ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN
LƯU VĂN N G Â N
V Ề K H O Ả N G C Á C H K O B A Y A SH I
C Ủ A M IỀ N T R O N G cn
C huyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
M ã số : 60 46 01
LU Ậ N VĂN T H Ạ C s ĩ K H O A H Ọ C
N G Ư Ờ I H Ư Ớ N G D ẪN K H O A H Ọ C
P G S .TS . N G U Y Ễ N Đ ÌN H SA N G
H à N ội - N ăm 2012
Lời cảm ơn 1
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của Thầy PG S.
TS. N guyễn Đình Sang. Nhăn dip này, tôi xin được gửi tới thầy lời
cảm chân thành và sâu sắc nhất. Tôi củng xin được bày tỏ lòng biết ơn đến
Thầy TS. N inh Văn T hu đã bỏ công sức đọc bản thảo và cho tôi nhiều ý
kiến chỉnh sứa quý báu để tôi có thể hoàn thành tốt hơn bản luận văn này.
Tôi xin được bày tỏ lòng biết, ơn đến các thầy cô giáo trong khoa Toán
- Cơ - Tin học thuộc trường DH KHTN - DH QGHN đã chỉ bảo tận tình
trong suốt thời gian tôi học tập tại trường.
Nhãn dip này, tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đã cổ
vũ, động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong suốt quá
trình học tập và thực hiện khoả luận này.
Do thời gian có hạn và trình độ còn hạn chế nên luận văn của tôi không
thể tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của các thầy cô và các bạn để luận văn của tôi được hoàn thiện hơn. Tôi
xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 12 năm 2012
Học viên
Lưu Văn N gân

D anh m ụ c các kí hiệu
9
Danh mục các kí hiệu
c n không gian phức n - chiều
c (/, z°) tập dinh của f tại z°
Kohdisto (o, b) khoảng cách Kobayashi giữa hai (liểm a, I) E D
FSII (íì) không gian các hàm đa điều hòa dưới trẽn Í2
Rrỉ không gian thực n - chiều
■ kết thúc chứng minh hoặc ví dụ.
Mục lục
Lời cảm ƠI1 1
D anh mục các kí h i ệ u
2
Lời nói đ ầ u 4
] M ộ t số kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Hàm chỉnh h ì n h 6
1.2 Hàm đa điều hòa 7
1.3 Giả khoảng cách Kobayashi 7
1.4 Miền giả lồi 9
1.5 Hàm p e a k 12
2 ướ c lượng khoảng cách Kobayashi của các m iền tro n g c ri 13
2.1 Dịa phương hóa của khoảng cách Kobayashi 13
2.2 Ước lượng khoảng cách Kobavashi trong miền giả lồi chặt 20
2.3 Các ví dụ 25
Kết l u ậ n 28
Tài liệu th a m k h ả o 29
3
Lời nói dầu
4
Lời nói đầu

Một định lý cổ điển của Carathéodory phát biểu rằng: mọi ánh xạ song
chỉnh hình f ■ D1 —> D'2 giữa hai miền trong mặt phẳng phức c, bị chặn
bởi những dường cong .Iordan đóng đều có thể mở rộng được đến một đẳng
cấu từ D\ lên D‘2
Có nhiều mở rộng cho kết quả của định lý trên lên những miền khác
nhau của cn. Nếu D 1, D2 là những miền giả lồi bị chặn của € n với biên
lớp c 2 và nếu khoảng cách Kobayashi không bị chặn trên D‘2. tăng nhanh
gần biên của D‘2 , {Kd2 (x: X) — đ(~^bD' Y V(^ £ ^ (0)1)) thì mọi ánh
riêng chỉnh hình f : D 1 —» Dọ đều mở rộng được tới một ánh xạ Holder
liên tục từ D 1 lên £>2- Kết quả này thỏa mãn nói riêng nếu D2 là miền giả
lồi chặt hoặc nếu nó là miền giả lồi với biên giải tích thực. Kết quả như
vậy cũng nhận được nếu D-i chỉ nhẵn từng mảnh và giả lồi mạnh.
Các kết quả khác trong những trường hợp ngoại lệ như trên những khối
cầu, miền Reinhardt, miền đối xứng, những miền Hartogs giải tích bị chặn
trong c 2, những ánh xạ song chỉnh hình giữa m ột vài dạng của những
miền không giả lồi với biên giải tích thực. Bên cạnh đó là các kết quả liên
quan đến mở rộng nhẵn của những ánh xạ riêng chỉnh hình của những
miền giả lồi bị chặn nhẵn.
Mục đích của luận văn là trình bày sự mở rộng cho kết quả của định lý
trên lốn một miền trong cn, đó là miền giả lồi chặt nhờ việc ước lượng xấp
xỉ liên quan đến tính địa phương hóa của khoảng cách Kobayashi không
bị chặn gần biên.
Cụ thể luận văn gồm hai chương:
Chương I: “Một số kiến thức chuẩn b ị’. Trong chương này ta trình
bày một số kiến thức về hàm chỉnh hình, hàm đa điều hòa, hàm điều hòa
dưới: giả khoảng cách Kobayashi; miền giả lồi. miền giả lồi chật; hàm peak.
Lời nói (tầu
5
Chương II: “Ước lượng khoảng cách Kobayashi của miền miền trong
cn”. Trong chương này ta phát biểu và chứng minh các định lý về sự mở

