MỤC LỤC
Trang
MỤC LỤC .................................................................................................... 1
LỜI MỞ ĐẦU .............................................................................................. 2
Chương 1. Các kiến thức chuẩn bị .............................................................. 3
Chương 2. Sự hội tụ theo lưới và lọc. .......................................................... 5
2.1. Tập có hướng và lưới................................................................... 5
2.2. Mơ tả một số tính chất tơpơ thông qua ngôn ngữ lưới. ............. 7
2.3. Lọc và siêu lọc............................................................................ 23
KẾT LUẬN................................................................................................. 28
TÀI LIỆU THAM KHẢO.......................................................................... 29

1


LỜI MỞ ĐẦU
Lý thuyết về sự hội tụ đóng vài trị quan trọng trong giải tích tốn học.
Các cấu trúc cơ bản của giải tích như: Phép tính vi phân, tích phân, tổng của
chuỗi số, chuỗi hàm, ... đều dựa vào việc chuyển qua giới hạn. Các vấn đề
giới hạn của dãy số, dãy hàm số, tổng của chuỗi số, chuỗi hàm số (tổng đếm
được) đã được trình bày một cách đầy đủ trong giáo trình dành cho sinh viên
ĐHSP. Song các khái niệm tổng quát hơn về sự hội tụ thì chỉ được đề cập tới
rất ít, đó là sự hội tụ của dãy suy rộng (hay còn gọi là lưới) và lọc . Mục đích
chính của luận văn là tìm hiểu về các khái niệm, tính chất của lưới và lọc
cũng như sự mơ tả các tính chất tơpơ theo thuật ngữ lưới và lọc.
Với mục đích đó, luận văn được viết thành hai chương.
Chương 1 : Chương kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày tóm tắt,
cơ đọng một số kiến thức về tôpô đại cương và một số lý thuyết liên quan, là
cơ sở để sử dụng cho chương sau.
Chương 2 : Sự hội tụ theo lưới và lọc.
Chương này được trình bày theo 3 mục.

Mục 2.1: Tập có hướng và lưới
Mục 2.2: Mơ tả một số tính chất tơpơ thơng qua ngơn ngữ lưới
Mục 2.3: Lọc và siêu lọc
Phần kết luận là một số kết quả tác giả đã đạt được khi làm khoá luận.
Khoá luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn giúp đỡ tận tình của các
thầy cơ giáo trong khoa Tốn. Đặc biệt tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới
thầy giáo TS. Lương Quốc Tuyển đã trực tiếp hướng dẫn trong suốt quá
trình làm luận văn. Xin cảm ơn các bạn trong lớp 09ST đã động viên và giúp
đỡ tơi hồn thành tốt luận văn này.
Đà Nẵng, tháng 05 năm 2013
Nguyễn Đăng Trung
2


CHƯƠNG 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm, ký hiệu và kết
quả cơ bản cần dùng cho các mục sau.
1.1. Định nghĩa không gian tôpô. Giả sử X là một tập khác . Họ T
các tập con nào đó của X được gọi một tôpô trên X nếu thoả mãn các điều
kiện sau:
i)   T, X T.
ii) Nếu A T, B T thì A  B  T.
iii) Nếu Ai  T, i  I thì

 Ai  T.
i I

Tập X cùng với tơpơ T xác định trên nó được gọi là không gian tôpô, ký
hiệu là (X, T) hoặc X.

1.2. Định nghĩa tập mở, tập đóng, bao đóng của một tập trong
không gian tôpô X. Cho không gian tôpô (X, T ), E là tập con nào đó của X.
1) E được gọi là tập mở nếu E T.
2) E được gọi là tập đóng nếu X \ E  T.
3) Bao đóng của E là giao tất cả các tập đóng chứa E.
1.3. Định nghĩa lân cận. Cho khơng gian tôpô (X, T ). Tập V  X được
gọi là lân cận của điểm x  X nếu tồn tại tập mở WT sao cho
x W  V.
1.4. Vị trí tương đối giữa điểm và tập hợp trong khơng gian tôpô.
Cho không gian tôpô (X, T); E  X, x X. Ta gọi x là:
1) Điểm trong của E nếu E là lân cận của x. Lúc đó tập tất cả các điểm
trong của E gọi là phần trong của E, ký hiệu là IntE.

3


2) Điểm biên của E nếu x không là điểm trong của E cũng như X \ E.
Tập tất cả các điểm biên của E gọi là biên của E và ký hiệu là  E.
3) Điểm giới hạn của E nếu với mọi lân cận V của x đều có
V  (E \ x)  .
4) Điểm dính của E nếu với mọi lân cận V của x đều có V  E  .
5) Điểm cơ lập của E nếu tồn tại lên cận V của x sao cho: V  E = x.
1.5. Định lý. Giả sử X là không gian tôpô, E là tập con của X. Khi đó,
1) E đóng khi và chỉ khi E = E .
2) x là điểm dính của E khi và chỉ khi x E .
3) E đóng khi và chỉ khi E chứa mọi điểm dính của E.
Hệ quả. E đóng khi và chỉ khi E chứa mọi điểm giới hạn của E.
1.6. Định lý. Bao đóng của một tập tuỳ ý là hợp của tập đó và tập các
điểm giới hạn của nó.
1.7 Định lý : Cho khơng gian tôpô ( X , T ), họ con V  T . Họ V là cơ sở

của tôpô khi và chỉ khi với mỗi điểm x  X và với mọi lân cận bất kỳ U của x,
tại V  V sao cho x  V  V.
1.8. Định nghĩa không gian Hausdoff. Không gian tôpô X được gọi là
không gian Hausdoff (hay T2-không gian) nếu với mọi cặp điểm x, y X thỏa
mãn x  y, tồn tại lân cận U của x và lân cận V của y sao cho U  V = .
1.9. Định nghĩa ánh xạ liên tục. Giả sử X, Y là hai không gian tôpô, a
là một điểm thuộc X và f : X  Y là một ánh xạ.
(1) f được gọi là liên tục tại điểm a nếu với mọi lân cận V của điểm
f(a)  Y, tồn tại một lân cận U của a sao cho f(U)  V.
(2) f được gọi là liên tục trên X nếu nó liên tục tại mọi x  X .
1.10. Định nghĩa không gian compact. Không gian tôpô X được gọi là
không gian compact nếu mọi phủ mở của X đều tồn tại một phủ con hữu hạn.

