 0
5.11) (2x
2
+ x – 2)
2
+ 10x
2
+ 5x – 16 = 0 5.12) (x
2

– 3x + 4)(x
2
– 3x + 2) = 3
Bài 6 . Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trò của m để phương trình có nghiệm kép.
a) mx
2
– 2(m – 1)x + 2 = 0 b) 3x
2
+ (m + 1)x + 4 = 0
Bài 7. Đối với mỗi phương trình sau, hãy tìm giá trò của m để phương trình có nghiệm :
a) mx
2
+ (2m – 1)x + m + 2 = 0 b) 2x
2
– (4m + 3)x + 2m
2
– 1 = 0
Bài 8. Với giá trò nào của m thì :
a) Phương trình 2x
2
– m
2
x + 18m = 0 có một nghiệm x = -3
b) Phương trình mx
2
– x – 5m
2
= 0 có một nghiệm x = -2
Bài 9. Với giá trò nào của m thì các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :
a) x

2
– 2(m + 3)x + m
2
+ 3 = 0
b) (m + 1)x
2
+ 4mx + 4m – 1 = 0
Bài 10. Tìm m để các phương trình sau đây vô nghiệm :
a) 5x
2
+ 10x + m = 0 b) mx
2
– 12x + 4 = 0
Bài 11. Cho phương trình ax
2
+ bx + c = 0. Chứng minh rằng khi hệ số a và c trái dấu thì
phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt.
Bài 12. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau :
a) u + v = 14; uv = 40 b) u + v = -7; uv = 12
c) u + v = -5 ; uv = -24 d) u + v = 4; uv = 19
e) u – v = 10; uv = 24 f) u
2
+ v
2
= 85; uv = 18
15
Bài 13. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là hai số được cho trong các trường hợp sau :
a) 3 và 5 b) -4 và 7 c) -5 và
3
1

d) 1,9 và 5,1 e) 4 và 1 -
2
Bài 14. Cho phương trình x
2
– 6x + m = 0. Tình giá trò của m, biết rằng phương trình có hai
nghiệm x
1
và x
2
thỏa mãn điều kiện x
1
– x
2
= 4
Bài 15. Cho phương trình 2x
2
+ mx – 5 = 0
a) Tìm giá trò của m để phương trình có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm kia.
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -1. Tìm nghiệm còn lại.
Bài 16. Cho phương trình mx
2
– 4x + 1 = 0. Tìm m để phương trình :
a) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu
b) Có hai nghiệm trái dấu.
Bài 17. Giải các phương trình sau :
a) (x + 2)
2
– 3x – 5 = (1 – x)(1 + x) b) (x – 1)
3
+ 2x = x

3
– x
2
– 2x + 1
c) x(x
2
– 6) – (x – 2)
2
= x(x + 1)
3
d) (x + 5)
2
+ (x + 7)(x – 7) = 12x – 23
Bài 18. Giải các phương trình sau :
a) x
4
- 8x
2
– 9 = 0 b) y
4
– 1,16y
2
+ 0,16 = 0
c) z
4
– 7z
2
– 144 = 0 d) 36t
4
– 13t

2
+ 1 = 0
e)
0
6
1
2
1
3
1
24
=+− xx
f)
02)32(3
24
=−−− xx
g) 2x
4
+ 7x
2
+ 3 = 0 h) 3x
4
– 5x
2
– 2 = 0
Bài 19 . Giải các phương trình sau :
1
1
1
x

1
k)
7
33
3-4x
52x
)
1
18
6x
45
i)
3
26
2
212
2
75
)
3
8
11x
x
g)
1
17
1
19
)
1

16
1
3067x
e)
)4)(2(
88
42
2
)
3
1
)2)(3(
53x
c) 3
1
30
3-x
16
b) 1
1
8
1-x
12
)
234
2
2
2
3
23

2
=
−
+
−
+
=
+
=−
+
=
+
+
−
−
+
=
−
+
+
+++
=
−
−+
++
+−
=
−
−++
+−

+
=
+
−
−
−
=
+−
+−
=
−
+=
+
−
xx
x
j
xx
x
x
x
h
x
x
xxxx
xx
f
xx
xx
x

xx
xx
x
x
x
x
x
d
xxx
x
xx
a
Bài 20. Giải các phương trình sau :
a) 3x
3
+ 6x
2
– 4x = 0 b) (x + 1)
3
– x + 1 = (x – 1)(x – 2)
c) (x
2
+ x + 1)
2
= (4x – 1)
2
d) (x
2
+ 3x + 2)
2