rộng của định lý có điển Caratheodory trong miền giả lồi chặt và các ví dụ.
Vì trình độ còn hạn chế nên luận vãn không thể tránh khỏi những sai
sót, tỏi hy vọng sẽ nhận được nhiều V kiến đóng góp từ các thầy cô giáo
và bạn đọc để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Hà Nội, thúnq 12 năm 2012
Học viên
Lưu Văn N gân
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1 Hàm chỉnh hình
Giả sử Q là tập mở trong cn, ta có thể đồng nhất c n với R2n. Xét hàm
/ : n -> c, / G c 1 (fi), Zj = Xj 4- ÍỊjj, j = 1 , 2 , n.
Đ ịnh nghĩa 1.1.1. Giả sử f (z) = u(x,y) + iv(x,y), z = X + iy xác
định trong n với x,y £ M". Khi đó, hàm / được gọi là R2n - khả vi tại
Z() = XQ + iyo nếu các hàm u (x, y) và V (x, y) k hả vi tại (xo, yo).
Đ ịnh nghĩa 1.1.2. Hàm / được gọi là cn - khả vi tại Zo € ỉl nếu / là
M2,í - khả vi tại ZQ và thoả mãn phương trình Cauchy - Rieman:
Đ ịnh nghía 1.1.3. Hàm /' được gọi là chỉnh hình tại Zị) E íỉ nếu nó là
C" - khả vi trong lân cận nào đó của Z().
f ỡ / .
= E ! dz> + E
t u '-'1 1 Ư ^ 1
7 - 1 7 .7 = 1 7
trong đó
6
1.2. Hàm da điều hòa
Hàm /' được gọi là chỉnh hình trẽn íì nếu nó chỉnh hình tại mọi Zị) € 0.
Hàm f được gọi là chính hình trên tập compact /\ c íĩ nếu tồn tại tập
mở U) sao cho K c u c iì và f chỉnh hình trcn UJ.
1.2 Hàm đa điều hòa

Đ ịnh nghĩa 1 .2.1 . Giả sử X là không gian tô pô. Hàm u : X —>
[— oc. + 30) được gọi là nửa liên tạc trên trẽn X nếu với mỗi a £ E
tập
x a = {x € X : u(x) < a}
là mở trong X. Hàm V : X —>• (— DC, + oc] được gọi là nửa liên tục dưới
trên X nếu — V là nửa liên tục trên trẽn X.
Đ ịnh nghĩa 1.2.2. (H àm điều hòa dưới) Giả sử Q là tập mở trong c.
Hàm u : —> [— oo, + oo) được gọi là diều hòa dưới trẽn Q nếu nó nửa
liên tục trên trên íỉ và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên Q,
nghĩa là với mọi Ld E Q, tồn tại p > 0 sao cho với mọi 0 < r < ọ ta có
1 r2n
u (cư) < _ / u (uj + re ) dt.
2tt J0
Đ ịnh nghĩa 1.2.3. (H àm đa điều hòa dưới) Giả sử íl là tập mở trong
C", u : rỉ —> [— 00, + oo) là hàm nửa liên tục trên, không đồng nhất bằng
— oc trên mọi thành phần liên thông của Q. Hàm u được gọi là đa điều hòa
dưới trên Q (viết u € P S H {Q)) nếu với mọi cặp điểm a € Q, b 6 c n,
hàm À I y u (a + Ab) là điều hòa dưới hoặc bằng — (X) trên mọi thành
phần liên thông của tập {A G c : a + Ai) 6 QỊ.
1.3 Giả khoảng cách Kobayashi
Đ ịnh nghĩa 1.3.1. (K hoảng cách) Khoảng cách d trên tập X là một
hàm
d : X X X -» K
(x\ y) H-> d (x, y)
t.hoả mãn các diều kiện san với mọi X, y. z thuộc X:
i) d y) > 0, (l y) > 0 V./; Ỷ //•
1.3. Giả khoảng cách Kobayashi
8
ii) d(x, y) = d
iii) d y) < d (x, z) + d(z, ỳ).

Nếu d chí thoả mãn ii), iii) và d (x, y) > 0 thì d được gọi là giả khoảng
cách trên X.
Đ ịnh nghĩa 1.3.2. (Khoảng cách B ergm an - Poincare) Gọi A =
{z 6 c : \z\ < 1} là đĩa đơn vị mở trong mặt phẳng phức c.
Trên A ta xét
p(0, z) = log 1 — \z\y z <= A.
1 - 1^1
Khi đó, p (0. z) được gọi là khoảng cách Bergman - Poincare.
Đ ịnh nghĩa 1.3.3. (Giả khoảng cách K obayashi) Giả sử X là một
không gian phức; p,q là hai điểm tuỳ ý của X. Khi đó, ta gọi một dâv
chuyền chỉnh hình 7 nối p với q là tậ p hợp
{ai, «2, an 6 A; /i, / 2, fn € Hoi (A, X)}
sao cho
/1 (0) = p, fi {di) = fi+1 (0), fn (a„) = q,
ở đó, Hoi (A, X)) là không gian các ánh xạ chỉnh hình từ A vào X được
trang bị tôpô compact-mở.
Ta đặt Ly — 5ZỈ=1 p (^) ai) nghĩa dỵ (p, q) = m/z>7, ớ đó iníìmum
lấy theo tất cả các dâv chuyền chỉnh hình 7 nối p với q.
Khi đó, dỵ ■ X X X —» [0, + 00) được gọi là giả khoảng cách Kobayashi
trên không gian phức X.
Sau đây là một số tính chất cơ bản của giả khoảng cách Kobavashi
T ín h ch ất 1.2.1
i) (N guyên lý giảm khoảng cách) Giả sử / : X —)■ Y là ánh xạ
chỉnh hình giữa hai không gian phức. Khi dó:
đỵ (p, q) > dY (/ {p) , / (ợ)), Vp, q e X.
Từ (ló, ta suy ra rằng nếu f : X —» Y là song chỉnh hình thi
đỵ (p, q) = dY (./' (p) , / ((/)), Vp, q € X.
ii) Đối với một không gian phức tuy ý. hàm í/ỵ là licn tục trên X X X.
ỉ .ị . M iền giả lồi
9

