TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG
KHOA TỐN

KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP
Tên đề tài:
ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC VÀO
GIẢI TOÁN SƠ CẤP

Giảng viên hướng dẫn : ThS. Phan Thị Quản
Sinh viên

: Lê Minh Quân

Lớp

: 14ST

Đà Nẵng, tháng 05 năm 2018


Ứng dụng của số phức vào giải toán sơ cấp

MỤC LỤC
LỜI CẢM ƠN ............................................................................................................................... 2
MỞ ĐẦU ...................................................................................................................................... 3
I.

Lý do chọn đề tài. .............................................................................................................. 3

II. Mục tiêu của đề tài. ............................................................................................................ 3
III. Phương pháp nghiên cứu. .................................................................................................. 3

IV. Bố cục của đề tài. ............................................................................................................... 3
Chương I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT ................................................................................................. 4
I.

Các lý thuyết về số phức. ................................................................................................... 4

II. Các lý thuyết về đại số và giải tích. ................................................................................... 6
Chương II. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ, LƯỢNG GIÁC, GIẢI TÍCH ............... 8
I.

Các bài tốn về hệ phương trình. ....................................................................................... 8

II. Các bài toán về bất đẳng thức. ......................................................................................... 11
III. Các bài toán về lượng giác. ............................................................................................. 13
IV. Các bài toán về nhị thức Newton. .................................................................................... 16
Chương III. ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG HÌNH HỌC...................................................... 30
I.

Các bài tốn về góc và độ dài. ......................................................................................... 30

II. Các bài toán về đường thẳng. .......................................................................................... 36
III. Các bài tốn về đường trịn. ............................................................................................. 38
IV. Các bài toán về tam giác. ................................................................................................. 46
KẾT LUẬN ................................................................................................................................ 51
DANH MỤC TÀI LIỆU ............................................................................................................. 52

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

Trang 1



Ứng dụng của số phức vào giải toán sơ cấp

LỜI CẢM ƠN
Em xin cảm ơn các thầy giáo, cô giáo ở khoa Toán – Trường ĐH Sư phạm Đà Nẵng đã cùng với tri thức
và tâm huyết của mình để truyền đạt vốn kiến thức quý báu cho em trong suốt thời gian học tập tại trường.
Con xin cám ơn gia đình đã ở bên cạnh và giúp đỡ con hết lịng, dù cho bất kì điều gì xảy ra.
Em xin gởi lời cảm ơn chân thành và sự tri ân sâu sắc đối tới cô Phan Thị Quản đã nhiệt tình hướng dẫn
em hồn thành tốt khóa luận này.
Cuối cùng, xin cám ơn các bạn Phạm Anh Khoa và Trương Minh Hồng đã giúp đỡ mình trong thời gian
học tập cùng nhau và trong thời gian nghiên cứu khóa luận.

Dù em đã cố gắng đầu tư nhiều thời gian, nhưng với trình độ cịn hạn chế, luận văn chắc chắn khơng thể
tránh khỏi sai sót, rất mong được các thầy, cô nhắc nhở để em rút kinh nghiệm về sau.

Em xin chân thành cảm ơn!

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

Trang 2


Ứng dụng của số phức vào giải toán sơ cấp

MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài.

I.


ố phức lần đầu tiên được nhà toán học Ý R. Bombelli (1526-1573) đưa ra định nghĩa (vào thời

S

điểm đó được gọi là số "khơng thể có" hoặc "số ảo") trong cơng trình Đại số (xuất bản ở Bologne
năm 1572) của ơng. Nhà tốn học Thụy Sĩ L. Euler (1707-1783) sau đó đưa ra ký hiệu i để chỉ
căn bậc hai của 1. Đến năm 1746 nhà toán học Pháp D’Alembert xác định dạng tổng quát a  bi

của số phức.
So với những nhánh khác trong Tốn học, số phức xuất hiện có phần muộn hơn. Tuy vậy, khơng chỉ riêng
đối với các cơng trình nghiên cứu về các phương trình đại số, mà sự phát triển của khoa học hiện đại nói
chung cho thấy những ứng dụng không thể thiếu được của số phức. Trong việc giải các bài tốn sơ cấp nói
riêng, bằng số phức, ta có thể sáng tạo ra những phương pháp mới lạ và đầy hấp dẫn. Tuy vậy, ở chương trình
THPT hiện nay, số phức chiếm thời lượng khá ít, chỉ những kiến thức cơ bản được đưa vào giảng dạy và học
tập, dẫn đến việc vận dụng số phức để giải tốn cịn rất hạn chế.
Với các lý do nêu trên đây, tơi đã chọn đề tài khóa luận tốt nghiệp là: “Ứng dụng của số phức vào giải
toán sơ cấp”.
Mục tiêu của đề tài.