4


CHƯƠNG 2
SỰ HỘI TỤ THEO LƯỚI VÀ LỌC
Mục đích chính của chương này là nghiên cứu sự hội tụ của lưới và lọc
trong khơng gian topo. Sau đó, dùng thuật ngữ lưới và lọc để mô tả một số
khái niệm và tính chất trong khơng gian tơpơ, tương tự như dùng thuật ngữ
dãy thông thường để mô tả các kết quả trong khơng gian mêtríc.

2.1. Tập có hướng và lưới
2.1.1. Định nghĩa tập định hướng. Tập D   được gọi là định hướng
nếu trên nó xác định một quan hệ “” thoả mãn các tính chất:
1) m, n, p  D sao cho m  n, n  p thì m  p.
2) Nếu m D thì m  m.
3) m, n  D, p  D sao cho p  m, p  n.
Khi đó, ta nói rằng tập D được định hướng bởi quan hệ “” và ký hiệu là

(D, ) hoặc vắn tắt là D.
2.1.2. Ví dụ. Cho X là không gian tôpô, x X và V là họ gồm các lân
cận của x. Khi đó, V được định hướng bởi quan hệ “” như sau:
U  V khi và chỉ khi U  V .
Thật vậy, rõ ràng rằng V  . Hơn nữa,
1) Giả sử U, V, W  V sao cho U  V, V  W. Khi đó, U  W.
2) Nếu U  V, thì U  U.
3) Nếu U, V V, thì U V V. Do đó, nếu ta đặt W = UV V, thì
W U, W  V.
Do vậy, (V, ) là một tập định hướng.

5


2.1.3. Mệnh đề. Cho I là tập chỉ số bất kỳ.
Ký hiệu
J(I) = J  I: J là tập con hữu hạn của I.
Trên J(I) xác định quan hệ bao hàm “” như sau
J, J’  J(I) : J  J’  J  J’
Khi đó, J(I) với quan hệ bao hàm là một tập định hướng.
2.1.4. Định nghĩa lưới. Giả sử D là một tập định hướng bởi quan hệ
“”. Khi đó, hàm S xác định trên D và nhận giá trị trong tập X được gọi là một
lưới (hay dãy suy rộng) trong X.
Ký hiệu (Sn, n D, ) hoặc (S, D, ) hoặc vắn tắt là S.
Nếu miền giá trị của lưới là không gian tôpô X thì S được gọi là lưới trong
khơng gian tơpơ X.
2.1.5. Định nghĩa lưới hội tụ. Giả sử D là một tập được định hướng
bởi quan hệ “”, (X, T) là một khơng gian tơpơ. Khi đó, lưới (S n, D, ) được
gọi là hội tụ trong không gian tôpô đến điểm s đối với tôpô T nếu với mọi lân
cận U của s đều tồn tại n0 D sao cho n D mà n  n0 ta đều có Sn U.

Ký hiệu lim Sn = s hay Sn  s.
2.1.6. Định nghĩa lưới nằm trong một tập từ một lúc nào đó.
Lưới Sn, n D,  được gọi là lưới nằm trong tập A từ một lúc nào đó
nếu và chỉ nếu m D: n D mà n  m thì Sn A.
2.1.7. Định nghĩa lưới thường xuyên gặp A. Lưới Sn, n D,  được
gọi là lưới thường xuyên gặp A nếu và chỉ nếu m D, n D sao cho n  m
và Sn A.
2.1.8. Định nghĩa điểm giới hạn. Điểm s của không gian tôpô X được
gọi là điểm giới hạn của lưới S khi và chỉ khi S thường xuyên gặp mỗi lân cận
của s.
6


2.1.9. Định nghĩa lưới con. Giả sử (D, ) và (E, ) là tập hai định
hướng. Lưới Tm, m D,  được gọi là lưới con của lưới Sn, n E,  khi
và chỉ khi tồn tại hàm N: D  E sao cho
1) T = S  N hay Ti  S N với mọi i  D.
i

2) Với mọi m E, tồn tại n  D sao cho nếu p  n thì Np  m (p D).

2.2. Mơ tả một số tính chất tơpơ thơng qua ngơn ngữ lưới
2.2.1 Định lý.
Giả sử X là không gian tôpô. Khi đó,
(a) Điểm s là điểm giới hạn của tập con A trong X khi và chỉ khi trong
A \ s có lưới hội tụ đến s.

(b) Điểm s thuộc bao đóng của tập con A trong khơng gian X khi và chỉ
khi trong A có lưới hội tụ đến s.
(c) Tập A đóng trong X khi và chỉ khi khơng có lưới nào chứa trong A ,

hội tụ đến đểm thuộc X \ A .
Chứng minh.
Điều kiện đủ. Giả sử tồn tại lưới (Sn, D, ) trong A sao cho Sn  s. Ta cần
chứng minh rằng s là điểm dính của A.
Thật vậy, vì Sn  s nên với mọi lân cận U của s, tồn tại n0  D sao cho
Sn U với mọi n  n0.
Điều này chứng tỏ rằng U  A  . Do đó, s là điểm giới hạn của A.
Điều kiện cần. Giả sử s là điểm giới hạn của A. Ta chứng minh rằng trong
A \ s tồn tại lưới hội tụ đến s. Thật vậy,