Chứng minh. Giả sứ {(/>„. 7„)} c X X X và {(pn, (Ịn)} —> (/), ợ) theo
tô pố của X X X . Từ bất đẳng thức tam giác, ta có:
\dx (Pn, <7,1) - (p, q)\ < dx (Pn, p) + dx {qn, q)
Do đó, việc chứng minh lim dỵ (])„, qn) = dV (p, ợ) thực chất là đưa
n —> -f DO
về việc chứng minh dỵ (Pn, p) —>• 0 khi pn —>• p.
Giả sử Ư là một lân cận của p. Do dx < du trong ư nên ta chỉ chứng
tỏ rằng dự (pn, p) —> 0 khi pn —> p trong ư.
Nếu p là điểm chính quy của X thì ta có thể coi ư = An và phép chứng
minh được suy ra ngav từ tính chất i). Ta xét trường hợp p là điểm kì dị
của X: giả sử tồn tại ố > 0 sao cho du (Pn, p) > ổ vói mọi n > 0.
Xét giải kỳ kì dị 7T : u —» u. Giả sử qn c ư sao cho 7T (qn) —
pn,
Vn >
1.
Do 7T là ánh xạ riêng nên bằng cách lấy dãy con nếu cần thiết ta có thể sử
rằng dãy {qn} hội tụ tới q G u . Vì 7T là ánh xạ liên tục nên 7T (ợ) = p.
Giả sử V là lân cận đa đĩa của q trong ư. Do nguyên lý giảm khoảng cách
và do dy liên tục nên ta suv ra rằng
du (Pn, p) = dự (ĩT (qn) , 7T (q)) < dy (qn, q) -> Okhi n +00
Điều này trái với giả sử ban đầu của ta. Vậv dỵ là hàm liên tục trên
X X X . □
iii) Giả khoảng cách Kobayashi trên ctĩa đơn vị trùng với khoảng cách
Bergman - Poincare.
iv) Giả khoảng cách Kobavashi trên miền D lồi mạnh, bị chặn là đầv
đủ tức là với mọi p thuộc D, ta có k]j (p, z) —> +00 khi và chỉ khi 2 —y dD.
1.4 Miền giả lồi
Đ ịnh nghĩa 1.4.1. (Bao đa điều hòa dưới) Giả sử Q là miền trong c rỉ
còn K compact trong 0. Tập K n — Ị - € ũ'. (f(z) < supip,Wip E P (n )
gọi là bao đa điều hòa dưới của K trong Vt.

Bâv giờ ta giả sử ồ' là hàm liên tục tùy ý trên C" sao cho ò > 0 trừ tại
0 và
S(tz) = ị/ịố ^ ) ,
1-4 M iền già lòi
10
(có thể lấy ố là một chuẩn tùy ý trên c rỉ).
Dặt
ỗ(z, cJQ) = inf{d(z — cư) : U! £ OQ} — inf{d(z — uj) : íưGÍl}.
Rõ ràng ò (z, ỡíĩ) là liên tục trẽn n.
Đ ịnh lý 1.4.1. Nếu Q là một miền trong c n. Khi đó, cấc điều kiện sau
là tương đương:
(ì) — logỗ (z — dũ) là da điều hòa dưới.
(li) Tồn tại hàm đa điều hòa dưới liên tục ip vét cạn Q, có nghĩa là
Qc = {(p(z) < c}
là compact tĩỉơng đối trong Q VỚI mọi c G M.
(Hi) K <’) compact tương đối nếu K compact trong Q.
Chứng minh, (i) => (ii) Hiển nhiên hàm
<p(z) = II211^ — logô (z, <9Í2)
là đa điều hòa dưới vét cạn của
(ii) => (iii) là hiển nhiên vì - logỗ (z, dQ) —> + oo khi 2 —¥ 30
(iii) (i) Giả sử z° G íỉ và u € c n. Ta cần chứng minh hàm
2 I—>• —logỗ (z° 4- rcư, ỡũ)
là điều hòa dưới trong mọi hình tròn
D = [ z ữ + TU) : |r| < r} c c Q.
Giả sử u là hàm liên tục trên D điều hòa trong D sao cho
—logổ(z° + TUJ, dũ) < u (t), |t| = r (1)
hay
ó (z° + TU, 00.) > eu[T\ |r| r ^1 ^ .
Chọn hàm / liên tục trẽn ĩ) và chỉnh hình trong D sao cho u — Ref.
Hàm như vậy tồn tại do D đơn liên. Viết (1) trong dạng

— logỗ (z° \- TUJ, CẴÌ) < Ref (r) , V |r| —- V (2).
l.Jị. M iền giã lòi 11
Muốn chứng minh (2) thực hiện trên Ị rị < r. Dối với mỗi a £ c n với
ố (a) < 1 xct với mỗi 0 < A < 1, xét ánh xạ
r H) ’° -f + \aẽ~ ^ T\ I r I < r.
Ta kí hiệu D\ là ảnh của nó. Rõ ràng Do = 0. Đặt
A = {() < A < 1 : D\ c rỉ} .
Hiển nhiên A là tập COI1 mở của [0, 1], Ta kiểm tra lại A là đóng trong
[0, 1] và vì vậy A = [0, 1], Đặt
K = 2° + ru; + Aae~ ^ T) : |r| = r, 0 < r < 1.
Bơi (1) nên K là compact trong íỉ, nếu ip G p (ĩì) thì
r H-> ip ^2° + TCJ + \ a e ~ ^ T^
là diều hòa dưới trong một lãn cận của |r| < r. Do đó
+ TUI + Aae~^(T)) < supip, |r| < r,
v ' K
CÓ nghĩa là Da c K n, VÀ € A. Do Q lei compact tiíơng đôi tron§ 0
nên suy ra A, như vậy Dị c fỉ. Đó là
z ° + TUJ + \ae~f{T) e n
nếu ỗ (a) < 1 và |r| < r.
Vậy thì
ỗ (z° 4- TU!, dó) > e~^T\ |r| < r
hay
— logỗ (z° + TUJ, â í ì) > R ef ( r ) , |r| < r.
Vậy (i) dược chứng minh. □
Đ ịnh nghĩa 1.4.2. (M iền giả lồi) Miền íì c c n được gọi là miền giả
lồi nếu nó thỏa mãn một trong ba điều kiện tương đương của định lý trên.
D ịnh nghĩa 1.4.3. (M iền giả lồi chặt) Miền Q c c n được gọi là miền
giả lồi chặt nếu tồn tại hàm (/? như trong định lý trôn và có clạng toàn
phương xác định dương, nghĩa là
£ iẼầí{z)x,Tk - c(2)è w 2 > °’

