BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LƯU THỊ THÀNH

ĐIỂM SUY BIẾN
CỦA GIẢ KHOẢNG CÁCH KOBAYASHI
TRÊN ĐA TẠP PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Hà Nội, 2017


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LƯU THỊ THÀNH

ĐIỂM SUY BIẾN
CỦA GIẢ KHOẢNG CÁCH KOBAYASHI
TRÊN ĐA TẠP PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số : 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: TS. Lê Tài Thu

HÀ NỘI, 2017

Mục lục
Phần mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.1. Hàm chỉnh hình một biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.2. Hàm chỉnh hình nhiều biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.3. Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.1. Hàm nửa liên tục trên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

1.3.2. Hàm điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17


1.4. Định lí Hartogs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.5. Đa tạp phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Chương 2. Điểm suy biến của giả khoảng cách Kobayashi trên
đa tạp phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

2.1. Giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức . . . . . . . . . . . . .

25

2.2. Quỹ tích suy biến. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

2.3. Bổ đề Ahlfors. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

2.4. Đường cong hầu đóng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.5. Tập con giả lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .


35

2.6. Định lý Adachi - Suzuki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.7. Quỹ tích điểm suy biến dọc theo đường cong. . . . . . . . . . . . . .

39

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44


Lời cảm ơn
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới TS. Lê Tài Thu. Thầy đã tận tình hướng dẫn và
giải đáp những thắc mắc của em, giúp đỡ em hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô
giáo trong khoa Toán, các thầy cô phòng Sau đại học và các thầy cô của
trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 đã dạy bảo em tận tình trong suốt
quá trình học tập.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia
đình, bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt

quá trình học tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Hà Nội, tháng 08 năm 2017
Tác giả

Lưu Thị Thành


Lời cam đoan

Dưới sự hướng dẫn của TS. Lê Tài Thu luận văn Thạc sĩ chuyên
ngành Toán Giải tích với đề tài "Điểm suy biến của giả khoảng
cách Kobayashi trên đa tạp phức" được hoàn thành bởi sự nhận
thức của bản thân, không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong khi nghiên cứu và viết luận văn, tôi đã kế thừa những thành
tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 08 năm 2017
Tác giả

Lưu Thị Thành


Phần mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Shoshichi Kobayashi (1932 – 2012) là nhà toán học có những đóng
góp quan trọng nhất đối với lĩnh vực hình học vi phân trong nửa cuối
thế kỉ XX. Ông đã để lại một di sản toán học vô cùng lớn trong lĩnh vực
hình học vi phân. Một số cuốn sách của Kobayashi là tài liệu tham khảo
rất có giá trị trong hình học vi phân và hình học phức, mà một trong số
đó là hai tập sách “Foundations of Differential Geometry”(1963 – 1969)
do ông và Katsumi Nomizu đồng tác giả.

Lý thuyết về các không gian phức Hyperbolic được Kobayashi xây
dựng lần đầu tiên vào những năm 70 của thế kỉ XX, là một trong những
hướng nghiên cứu quan trọng của giải tích phức. Trong những năm gần
đây, lý thuyết này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học
trên thế giới. Bằng nhiều cách tiếp cận khác nhau, các nhà toán học đã
mở rộng các vấn đề có liên quan và giải quyết được nhiều bài toán được
đặt ra trong lĩnh vực đó. Những công trình nghiên cứu đó đã thúc đẩy
hướng nghiên cứu này phát triển mạnh mẽ.
Giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức được Kobayashi giới
thiệu năm 1967, từ đó hình thành một hướng nghiên cứu mới của giải
tích phức và được gọi là giải tích phức Hyperbolic.
Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về metric Kobayashi, dưới sự
định hướng của TS. Lê Tài Thu, tôi đã chọn đề tài "Điểm suy biến
1


của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức" để thực hiện
luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán
Giải tích.
Bố cục của luận văn gồm 2 chương:
Chương 1 : Kiến thức chuẩn bị
Chương 2 : Điểm suy biến của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp
phức

2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống lại một số kết quả đã biết về điểm suy biến, quỹ tích điểm
suy biến của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức.

3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu về điểm suy biến, quỹ tích điểm suy biến của giả khoảng

cách Kobayashi trên đa tạp phức.

4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
• Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về điểm suy biến, quỹ tích điểm
suy biến của giả khoảng cách Kobayashi trên đa tạp phức.
• Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu điểm suy biến của giả metric
Kobayashi trên đa tạp phức.

