Luận văn thạc sĩ khoa học: Về khoảng cách Kobayashi của miền trong Cn

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (6.06 MB, 30 trang )

Trang 1<div class="page_container" data-page="1">

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LƯU VĂN NGAN

VỀ KHOẢNG CÁCH KOBAYASHICUA MIEN TRONG C”

Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. NGUYEN ĐÌNH SANG

Hà Nội - Năm 2012

</div>Trang 2<div class="page_container" data-page="2">

Lời cam ơn 1

kiến chỉnh sửa quy báu để tơi có thể hồn thành tét hon bản luận van nàu.

Tơi xin được bay tỏ lịng biết ơn đến các thay cơ giáo trong khoa Tốn

- Cơ - Tin học thuộc trường ĐH KHTN - DH QGHN đã chi bảo tận tinh

trong suốt thời gian tôi học tập tại trường.

Nhân dip nay, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ

vu, động viên, giúp đỡ va tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt q

trình học tập va thực hiện khố luận nay.

Do thời gian có han va trinh độ cịn hạn chế nên luận uăn của tơi khơng

thể tránh khởi những thiếu sót. Tơi rat mong nhận được sự đóng góp ú kiếncủa các thay cô va các bạn để luận van của tơi được hồn thiện hơn. Tơi

zin chân thành cảm ơn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Học vién

Lưu Văn Ngân

</div>Trang 3<div class="page_container" data-page="3">

Dành muc các kí hiểuto

Danh muc cac ki hiéu

C khơng gian phức n - chiều

Clj,.2°) tap dính của f tai 2°

Kobdistp (a, 6) khoang cách Kobayashi giữa hai điểm a, b € D

PSH (Q) không gian các ham đa điều hịa dưới trên 2

R" khơng gian thực n - chiều

| kết thúc chứng minh hoặc vi du.

</div>Trang 4<div class="page_container" data-page="4">

2 Ước lượng khoảng cách Kobayashi của các miền trong C” 13

2.1 Địa phương hóa của khoảng cách Kobayashi. ... 13

2.2 Ước lượng khoảng cách Kobayashi trong miền giả lồi chặt . 20PS (GA WIOCÌỦU «ws esse PR ee BO RH REE ew sa é 25Kết luận... Q2 28

Tal liệu that khỗØ „ ccc ew - ‹ ‹ v z wR EV - Ÿ es 29

</div>Trang 5<div class="page_container" data-page="5">

Lời nói dau 4

Lời nói đầu

Một định lý co điển của Carathéodory phát biểu rằng: mọi ánh xa song

chỉnh hình ƒ: Dị -> Dạ giữa hai miền trong mặt phẳng phức C, bị chặn

bởi những đường cong Jordan đóng đều có thể mở rộng được đến một đẳng

cấu từ D lên Dy.

Có nhiều mở rộng cho kết quả của định lý trên lên những miền khác

nhau của C”. Nếu D;, De là những miền giả lồi bị chặn của C” với biên

lớp @? và nếu khoảng cách Kobayashi không bị chặn trên 2; tăng nhanh

gần biên của Do, (Kp, (x: X) > 2z 50pT với e € (0, 1)) thì mọi ánh xạ

riêng chỉnh hình f : Dị — D; đều mở rộng được tới một ánh xa Holder

liên tục từ D; lên Do. Kết quả này thỏa mãn nói riêng nếu Dy là miền giả

lồi chặt hoặc nếu nó là miền giả lồi với biên giải tích thực. Kết quả nhưvậy cũng nhận được nếu Dy chỉ nhãn từng mảnh va giả lồi mạnh.

Các kết quả khác trong những trường hợp ngoại lệ như trên những khốicầu, miền Reinhardt, miền đối xứng, những miền Hartogs giải tích bị chặn

trong C?, những ánh xạ song chỉnh hình giữa một vài dang của những

miền khơng giả lồi với biên giải tích thực. Bên cạnh đó là các kết quả liênquan đến mở rộng nhẫn của những ánh xạ riêng chỉnh hình của những

miền giả lồi bị chặn nhãn.

Mục đích của luận văn là trình bày sự mở rộng cho kết quả của định lý

tren lên một miền trong C”, đó là miền giả lồi chặt nhờ việc ước lượng xấp

xỉ liên quan đến tính địa phương hóa của khoảng cách Kobayashi không

bị chặn gần biên.