II.

Đề tài tập trung vào việc nêu ra các khái niệm quan trọng, phân loại các dạng tốn có thể giải bằng số phức
và các phương pháp giải các dạng toán này.
III.

Phương pháp nghiên cứu.
Nghiên cứu sử dụng duy nhất phương pháp lý luận.

IV.


Bố cục của đề tài.
Chương 1. Cơ sở lý thuyết
Chương 2. Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích
Chương 3. Ứng dụng số phức trong Hình học

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

Trang 3


Chương I. Cơ sở lý thuyết

Chương I.
CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Các lý thuyết về số phức.

I.

1. Dạng đại số của số phức.
1.1. Đơn vị ảo.
- Ta đưa ra khái niệm số i , gọi là đơn vị ảo, là nghiệm của phương trình x 2  1  0, tức là:
i 2  1

1.2. Dạng đại số và biểu diễn hình học của số phức.
- Mỗi biểu thức có dạng a  bi, trong đó a, b 

và i là đơn vị ảo, được gọi là một số phức. Dạng biểu


diễn z  a  bi được gọi là dạng đại số của số phức. Trong đó, a và b lần lượt được gọi là phần thực
và phần ảo của số phức z , kí hiệu lần lượt là Re z và Im z.
- Tập hợp các số phức kí hiệu là

.

- Các số phức có phần ảo bằng 0 hiển nhiên chính là các số thực. Các số phức có phần thực bằng 0 là
các số ảo.
- Ta thấy rằng: z là số thực  z  z  0 và z là số ảo  z  z  0.
- Ta có thể thấy mỗi số phức z  a  bi được xác định bởi một cặp số thực  a; b  . Như vậy, trên mặt
phẳng với hệ tọa độ Oxy vng góc, ta có thể gọi điểm M  a; b  là điểm biểu diễn số phức z  a  bi.
Độ dài vectơ OM khi đó được gọi là module của số phức z và được kí hiệu là z . Ta có thể thấy:

z  OM  a 2  b2
- Các điểm trên trục hoành Ox và trục tung Oy lần lượt biểu diễn các số thực và số ảo. Vì lí do đó ta
gọi Ox và Oy tương ứng là trục thực và trục ảo.
1.3. Số phức liên hợp.
- Ta gọi số phức z  a  bi là số phức liên hợp của số phức z  a  bi.
- Ta lưu ý rằng Re z 

zz
zz
, Im z 
.
2
2

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân


Trang 4


Chương I. Cơ sở lý thuyết

1.4. Số phức bằng nhau.
- Hai số phức là bằng nhau khi và chỉ khi phần thực và phần ảo tương ứng của chúng là bằng nhau. Tức
a  a2
là: a1  b1i  a2  b2i   1
b1  b2

2. Các phép toán với hai số phức.
- Trong toàn bộ phần này, ta đều cho trước hai số phức z1  a1  b1i và z2  a2  b2i.
- Các phép toán cộng, trừ, nhân, chia với hai số phức được định nghĩa như sau:
2.1. Phép cộng: z1  z2  (a1  a2 )  (b1  b2 )i
2.2. Phép trừ: z1  z2  (a1  a2 )  (b1  b2 )i
2.3. Phép nhân: z1.z2  (a1a2  b1b2 )  (a1b2  a2b1)i
2.4. Phép chia: Khi z2  0, ta có:

z1 a1a2  b1b2 a1b2  a2b1

 2
i
z2
a22  b22
a2  b22

3. Dạng lượng giác của số phức. Công thức Moivre.
3.1. Argument của số phức.
- Cho số phức z  0. Gọi M là điểm biểu diễn hình học của z. Số đo (đơn vị radian) của mỗi góc lượng