= 6(x
2
+ 3x + 2)
e (2x
2
+ 3)
2
– 10x
3
– 15x = 0 f) x
3
– 5x
2
– x + 5 = 0
Bài 21. Chứng minh rằng khi a và c trái dấu thì phương trình trùng phương
ax
4
+ bx
2
+ c = 0 chỉ có hai nghiệm và chúng là hai số đối nhau.
Bài 22. Chứng minh rằng phương trình x
2
– (m
2
+ 1)x – (2m
2
+ 3) = 0 có nghiệm với mọi m
16
CHỦ ĐỀ 6
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH

I. LOẠI 1 . Toán số học.
Bài 1. Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.
Bài 2. Cho một số có hai chữa số. Tổng hai chữ số của chúng bằng 10. Tích hai chữ số ấy
nhỏ hơn số đã cho là 12. Tìm số đã cho.
Bài 3. Tìm hai số biết hiệu của chúng bằng 7 và tổng các bình phương của chúng bằng
289.
Bài 4. Tìm một số biết rằng số đó nhỏ hơn nghòch đảo của nó là 2,1
Bài 5. Tổng hai số bằng 17, tổng bình phương của chúng bằng 33. Hỏi hiệu của chúng
bằng bao nhiêu?
II. LOẠI 2 . Toán chuyển động
Bài 1. Một canô đi xuôi dòng 44km rồi ngược dòng 27km hết tất cả 3 giờ 30 phút. Biết
vận tốc thực của canô là 20km/h. Tính vận tốc dòng nước.
Bài 2. Một ôtô đi quảng đường AB dài 150km với một thời gian đã đònh. Sauk hi xe đi
được
2
1
quãng đường, ôtô dừng lại 10 phút, do đó để đến B đúng hẹn, xe phải
tăng vận tốc thêm 5km/h trên quãng đường còn lại. Ính vận tốc dự đònh của ôtô.
Bài 3. Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30km. Một canô đi từ A đến B, nghỉ 40
phút ở B, rồi lại trở về bến A. Thời gian kể từ lúc đi đến lúc trở về đến A là 6 giờ.
Tính vận tốc của canô khi nước yên lặng , biết rằng vận tốc của dòng nước là
3km/h
Bài 4. Quãng đường Thanh Hóa – Hà Nội dài 150km. Một ôtô từ Hà Nội vào Thanh
Hóa, nghỉ lại Thanh Hóa 3 giờ 15 phút, rồi trở về Hà Nội, hết tất cả 10 giờ. Tính
vận tốc của Ôtô lúc về, biết rằng vận tốc lúc đi lớn hơn vận tốc lúc về là 10km/h.
Bài 5. Hà Nội cách Nam Đònh 90km. Hai ôtô khởi hành đồng thời, xe thou nhất từ Hà
Nội, xe thứ hai từ Nam Đònh và đi ngược chiều nhau. Sau 1 giờ chúng gặp nhau.
Tiếp tục đi, xe thứ hai tới Hà Nội trước khi xe thứ nhất tới Nam Đònh là 27 phút.
Tính vận tốc mổi xe.
Bài 6. Một canô xuôi dòng 45 km rồi ngược dòng 18 km. Biết rằng thời gian xuôi dòng

lâu hơn thời gian ngược dòng 1 giờ và vận tốc của canô lúc ngược dòng chậm hơn
lúc xuôi dòng 6km/h. Tìm vận tốc canô lúc ngược dòng
III. LOẠI 3 . Toán có nội dung hình học
Bài 1. Tính kích thước của một hình chữ nhật biết chu vi bằng 120m, diện tích bằng
875m
2
Bài 2. Một sân hình tam giác có diện tích 180m
2
. Tính cạnh của tam giác biết ràng nếu
tăng nó lên 4m và giảm chiều cao tương ứng 1m thì diện tích không đổi.
Bài 3. Một hình chữ nhật có chu vi 100m. Nếu tăng chiều rộng gấp đôi và giảm chiều
17
dài 10m thì diện tích hình chữ nhật tăng thêm 200m
2
. Tính chiều rộng của hình
chữ nhật lúc đầu.
Bài 4. Một tam giác vuông có chu vi 30m, cạnh huyền 13m. Tính mỗi cạnh góc vuông.
Bài 5. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài bằng
2
3
chiều rộng và có diện tích bằng
1536m
2
. Tính chu vi của khu vường đó.
Bài 6. Một miếng đất hình chữ nhật có diện tích 60m
2
. Nếu chiều dài miếng đất giảm di
2m và chiều rộng miếng đất tăng thêm 2m thì miếng đất hình chữ nhật đó trở
thành hình vuông. Tính kích thước các cạnh của miếng đất ban đầu.
Bài 7. Một tam giác vuông có tổng hai cạnh góc vuông là 11 cm. Tính độ dài các cạnh

góc vuông của tam giác biết diện tích là
2
9
cm
2
.
Bài 8. Một hình chữ nhật có chu vi là 144cm. Diện tích hình chữ nhật đó là 71cm
2
. Tình
kích thước của hình chữ nhật.
18