Cu thể luận văn gồm hai chương:

Chương I: “Một số kiến thức chuẩn bị”. Trong chương này ta trình

bày một so kiến thức về hàm chính hình, hàm đa điều hịa, hàm điều hịa

dưới: giả khống cách Kobayashi; miền giả lồi, miền giả lòi chặt: ham peak.

</div>Trang 6<div class="page_container" data-page="6">

Lời nói dau 5

Chương II: “Ước lượng khoảng cách Kobavashi của miền miền trong

C"*. Trong chương này ta phát biểu và chứng minh các định lý về sự mở

rong của định lý cổ điển Caratheodory trong miền giả lồi chat và các ví du.

Vì trình độ cịn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những sai

sót, tơi hy vọng sẽ nhận được nhiều ý kiến đóng góp từ các thầy cơ giáo

và bạn đọc để luận văn được hoàn chỉnh hơn.

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Học vién

Lưu Văn Ngân

</div>Trang 7<div class="page_container" data-page="7">

Dinh nghĩa 1.1.1. Giả sử f(z) = u(z,y) + ?0(z,9), z = + + iy xác

định trong © với x,y € R”. Khi đó, hàm ƒ được gọi là R?" - kha vi tại

Zg = xo + iyo nếu các hàm + (+, ) và v(x, y) khả vi tai (zo, yo).

Định nghĩa 1.1.2. Hàm f được gọi là C” - khả vi tại z € Q nếu f là

IR?” - khả vi tại zp và thoả mãn phương trình Cauchy - Rieman:

02;

ay) = OF = 1,2, xx.Ÿ

Dinh nghĩa 1.1.3. Ham f được gọi là chỉnh hình tại z € Q nếu nó là

C" - khả vi trong lân cận nào đó của zp.

6

</div>Trang 8<div class="page_container" data-page="8">

1.2. Hàm da điêu hòa 7

Hàm f được gọi là chỉnh hình trên Q nếu nó chỉnh hình tại moi zy € Ơ.Hàm f được gọi là chỉnh hình trên tập compact C 2 nếu ton tại tập

md ¿ sao cho KA Cw C © và ƒ chỉnh hình trên w.

1.2 Ham đa điều hịa

Dinh nghĩa 1.2.1. Giả sử X là không gian to po. Hamu: X¥ 74

[-oc, +00) được gọi là nửa liên tục trên trên X nếu với mỗi œ € R

Ag = 1g Xi ule) < aw)

là mở trong X. Hàm v: X — (—œ, + 00] được gọi là nửa liên tục dướitrên X nếu — v là nửa liên tục trên trên X.

Định nghĩa 1.2.2. (Hàm điều hòa dưới) Giả sử © là tập mở trong C.

Hàm u: Q —> [— œ, +00) được gọi là diều hòa dưới trên N nếu nó nửa

liên tục trên trên Q và thỏa mãn bất dang thức dưới trung bình trên ©,

nghĩa là với mọi w € 2 tồn tại p > 0 sao cho với mọi 0 < r < j ta có

1 27 ;

<— re“) dt.

<5 / u(w + re") dt

Dinh nghĩa 1.2.3. (Ham đa điều hịa dưới) Giả sit © là tập mở trong

C",u: Q —> [—œo, + œ) là hàm nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng— oo trên mọi thành phần liên thơng của ©. Hàm u được gọi là đa điều hòa

dưới trên Q (viết u € PSH (Q)) nếu với mọi cặp điểm a € ©,b € C",

hàm \ ++ u(a + Ab) là điều hòa dưới hoặc bằng — oo trên mọi thành

phần liên thông của tap {A € C: a + Ab € Q}.

t (œ9)

1.3 Giả khoảng cách Kobayashi

Định nghĩa 1.3.1. (Khoảng cách) Khoảng cách d trên tập X là một

</div>Trang 9<div class="page_container" data-page="9">

19. Gia khoảng cách Kobayashi 8

ii) d(x,y) = d(y, x):

iii) d(a,y) < d(x, z) + d(<, 9).

Nếu d chi thoả mãn ii), iii) và d(z, 0) > 0 thì d được gọi là giả khoảngcách trên X.