giác với tia đầu Ox và tia cuối OM được gọi là một argument của z , kí hiệu là arg z. Các argument
của mỗi số phức sai khác nhau lượng k 2.
- Kí hiệu argument nằm trong khoảng  ;  của z là arg0 z, được gọi là argument chính của z.
3.2. Dạng lượng giác của số phức.
- Với số phức z khác 0 cho trước, ta đều có thể biểu diễn z  z  cos   i sin   , trong đó  là một
argument của z. Dạng biểu diễn này được gọi là dạng lượng giác của số phức.
3.3. Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác.
- Cho hai số phức khác 0 biểu diễn dưới dạng lượng giác z1  z1  cos 1  i sin 1  và

 z1z2  z1 z2 cos 1  2   i sin 1  2  

z2  z2  cos2  i sin 2  . Khi đó ta có:  z
z1
1
cos 1  2   i sin 1  2  
 
z
z
2
2

3.4. Công thức Moivre.
- Cho số phức z  z  cos   i sin    z  0 . Công thức sau được gọi là công thức Moivre:

zn  z

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

n


 cos n  i sin n 

Trang 5


Chương I. Cơ sở lý thuyết
3.5. Căn bậc n của số phức.
- Cho số phức z  z  cos   i sin    z  0 . Căn bậc n của z được định nghĩa là số phức w sao cho

  k 2
  k 2

 i sin 
wn  z, là các số phức có dạng: wk  n z  cos
n
n



 k 


- Ta có thể thấy mọi số phức khác 0 đều có n căn bậc n phân biệt. Ví dụ, 1 có n căn bậc n gồm

1,   cos

 n  1 2
 n  1 2
2

2
k 2
k 2
 i sin ,...,  k  cos
 i sin
,...,  n1  cos
 i sin
.
n
n
n
n
n
n

Các lý thuyết về đại số và giải tích.

II.

1. Phép chia lấy dư.
- Với hai số nguyên m, n, ta kí hiệu m mod n là số dư trong phép chia m cho n.
2. Nhị thức Newton.
- Với số tự nhiên n bất kì, n  1, công thức sau đây được gọi là nhị thức Newton:
n

 x  y n   Cnk x nk y k
k 0

3. Đạo hàm.
- Cho hàm số f  x  liên tục trên D  . Đạo hàm của f  x  tại a  D, kí hiệu f '  a  , là giới hạn sau

(nếu có):

f '  a   lim

xa

f  x  f a
xa

- Hàm số f  x  được gọi là có đạo hàm trên D nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm trên D. Khi đó, hàm số
được định nghĩa như sau:
g:D
x  f ' x 

được gọi là đạo hàm của hàm số f  x  trên D, và kí hiệu là f '  x  .
4. Nguyên hàm.
- Cho hàm số f  x  xác định trên D. Hàm số F  x  được gọi là nguyên hàm của hàm số f  x  trên D
nếu F '  x   f  x  với mọi x  D.
- Ta kí hiệu F  x    f  x  dx

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

Trang 6


Chương I. Cơ sở lý thuyết
5. Bất đẳng thức.
5.1. Bất đẳng thức Cauchy.
- Cho n số thực a1, a2 ,..., an khơng âm. Khi đó ta ln có:


a1  a2  ...  an n
 a1a2 ...an
n

- Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi a1  a2  ...  an .
5.2. Bất đẳng thức Bunhiacopxki.
- Cho các số thực a, b, x, y. Khi đó ta ln có:  a 2  b2   x 2  y 2    ax  by 

2

- Dấu "  " xảy ra khi và chỉ khi ay  bx.

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

Trang 7


Chương II. Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích

Chương II.
ỨNG DỤNG SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ,
LƯỢNG GIÁC, GIẢI TÍCH
Các bài tốn về hệ phương trình.