1 < j, k < n 1 i = \
ở dó <■ là hàm liên tục, dương trên íì.
1 5 . H àm peak
12
1.5 Hàm peak
Đ ịnh nghĩa 1.5.1. Cho íì là miền giả lồi trong C '\ A là đại số các hàm
trên Q. Ta nói, điểm p € íì là điểm peak của A nếu có một hàm f E A
thỏa mãn f (P) = 1 và \ f {z)\ < 1, Vz € ÍÌ\{ P } . Khi đó, hàm / được
gọi là hàm peak tại A.
Chương 2
Ước lượng khoảng cách Kobayashi
của các miền trong cn
2.1 Địa phương hóa của khoảng cách Kobayashi
Cho A (a, r) = {z € c n : \z — a\ < r} , A (r) = A (0, r) và A =
A (1). Cho D là một miền của c n, ta kí hiệu K o (z, X) là độ dài Kobavashi
cực nhỏ của vecto tiếp xúc X G TzC n tại điểm z £ D : Kd{z, X) =
in /{ - > 0 : 3 h : A —» D chỉnh hình, h (0) = z, h' (0) = r.X). Nếu
7 : [0, 1] -Ạ D là một dường cong lớp c 1 trong D thì độ dài Kobayashi
của nó là
Id (7) = J Kd (i (í) ; í (í)) dt.
Khoảng cách Kobayashi giữa hai điểm a, b £ D là
Kobdistũ (a, b) = inf {ỈD (7) : 7 ; [°, 1}-> D e c \ 7 (0) = a, 7(1) = 6} .
Nếu f : D1 —» £>2 là ánh xạ chỉnh hình giữa các miền Di, />2 thì theo bổ
đề Schwarz-Pick ta có
Kobdisto! (a, 6) > Kobdisto2 (f (a), / ( 6)), tt, í) G Di,
X) > Klh Ụ (z) ■, f (z) x) , z € D,, X e T;C".
Ta xem D là một miền bị chặn của C" và Do c D\ là tập con mở của
1) sao cho mỗi điểm z E tồn tại một lân cận mở ưz trong C" mà
13
2.1. Đ ịa phương hóa của khoảng cách Kobayashỉ

11
Vz n Dị — U: n í) hoặc tổng quát hơn Ưz n D I là hơp thàn h của những
phần bù liên thông của ư~ n D. Nói riêng, Do có một khoảng cách dương
tới phần bù liên thông của D\ trong D. Ta kí hiệu d(z) là khoảng cách
Euclid từ z 6 D đến ỞD.
Dỗ thấy, Kp1 (z, X) > Kd {z, X ), z E Di, X G T:Cn. Ngược lại,
ta giả sử rằng mọi ánh xạ chỉnh hình h : A —> D thỏa mãn lì (0) £
ỠD n 3D q là hằng số thì bởi định lý Montcl suy ra:
lim A n(;:: x ) =l,x e C - \ {«} (2.1).
zẽ L>0 I\ D\ X )
dí)
Ta sẽ chỉ ra rằng nếu giảm nhẹ giả thiết sẽ không tồn tại ánh xạ h để suy
ra ước lượng (2.2) và đẳng thức (2.1), kết quả đó sẽ rõ ràng hơn trong
trường hợp miền giả lồi chặt (và đúng, chẳng hạn trường hợp lồi hình học
chặt).
Ta đưa ra tính chất (*) như sau:
(*) Mọi điểm 2 € dDo n dD đều có một lân cận mở Vz trong c n thỏa
mãn:
Với mọi r/ > 0, tồn tại hằng số c > 0 phụ thuộc vào 77 sao cho với
mỗi ánh xạ chỉnh hình h : A —> Vz n D\, ta có
(ICI < 1 - Cd(h(0))) =* ịh(C) - /.(0)1 < ,Ị.
D inh lý 2.1.1 . Nếu tính chất (*) thỏa mãn thì tồn tại một hằng số c > 0
sao cho VỚI mỗi z G Dị) và X G Tzc n
Kd {z\ X) > (1 - cd(z)).KDl(z; X) (2.2).
ước hcợng này tốt nhất nếu ta chọn dược hằng số c thích hợp, phụ thuộc
vào A), ĩ)\, D.
Chứng minh. Cố định điểm p E dD 0 n dD và gọi Vp là lân cận mở của p
Iihư ở trong tính chất (*). Thu nhỏ D nếu cần ta có thổ giả sử Vp n D\ là
hợp của những phần bù liên thông của Vp n D. Khi dó, tồn tại một lân cận
đủ nhỏ V của p và một hằng số d £ (0, 1) sao cho với mỗi z € V n D,

13 (z, d) n Dị c Vp n Dị (ở dây B (z, d) là khối cầu tâm z, bán kính
d). Định lý sẽ đirợc chứng minh nếu ta tìm dược một hằng số K > 0 sao
cho. với mọi ánh xạ chỉnh hình I). : A —» D với h (0) E V ta đều có:
h (A[ Kd(h(0))) c Dị.
‘2.1. Dịa phương hóa của khoảng cách Kobayashi
15
Ta giả sử D có đường kính nhỏ hơn hoặc bằng 1. Cho £ > 0, gọi
Ị) — p (e) là số lớn nhất trong [0, 1] sao cho |/i(s) — h (0)1 < fi, với h là
ánh xạ chỉnh hình h : A —» D, h (0) € V, d(h(0)) < £ và |£| < p, do
đó h (Ap) c D\. Hiển nhiên p > d, bởi bổ đề Schwarz. Từ tính chất (*)
ta suy ra tồn tại c > 0 sao cho Ih (£) — h (0)1 < ị nếu d (h (0)) < £ và
líl < s - Ce.
Ta có log \h (£) — li (0)1 < 0 trên đĩa đơn vị, và nếu p < 1, ta đặt
d = sup Ih(Z) - /ỉ. (0)1
líl-p
với Ìì nào đó.
Bới bổ đề ba đường tròn Hadamard, ta suv ra hàm log sup \h (£) — h (0)1
là hàm lồi của logr. Do đó
log (p - Ce)
líl = r
logs
>
log p
log d
Nếu ta chỉ xét £ < 7 — (do áổ p — Cs > ị) thì ta nhận được:
llogH + 2C | > ỊlogpỊ
|logd|
và do đó
|logf|
□