Ký hiệu V là cơ sở lân cận của điểm s. Khi đó, (V, ) là một tập định
hướng. Từ giả thiết s là điểm giới hạn của A ta suy ra
U  ( A \ s )   với mọi U V.
7


Bây giờ, với mỗi U V ta chọn Su  U  ( A \ s ). Lúc đó, ta thu được lưới
(SU, V, )  ( A \ s ). Để hoàn thành chứng minh ta chỉ cần chứng tỏ rằng
lưới (SU, V, ) hội tụ đến s.
Giả sử V là lân cận bất kỳ của s. Khi đó, vì V là cơ sở lân cận nên tồn tại
W V sao cho
s  W  V.
Do đó, với mọi U V mà U  W ta đều có U  V. Mặt khác, SU  U với
mọi U V nên ta suy ra
SU  V với mọi U V mà U  W.
Do vậy, theo định nghĩa lưới hội tụ ta suy ra lưới (SU, V, ) nằm trong A hội
tụ đến s.
(b) Điều kiện đủ. Giả sử D là một tập định hướng bởi quan hệ “” và tồn
tại lưới (Sn, D, ) trong A sao cho S n  s. Ta cần chứng minh rằng s  A .
Thật vậy, giả sử U là lân cận bất kỳ của s. Khi đó, vì Sn  s nên tồn tại m  D

sao cho S n  U với mọi n  m . Mặt khác, vì lưới (S n, D, ) trong A nên ta suy
ra U  A   . Do vậy, s  A .
Điều kiện cần. Giả sử s  A , ta chứng minh rằng trong A tồn tại lưới hội tụ
đến s. Thật vậy,
Ký hiệu V là cơ sở lân cận của điểm s. Khi đó, (V, ) là một tập định
hướng. Từ giả thiết s  A suy ra mọi U V ta đều có U  A  . Lúc đó, với
mỗi U V chọn Su  U  A, ta có lưới (SU, V, )  A. Để hoàn thành chứng
minh ta chỉ cần chứng tỏ rằng lưới (SU, V, ) hội tụ đến s.
Giả sử V là lân cận bất kỳ của s. Khi đó, vì V là cơ sở lân cận nên tồn tại
W V sao cho
s  W  V.

8


Do đó, với mọi U V mà U  W ta đều có U  V. Mặt khác, SU  U với mọi
U V nên ta suy ra
SU  V với mọi U V mà U  W.
Bởi vậy, theo định nghĩa lưới hội tụ ta suy ra lưới (SU, V, ) nằm trong A hội
tụ đến s.
(c) Điều kiện cần. Giả sử A đóng và S là lưới bất kỳ trong A mà S  s. Ta
cần chứng minh rằng s A.
Thật vậy, vì A là tập hợp đóng nên A = A. Do đó, theo câu (b) ta suy ra
rằng s A . Bởi thế, từ A = A ta suy ra rằng s  A.
Điều kiện đủ. Giả sử khơng có lưới nào trong A hội tụ đến điểm nằm
ngoài A. Ta chứng minh rằng A là tập hợp đóng, nghĩa là A  A . Thật vậy, giả
sử s  A , khi đó theo (b), tồn tại lưới S trong A hội tụ đến s. Mặt khác, theo
giả thiết điều kiện đủ ta suy ra rằng s  A . Do vậy, A  A .
2.2.2. Định lý. Một không gian tôpô X là không gian Hausdoff khi và
chỉ khi khơng có lưới nào trong nó hội tụ đến hai điểm khác nhau.

Chứng minh.
Điều kiện cần. Giả sử X là không gian Hausdoff. Ta cần chứng minh rằng
khơng có lưới nào trong X hội tụ đến hai điểm khác nhau.
Thật vậy, giả sử (Sn, D, ) là một lưới nằm trong X và S n  s1, Sn  s2 với
s1  s2. Khi đó, do X là T2- không gian nên tồn tại lân cận U s1 của s1 và lân
cận U s2 của s2 sao cho U s1  U s2 =  . Mặt khác, vì Sn  s1, U s1 là lân cận của
s1 nên tồn tại n1  D sao cho
S n U s1 với mọi n  n1.
Lại vì Sn  s2 nên tồn tại n2 D sao cho
Sn U s2 với mọi n  n2.
9


Hơn nữa, vì D là tập định hướng nên ta có thể chọn n0 D sao cho
n 0  n 1, n 0  n 2.
Khi đó,
S nU s1 và Sn U s2 với mọi nD mà n  n0,
Bởi thế, U s1  U s2  , điều này mâu thuẫn với U s1  U s2 = .
Do vậy, s1  s2 hay lưới Sn, D,  hội tụ đến một điểm duy nhất.
Điều kiện đủ. Giả sử khơng có lưới nào trong X hội tụ đến hai điểm khác
nhau. Ta chứng tỏ rằng X là T2- không gian.
Thật vậy, giả sử X không phải là T2-không gian. Lúc đó, tồn tại hai điểm
s1, s2  X mà s1  s2 sao cho với mọi lân cận U của s1 và với mọi lân cận V
của s2 đều có U  V  .
Gọi

Us

1


là họ các lân cận của s1,

Us

2

là họ các lân cận của s2. Khi đó, theo

Ví dụ 2.1.2 ta suy ra rằng ( U s1 , ) và ( U s2 , ) là các tập định hướng. Đặt
V=

Us

1



Us

2

và định nghĩa quan hệ “” trên V như sau: Với mọi (T, U), (V, W)  V, ta có
(T, U)  (V, W)  T  V, U  W.
Dễ dàng chứng minh được rằng (V, ) là một tập định hướng.
Bây giờ, ta xây dựng lưới trong X như sau: Bởi vì với mỗi (T, U)  V ta
đều có T  U   . Do đó, với mỗi (T, U)  V ta có thể chọn S (T, U)  T  U.
Như vậy, ta được lưới (S(T,U), V, ) trong X, và viết tắt là S(T,U). Ta sẽ chứng tỏ
rằng S(T,U)  s1 và S(T,U)  s2.
Thật vậy, giả sử V là lân cận bất kỳ của s1 và W là lân cận bất kỳ của s2.
Khi đó, với mọi (T, U)  V mà (T, U)  (V, W) ta đều có