2


5. Phương pháp nghiên cứu
• Áp dụng một số phương pháp của giải tích phức, vận dụng các kết
quả của hình học giải tích phức, giải tích phức nhiều biến.
• Sử dụng phương pháp phân tích và tổng hợp tài liệu đã có. Từ đó
hệ thống lại các vấn đề liên quan đến luận văn.

6. Dự kiến đóng góp của luận văn
Hệ thống lại một số kết quả đã biết về điểm suy biến của giả khoảng
cách Kobayashi trên đa tạp phức.

3


Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng ta sẽ hệ thống lại các khái niệm: Hàm chỉnh
hình, hàm điều hòa dưới, một số tính chất của hàm chỉnh hình và hàm
điều hòa dưới. Giới thiệu được định lí Hartogs và nhắc lại định nghĩa đa
tạp phức. Nội dung được chọn lọc từ tài liệu số [1],[8].


1.1. Hàm chỉnh hình một biến
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử Ω ⊂ C là một tập tùy ý cho trước. Một hàm
biến phức trên Ω với giá trị phức là một ánh xạ
f : Ω → C.
Hàm như vậy được kí hiệu là ω = f (z) , z ∈ Ω.
Ví dụ 1.1.1. Ánh xạ z → f (z) = az + b xác định một hàm, gọi là hàm
nguyên tuyến tính trên C.
Định nghĩa 1.1.2. Cho hàm f xác định trên tập tùy ý Ω ⊂ C với giá
trị trong C và z0 là điểm tụ của Ω hữu hạn hay là điểm xa vô tận.
Số phức a ∈ C gọi là giới hạn của hàm f (z) khi z dần đến z0 và viết
lim f (z) = a,

z→z0

nếu với mọi lân cận V của a tồn tại lân cận U của z0 sao cho f (z) ∈ V
với mọi z ∈ U ∩ Ω, z = z0 .
4


Hàm f gọi là liên tục tại z0 nếu một trong hai điều kiện sau được
thỏa mãn
(i)

z0 là điểm cô lập của Ω. Nói cách khác tồn tại lân cận U của z0

(trong Ω) sao cho U ∩ Ω = {z0 }.
(ii)

Nếu z0 không là điểm cô lập của Ω thì lim f (z) = f (z0 ) .

z→z0

Hàm f được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi z ∈ Ω .
Hàm f được gọi là liên tục đều trên Ω nếu: ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀z1 , z2 =
∞, z1 , z2 ∈ Ω, |z1 − z2 | < δ, |f (z2 ) − f (z1 )| < ε.
Rõ ràng nếu f liên tục đều trên Ω thì nó là hàm liên tục trên Ω .
Định nghĩa 1.1.3. Cho hàm số f xác định trên miền Ω ⊂ C. Xét giới
hạn
f (z + ∆z) − f (z)
; z, z + ∆z ∈ Ω.
∆z→0
∆z
lim

Nếu tại điểm z giới hạn này tồn tại thì nó được gọi là đạo hàm phức của
df
(z).
f tại z , kí hiệu là f (z) hay
dz
Như vậy
f (z + ∆z) − f (z)
f (z) = lim
∆z→0
∆z
Hàm f có đạo hàm phức tại z cũng được gọi là khả vi phức hay C− khả
vi tại z.
Ví dụ 1.1.2. Cho hàm
z2
,z = 2
f (z) =

z−2
Khi đó
f (z) =

2z (z − 2) − z 2
z 2 − 4z
=
,z = 2
(z − 2)2
(z − 2)2

Như vậy f là C− khả vi tại z = 2.
5


Định nghĩa 1.1.4. Hàm f xác định trong miền Ω ⊂ C với giá trị trong
C gọi là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu tồn tại r > 0 để f là C− khả vi tại
mọi z ∈ D (z0 , r) ⊂ Ω.
Nếu f chỉnh hình tại mọi z ∈ Ω ta nói f chỉnh hình trên Ω.
Ví dụ 1.1.3. Cho hàm f (z) = 2z 3 + 3z 2 − 12z + 1 xác định trên C.
Khi đó f (z) = 6z 2 + 6z − 12
Như vậy f là C− khả vi tại mọi z ∈ C. Khi đó f chỉnh hình trên toàn
mặt phẳng C.
1
chỉnh hình trên tập mở bất kỳ ∆ không
z
1
chứa điểm gốc và f (z) = − 2 . Thật vậy, ta có
z
Ví dụ 1.1.4. Hàm f (z) =


f (z + ∆z) − f (z)
∆z→0
∆z

f (z) = lim

1
1
−
= lim z + ∆z z = lim
∆z→0
∆z→0
∆z

−

1
z (z + ∆z)