d. log 2
Ta suy ra, p > 1 — K.E. Định lý 2.1.1 được chứng minh.
Bố đề 2.1.1. Cho ip : R+ —> R+ là một hàm tăng, liên tục, (p (0) =
0. Giá sử với mọi A £ ỞD\ n dD , tồn tại hàm Pa € c (Dị) n
0(^i), \Pa\ < 1 trên D \ {/1} là hàm peak thỏa mãn
Ci|l - PA(z)\ <\z - A\ Pa (z)\),z € Dì (2.3).
Khi đó, tính chất (*) thỏa mãn (hằng số c không phụ thuộc A).
C hú ý. Hàm Pj\ là hàm peak trẽn D\, không là hàm peak trên D. Gần mọi
(liêm biên giã lồi chặt của D, (Uều kiện (2.3) thỏa mãn với ip(x) — ựx
rnà ta có thể thấy tính lồi địa phương của dD gần điểm đã cho.
Chứng minh. Kết quả sau đây là một hệ quả đơn giản của bổ đồ Schwarz
trôn A, ta thừa nhận chứng minh: Cho A > 0, khi đó tồn tại hằng số
2.1. Dụi phương hóa của khoảng cách K obayashi 16
C\ > 0 sao cho với mỗi C > 0 và mỗi ánh xạ chỉnh hình (J : A —> A
thỏa mãn |1 — </(0)1 < £, ta có
(líl < 1 - c,.e) => |1 - 5,(01 < A (2.4).
C ho 7/ > 0 như tín h chất (*), chọn A > 0 thỏ a m ãn 2ự) (A) = ĩ]. C ho C\
là hằng số mà ở đó (2.4) thỏa mãn.
Giả sử h : A —> D\ là chỉnh hình, // (0) € Do và £ = d(h(0)). Chọn
một diem A £ dD\ n dD sao cho: \h (0) — A\ = £. Ta chỉ cần xét £ đủ
nhỏ sao cho £ < 2 ' Tìf (2-3) ta suv ra
|1 - PA(h(0))| < f-,
C\
áj) dụng (2.4) cho hàm q — Pa-Iỉ : A —» A, ta suy ra
(líl < 1 - CA- Ì = H 1 - PA(h(m < A.
Do đó, với 1^1 < 1 — C\ —, ta có
\h(í)-h(0)\< |/ » ( í ) - / l| + |/i(0 ) - .4 |
< <p(\l - Pa (h(O)ị) + £ < <p W + ? < n
ếm*
Bổ đề 2.1.1 được chứng minh. □

Sử dụng địa phương hóa của khoảng cách Kobayashi không bị chặn, ta
sẽ chứng m inh m ột ước lượng liên quan đến khoảng biến thiên của khoảng
cách Kobayashi gần biên.
Đ ịnh lý 2.1 .2. Cho ự) : R + —> R+ là một hàm liên tục thỏa mãn điều
kiện Dim jỳ '^-dx < oo. Giả sử với mỗi điểm A E dD\ n dD tồn tại
một hàm Pa € c (D ) n 0 (D ị) , \Pa \ < 1 trên D\ \ {-4}, là hàm peak
tạt A và thỏa mãn:
Cị |1 - PA (z)I < \z - A\ < ip{\ - \Pa (-2)1), z € D l
Khi đó, với mỗi diêm Ị) thuộc phần trong tương đối của dD\ n ỜD, tồn
tại một lân cận Ư của p và một hằng số K sao cho
K obdistoiz; D \D l) > - log- K, z e u n Dị (2.5).
2 d{z)
2 1 Địa phương hóa của khoảng cách Kúbayciòhi 17
chúng minh. Từ bổ đề 2.1.1 và định lý 2.1.1, ta có thổ chọn Do c D 1
sao cho điểm p là điểm trong tương đối của dDo n OD và ước lượng (2.2)
thỏa mãn. Gọi Ư là một lân cận đủ nhỏ của p, Ư n Dị c D() sao cho với
mỗi z £ ư n Dị tồn tại một điểm gần 2 nhất A z € dD(j n OD thỏa mãn
in f \AX - z'\ > 6 > 0, ơ đó ố độc lập với z.
Cho 7 : [0, 1] —> là một đường trong lớp c 1, 7(0) € ỠD0 n
D. 7 (1) € ư n Do, 7 (t) G Dq với t > 0 . Cho A € dD 0 là điểm gần
7 (1) nhất trên dD và P\ G c (D L) n 0 (Dị) là hàm peak tại A. Ta kí
hiệu A (í) = P 4 (A (í)) là đường tương ứng trong A và đặt £ (t) — |A(£)|.
Ta cỏ thể gỉa sử rằng P 4 không có khống điểm trên Do bởi Ẹ thuộc lớp
c l. Theo đinh lý 2.1.1 ta có
Do những ánh xạ chỉnh hình làm giảm khoảng cách Kobayashi nên ta có
1 - cd (7 (í)) > 1 - c |7 (/) - A\ > 1 - ctp(l - |P,i(7(*))l)
> 1 -
CV(
1 - í (<)),
và ta có thể giả sử rằng biểu thức cuối là dương.

Do dó,
z' € D\Dq
Id
(7) —
J
Kd (lit)-, í {tỶ)dt
- fo (
1 - cd('y(t))) KDl (7 (í); 7 (o) dt.
Bởi giả thiết ta cũng có,
h
(7)
Tích phân thứ nhất
- l o g
-
- - — - lo e

— - ■
2 1 í (1) 2 6 1 - ( (0 )
GẦŨ 'ìCLCCb 5 1
2 I Dụi phương hóa của khoảng cách Kubayashi 18
Ta có:
1 - £ ( 1) = 1 - |P,1 (7 (1))| < ^/(1) — — = ‘Ẳ hẢ D l'
c 1 c 1
1 - í(0 ) = 1 - |P 4(7(0))| > ¥>-'(17(0) - -t|) > ¥>-1 (<>■) -
Do đó:
/o (7) ằ 2 logrf(7 (I)) - K '
với
A' = ị (log - + i o g - 4 n ) + ° í — dx-
2 V C\ ụ> (7 )/ ./() X
Định lý 2.1.2 được chửng minh. □