S(T, U)  T  U  T  V
S(T, U)  T  U  U  W
10


Suy ra S(T, U)  s1 và S(T, U)  s2.
Như vậy, trong X tồn tại lưới (S(T, U), V, ) hội tụ đến hai điểm khác nhau,
điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Bởi vậy, X là T2-không gian.
2.2.3. Định lý. Giả sử S là một lưới nào đó và V là họ gồm các tập
con nào đó của X mà S thường xuyên gặp mỗi phần tử của V và giao hai
phần tử tùy ý của V chứa phần tử nào đó của V. Khi đó, tồn tại lưới con nào
đó của S nằm trong mỗi phần tử của U kể từ một lúc nào đó.
Chứng minh.
Bởi vì giao hai phần tử của V là một phần tử nào đó của V nên V
được định hướng bởi quan hệ bao hàm, nghĩa là (V,  ) là tập có hướng. Thật
vậy,
(1) Giả sử U, V, W  V sao cho U  V, V  W. Khi đó, U  W.
(2) Nếu U  V, thì U  U.
(3) Nếu U, V V, thì U V V. Do đó, nếu ta đặt W = UV V, thì
W U, W  V.
Bây giờ, giả sử {Sn, n  D} là lưới thường xuyên gặp mỗi phần tử của họ V.
Đặt
E = {(m, A): m  D, A  V, Sm  A}
và trên E ta đưa vào quan hệ như sau:
(m, A)  (n, B) khi và chỉ khi m  n và A  B .

Khi đó, ( E , ) là tập định hướng. Thật vậy,
(a) Nếu (m, A), (n, B), ( p, C )  E sao cho (m, A)  (n, B)  ( p, C ) , thì
m  n  p và A  B  C .


Do đó, m  p và A  C , kéo theo (m, A)  ( p, C ) .
(b) Hiển nhiên (m, A)  (m, A) với mọi (m, A)  E .
11


(c) Giả sử (m, A), (n, B)  E. Khi đó, vì giao hai phần tử của V chứa phần tử
nào đó của V nên ta lấy C  V sao cho C  A  B . Mặt khác, vì {Sn, n  D}
thường xuyên gặp mỗi phần tử của V nên {Sn, n  D} thường xuyên gặp C.
Hơn nữa, vì D là tập định hướng nên tồn tại p  D sao cho p  m, p  n . Lại
vì {Sn, n  D} thường xuyên gặp C nên tồn tại q  p sao cho Sq  C . Do vậy,
(q, C )  V và (q, C )  (m, A), (q, C )  (m, B) .

Từ chứng minh trên ta suy ra rằng (E,  ) là tập định hướng.
Bây giờ, ta đặt
N :E  D

(m, A)  N (m, A)  m

Khi đó, S. N là lưới con của S. Thật vậy, với mọi m  D , vì {Sn, n  D}
thường xuyên gặp mỗi phần tử của V nên tồn tại p  D mà p  m và A  V
sao cho S p  A . Suy ra ( p, A)  (m, A) , kéo theo N ( p, A)  p  m . Do vậy, S. N
là lưới con của {Sn, n  D}.
Cuối cùng, ta chứng minh rằng S. N nằm trong mỗi phần tử của V kể
từ một lúc nào đó. Thật vậy, giả sử A V. Khi đó, vì {Sn, n  D} thường
xuyên gặp mỗi phần tử của V nên tồn tại m  D sao cho Sm  A . Do đó, với
mọi (n, B)  (m, A) ta có
S [N ( n, B )]  S n  B  A.

Điều này chứng tỏ rằng S. N từ một lúc nào đó nằm trong A.

2.2.4. Định lý. Điểm s của một không gian tôpô X là điểm giới hạn của
lưới S khi và chỉ khi tồn tại lưới con nào đó của S hội tụ đến s.
Chứng minh.
Điều kiện cần. Giả sử s là điểm giới hạn của lưới S và U là họ các lân
cận của s . Khi đó, giao của hai phần tử tùy ý thuộc họ U lại là phần tử của U
và s thường xuyên gặp mỗi một phần tử của U . Do đó, ta suy ra tồn tại một
12


lưới con T của S từ một lúc nào đó nằm trong mỗi phần tử của U . Do đó, T
là lưới con của S hội tụ đến s .
Điều kiện đủ. Giả sử tồn tại lưới con T của S hội tụ đến s. Ta chứng
minh rằng s là điểm giới hạn của S. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng s không
là điểm giới hạn của lưới S . Khi đó, tồn tại lân cận U của s sao S không
thường xuyên gặp U, nghĩa là S từ một lúc nào đó nằm trong phần bù của U .
Do vậy, mỗi lưới con của S cũng từ một lúc nào đó nằm trong phần bù của
U , tức là không hội tụ đến s , kéo theo T không hội tụ đến s. Điều này mâu

thuẫn với T là dãy con của S hội tụ đến s.
2.2.5. Định lý
Giả sử  Sn , n  D là lưới trong một không gian tôpô. Đối với mỗi n  D ,
ký hiệu An là các tập điểm S m mà m  n . Khi đó, điểm s là điểm giới hạn của
lưới  Sn , n  D nếu và chỉ nếu s thuộc bao đóng của tập An với mỗi n  D .
Chứng minh.
"  " Giả sử s là điểm giới hạn của lưới  Sn , n  D . Khi đó, với bất kì n ,