Định nghĩa 1.3.2. (Khoảng cach Bergman - Poincare) Goi A =

{2 €C: |z| < 1} là dia đơn vi mở trong mặt phẳng phức C.

Trén A ta xét 1+ 1|

p (0, 2) = log 5 ae ==

Khi đó, p(0, z) được gọi là khoảng cách Bergman - Poincare.

Định nghĩa 1.3.3. (Giả khoảng cách Kobayashi) Giả sử X là một

không gian phức; p,q là hai điểm tuỳ ý của X. Khi đó, ta gọi một dây

chuyền chỉnh hình + nối p với q là tập hợp

{ới, 0s, an € Ay hy ẩn fu € Hol (A, X)}

sao cho

fi (0) = p, fi (m) = fev (0), fn (an) = 4,

ở đó, Hol(A, X)) là khơng gian các ánh xạ chỉnh hình tit A vào X được

trang bị tôpô compact-mở.

Ta đặt L, = });—¡ p (0, a;) và định nghĩa dx (p, g) = inf L,, ở đó infimum

lấy theo tất cả các dây chuyền chỉnh hình + nối p với q.

Khi đó, dx : X x X => [0, + œ) được gọi là giả khoảng cách Kobayashitrên không gian phức X.

Sau đây là một số tính chất cơ bản của giả khoảng cách Kobayashi

Tính chất 1.2.1

i) (Nguyên lý giảm khoảng cách) Gia sử ƒ : X -> Y là ánh xạ

chỉnh hình giữa hai khơng gian phức. Khi đó:

</div>Trang 10<div class="page_container" data-page="10">

1.4. Miền giả lôi - 9

Chứng minh. Giả sử {(pa. dn)} C X x X và {(pa. ga)} —> (p, g) theo

tô po của X x X. Từ bat dang thức tam giác, ta có:

\dx (oss Qn) = dx (p, q)| < dx (Pw, P) ap dx (Gas q)

Do đó, việc chứng minh lim dx (pn, dn) = dx (p, g) thực chất là đưa

n> +

ve việc chứng minh dx (pp, p) —> 0 khi pp > p.

Gia sử U là một lân cận cua p. Do dy < dy trong U nên ta chỉ chứng

tỏ rằng dy (pn, p) — 0 khi pp — p trong U.

Nếu p là điểm chính quy của X thi ta có thể coi U = A” và phép chứng

minh được suy ra ngay từ tính chat i). Ta xét trường hợp p là điểm ki di

của X: giả sử tồn tại d > 0 sao cho dy (pn, p) > 6 với moin > 0.

Xét giải kỳ kì dị wt: U 3 U. Giả sử qn, C U sao cho (Ga) = Da, ÝT >

Do x là ánh xa riêng nên bằng cách lấy dãy con nếu cần thiết ta có thể sử

rằng dãy {qn} hội tụ tới q € U. Vir là ánh xạ liên tục nên 7 (gq) = m

Gia sử V là lân cận đa đĩa của q trong U. Do nguyên lý giảm khoảng cách

và do dy liên tục nên ta suy ra rằng

dụ (Pn, Pp) = dụ (7 (qn), m(4)) < dv (qn, g) —> 0khi n — +00

Điều này trái với giả sử ban đầu của ta. Vay dy là hàm liên tục trên

X xX. =iii) Giả khoảng cách Kobayashi trên dia đơn vi trùng với khoảng cách

Bergman - Poincare.

iv) Giả khoảng cách Kobayashi trên miền D lồi mạnh, bi chặn là day

đủ tức là với mọi ø thuộc D, ta có kp (p, z) 4 +00 khi và chỉ khi z + OD.

1.4 Miền giả lồi

Định nghĩa 1.4.1. (Bao đa điều hòa dưới) Giả sử 2 là miền trong C”

còn A compact trong 9. Tập hk # = Ề ED: w@(z) < supp, Vụ € p(@)]

gọi là bao da điều hòa dưới của K trong 2.

Bay giờ ta giả sử ở là hàm liên tục tùy ý trên C” sao cho 0 > 0 trừ tại

O và

d(tz) = |Hð).

</div>Trang 11<div class="page_container" data-page="11">

1.4. Miễn giá loi - 10

(có thể lấy 6 là một chuẩn tùy ý trên C").