Hệ q u ả 2.1.1. Cho D là miền bị chặn trong c n với dD là giả lồi chặt lớp
c 2 trong một lân cận của hai điểm phân biệt w°, w l E dD. Khi đó, tồn
tại một hằng số K sao cho
Kobdisto (a, b) > — -log d(a, dD) — -lo g rf(6, dD) — K
ềimé ềm*
với mỗi điểm a đủ gần w° và điểm b đủ gần w l .
Chứng minh. Mỗi đường 7 trong D bắt đầu từ a và kết thúc ở 6 đều phải
di qua những lân cận của IU0 và WẢ. Do vậv hệ quả dược suy ra từ định lý
2 .1.2 . □
M ệnh đề 2.1.1. Nếu D là một miền mà dD thuộc lớp c l +£ (e > 0) gần
điểm A € dD thì tồn tại một lăn cận Ư của A và một hằng số c G IR
sao cho VỚI mọi Zo, Z\ € D n ư :
1 1 1 1 1
ĩ< obdist n {zQ, Zi) < 2 ^ 2 [ogJ (~ ) ~ 2 log
j =
0 V J /
j = 0
1
d(zj) + \zo - z 1
Biổu thức thứ hai mô tả sự khác nhau của khoảng cách Kobayashi giữa
hai điểm ZQ, Z\ khi ít nh ấ t một Zj tiến đến dDị tùy vào liệu 1^0 — Z\ \ có
tiến đến 0 hay không?
Chứng minh. Ta lấy Ư là một khối cầu tâm A, bán kính ị) > 0; u là khối
cầu đóng, bán kính 4() tâm A. Chọn ị) đủ nhỏ đổ é)D n u là một mặt liên
thông lớp ổ 1 +s và thỏa m ãn hai tính chất sau:
2.1 Dịa phương hóa của khoảng cách Kobayaatu
19
i) Với V/; £ ỎD n Ư ta ký hiệu Up là vec tơ pháp tuyến đơn vị của ỠD
tại Ị), khi đó ịìip — IIa\ < ị-
ii) Với mỗi ố £ [0, 2!>\ và z & D n ư, p £ dD n u :

3 Ô
z + ôrip £ Dvầd(z + ổnp) > — .
4
Cho 2o, ~1 là các điểm trong D n u , với j = 0,1; cho ctj là điểm bất
kỳ trên OD có khoảng cách nhỏ nhất đến Zj ( d(zj) = \zj — I). Đặt
Zj — Zj + \zq — Z\ \na Khi đó, ta có
1
j = 0
Vé phải của biểu thức dễ thấy bị chặn trẽn bởi một hằng số độc lập
với Zo, Z\. Chú V rằng \zq — Zi\ < 2p => d(zj') > I \zo — 2i|, dựa
vào ii) và \zq — Z\ \ < \ \zo — 2 i|, dựa vào i). Cho 'ộ là ánh xạ chỉnh
hình từ c lên c n định nghĩa bởi ĩp (£) = zỏ + € (zi — zó). Cho 0 =
{ í G c , min ( 1^1, 1^ — 1|) < | } là tập mở trong c , khi đó V; (0 ) c
D, '0 (0) = Z(J, t/’ ( 1) = Z\ . Do đó
Kobdistp (^Zo , Zi j < Kobdistợị (0, 1).
Đổ kết thúc chứng minh, ta cần tìm chặn trên của Kobdisti) (zj, z'j),
(j = 0, 1). Cho ộ j là ánh xạ chỉnh hình từ c đến cn, (Ị)j : £ —» c\j + £ n a ,
với rtj như trôn.
Khi đó
<A;(0 ) = a ii (ỉ\l {(ì(Zj)) = Zj, ộj (d (zj) + \zQ - 2 ị |) = Zj.
Bây giờ, ta sử dụng giả thiết dD thuộc lớp cl f £, với na là pháp tuyến
của dĩ) tại ữj và điều kiện i) thỏa mãn. Ta có thể thav £ bởi min (1, e)
và do đó, ta có thể giả sử rằng 0 < £ < 1.
Đ ặ t UJQ = = c, + 11ì € c , |<^| < 4 p , s > C \ i ) Ỹ 1 c I • N ế u c l à h ằ n g s ố
chọn đủ lớn thì ộj (cưo) c p n ư. cố định c và cố định miền thích hợp
U) c CƯQ, đối xứng với phần thực nhận được từ việc làm nhẵn ỚCƯQ trong
một lân cận đủ nhỏ nếu có hai điểm góc. Ta có
Kobdist.pịzj, Zj ) < Kobdistu(d(zj) , d(zj) + \z0 + 2i|).
2.2. ước lượng khoảnq cách Kobayashi trong m iền giá lồi chặt 20
ĐỔ kết luận, ta chỉ cần kiổm tra nếu a, b là các số thực thỏa mãn 0 <

a < I) < 3p thì
Kobdistu (a, b) < ì Ị^log - - log
+ 0 (1).
Cho T là một ánh xạ bảo giác từ uj tới đĩa đơn vị sao cho T (0) — 1 và
T là số thực trên trục thực. Từ d u thuộc lớp c 1 + £, ta SUV ra T mở rộng
được đến vi phôi từ bao đóng của cư đến đĩa đơn vị đóng. Do đó, tồn tại
K > 1 và ớ 6 (— 1; lì sao cho mọi c € (0, 3Ị))
m ax (ớ. 1 — Kc) < T (c) < 1 — —
K
Nhắc lại rằng, khoảng cách Kobayashi giữa hai điểm X và X , — 1 < X <
X < 1 trong đĩa đơn vị bằng I ^log — log .
Do T là phép rời hình với khoảng cách Kobayashi nên ta được:
KobdistJJ (a, b) < -
log (^|-J - log
1 4- ớ'
Kb ,
Đó là ước lượng mong muốn. Mệnh đề 2.1.1 được chứng minh. □
Bổ đề 2.1.2. (Bổ đề H opf) Nếu một hàm f liên tục trong một miền
của không gian Euclide VỚI biên đủ nhẵn, điều hoà ở phần trong và giá trị
của hàm f tại một điểm X trên biên lớn hơn các giá trị xung quanh nó (ở
bên trong miền đó) thì đạo hàm theo hướng của vectơ pháp tuyến hướng ra
phía ngoài tại X là dương thục sự.
2.2 Ước lượng khoảng cách Kobayashi trong miền
giả lồi chặt
Cho / : D\ —» C'V là một ánh xạ liên tục trên miền D\ c C" và
zu 6 ỞD\ là một điểm biên của Dị. Ký hiệu c (/, 2°) là tập dính của /
tại z°, tức là tập tất cả những điểm lim f(zj), với {zj} c Dị và {Zj}
j -> 30'
hội tụ đến z°. Nếu /' bị chặn trên D\ thì c (/, z°) là compact và /’ mở
rộng liên tục được tới 2° nếu và chi nếu c ( /, ztí) chỉ gồm có m ột điểm.