tập An có giao khác rỗng với mọi lân cận tùy ý của s , vì lưới  Sn , n  D
thường xuyên gặp mỗi lân cận đó. Do đó, s thuộc bao đóng của mỗi tập An.
"  " Giả sử s thuộc bao đóng của tập An với mỗi n  D . Ta chứng


minh rằng s là điểm giới hạn của lưới  Sn , n  D . Thật vậy, giả sử ngược lại
rằng s không là điểm giới hạn của lưới  Sn , n  D . Khi đó, tồn tại lân cận
U của s sao cho lưới  Sn , n  D không thường xuyên gặp U, nghĩa là tồn tại
n  D sao cho với mọi m  n ta đều có S m  U . Suy ra U  An   . Do đó, điểm

s khơng thuộc bao đóng của tập An

13


2.2.6. Định lý
Giả sử X là không gian tôpô thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất. Khi đó,
(a) Điểm s là điểm giới hạn của tập A khi và chỉ khi tồn tại dãy trong
A \ s hội tụ đến s.

(b) Tập A mở khi và chỉ khi mỗi dãy hội tụ đến điểm nào đó thuộc A sẽ
nằm trong A kể từ một lúc nào đó.
(c) Nếu điểm s là điểm giới hạn của dãy S nào đó thì trong S có dãy con
hội tụ đến s .
Chứng minh.
(a) "  " Giả sử s là điểm giới hạn của tập con A trong không gian X và
giả sử U o , U1 ,..., U n ,... là cơ sở đếm được của hệ lân cận tại s. Đặt
Vn   U i : i  0,1..., n . Khi đó, dãy V0 ,V1 ,...,Vn cũng lập thành hệ cơ sở lân cận

tại s và thỏa mãn Vn1  Vn với mọi n. Với mỗi n, chọn điểm Sn nào đó thuộc
Vn   A \  x  . Do đó,  S n , n  1, 2,... là dãy hội tụ đến s .

"  " Nếu có dãy trong A \ s hội tụ đến s thì trong mỗi lân cận của s có

chứa các điểm của dãy này và tập A \ s giao với lân cận tùy ý của s . Do đó,

điểm s là điểm giới hạn của tập A .
(b) Điều kiện cần: Giả sử A mở và {xn} là dãy bất kỳ trong A mà xn  s A.
Ta phải chứng minh {x n} nằm trong A từ một lúc nào đó. Thật vậy, vì A mở,
sA nên A là lân cận của s. Hơn nữa, vì xn  s nên tồn tại n0N* sao cho với
mọi n  n0 ta đều có xn A, nghĩa là {xn} nằm trong A từ một lúc nào đó.
Điều kiện đủ: Giả sử nếu xn  s  A thì S nằm trong A từ một lúc nào đó.
Ta phải chứng tỏ A mở, tương đương chứng minh X \ A đóng. Thật vậy, giả sử
ngược lại rằng X \ A không là tập hợp đóng. Khi đó, tồn tại s  X \ A sao cho
mọi lân cận của s đều giao với X \ A khác rỗng. Bây giờ, giả sử {V n} là dãy
lân cận giảm được xây dựng như trong chứng minh (a). Khi đó,
14


Vn  ( X \ A)   với mọi n  N * .

Do vậy, với mỗi n  N * ta lấy xn  Vn  ( X \ A) , ta được dãy  xn   X \ A hội tụ
đến s. Hơn nữa, theo giả thiết điều kiện đủ ta suy ra {x n} nằm trong A kể từ
một lúc nào đó. Điều này mâu thuẫn với  xn   X \ A .
(c) Giả sử rằng điểm s là điểm giới hạn của dãy S và V1 ,V2 ,... là cơ sở lân
cận tại s sao cho Vn1  Vn với mọi n. Vì s là điểm giới hạn của S nên với mọi
n, Vn chứa vô hạn phần tử của S. Do đó, với mỗi i  N * , ta chọn Ni sao cho





N i  i và S Ni  Vi . Khi đó, S Ni , i  1, 2,... là dãy con của S hội tụ đến s .

2.2.7. Định lý
Cho X và Y là những không gian tôpô, f là ánh xạ liên tục của X và Y

khi đó các điều khẳng định sau đây là tương đương:
(a) Ánh xạ f liên tục;
(b) Nghịch ảnh của mỗi tập hợp đóng là tập hợp đóng;
(c) Nghịch ảnh của mỗi phần tử thuộc tiền cơ sở nào đó của tôpô trên
không gian Y là tập hợp mở;
(d) Với mỗi điểm bất kỳ x  X , nghịch ảnh của một lân cận tùy ý của
điểm f (x) là lân cận của điểm x;
(e) Với mỗi lưới bất kỳ S (hoặc {S n, n  D }) trong X hội tụ tới điểm s
nào đó, thì hợp thành f 0 S (hoặc { f (Sn), n  D }) hội tụ tới điểm f (s).
(f) Ảnh của bao đóng của một tập con tùy ý A của X là một tập con của
bao đóng của ảnh của tập A, tức là f [ A ]  f [ A] ;
(g) Với mỗi tập con B của Y: f 1[B]  f 1[ B] .
Chứng minh.
(a)  ( f )

Giả sử A  X và f là ánh xạ liên tục. Khi đó, nếu f(A)   , thì ta lấy
15


y  f ( A) , kéo theo tồn tại x  A thoả mãn f(x) = y.

Giả sử U là lân cận tuỳ ý của y = f(x).
Vì f là liên tục, nên tồn tại lân cận V của x sao cho f(V)  U, do đó
V  f-1(U)
Vì x A  V  A     f-1(U)  A  
-1

  x’  f (U)  A  f(x')  U  f(A)
 U  f(A)   (lân cận tùy ý của điểm y ln có giao khác rỗng với


tập f(A))
 f ( A)  f ( A)
-1

( f )  ( g ) giả sử B  Y tùy ý, đặt A=f (B).