=−

1
.
z2

Nhận xét 1.1.1. Ta có thể mở rộng định nghĩa trên trong trường hợp Ω
là miền tùy ý trong C còn f là ánh xạ từ Ω vào C bởi phép đảo nghịch.
Như vậy khi z0 hữu hạn còn f (z0 ) = ∞ ta nói f chỉnh hình tại z0 nếu
1

chỉnh hình tại z0 , còn khi z0 = ∞ ta nói f chỉnh hình tại z0 nếu
f (z)
f (1/z) chỉnh hình tại 0.
Nếu không có gì đặc biệt ta luôn coi Ω ⊂ C và f hữu hạn.
Dưới đây là một số tính chất của hàm chỉnh hình.
Định lí 1.1.1. Giả sử Ω ⊂ C là một miền và H(Ω) là tập các hàm chỉnh
hình trên Ω. Khi đó
6


(i) H(Ω) là một không gian vecto trên C;
(ii) H(Ω) là một vành;
(iii) Nếu f ∈ H(Ω) và f (z) = 0, ∀z ∈ Ω thì 1/f ∈ H (Ω);
(iv) Nếu f ∈ H(Ω) và f chỉ nhận giá trị thực thì f là không đổi.
Định lí 1.1.2. (Về hàm hợp) Nếu f : Ω → Ω∗ và g : Ω∗ → C là các
hàm chỉnh hình, ở đây Ω và Ω∗ là các miền trong mặt phẳng (z) và (w),
thì hàm g ◦ f : Ω → C là hàm chỉnh hình.
∞

Định lí 1.1.3. Giả sử chuỗi lũy thừa

Cn z n có bán kính hội tụ R > 0.

n=0

Khi đó tổng f (z) của nó chỉnh hình tại mọi z với |z| < R và đạo hàm
∞

phức của nó là


nC n z n−1 .

n=1

Sau đây là điều kiện Cauchy – Riemann.
Giả sử f (z) = u (x, y) + iv (x, y) , z = x + iy xác định trong miền Ω ⊂ C.
Hàm f được gọi là R2 − khả vi tại z = x + iy nếu các hàm u(x, y) và
v(x, y) khả vi tại (x, y).
Định lí 1.1.4. (Điều kiện Cauchy - Riemann) Để hàm f là C− khả vi
(khả vi phức) tại z = x + iy ∈ Ω điều kiện cần và đủ là hàm f là R2 −
khả vi tại z và điều kiện Cauchy – Riemann sau được thỏa mãn tại z

∂u
∂v


(x, y) =
(x, y)
∂x
∂y
∂u
∂v


(x, y) = − (x, y) .
∂y
∂x
Định lí 1.1.5. (Tích phân Cauchy ) Giả sử f là hàm chỉnh hình trên
miền Ω và z0 ∈ Ω. Khi đó với mọi chu tuyến γ ⊂ Ωγ ⊂ Ω ta có công


7


thức tích phân Cauchy
f (z0 ) =

1
2πi

f (η)
dη
η − z0

(1.1)

γ

Nếu thêm f liên tục trên Ω và ∂Ω là một chu tuyến, thì với mọi z ∈ Ω
ta có
f (z) =

1
2πi

f (η)
dη.
η−z

(1.2)


∂Ω

Định lí 1.1.6. (Bất đẳng thức Cauchy) Nếu f là hàm chỉnh hình trên
miền Ω, điểm a ∈ Ω, 0 < r < d (a, ∂Ω) và
M (a, r) = sup |f (z)| .
|z−a|=r

Khi đó, ta có bất đẳng thức sau đây:
f (n) (a) ≤

n!M (a, r)
.
rn

(1.3)

Định lí 1.1.7. (Liouville ) Nếu hàm f (z) chỉnh hình và bị chặn trên C,
thì f = const.
Định lí 1.1.8. (Giá trị trung bình ) Nếu f là hàm chỉnh hình trên miền
Ω và hình tròn D (z0 , r) ⊂ Ω thì
2π

1
f (z0 ) =
2π

f z0 + reiϕ dϕ.