ð(z, OQ) = inf {O(z — w): w € OQ} = inf {0(z — w): WED}.

Rõ rang 6 (z, OQ) là liên tục trên 2.

Dinh lý 1.4.1. Nếu Q là một miễn trong C". Khi đó, các điều kiện sau

là hương đương:

(¡) — logồ(z — OQ) la đa điều hòa dưới.

(11) Ton tại ham da điều hòa dưới liên tục yp vét cạn Q, có nghĩa là

Q. = {@(z) < c}

là compact tương đối trong Q uới mọi c € R.

(iit) K ÿ compact tương đối nếu K compact trong ©.

Chứng minh. (i) = (ii) Hiển nhiên ham

@(2) = l|zlŸ — logõ (z, Ø9)

là đa điều hòa dưới vét cạn của 2.

(ii) > (iii) là hiển nhiên vì —logd (z, 02) 4 +00 khi z > ON.(iii) > (i) Giả sử z? € Qvaw € C”. Ta cần chứng minh ham

z ++ —logd (2° + Tw, AO)

là điều hòa dưới trong moi hình trịn

Ð = {2" + ow: |r| <r} CỔ Ñ

Gia sử u là hàm liên tục trên điều hòa trong D sao cho

—logd (z” + ru, 8Q) < u(r), |r] =r (1)

6(z° + ru, ON) > ec) Ir] = r

()-Chon hàm ƒ liên tục trên D và chỉnh hình trong D sao cho u = Ref.

Ham như vậy ton tai do D đơn liên. Viết (1) trong dang

—logd (z” + ru, Ø9) < Ref (r),V |r] =r (2).

</div>Trang 12<div class="page_container" data-page="12">

L4. Miền giả loi 11

Muốn chứng minh (2) thực hiện trên |r| < r. Đối với mỗi a € C” với

d(a) < 1 xét với mỗi < A < 1, xét ánh xạ

+ te? #” + you + Ao FO), trị £ ự

Ta kí hiệu Dy là ảnh của nó. Rõ ràng Do = 0Ú. ĐặtAce 1Ú ZA 1: Ủ; € 0}.

Hiển nhiên A là tập con mở của |0, 1]. Ta kiểm tra lại A là đóng trong

có nghĩa là Dy C rE. VÀ € A. Do Ké là compact tương đối trong ©

nên suy ra A, như vay D; C 2. Đó là

—logd (z” + tw, OQ) > Ref (r), |r| < r.

Vay (i) được chứng minh. L]

Định nghĩa 1.4.2. (Miền giả lồi) Miền Q C C” được gọi là miền giả

lồi nếu nó thỏa mãn một trong ba điều kiện tương đương của định lý trên.

Dinh nghĩa 1.4.3. (Miền giả lỗi chặt) Miền Q C C” được gọi là miền

giả lồi chặt nếu tồn tại hàm ¿ như trong định lý trên và có dạng tồn

phương xác định dương, nghĩa là

LG kế MO PIN LỆ

ở doc là hàm liên tục, đương trên Q.

</div>Trang 13<div class="page_container" data-page="13">

1.5. Hàm peak : 12

1.5 Ham peak

Dinh nghĩa 1.5.1. Cho 2 là miền giả lồi trong C", A là dai số các ham

trên Q. Ta nói, điểm P € © là điểm peak của A nếu có một hàm feathỏa man ƒ(P) = 1 và |ƒ(z)| < 1, Vz € Q\{P}. Khi đó, ham f được

gọi là ham peak tai A.

</div>Trang 14<div class="page_container" data-page="14">

Chương 2

Ước lượng khoảng cách Kobayashi

của các miền trong C”

2.1 Địa phương hóa của khoảng cách Kobayashi

Cho Ala, ?) = {z € C*: |š = d| <r}, Ar) = A,r) và À =

A (1). Cho D là một miền của C”, ta kí hiệu Kp (z, X) là độ dai Kobayashi

cực nhỏ của vecto tiếp xúc X € TC" tại điểm z € D: Kp(z, X) =inƒ{‡ >0: 3h: A —› D chỉnh hình, h(0) = z, h (0) = r.X}. Nếu

+: |0, 1] > D là một đường cong lớp €! trong D thì độ dài Kobayashi

của nó là

ln(y) = / Kp (7 (t); 7 (t)) dt.