I.

 n 
  2 

k 2 k n 2 k 2 k
y  a 1
   1 Cn x
 k 0
Bài tốn 1. Giải hệ phương trình: 
  n1
  2   k 2 k 1 n2 k 1 2 k 1
y
 b  2
  1 Cn x
 k 0
Phương pháp.
Lấy  2  nhân với i và cộng vào 1 ta được:
n
 2 

  1

k 0



n
 2 

Cn2 k x n2k y 2k

 i2 

k 0




k

k

Cn2 k x n2 k y 2 k 

n
 2 

 Cn2k x n2k  yi 

k 0



  n1

  2 

k
    1 Cn2k 1x n2k 1 y 2k 1  i  a  bi
 k 0


n

 Cnk xnk  yi 


k 0

k

2k

 n1 
 2 

k
  i 2  Cn2k 1x n2k 1 y 2k 1i  a  bi

k 0

  n1

  2  2 k 1 n2 k 1

   Cn x
 yi 2k 1   a  bi
 k 0


 a  bi   x  yi   a  bi  x  yi là căn bậc n của a  bi
n

Ta áp dụng phương pháp tổng quát trên trong một vài trường hợp cụ thể, ví dụ như các hệ có dạng:

 x3  3xy 2  a

 x 4  6 x 2 y 2  y 4  a
 x 2  y 2  a




 n  4.
n

2
,
n

3
,

 2
 3
3
3
2
xy

b

3x y  y  b
4 x y  4 xy  b
Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:
2
 2

 I   x  y  3

 xy  2

 x3  3xy 2  1
 II  
2
3
3x y  y  0

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

 x 4  6 x 2 y 2  y 4  16
 III  
3
3
4 x y  4 xy  0

Trang 8


Chương II. Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích
 xy  3x  5 y  14  0
 IV  
2
2

 x  y  10 x  6 y  16  0


Giải.
 x  yi  2  i
 x  2, y  1
 I   x 2  y 2  2 xyi  3  4i   x  yi 2  3  4i  

 x  yi  2  i
 x  2, y  1

 II   x3  3xy 2   3x 2 y  y 3  i  1   x  yi 3  1
 x  yi  1

1
  x  yi   

2

 x  yi   1 

2

 x  1, y  0

3
1
3
i  x   , y  

2
2
2


3
x   1 , y  3
i

2
2
2

 III   x 4  6 x 2 y 2  y 4   4 x3 y  4 xy 3  i  16   x  yi 4  16
 x  yi  2  i 2
 x  2, y  2


 x  yi   2  i 2
 x   2, y  2


 x  yi   2  i 2
 x   2, y   2
 x  yi  2  i 2
 x  2, y   2



 IV   x 2  y 2  10 x  6 y  16  2i  xy  3x  5 y  14   0
 x 2  y 2  2 xyi  10 x  10 yi  6 y  6 xi  16  28i  0
  x  yi   10  6i   x  yi   16  28i  0
2


 z  6  4i
 z 2  10  6i  z  16  28i  0  
 z  4  2i
Trong hệ phương trình  IV  ta áp dụng cả hai trường hợp n  1 và n  2.

px  qy

 
mx  x 2  y 2  a 1

Bài tốn 2. Giải hệ phương trình: 
my  qx  py  b  2 

x2  y 2
Phương pháp.
Lấy  2  nhân với i cộng vào 1 và lưu ý y  xi  i  x  yi  , ta được:
mx 

px  qy

qx  py 
x  yi


my

i

a


bi

m
x

yi

p

qi
 a  bi






x2  y 2 
x2  y 2 
x2  y 2

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

Trang 9


Chương II. Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích

 m  x  yi    p  qi 


1
 a  bi
x  yi

 x2  y 2  0  x  yi  0

1
Đặt z  x  yi, ta có: mz   p  qi   a  bi  mz 2   a  bi  z  p  qi  0
z
 x  yi là nghiệm của phương trình bậc 2 nói trên.

Ví dụ. Giải các hệ phương trình:

6 x  13 y

x

 3 1

2
2
x

y
 I  
 y  13x  6 y  3  2 

x2  y 2



8


 15 x 1  15 x  3 y   5


 II  
8
1

 y 1 




3
 15 x  3 y 

Giải.