(1.4)


0

Định lí 1.1.9. (Nguyên lý môđun cực đại ) Giả sử f là hàm chỉnh hình
trên miền bị chặn trên miền Ω và liên tục trên Ω. Khi đó hoặc f = const
hoặc |f (z)| chỉ đạt cực đại trên biên ∂Ω của Ω.
Định lí 1.1.10. (Bổ đề Schwarz ) Giả sử f là hàm chỉnh hình biến hình
tròn đơn vị D(0, 1) vào chính nó, hơn nữa giả sử f (0) = 0. Khi đó
8


(i)

|f (z)| ≤ |z| với mọi z ∈ D(0, 1),

(ii) Nếu |f (z0 )| = |z0 | với điểm z0 nào đó trong D(0, 1) khác không thì,
f (z) = αz trong đó |α| = 1.

1.2. Hàm chỉnh hình nhiều biến
Không gian phức Cn là tích Descartes của n không gian vecto C. Vậy
Cn là không gian vecto trên trường C.
Cho z = (z1 , z2 , ..., zn ) ∈ Cn . Với mỗi z ∈ Cn hai chuẩn trên Cn thường
được sử dụng là chuẩn Euclide
1

z = (z1 z 1 + z2 z 2 + ... + zn z n ) 2 ,
và chuẩn max
|z| = max {|z1 | , ..., |zn |} .
Dễ thấy hai chuẩn này là tương đương vì ta có
|z| ≤ z ≤


√

n |z| , ∀z ∈ Cn .

Cho a ∈ Cn và r > 0.
Đa đĩa mở tâm a bán kính r là tập hợp
P (a, r) = {z ∈ Cn : |z − a| < r} .
Đa đĩa đóng tâm a bán kính r là tập hợp
P (a, r) = {z ∈ Cn : |z − a| ≤ r} .
Trước tiên ta nhắc lại định nghĩa hàm R2n − khả vi.

9


Định nghĩa 1.2.1. Giả sử Ω là tập mở trong Cn và cho điểm a ∈ Ω.
Hàm f : Ω → C gọi là R2n − khả vi (hay khả vi) tại điểm a ∈ Ω nếu tồn
tại vi phân
∂f
∂f
df =
dx1 + ... +
dx2n =
∂x1
∂x2n

n

(
k=1


∂f
∂f
dxk +
dxn+k ).
∂xk
∂xn+k

(1.5)

Nếu hàm f là R2n − khả vi tại mọi điểm a ∈ Ω thì hàm f được gọi là
R2n − khả vi trong Ω.
Với các số phức zk và z k ta đặt
xk =

zk + z k
zk − z k
, xn+k =
.
2
2i

Ta có
dxk =

1
1
(dzk + dz k ) , dxn+k = (dzk − dz k ) .
2
2i


Theo đạo hàm của hàm hợp ta có,
∂f
∂f ∂zk
∂f ∂z k
∂f
∂f
=
.
+
.
=
+
,
∂xk
∂zk ∂xk ∂z k ∂xk
∂zk ∂z k
∂f
∂f ∂zk
∂f ∂z k
∂f
∂f
=
.
+
.
=i
−i
.
∂xn+k
∂zk ∂xn+k ∂z k ∂xn+k

∂zk
∂z k
Khi đó, ta có thể viết lại (1.5) dưới dạng:
n

df =
k=1

∂f
dzk +
∂zk

n

k=1

∂f
dz k .
∂z k

Sau đây ta nhắc lại định nghĩa Cn − khả vi.
Định nghĩa 1.2.2. Giả sử Ω là tập mở trong Cn và cho điểm a ∈ Ω .
Hàm f : Ω → C gọi là Cn khả vi (hay khả vi) tại điểm a ∈ Ω nếu f là
hàm R2n − khả vi tại a và tại điểm này
∂f
= 0, v = 1, 2, ..., n
∂z v
10