Khoảng cách Kobayashi giữa hai điểm a, b € D là

Kobdistp (a,b) = inf {lp (y): 7: [0,1] 4 D € C', y(0) = a, y(1) = 0}.

Nếu ƒ: Dị — Dp» là ánh xạ chỉnh hình giữa các miền D,;, Do thì theo bo

</div>Trang 15<div class="page_container" data-page="15">

2.1. Dia phương hóa của khoảng cách Kobauashi 14

U.N D, = U.N D hoặc tổng quát hon U.N D, là hợp thành của những

phan bù liên thông của U, N D. Nói riêng, Dp có một khoảng cách dươngtới phần bù liên thong của D; trong D. Ta kí hiệu đ(z) là khoảng cách

Euclid từ z € D đến OD.

Dễ thấy, Kp, (z, X) > Kp(z, X),z € Dị, X € T.C". Ngược lại,

ta giả sử rằng mọi ánh xạ chỉnh hình h : A — D thỏa mãn h(0) €

JOD OM 0D; là hằng số thì bởi định ly Montel suy ra:

. Kp(z; X)

lim —————z€Do Np, (2z; X

Ta dua ra tính chất (*) như sau:

(*) Mọi điểm z € ODy N OD đều có một lân cận mở V, trong C" thỏa

Với mọi n > 0, tồn tại hằng số C > 0 phụ thuộc vào 7 sao cho với

mỗi ánh xạ chỉnh hình h: A > V; M Dj, ta có

(6| < 1 — Cd(h(O))) = |h(€) — h(0)| < 0.

Dinh lý 2.1.1. Nếu tinh chat (*) thỏa mãn thi tồn tại một hằng sốc > 0

sao cho uới méi z € Dy va X € TC"

hợp của những phan bù liên thông của V,M 7. Khi đó, tồn tại một lân cận

du nhỏ V của p và một hằng số d € (0, 1) sao cho với mỗi z € VAD,B(z,d)N Dị C V, 9 Dị (6 day B(z, d) là khối cầu tâm z, bán kính

d). Dinh lý sẽ được chứng minh nếu ta tìm được một hằng số ` > 0 saocho, với mọi ánh xạ chỉnh hình h: A => D với h(0) € V ta đều có:

h(Ai— nano) C Pi.

</div>Trang 16<div class="page_container" data-page="16">

2.1 Dia phương hóa của khoảng cách Kobayashi 15

Ta gia sử D có đường kính nhỏ hơn hoặc bằng 1. Cho ¢ > 0, gọip = p(£) là số lớn nhất trong {0, 1] sao cho |h(€) — h(0)| < d, với h là

ánh xạ chỉnh hình h: A —> D,h(0) € V, đ(h(0)) < s và |£| < p, do

đó h(A,) C Dị. Hiển nhiên p > d, bởi bo dé Schwarz. Từ tính chất (*)

ta suy ra tồn tại C > 0 sao cho |h(€) — h(0)| < $ nếu đ(h(0)) < eva

1-—p<ll < —— ee.

p Š |logp| = d. log 2 F

Ta suy ra, p > 1 — Ke. Dinh lý 2.1.1 được chứng minh. L1

Bồ đề 2.1.1. Choy: Ry > R, là một ham tăng, liên tục, @(0) =0. Giá sử uới moi A € OD, N OD, tổn tại hàm PA € C (D1) ñØ(D\), |Pa| < 1 trên D\ {A} la ham peak thoa man

{1 — Pa(z)| < |z — 4| < p({l — Pa4(z)|), z € Dị (23).

Khi đó, tính chất (*) thỏa mãn (hằng số c không phụ thuộc A).

Chú ý. Hàm P, là ham peak trên Dị, không là ham peak trên D. Gan mọi

điểm biên giá loi chặt của D, điều kiện (2.3) thỏa man voi p(x) = Sr

ma ta có thể thay tinh loi địa phương của OD gan điểm da cho.