Ta có : f ( A)  f ( A)  B  A  f 1 ( f ( A))  f 1 ( B)  f-1(B)  f 1 ( B)

 g   (b)
Giả sử B là tập đóng tùy ý trong Y, đặt A = f-1(B)  X
Theo giả thiết ta có:
f-1(B)  f 1 ( B)  f 1 ( B) là tập đóng trong X
(b )  (c )

Giả sử B là tập mở tuỳ ý trong Y. Khi đó Y \ B là tập đóng trong Y
-1

-1

-1

 f (y \ B) là tập đóng, nhưng lấy f (Y \ B)= X \f (B) là đóng
-1

 f (B) là tập mở trong X.

Do đó vì mỗi phần tử thuộc tiền cơ sở của tôpô trong Y là tập mở trong
Y nên tạo ảnh của nó là mở trong X.

c    a 

Giả sử ánh xạ f thoả mãn điều kiện  c  , với x0 là điểm bất kì trong X,
và U là lân cận tuỳ ý của điểm f(x0) trong Y.
Giả sử V là một cơ sở của tôpô trên Y, và M là một tiền cơ sở của tơpơ
đó.
16


Theo định lý (1.7), tồn tại W V sao cho f(x0)  W  U
Từ định nghĩa tiền cơ sở ta thấy W là giao hữu hạn nào đó của các phần
tử trong M, nghĩa là W = V1  ...  Vk (Vi  M) .
Vì f-1(W) = f-1(V1) ...  f-1(Vk) theo (c) các tập f-1(V1) ,..., f-1(Vk) đều là
tập mở trong X, nên f-1(W) là tập mở trong X.
Đặt f-1(W) = V ta có x0  f-1(W) = V.
Ta có: f (V )  f ( f 1 (W))  W  f ( X )  W  U .
Do đó f liên tục tại điểm x0. Do x0 là điểm bất kỳ trong X nên ánh xạ f
liên tục trên X.
(a)  (d )

Điều kiện cần.
Ánh xạ f liên tục tại điểm x0 thuộc X thì với mọi lân cận U của f(x0)
trong Y. Ta chứng minh tạo ảnh f-1(U) là lân của x0 trong X
Thật vậy, nếu ánh xạ f liên tục tại x0 thì tồn tại lân cận V của x0 để
f(V)  U  V  f 1 ( f (V ))  f 1 (U )  f 1 (U ) là lân cận của x0 trong X.
Điều kiện đủ.
Giả sử với mọi lân cận U của f(x0) ln có f-1(U) là lân cận của x0 trong
X. Khi đó chọn V=f-1(U). Ta có :
f(V)=f(f-1(U)  U  f liên tục tại x0
( a )  (e )

Điều kiện cần.

Giả sử ánh xạ f : X  Y liên tục tại a, suy ra với mọi lân cận V của f(a),
tồn tại lân cận U của a sao cho f(U)  V.
Mặt khác Sn  a nên n0 D : n  n0 thì Sn  U.
Do đó f(Sn)  f(U)  V.

17


Vậy với mọi lân cận V của f(a) đều tồn tại n0 D sao cho: n  n0 thì
f(Sn) V.
Do đó lưới f(Sn)  f(a).
Điều kiện đủ.
Giả sử Sn, n D,   X, S n  a thì f(Sn)  f(a).Ta chứng tỏ f liên
tục tại a.
Giả sử f không liên tục tại a tức tồn tại lân cận V của f(a) sao cho với
mọi lân cận U của a ta có f(U) V, suy ra SU  U sao cho f(SU)  V.
Gọi U là cơ sở lân cận của a. Khi đó (U, ) là một tập định hướng.
Với mỗi U  U thì SU U : f(SU) V.
Lúc đó lấy lưới (SU, U, ) thì SU  a nhưng f(S U)  V, V  U, nghĩa
là lưới f(SU) không hội tụ đến f(a), mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy f liên tục tại a.
2.2.8. Định lý.
Không gian tôpô là compăc khi và chỉ khi mỗi họ các tập đóng có tính
giao hữu hạn đều có giao không trống.
Chứng minh.
Nếu U là họ các tập con của khơng gian tơpơ X , thì theo cơng thức Đơ
Moocgăng X \  { A : A U}   { X \ A : A  U} . Do đó, U phủ X khi và chỉ khi
giao của các phần bù của các phần tử thuộc U là trống. Không gian X compăc
khi và chỉ khi mỗi họ các tập mở mà họ con bất kỳ của nó khơng phủ X, thì
chính nó khơng phủ X. Do đó mỗi họ các tập đóng có tính giao hữu hạn thì có

giao khơng trống.

18


2.2.9.Định lý.
Không gian tôpô X compăc khi và chỉ khi mỗi lưới trong X có điểm
giới hạn
Do đó, X compăc khi và chỉ khi mỗi lưới trong X có lưới con hội tụ tới
một điểm nào đó của X
Chứng minh.
Trước khi chứng minh ta nhắc lại định nghĩa và mệnh đề sau:
Định nghĩa. “Họ U các tập hợp được gọi là có tính giao hữu hạn khi và chỉ
khi giao của một tập hữu hạn bất kỳ các phần tử của họ này khác rỗng”.
Định lý 2.2.8. “Một không gian tôpô X là compact khi và chỉ khi mỗi họ
các tập con đóng của X có tính giao hữu hạn đều có giao khác rỗng”.
Ta chứng minh định lý như sau:
Điều kiện cần. Giả sử X là không gian compact , D là một tập định hướng,
Sn, n D,  là lưới nào đó trong X.
Với mỗi n D, ký hiệu En = Sm : m > n.
Do D định hướng nên họ các tập En có tính giao hữu hạn, và vì En  E n nên
họ các E n cùng có tính giao hữu hạn. Vì thế tồn tại điểm s chung cho các E n,
do đó s là điểm giới hạn của lưới Sn, n D, .
Điều kiện đủ. Giả sử mỗi lưới trong X đều có điểm giới hạn. Cần chỉ ra X
compact.
Giả sử U là họ các tập con đóng của X có tính giao hữu hạn, ta xác định
n

B =   Ai , Ai  U, n N *
i 1


Hiển nhiên (B, ) là một tập định hướng.