(1.6)



tức là vi phân có dạng
df =

∂f
∂f
dz1 + ... +
dzn .
∂z1
∂zn

Nếu hàm f là Cn − khả vi tại mọi điểm a ∈ Ω thì hàm f được gọi là
Cn − khả vi trong Ω.
Định nghĩa 1.2.3. Cho z0 ∈ Ω, với Ω là tập mở trong Cn . Hàm f :
Ω → C được gọi là chỉnh hình tại z0 nếu f là hàm Cn - khả vi tại mọi
điểm trong một lân cận nào đó của z0 .
Hàm f : Ω → C được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu f chỉnh hình tại mọi
z ∈ Ω.
Định nghĩa 1.2.4. Ánh xạ f : Ω → Cm , Ω là mở trong Cn , được gọi là
chỉnh hình trên Ω nếu fj : Ω → C chỉnh hình trên Ω với mọi j = 1, m,
ở đây f = (f1 , ..., fm ).
Ta nhắc lại một số tính chất cơ bản của hàm chỉnh hình nhiều biến.
Kí hiệu:
Hàm f liên tục trong miền Ω ⊂ Cn theo tập hợp các biến và
tại mỗi điểm z0 ∈ Ω hàm f chỉnh hình theo từng tọa độ. (*)
Định lí 1.2.1. Nếu hàm f thỏa mãn điều kiện (*) trong
P = {z ∈ Cn : |zv − av | ≤ rv , ∀v = 1, 2, ..., n} ,
thì tại mỗi điểm z ∈ P hàm f được biểu diễn dưới dạng tích phân bội
Cauchy

f (z) =

1
(2πi)n

f (ξ)
dξ1 ...dξn ,
(ξ1 − z1 ) ... (ξn − zn )
Γ

11

(1.7)


trong đó, Γ là khung của đa tròn, tức là tích của các vòng tròn biên
γv = {|ξv − av | = rv , ∀v = 1, ..., n} .
Chứng minh. Với bất kì z ∈ P , gọi z và P tương ứng là hình chiếu của
z và P trong không gian Cn−1 , ta có z ∈ P .
Hàm f (z) = f z , zn chỉnh hình theo biến zn , trong hình tròn
{|zn − an | ≤ r} .
Do đó, áp dụng công thức tích phân đối với hàm một biến ta thu được
f (z) =

f z , ξn
dξn ,
(ξn − zn )

1
2πi

γn

với ξn ∈ γn và z ∈ P tùy ý, hàm dưới dấu tích phân có thể biểu diễn
bởi tích phân Cauchy theo biến zn−1 . Hơn nữa, do f liên tục theo tập
hợp biến, nên tích phân lặp có thể biểu diễn như tích phân bội theo tích
γn−1 × γn . Tiếp tục lặp lại lý luận như trên cho tới biến z1 ta thu được
công thức (1.7).
Định lí 1.2.2. Nếu hàm f liên tục trong đa tròn đóng P ⊂ Cn theo tập
hợp các biến và tại mỗi điểm z0 ∈ P , chỉnh hình theo mỗi tọa độ, thì tại
mỗi điểm z ∈ P hàm f được biểu diễn bởi chuỗi lũy thừa
∞

ck (z − a)k ,

f (z) =
|k|=0

với các hệ số
ck =

f (ξ)

1
(2πi)n
Γ

(ξ − a)k+1

12


dξ,

(1.8)


ở đây dξ = dξ1 ...dξn , trong đó Γ là khung của đa tròn, tức là tích của
các vòng tròn biên
γv = {|ξv − av | = rv , ∀v = 1, ..., n} ,
k = (k1 , ..., kn ) , k ≥ 0 và (z − a)k = (z1 − a1 )k1 ...(zn − an )kn .
Chứng minh. Từ công thức tích phân Cauchy (1.7), ta có thể viết lại
dưới dạng đơn giản hơn
f (z) =

1
(2πi)n

f (ξ)
dξ,
(ξ − z)

(1.9)

Γ

1
1
=
.
ξ−z
(ξ1 − z1 ) ... (ξn − zn )

Bây giờ ta khai triển trong tích phân (1.9) thành tích cấp số nhân bội
trong đó dξ = dξ1 ...dξn và

1
1
=
.
ξ−z
ξ−a

1
1−

1
=
ξ−a

z1 − a1
ξ1 − a1

∞

|k|=0

z−a
ξ−a

... 1 −

zn − an

ξn − an

k

,

trong đó k ∈ Nn và |k| = k1 + ... + kn và
z−a
ξ−a

k

=

z1 − a1
ξ1 − a1

hay
1
=
ξ−z

∞

|k|=0

k1

zn − an
...