 I  Đặt z  x  yi, lấy  2  nhân với i cộng vào 1 ta được:
x

6 x  13 y 
13x  6 y 
x  yi
 y 2
i  3  3i   x  yi    6  13i  2
 3  3i

2
2
2 
2
x y
x

y
x

y



  x  yi    6  13i 

1
 3  3i  z 2   3  3i  z  6  13i  0
x  yi

 z  1  2i
 x  1, y  2


 z  4  5i
 x  4, y  5

 II  Đặt

u

5  
 8
u  3 . u 2  v 2  3 1
5x  u, y  v  u, v  0  , ta được: 
1
 v  8 . v
   2
2
2

3 u v
3

Đặt z  u  vi, lấy  2  nhân với i cộng vào 1 ta được:

8 u  vi
5 1
8 1
5 1
u  vi  . 2 2 
 i  u  vi  .

 i
3 u v
3 u  vi
3 3
3 3
8 1
5 1
 z . 

 i
3 z
3 3
8
2 3 2
 5 1 
 z2  
 iz   0  z 
 i
3
3
3
 3 3 


4

2 3
2 3
x

u 
 5 x 
15
3 
3  



v  2

 y2
y  4



9
3
3

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

Trang 10


Chương II. Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích
Các bài tốn về bất đẳng thức.

II.

- Trong tập số phức khơng có quan hệ so sánh, ta chỉ so sánh được module giữa chúng.
Bài toán 3. Chứng minh rằng:

n

 zk



k 1


n

 zk , n 

*.

k 1

Giải.
z  x  y i
Bất đẳng thức hiển nhiên đúng với n  1. Với n  2, ta đặt  1 1 1 .
 z2  x2  y2i

Khi đó:  z1  z2  
2



x12  y12  x22  y22



2

 x12  x22  y12  y22  2

 x12  y12  x22  y22 

 x12  x22  y12  y22  2


 x1x2  y1 y2 2

(Bất đẳng thức Bunhiacopxki)

 x12  x22  y12  y22  2 x1x2  y1 y2
 x12  x22  y12  y22  2  x1x2  y1 y2 

  x1  x2    y1  y2   z1  z2
2

2

2

Như vậy bất đẳng thức cũng đúng với n  2.
Ta giả sử bất đẳng thức đúng với n  a. Với n  a  1, ta có:
a 1

 zk

k 1



a

 zk  za1

k 1




a

 zk

k 1

 za 1 (Bất đẳng thức đúng với 2 số phức)

a

a 1

k 1

k 1

  zk  za1   zk (Bất đẳng thức đúng với a số phức)
Ta suy ra bất đẳng thức luôn đúng với n  *. Dấu "  " xảy ra khi các số phức zk , k  1, n đều có
chung một module nào đó.
- Phương pháp chung để giải các bài toán bất đẳng thức bằng số phức là chọn các số phức z1, z2 ,... thích
hợp và áp dụng bất đẳng thức trong Bài toán 3 nói trên.
Ví dụ. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
1.

9 x2  12 x  5  9 x 2  12 x  13  4 2

2.


x2  4 xy  13 y 2  2 x 2  4 xy  4 y 2  5x 2  2 xy  29 y 2

3.

x2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  x 2  xz  z 2

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

Trang 11


Chương II. Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích

4.

x2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  x 2  3  x  y  z 

5.

4cos2 x cos2 y  sin 2  x  y   4sin 2 x sin 2 y  sin 2  x  y   2

6.

x2 

1
x


2

 y2 

1
y

2

 z2 

1
z2

 82 với x, y, z  0, x  y  z  1.

Giải.
1. Đặt z1  3x  2  i, z2  2  3x  3i  z1  z2  4  4i
Ta có: z1  z2  z1  z2  9 x 2  12 x  5  9 x 2  12 x  13  4 2
2. Đặt z1  x  2 y  3 yi, z2  x   x  2 y  i  z1  z2  2 x  2 y   x  5 y  i
Ta có: z1  z2  z1  z2  x 2  4 xy  13 y 2  2 x 2  4 xy  4 y 2  5x 2  2 xy  29 y 2
3. Đặt z1 

1
3
1
3
1
3
 x  z i

x y
xi, z2   y  z 
zi  z1  z2   x  z  
2
2
2
2
2
2

Ta có: z1  z2  z1  z2  x 2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  x 2  xz  z 2
4. Đặt z1  x 