19


Với mỗi B  B, do B   nên chọn SB  B suy ra SB, B,  là một lưới
trong X, theo giả thiết SB, B,  có điểm giới hạn s nào đó. Do đó tồn tại
 S B'  là lưới con của SB sao cho S B'  s.
Với C B mà C  B ta có Sc C  B, suy ra lưới SB nằm trong mỗi phần
tử B B từ một lúc nào đó. Mặt khác, B đóng và S B'  s nên s B. Như vậy
s B, B B hay

B   .
BB

Vậy X là tập compact.
Bổ đề 1.
Mỗi dãy trong khơng gian tơpơ có điểm giới hạn khi và chỉ khi mỗi tập
con vơ hạn của khơng gian có điểm  -giới hạn.
Chứng minh.
Giả sử X là không gian mà mọi dãy đều có điểm giới hạn.
A  X là tập con vô hạn bất kỳ của X
  dãy {x1, x2, ..., xn, ...}  A sao cho xi  xj nếu i  j.

Theo giả thiết dãy {x1, x2, ..., xn, ...} có điểm giới hạn, ta gọi điểm đó là
x ta chứng minh x cũng là điểm  -giới hạn của A.


Giả sử V là lân cận bất kì của x, vì x là điểm giới hạn của dãy  xn 


n 1

nên kể từ một no nào đó V sẽ chứa vơ số điểm của dãy do cách chọn dãy các
điểm xn là khác nhau nên V chứa vô hạn điểm khác nhau của dãy  xn  n 1  A
 V chứa vô hạn điểm của A.

Giả sử mỗi tập con vô hạn của X đều có điểm  -giới hạn.


 xn 

n 1

là dãy bất kỳ trong X .

TH1 .


Nếu  xn 

n 1

chỉ nhận hữu hạn giá trị {a1, a2, ..., ak} lúc đó có ít nhất một
20


giá trị ak xuất hiện vô số lần trong dãy lúc đó dễ dàng chứng minh ak chính là
0


0

điểm giới hạn của dãy  xn  n 1
TH2 .


Nếu  xn 



n 1

nhận vô hạn giá trị   xn 

n 1

là tập vô hạn trong X

  x là điểm  -giới hạn


  lân cận V của x thì V chứa vơ số điểm của dãy  xn 

n 1

 Từ bất kỳ n0 nào V cũng chứa vô số điểm của dãy
 Mọi dãy trong X đều có điểm giới hạn.

Bổ đề 2.
Nếu X là khơng gian linđơlơp và mỗi dãy trong X có điểm giới hạn, thì

X compăc

Chứng minh.
Theo điều kiện của bổ đề, có thể xem rằng phủ mở được xét gồm các
tập A0 , A1 ,..., An ,..., n   .Tiến hành theo qui nạp, đặt B0  A0 , và với mỗi p   ,
đặt Bp là tập hợp đầu tiên trong các tập An mà không bị phủ bới các
Bo , B1 ,..., B p 1 . Nếu tại thời điểm nào đó, sự chọn đó khơng thực hiện được, thì

các Bi đã chọn lập thành phủ hữu hạn phải tìm. Ngược lại, trong mỗi
B p , p   có thể chọn ra một bp , sao cho bp  Bi với i  p . Giả sử x là điểm giới

hạn của dãy này. Khi đó x  Bp với p nào đó, và do x là điểm giới hạn, nên
bq  B p với q nào đó, q  p . Điều đó dẫn tới mâu thuẫn.

2.2.10.Định lý .
Giả sử X là khơng gian tơpơ, khi đó các điều kiện dưới đây liên hệ với
nhau như sau. Đối với tất cả các không gian (a) tương đương với (b), và (d)
kéo theo (a). Nếu X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ nhất, thì (a), (b) và (c)
tương đương. Nếu X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai thì tất cả bốn điều
21


kiện tương đương. Nếu X là không gian giả mêtric, thì từ mỗi một trong bốn
điều kiện đều suy ra X thỏa mãn tiên đề đếm được thứ hai, và bốn điều kiện
tương đương.
(a) Mỗi tập con vô hạn của X có điểm  -giới hạn.
(b) Mỗi dãy trong X có điểm giới hạn.
(c) Đối với mỗi dãy trong X tồn tại dãy con hội tụ tới một điểm nào đó của
X


(d) Khơng gian là compăc
Chứng minh.
Từ bổ đề 1 suy ra rằng, (a) tương đương với (b) và do dãy là lưới, nên
định lí 2.2.8 chỉ ra rằng (d) kéo theo (a).
Nếu X thỏa mãn tiên đề điếm được thứ nhất, thì do định lí 2.2.6, (b) và
(c) tương đương.
Nếu X thỏa mãn tiên đề điếm được thứ hai, thì mỗi phủ mở có phủ con
đếm là được. Áp dụng bổ đề 2, ta có bốn điều kiện tương đương
Nếu X là khơng gian giả metric, khi đó X thỏa mã tiên đề đếm được
thứ nhất, và do đó ba điều kiện đâu tương đương, đồng thời mỗi một trong
chúng được suy ra từ tính compăc .
Định lý sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra rằng không gian giả metric,
trong đó mỗi tập con vơ hạn có điểm giới hạn, là tách được và do đó thỏa mãn
tiên đề đếm được thứ hai. Giả sử X là không gian giả metric như thế. Với
r  0 tùy ý, ta xét họ tất cả các tập A mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của
A không nhỏ hơn r . Tập hợp Ar nhất thiết hữu hạn, bởi vì

r
-hình cầu tâm tại
2

điểm tùy ý của X, chưa khơng quá một phần tử của Ar , và do đó Ar khơng có
điểm giới hạn. Hơn nữa, r -hình cầu tâm tại điểm tùy ý x  X nhất thiết cắt Ar ,
vì Ar tối đại; trong trường hợp ngược lại, có thể thêm x vào Ar . Cuối cùng,
22


hợp A của các tập Ar , với r là nghịch đảo của số nguyên dương, là đếm được
và trù mật trong X .