ξn − an

kn

,

(1.10)

(z − a)k
(ξ − a)k+1

trong đó k + 1 = (k1 + 1, ..., kn + 1).
Mặt khác, với bất kì z ∈ P chuỗi (1.10) hội tụ tuyệt đối và đều trên Γ
f (ξ)
theo ξ. Nhân chuỗi (1.10) với hàm
, hàm này liên tục trên Γ nên
(2πi)n
bị chặn trên Γ. Sau đó lấy tích phân từng phần ta thu được biểu diễn
(1.8).
13


Định lí 1.2.3. Nếu hàm f chỉnh hình tại điểm a ∈ Cn và (1.8) là khai
triển thành chuỗi lũy thừa của f trong một lân cận của a, thì các hệ số
của chuỗi lũy thừa này được xác định theo công thức Taylor
∂ k1 +...+kn
1 ∂ |k| f
1
f (a) =
ck =

k1 !...kn ! ∂z1 k1 ...∂zn kn
k! ∂z k

,
z=a

trong đó k! = k1 !...kn !.
Định lí 1.2.4. (Bất đẳng thức Cauchy ) Nếu f là hàm chỉnh hình trong
đa tròn đóng P = {|zv − av | ≤ rv } và |f | ≤ M trên khung Γ của nó, thì
các hệ số trong khai triển Taylor của f tại điểm a thỏa mãn bất đẳng
thức
M
, ∀k ∈ Zn+ ,
k
r

|ck | ≤

ở đây M = sup {|f (z)| : z ∈ Γ} , rk = r1k1 ...rnkn .
Định lí 1.2.5. (Tính duy nhất) Nếu f là hàm chỉnh hình trên tập mở
liên thông Ω ⊂ Cn sao cho mọi đạo hàm riêng của f bằng không tại
a ∈ Ω, thì f ≡ 0.
Chứng minh. Đặt G = {z ∈ Ω : f = 0} trong một lân cận của z.
Hiển nhiên, G mở và vì f có khai triển thành chuỗi lũy thừa trong một
lân cận của a, do đó f = 0 trong một lân cận của a. Vậy a ∈ G.
Ta chứng minh G đóng trong Ω. Giả sử z 0 ∈ ∂G. Khai triển f thành
chuỗi lũy thừa

∞


ck z − z 0

f (z) =

k

|k|=0

trong một lân cận của z 0 . Bởi vì
1 ∂kf z0
1 ∂ k f (z)
ck =
= lim
= 0,
z∈G k ∂z k
k ∂z k
0
z→z

14


z 0 ∈ G. Do Ω liên thông G = Ω có nghĩa là f ≡ 0.
Định lí 1.2.6. (Nguyên lý môđun cực đại) Nếu f chỉnh hình trên miền
Ω ⊂ Cn sao cho |f | đạt cực đại tại a ∈ Ω thì f là hàm hằng trên Ω.
Chứng minh. Xét đường thẳng giải tích tùy ý l (ξ) = a + ωξ đi qua a.
Hạn chế của f trên đường thẳng này là hàm ϕω (ξ) = f ◦ l (ξ) , hàm này
chỉnh hình trong hình tròn {|ξ| < ρ} nào đó, còn |ϕω | chỉ đạt cực đại khi
ξ = 0.
Theo nguyên lý môđun cực đại đối với hàm một biến phụ thuộc vào

hằng số ω, ϕω (ξ) = c (ω) .
Mặt khác, ϕω (0) = f (a) không phụ thuộc vào ω, nên c (ω) = const
trong Ω.
Định lí 1.2.7. (Liouville) Nếu f chỉnh hình trong Cn và |f | là hàm bị
chặn thì f là hàm hằng trên Cn .
Chứng minh. Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Với n = 1 định lý đã được chứng minh cho hàm một biến.
Giả sử định lý đúng cho hàm n−1 biến. Ta chọn các điểm tùy ý a, b ∈ Cn ,
do theo giả thiết quy nạp nên hàm f z , an là hàm hằng.
Do đó, f (a) = f b , an .
Mặt khác, hàm f b , an cũng là hằng số, như vậy f b , an = f (b). Do
đó, f (b) = f (a), nghĩa là định lý đúng cho hàm n biến.
Định lí 1.2.8. (Weierstrass) Giả sử dãy hàm {fv } chỉnh hình trên Ω
hội tụ đều tới hàm f trên mọi compact trong Ω. Khi đó f chỉnh hình
trong Ω và ngoài ra
∂ k fv
∂kf
→
∂z k
∂z k
15


đều trên mọi compact trong Ω và mọi k ∈ Z+
n.
Chứng minh. Trường hợp một biến phức hàm f chỉnh hình phân biệt
trên Ω.
Mặt khác, f liên tục vậy nó chỉnh hình trên Ω. Ngoài ra từ công thức
tích phân Cauchy (1.7) suy ra
∂ k fv

∂kf
→ k
∂z k
∂z
hội tụ đều trên mọi compact trong Ω.
Định nghĩa 1.2.5. (Tách chỉnh hình) Giả sử Ω là một tập mở trong
Cn , n ≥ 2. Hàm f : Ω → C gọi là tách chỉnh hình nếu f chỉnh hình theo
mỗi biến khi ta cố định các biến còn lại.