Nếu có m ột cơ sở lân cận {ƯJ) của 2° sao cho Uj n D\ là liên thông với
2.2. ước lượng khoảng cách K obayashi troĩig m iền qiả lồi chặt 21
Vý thì c (/, 2W) cũng liên thông. Nếu / : D\ —» Do là một ánh xạ riêng
thì tập dính c (/’, z°) được chứa trong dD'2 với Vc° 6 dD\. Ta kí hiệu
c (/) là tập dính toàn cục của /’:
C ( / ) = 7 W \ / ( ỡ i ) .
Tiếp theo, ta đưa ra điều kiện (P). Một điểm 2° G ỠDi được gọi là
thỏa mãn điều kiện (P) nếu ÔD\ thuộc lớp Cl + £ gần z° với £ > 0 và nếu
tồn tại một hàm p liên tục, âm, đa điều hòa dưới trên Dị và một lân cận
u của z° trong c r' sao cho
p(z) > - C\d(z, dD\), z e D\ í) Ư
với m ột vài hằng số C\ > 0.
ở đâv, d(z, dD\) = inf {\z — w\ : w G ỠDi}.
Mọi điểm biên giả lồi chặt của D\ thỏa mcãn điều kiện (P). Tuy nhiên,
nếu p là một hàm đa điều hòa dưới lớp c 2 trên miền Q c c n và D\ =
{z (E Q, : p (z) < 0} c c ũ, thì \/zữ G dDị mà dp (z°) ^ 0 sẽ thỏa
mãn điều kiện (P).
Đ ịnh lý 2.2.1. Cho f : D\ —» D2 là một ánh xạ riêng điều hòa từ miền
D\ c c n lên một miền bị chặn D2 c c n (n > 1). Nếu điểm z° 6 dD\
thỏa mãn điều kện (P) và nếu tập dính c (/, 2°) chúa điểm w° G ỠŨ2
mà tại dó dD i là miền giả lồi chặt lớp c 2 thì f mở rộng liên tục được tới
z°.
Chứng minh. Giả sử 2° 6 dD\ thỏa mãn điều kiện (P), dŨ 2 là miền giả
lồi chặt lớp c 2 trong một lân cận của w{) E c (/, 2°), mà / không mở
rộng liên tục được tới z°. Khi đó, do c (/, 2°) là liên thông ncn tồn tại một
điểm khác w l 6 dD 2 n c ( / , z°) phân biệt với w° mà tại đó 0Ũ2 là miền
giả lồi chặt lớp c 2. Chọn những dãy {Zj : j G z +} trong D\ (k — 0, 1)
sao cho
lim Zj = 2°, lim f (Zj) = wk, k = 0,1.
7 —> DC j —y 00

Cho Wj = f (Zj). Việc chỉ ra mâu thuẫn để chứng minh định lý 2.2.1 gồm
ba bước
Bước 1 . Tồn tại một hằng số K G R sao cho
Kúbdist 1 )2 (w°r w)) > - ị log (I, (w°j, 0D)) - ì log í/ (?/’], 0D2) - K, j e Z+
éL
2.2. ước lượng khoảng cách Kobayashi trovq m iền giả lồi chặt
Bước 2.
KMistn, (tị 2*) < - ị log d (zị a o ,) - ị log'/ (*j, m ) - I U ị í j ) ,
với lim l{zúị, z\) = + 00.
j -> + 00 7 7
#ước 3. Tồn tại một hằng số c > 0 sao cho
d (Wj, 0 D2 ) < cd (Zj, dD\) , j 6 z +, Ả; = 0, 1.
Giả sử các bước 1 - 3 thỏa mãn. Khoảng cách Kobayashi giảm qua tác
động của ánh xạ chính hình, do đó
KobdisrDị (Zj, Zj) > Kobdỉst[)2 (Wj, IVj) .
Các bước 1- 3 suy ra
ỉ (Zj, Zj) < K + logc, j e Z+.
Điều này mâu thuẫn với:
lim l (Zj, z)) — 0 0 .
j —> oc
Ta chỉ cần chỉ ra các bước 1 - 3 thỏa mãn để hoàn thành chứng minh định
lý.
Bước 3 suy ra từ bố đề 2.1.2 (bố đề Hopf), áp dụng cho một hàm âm
liên tục đa điều hòa dưới
T (w) = max ịp{z) ; z E D], f (z) = w} , w € D2 ,
với p : Dị —>• (— 00, 0) như trong điều kiện (P).
Bước 2 được chứng minh trong mệnh đề 2.1.1.
Phần còn lại là chứng minh đổ nhận được ước lượng ở bước 1. Giả sử
tồn tại những hàm peak chỉnh hình tại những điểm A G dDo trong một
lân cận của w°. Ta chứng minh một ước lượng liên quan đến địa phương