1
3
1
3
1
3
y
yi, z2  y  z 
zi, z3  z  x 
xi
2
2
2
2
2
2


 z1  z2  z3 

3
3
 x  y  z    x  y  z i
2
2

Ta có: z1  z2  z3  z1  z2  z3
 x2  xy  y 2  y 2  yz  z 2  z 2  zx  x 2  3  x  y  z 

5. Đặt z1  2cos x cos y  sin  x  y  i, z1  2sin x sin y  sin  x  y  i

 z1  z2  2  cos x cos y  sin x sin y   2sin  x  y  i  2cos  x  y   2sin  x  y  i
Ta có: z1  z2  z1  z2
 4cos2 x cos2 y  sin 2  x  y   4sin 2 x sin 2 y  sin 2  x  y   4cos2  x  y   4sin 2  x  y 
  cos2  x  y   sin 2  x  y   2

1
1
1
1 1 1
6. Đặt z1  x  i, z2  y  i, z3  z  i  z1  z2  z3  x  y  z      i
x
y
z
x y z
Ta có: z1  z2  z3  z1  z2  z3

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản

Sinh viên: Lê Minh Quân

Trang 12


Chương II. Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích

 x 
2

1

 y 
2

x2

1
y2

 z 

1

2

z2




x  y  z

2

1 1 1
   
x y z

2

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương, ta có:

 x  y  z  

1 1 1
1
1 1 1
9
    33 xyz .33
9   
xyz
x y z x yz
x y z



III.

x  y  z


2

2

1 1 1
    
x y z

x  y  z

2

2

9



  1  81  82
 x yz

Các bài toán về lượng giác.
- Các bài toán lượng giác một cách tự nhiên gợi cho chúng ta đến việc dùng dạng lượng giác của số phức.
Bài toán 4. Tính tốn các đẳng thức chứa sin

2
2
 n  * .
và cos
n

n

Phương pháp.
Đặt z  cos

2
2
 i sin , ta suy ra các đẳng thức sau:
n
n

 z n/2  1  z n/2  1  0

1. 
n
n
 z  1
 z  1  0
Giải các phương trình trên tìm z , suy ra được giá trị của sin

2
2
và cos .
n
n

2
2
2
 k 1

 k
z  k  2cos k
z  cos k
 i sin k


n
n
n


z
2. 

 1  z  k  cos  k 2   i sin  k 2   cos k 2  i sin k 2  z k  1  2i sin k 2


n 
n 
n
n
n


 zk
zk

Ví dụ. Tính:
1. sin



5

2. cos




3. A  cos  cos  cos
7
7
7


5

4. B  cos






 cos  cos  cos  cos
11
11
11
11
11


Giải.
1. Ta thấy rằng sin



 0,cos  0.
5
5



Đặt z  cos  i sin  z 5  1  z 5  1  0   z  1  z 4  z 3  z 2  z  1  0
5
5

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

Trang 13


Chương II. Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích

 z 4  z 3  z 2  z  1  0 (rõ ràng z  1  0)



z 4  z3  z 2  z  1
z


2

 0 ( z  0)  z 2 

1

  z    1  0 1
z
z 
1

2

1


Đặt u  z    2cos  0 
z
5


1  u 2  u  1  0  u  1  5  cos   1  5  sin   10  2 5
2
5
4
5
4
2. Ta thấy rằng cos
Đặt z  cos



 0.
5



 i sin
 z 5  1  z 5  1  0   z  1  z 4  z 3  z 2  z  1  0
5
5

 z 4  z 3  z 2  z  1  0 (rõ ràng z  1  0)



z 4  z3  z 2  z  1
z2

 0 ( z  0)  z 2 

1


z


  1  0 1
z
z2 
1


1

1
1

Đặt u  z    2cos
 0   u2  z2  2  2  z2  2  u2  2
z
5

z
z

1  u 2  u  1  0  u  1  5  cos   1  5
2
5
4


3. Đặt z  cos  i sin  z 7  1  z 7  1  0   z  1  z 6  z 5  z 4  z 3  z 2  z  1  0
7
7
 z 6  z5  z 4  z3  z 2  z  1  0 (rõ ràng z  1  0)