1.3. Hàm điều hòa dưới
1.3.1. Hàm nửa liên tục trên
Định nghĩa 1.3.1. (Hàm nửa liên tục trên) Giả sử Ω là một tập con
mở trong Cn và hàm u : Ω → [−∞, +∞) được gọi là nửa liên tục
trên nếu lim sup u (z) ≤ u (z0 ), với mọi z0 ∈ Ω. Một cách tương đương
z→z0

−1

u

([−∞, a)) là mở với mọi −∞ < a < +∞.

Định lí 1.3.1. Giả sử hàm u là nửa liên tục trên và bị chặn trong không
gian metric (X, d). Khi đó tồn tại một dãy các hàm liên tục Φn : X → R
với
lim Φn (x) = u (x) , x ∈ X.

n→∞

16



1.3.2. Hàm điều hòa dưới
Định nghĩa 1.3.2. (Hàm điều hòa dưới) Giả sử Ω là tập mở trong C.
Hàm u : Ω → [−∞, +∞) gọi là điều hòa dưới trên Ω nếu hàm u là nửa
liên tục trên trên Ω, u = ∞ trên bất kì một thành phần liên thông của
Ω và thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên Ω, nghĩa là với mọi
z ∈ Ω tồn tại ς > 0 sao cho với mọi 0 ≤ r < ς ta có
2π

1
u (z) ≤
2π

u z + reit dt.
0

Kí hiệu tập tất cả các hàm điều hòa dưới trên Ω là SP (Ω) .
Định lí 1.3.2. Hàm u : Ω → [−∞, +∞) nửa liên tục trên trên miền
Ω ⊂ Cn là điều hòa dưới trên Ω khi và chỉ khi: Với mỗi z ∈ Ω và mọi
0 < r < d (z, ∂Ω) sao cho
2π

1
u (z) ≤
2π

u z + reit dt
0


Định lí 1.3.3. Nếu hàm u điều hòa dưới trên miền Ω và đạt maximum
trong Ω, thì u = const.
Chứng minh. Giả sử tồn tại z0 ∈ Ω để u (z0 ) = max u (z)
z∈Ω

Ta chỉ cần chứng minh u = const trong một lân cận của z0 . Nếu không
ta chỉ cần tìm được hình tròn U tâm z0 , bán kính r > 0 đủ bé để
u (ξ1 ) < u (z0 ) với ξ1 ∈ ∂U .
Do u nửa liên tục trên nên tồn tại ε > 0 và cung γ ⊂ ∂U sao cho
u (ξ) < u (z0 ) − ε, ∀ξ ∈ γ. Lấy cung z1 ∈ γ1 ⊂ γ và xây dựng trên ∂U
một hàm liên tục h (ξ) sao cho
h|γ1 = u (z0 ) − ε, h|∂U \γ = u (z0 )
17


và h|γ\γ1 (phụ thuộc tuyến tính vào arg(ξ − z0 )). Hàm h như vậy tồn tại
duy nhất.
Khi đó u ≤ h trên ∂U và theo bài toán Dichlet h được thác triển điều
hòa tới U . Ta có
2π

1
u (z0 ) ≤ h (z0 ) =
2π

h z0 + reiϕ dϕ

(1.11)