Chứng minh. Ket quả sau đây là một hệ qua đơn giản của bổ đề Schwarz

trên A, ta thừa nhận chứng minh: Cho A > 0, khi đó ton tại hằng số

</div>Trang 17<div class="page_container" data-page="17">

2.1. Địa phương hóa của khoảng cách Kobayashi 16

C > 0 sao cho với mỗi > O và mỗi ánh xạ chỉnh hình g: A > A

Dinh lý 2.1.2. Choy: R, — R, là một ham liên tục thỏa mãn điều

kiện Dini J) dx < co. Giả sử voi mỗi điểm A € OD, N AD tồn tại

một hàm PA € C (D) mnØ(D)), |Pal < 1 trên Dị \ {A}, là hàm peak

tạ? A va thỏa mãn:

c,|1 — Pa(z)| < z— A| < (1 — |Pa(z)|), z € Dị.

Khi đó, uới môi điểm p thuộc phan trong tương đối của OD, MN OD, tồn

tai mét lân cận U của p va một hằng số K sao cho

1 i

Kobdistp (z; D\ Dì) 3 5 lO8 dia) ~R2 ế Ứ ri Dy (8).

</div>Trang 18<div class="page_container" data-page="18">

2.1. Dia phương hóa của khoảng cách Kobayashi 17

Chứng minh. Từ bo đề 2.1.1 và định lý 2.1.1, ta có thể chon Dy C D,

sao cho điểm p là điểm trong tương đối cua ODy N VD và ước lượng (2.2)

thỏa mãn. Goi U là một lân cận đủ nhỏ của p, U ñ Dy C Do sao cho với

mỗi z € UM D, tồn tai một điểm gần z nhất A, € ODy 0D thỏa mãn

A, — z| > ị > 0,6 đó ð độc lập với z.

Cho + : [0,1] -> Dy là một đường trong lớp C!, y(0) € Ø9Dạ ñ

D,+(1) € UN Do, y(t) € Do voit > 0. Cho A € ODp là điểm gần

+ (1) nhất trên OD va Py € C(D,) n O(D,) là ham peak tai A. Ta kí

hiệu A(t) = x(A(f)) là đường tương ứng trong A va đặt € (t) = |A(0)|.

Ta có thé gia sử ring P khơng có khơng điểm trên Do bởi € thuộc lớp

Ko, (x(): ()) > Ka (A0): X0) = mưu a — E(t)

Bởi giả thiết ta cũng có,

</div>Trang 19<div class="page_container" data-page="19">

2.1. Địa phương hóa của khoảng cách Kobayashi 18

Ta co:

1 d |

1—£() =1~ [Patra] < PEA „ Se)

Cl Cl

1 — €(0) = 1 = |Pa(7(0))| = y* (ly (0) — Al) = ¿` (8)

Do do:

lp(+) > 2 a K

eh = EAD)

VỚI \ : (2)i 1 i (4

= ing = ip + cf d 5 (lor Sets “by a

Định lý 2.1.2 được chứng minh. L]

Hệ qua 2.1.1. Cho D là miễn bị chặn trong C" vdi OD là giả lồi chat lớp

C? trong một lân cận của hai điểm phan biệt w®, w! € OD. Khi đó, tồn

tại một hằng số K sao cho

1 1

Kobdist p (a, b) 2 — 5 logd(a, OD) — 5 log d (6, OD) —- Kuới mỗi điểm a đủ gần w® va điểm b đủ gần w!.

Chứng minh. Mỗi đường + trong D bắt dau từ a và kết thúc ở 6 đều phải

di qua những lân cận của w? và w!. Do vậy hệ qua được suy ra từ định lý

Delo ae

Mệnh đề 2.1.1. Néu D là một miền ma OD thuộc lớp C!** (e > 0) gan

điểm A € OD thi tồn tại một lan cận U của A va một hằng số C € R

sao cho uới mọi z%, 2} € DNU:

K obdist p (2, 21) < 5 hea — Re ore +C,

d (z;)

=0 + |z = 21

Biểu thức thứ hai mô tả sự khác nhau của khoảng cách Kobayashi giữa

hai điểm 29, z¡ khi ít nhất một z; tiến đến OD, tùy vào liệu |z¿ — z¡| cótien đến 0 hav không?

Chứng minh. Ta lay U là mot khối cầu tam A, bán kính p > 0; U là khối

cau đóng, bán kính 4ø tam A. Chon ø đủ nhỏ để 0D A U là một mặt liênthông lớp C! ** và thỏa mãn hai tính chất sau:

</div>