hóa của khoảng cách Kobayashi gần w° (định lý 2.1.1 và bổ đề 2.1.1). Ước
lượng ở bước 1 được suy ra từ phép tích phân, sử dụng một giả thiết mạnh
hơn trên những hàm peak chỉnh hình địa phương (định lv 2.1.2 và hệ quả
2.1.1). □
Chủ ý. D 1 và D‘2 không cần thiết bị chặn, nhẵn hoặc giả lồi ngoài lân
cận của z[) (tương tự í/;°).
2.2. ước htợng khoảng cách Kobayashi tronq m iền giả lồi chặt
23
Nếu f mở rộng liên tực được đến một điểm 2° 6 c)Dị, thỏa mãn điều
kiện (P) và nếu dỉ)ọ giả lồi chặt gần w° — f (20) thì giả thiết của định
lý 2.2.1 cũng thỏa mãn cho mọi điểm 2 G dD\ đủ gần 2°. Do đó, f mở
rộng liên tục được đến một lân cận Ư của z° trong Dị.
Hệ q uả 2.2.1. Cho D) là miền bị chặn trong c n (n > 1) sao cho nó là
miền giả lồi chặt lớp c 1 tại mỗi diêm w € ỠD2 trừ ra một tập con đóng,
không hoàn toàn hên thông E của dD ‘2 - Khi đó, mọi ánh xạ riêng chỉnh
hình f : Dị —> D‘2 (Dị c c n) đều mở rộng Hên tục được tới mỗi điểm
z € ÕD\ thỏa màn điểu kiện (P).
Chứng minh. Nhắc lại rằng, c (/. 2°) c dDọ. Nếu c (f. 2°) được chứa
trong tập không hoàn toàn liên thông E thì nó chỉ chứa một điểm (vì
c (/, z°) là liên thông), do vậy / mở rộng liên tục được tới z°. Nếu mặt
khác c (/, z°) giao dDọ \ E thì / mở rộng liên tục được đến z° (dựa vào
định lý 2.2.1). □
H ệ quả 2.2.2. Cho D‘2 nhu trong hệ quả 2.2.1 và D\ c c n là một miền
được định nghĩa bới một hàm đa điều hòa dưới lớp c2. Khi đó, mọi ánh xạ
riêng chỉnh hình f : Dị —> D2 đều mở rộng hên tục dược đến D \.
Chứng minh. Nếu Di — {p < 0}, với p là một hàm đa điều hòa dưới lớp
c 2 trong một lân cận của D\ và (ip 7^ 0 trên dD 1 thì mỗi điểm z € dD\
đều thỏa mãn điều kiện (p). Do đó, áp dụng hệ quả 2.2.1 ta được điều
phải chứng minh. □
Nếu E c 'ỜD2 (với 'ỞD‘1 không nhẵn và giả lồi chặt) có một thành phần

liên thông chứa nhiều hơn m ột điểm thì / có thổ không mở rộng liên tục
được tới D\ ngay cả khi D\ là miền giải tích thực và giả lồi chặt (xem ví
dụ 1, mục 2.3). Cũng vậy, không có lý do để nói f có thể mở rộng liên tục
tới những điểm không nhẵn của dDị (xem ví dụ 2, mục 2.3). Tuv nhiên,
nếu / không mở rộng liên tục được tới D\ và OD\ là giả lồi lớp c 2 thì dD ‘2
không thể tốt như nhẵn từng mảnh và giả lồi thực chặt, vấn đề còn lại là
đâu là yêu cầu tối thiểu của <9/^2 để /' có thể mở rộng liên tục tới Dị.
Đ ịnh lý 2.2.2. Cho Dị c C” là miền giả lồi bị chặn với biên lớp c 2 và
cho f : Dị —» [)> là ánh xạ riêng chỉnh hình từ miền D 1 lên miền bị
chặn, giả lồi chặt D-2 c C A với biên lớp c 2 (N > n). Giả sử rằng tập
dính toàn cục c (/) được chứa trong hợp của m ột tập con dóng, không
hoàn toàn liên thông E c c)D‘2 và một đa tạp con dóng M lớp c 2 của tập
,1.2. ước htợvq khoảng cách Kobayashi trovq m iền giả lồi chặt
21
0 D2 \ E VỚI chiều thực là 2n — 1. Khi đó. f mở rộng liên tục được tới mỗi
(tiêm z € ở ỉ)] thỏa mãn diều kiện (P).
Chứng minh. Đầu tiên, xem xét trường hợp n > 2. Với mỗi z € 0D\,
tập dính c (/. 2°) chứa trong E u M c dD‘2 bởi giả thiết. Giả sử f không
mở rộng liên tục được tới z°. Từ c ( f , z°) liên thông và E hoàn toàn không
liên thông, tồn tại một điểm w° E c (/. 2°) n M. Chứng minh của định
lý 2.2.1 có thể được vận dụng để suy ra rằng cặp ( / (D1), M) là một đa
tạp lớp c 2 có bờ trong một lân cận của w° và f (D1) giao ỜD-2 ngang gần
w°.
Chọn điểm U)1 G c (/, 2°) n M c 0 D2 đủ gần IV° sao cho cập
(f (D1), M) là một đa tạp có bờ gần wl (lư1 như vậy tồn tại bỏi c (/, 2°)
liên thông) và chọn { z 1- : J G z +j c D (k = 0, 1) thỏa mãn
lim Zj = z°, lim / (zj) = wk, k — 0,1.
j —> DC j 00
Giả sử p G c (D 1) là một hàm âm, đa điều hòa dưới thỏa mãn điều kiện
(P) gần 2° G dD\. Khi đó, hàm

T (w) — max{p(z) : 2 G D\. f (z) — w} , Ui € f (D1)
là âm, liên tục và đa diều hòa dưới trên f (D1) gần các điểm w° và wl bởi
f (D1) nhẵn ở đó ( r có thể không liên tục gần những điểm kì dị của đa
tạp f (Di)). Áp dụng bổ đề Hopf cho r (Hì) gần w°, tương ứng wl để nhận
được
d (Wj, ỠD2) < cd (Zj, dD\) , j G z +, k — 0, 1.
Kết quả nàv chứng tỏ bước 3 trong định lý 2.2.1 ở mục 2.2 là thỏa mãn.
Hay ta nhận được mâu thuẫn với giả sử /’ không mở rộng liên tục được
đốn 2°.
Trường hựp n = 1 yêu cầu một chứng minh hơi khác. Tập K —
{ĩu 6 M : TWM c T^dD2} là tập con đóng của đa tạp một chiều M.
Do đó, nó là hợp thành của một tập con đóng không hoàn toàn liên thõng
K0 của M với không quá đếm được tập những đường cong mở Mj c M .
Khi đó, Eq = E u Ao là một tập con đóng không hoàn toàn liên thòng
của 0 D2 và M() - M \ K là một da tạp con đóng lớp c 2 của 0 Do \ E().
Ta lưu V rằng, tập dính toàn cục c (/) f (D 1) \ f (D 1) được chứa
trong Eo u ;!/(). Giả sử này cho phép ta kết luận được chứng minh như
trong trường hợp n > 2. Từ không gian tiếp xúc TwA/() không chứa trong