0


nhưng vế phải của (1.11) < u (z0 ) .
Định lí 1.3.4. Nếu hàm u điều hòa dưới trên miền Ω và miền G ⊂ Ω
thì với mọi hàm h liên tục trên G điều hòa trong G mà h ≥ u trên ∂G
thì h ≥ u trên G.
Chứng minh. Đặt v = u − h. Hàm này nửa liên tục trên trên G vì vậy
nó đạt cực đại trên G với giá trị cực đại là M .
Ta chỉ cần chứng minh M ≤ 0.
Kí hiệu C = {z ∈ G : v (z) = M }.
Theo định lý trên C là tập mở trong G. Ngoài ra do v nửa liên tục trên
và M là giá trị cực đại của v trên C đồng thời là tập đóng.
Nếu C = ∅ thì giá trị M đạt trên ∂G, vì vậy M ≤ 0.
Nếu C = ∅ thì C = G và khi đó v ≡ M trên G. Do tính nửa liên tục
trên của v ta suy ra v ≡ M trên G. Do tính nửa liên tục trên V ta suy
ra V ≡ M trên G. Vì thế M ≤ 0.
Hàm h thỏa mãn h ≥ u trên ∂G thì h ≥ u trên G được gọi là chặn trên
điều hòa của hàm u đối với miền G.
Định lí 1.3.5. Nếu hàm u điều hòa dưới trên miền Ω và tại một điểm
z0 nào đó trong miền G ⊂ Ω trùng với hàm chặn trên điều hòa h của u
18


đối với G, thì u = h trong G.
Chứng minh. Hàm v = u − h điều hòa dưới và ≤ 0 trong G vì vậy v đạt
cực đại tại các điểm z ∈ G ở đó v (z) = 0.
Đặt C = {z ∈ G : v (z) = 0} = ∅ (vì z0 ∈ C).
Theo định lý 1.3.3, C là mở và do tính nửa liên tục trên của v, và 0 là
giá trị cực đại nên C là đóng trong G. Vì thế C = G.
Định lí 1.3.6. Giả sử {uk }k∈A là họ của các hàm điều hòa dưới trong
miền Ω sao cho

u (z) = sup uk (z) < ∞, z ∈ Ω.
k∈A

Nếu u nửa liên tục trên, thì u điều hòa dưới.
Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh, nếu u ≤ h trên biên ∂U của hình
tròn U ⊂ Ω, ở đây h là hàm liên tục trên U và điều hòa trong U , thì
u ≤ h trong U . Bởi vì uk là điều hòa dưới và uk ≤ h trên ∂U ta có
uk ≤ h trong U với mọi k ∈ A. Vì thế,
u (z) = sup uk (z) ≤ h (z) , z ∈ U.
k∈A

Điều phải chứng minh.
Định nghĩa 1.3.3. (Hàm đa điều hòa dưới) Hàm u : Ω → [−∞, +∞),
Ω ⊂ Cn được gọi là một hàm đa điều hòa dưới nếu với mỗi a ∈ Ω và
b ∈ Cn , ánh xạ λ → u (a + λb) là hàm điều hòa dưới hoặc u đồng nhất
bằng −∞ trên mỗi thành phần của tập {λ ∈ C : a + λb ∈ Ω} .
Kí hiệu tập tất cả các hàm đa điều hòa dưới là P SP (Ω).
Ví dụ 1.3.1. Nếu f ∈ H (Ω) thì log |f | ∈ P SP (Ω).
19


1.4. Định lí Hartogs
Trong mục này tôi sẽ trình bày các kết quả đã biết về định lý cổ điển
của Hartogs. Với mỗi R > 0 ta đặt
BRn = B n (0, R) = {z ∈ Cn : z < R} , B n = B1n .
Bổ đề 1.4.1. Giả sử hàm ϕ chỉnh hình trong hình tròn
Ur = {z ∈ C : |z| < r} và ϕ = 0 tại z0 ∈ Ur nào đó và |ϕ| ≤ M trong
Ur . Khi đó trong Ur ta có
|ϕ (z)| ≤ M r


|z − z0 |
.
|r2 − z 0 z|

Chứng minh. Ta chọn ánh xạ phân tuyến tính từ Ur lên vòng tròn đơn
vị U
λ:z→r

z − z0
.
r2 − z 0z

Với λ−1 là ánh xạ ngược U → Ur và xét hàm
ψ=

1
ϕ ◦ λ−1 .
M

Khi đó ψ : U → U và ψ (0) = 0. Hàm này thỏa mãn các điều kiện của
bổ đề Schwarz thông thường, do đó |ψ (z)| ≤ |z| khắp nơi trong U.
Cuối cùng ta thay z bởi λ (z) ta thu được:
|ϕ (z)| ≤ M r

|z − z0 |
.
|r2 − z 0 z|

Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.4.2. Giả sử hàm f chỉnh hình theo mỗi biến zv trong đa tròn

U = U (a, r) và giới nội trong U thì nó chỉnh hình trên U (a, r) .
20