2.3. Lọc và siêu lọc
2.3.1. Định nghĩa :
Cho F là họ khác rỗng gồm các tập con nào đó của X thỏa mãn các
điều kiện sau.
1) Giao hai phần tử tùy ý của F thuộc F.
2) Nếu A F, A  B  X thì B  F
Khi đó,
(a)

F được gọi là một lọc trên X.

(b)

F được gọi là hội tụ đến điểm x của không gian topo X nếu mỗi lân
cận của x là một phần tử của F.

(c)

Lọc F trong X được gọi là siêu lọc nếu nó khơng được chứa như
một tập con thực sự trong bất kỳ lọc nào của X .

(d)

Lọc g được gọi là mạnh hơn lọc F (hay F yếu hơn g) nếu F  g.
2.3.2. Nhận xét. Trong không gian topo X, họ F gồm tất cả các lân cận

tại x là một lọc trên X hội tụ đến x. Hơn nữa, nó là lọc yếu nhất hội tụ đến x.
2.3.3. Định lí. Đối với khơng gian topo X, các khẳng định sau là đúng.
(a) Tập U mở khi và chỉ khi U thuộc mỗi lọc hội tụ đến điểm nào đó của U .
(b) Điểm x là điểm giới hạn của tập A khi và chỉ khi tập A \ x thuộc lọc

nào đó hội tụ đến x .
Chứng minh.
(a) Giả sử U là tập hợp mở và F là lọc hội tụ đến x  U . Khi đó, vì U là lân
cận của x nên theo định nghĩa lọc hội tụ ta suy ra U  F.

23


Ngược lại, giả sử rằng U thuộc mỗi lọc hội tụ đến mọi điểm của U. Khi
đó, với mọi x U , theo nhận xét 2.3.2 ta suy ra họ F gồm các lân cận của x là
một lọc hội tụ đến x. Suy ra U  F. Do đó, U là lân cận của mọi x  U . Bởi
vậy, U là tập hợp mở.
(b) Điều kiện cần. Giả sử x là điểm giới hạn của A. Khi đó, gọi g là họ
gồm tất cả các lân cận của x. Đặt
F = g {U  ( A \ {x}) : U  g}.
Dễ dàng kiểm tra được rằng F là lọc trên X hội tụ đến x.
Điều kiện đủ. Giả sử A \  x thuộc lọc f hội tụ đến x. Khi đó, mọi lân cận
của x đều thuộc f. Hơn nữa, vì A \  x cũng là một phần tử của F nên với mọi
lân cận U của x ta đều có U  ( A \  x  F. Điều này chứng tỏ rằng x là điểm
giới hạn của A.
2.3.4. Định lí. Đối với không gian topo X, các khẳng định sau là đúng.
(a) Ký hiệu qua  x họ các lọc hội tụ đến x . Khi đó,  { F : F   x } là hệ lân
cận của x.
(b) Nếu lọc F hội tụ đến x và G là lọc chứa F thì G hội tụ đến x .
Chứng minh.
(a) Nhờ Nhận xét 2.3.2 ta suy ra họ F gồm tất cả các lân cận của x là một lọc
hội tụ đến x. Do vậy, F   x , suy ra
 { F : F x } = F

là họ gồm các lân cận của x.

(b) Bởi vì G là lọc chứa F và F là lọc hội tụ đến x nên ta suy ra mỗi lân cận
của x đều nằm trong F, kéo theo nó thuộc G. Do vậy, G là lọc hội tụ đến x.

24


2.3.5. Định lí. Đối với khơng gian topo X, các khẳng định sau là đúng.
1. Nếu  xn , n  D là lưới trong X thì họ F các tập A mà  xn , n  D rơi vào
mỗi một trong chúng kể từ một lúc nào đó, là lọc trong X .
2. Giả sử F là lọc trong X và D  {( x, F ) : x  F  F }. Ta định hướng tập
D như sau :

 y, G   ( x, F ) khi và chỉ khi

GF

và ta đặt f ( x, F )  x . Khi đó, F lập nên từ tất cả các tập A mà lưới

 f ( x, F ), ( x, F )  D rơi vào A kể từ một lúc nào đó.
Chứng minh.
(a) (  ) Giả sử U mở, x U . Ta có U là một lân cận của x nên U
thuộc vào mọi lọc hội tụ tới x .
(  ) Xét tập U mà U thuộc mỗi lọc hội tụ đến điểm nào đó của U .
Giả sử x U . Do giả thiết nên U là lân cận của x . Vậy U mở .
(b) (  )
Giả sử x là điểm giới hạn của A , tức là ( A \  x)  U  , U  họ các
lân cận của x.
Do đó, họ  A \  x  U  (với U  họ các lân cận của x ) là cơ cở của một
lọc F mịn hơn lọc cơ sở. Vì vậy, lọc F hội tụ tới x và A \  x  F.
(  ) Giả sử A \  x thuộc họ lọc F hội tụ đến x .

Ta có U  F với mọi U thuộc họ lân cận của x nên A \  x  U  F.
Do đó A \  x  U   với mọi U lân cận của x . Vậy x là điểm giới hạn
của A .
(c)Ta ký hiệu  x là tập các lọc hội tụ đến x, F0 là hệ lân cận của x .
Ta có : F0  x nên  { F : F   x }  F0
Mà F0  F với mọi F   x nên F0   { F : F  x }.
25