z 6  z5  z 4  z3  z 2  z  1
z


Ta thấy: A 

3

 0 ( z  0)  z 3 

1  
1

  z2  2    z    1
z
z 
z  
1

3

1 
1   3 1   5 1 
 z     z  3    z  5 

2 
z 
z  
z 

1 
1   3 1   z 7 z 2   1 
1 
1  1

 1
  z     z  3    2  7     z     z 3  3    2  z 2   
2 
z 
z 
z  z
z   2 
z  z
 2
4. Đặt z  cos



 i sin  z11  1  z11  1  0
11
11

  z  1  z10  z 9  z8  z 7  z 6  z 5  z 4  z 3  z 2  z  1  0
 z10  z 9  z8  z 7  z 6  z 5  z 4  z 3  z 2  z  1  0

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

Trang 14


Chương II. Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích

1 1
1

1
1
 2  3  4  5 0
z z
z
z
z
1  
1  
1  
1  
1

  z5  5    z 4  4    z3  3    z 2  2    z    1  0
z
z  
z  
z  
z  


 z5  z 4  z3  z 2  z  1 

11
z 7   3 1   z 9 z11  
1
 5 1  z
  z  5    7  11    z  3    11  9    z    1  0
z
z  z

z  
z  z
z  


1  
1  
1  
1  
1

  z9  9    z 7  7    z5  5    z3  3    z    1  0
z
z  
z  
z  
z  

9




 2cos  2cos  2cos  2cos  2cos  1  0
11
11
11
11
11
1

B
2
Bài toán 5. Biểu diễn cos nx,sin nx theo cos x,sin x.
Phương pháp.
n
Ta nhận xét rằng:  cos x  i sin x   cos nx  i sin nx 

n

 Cnk cosnk x i sin x 

k

 cos nx  i sin nx

k 0

Đồng nhất phần thực và phần ảo ở 2 vế, ta thu được biểu diễn cần tìm.
Ví dụ. Biểu diễn cos3x theo cos x, sin 3x theo sin x.
Giải.
3
Ta có:  cos x  i sin x   cos3x  i sin 3x

 cos3 x  3cos 2 x.i sin x  3cos x  i sin x    i sin x   cos3x  i sin 3x
2

3

 cos3 x  3cos x sin 2 x   3cos 2 x sin x  sin 3 x  i  cos3 x  i sin 3x
cos3x  cos3 x  3cos x sin 2 x  cos3 x  3cos x 1  cos 2 x   4cos3 x  3cos x


sin 3x  3cos 2 x sin x  sin 3 x  3 1  sin 2 x  sin x  sin 3 x  3sin x  4sin 3 x
Bài toán 6. Biểu diễn cosn x,sin n x thành các đẳng thức chỉ chứa cos kx,sin kx, k  1, n.
Phương pháp.

1
1
Ta nhận xét rằng: cos x   z   với z  cos x  i sin x, suy ra:
2
z
n

cosn x 

1 
1
1 n k n 2 k
1
z


C
z




n
z
2n 

2n k 0
2n

Vì cosn x là số thực nên cosn x 

1
2

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

n

n

 Cnk cos  n  2k  x  i sin  n  2k  x 

k 0

n

 Cnk cos  n  2k  x

k 0

Trang 15


Chương II. Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích


n

1
1
1 
1
1 n   k k n 2 k
Tương tự, sin x   z    sin n x 
z




 1 Cn z
2i 
z
z
 2i n 
 2i n k 0


1 n  k k
1 Cn cos  n  2k  x  i sin  n  2k  x 
n 
 2i  k 0

1 n  k k
Tương tự, vì sin x là số thực nên sin x 
 1 Cn cos x  n  2k  x nếu n là số chẵn và
 2i n k 0

n

sin n x 

n

i

 2i 

n

n

  1

k 0

k

Cnk sin x  n  2k  x nếu n là số lẻ.

Ví dụ. Biểu diễn cos5 x,sin 5 x thành các đẳng thức chỉ chứa cos kx,sin kx,, k  1,5.
Giải.
Đặt z  cos x  i sin x. Ta có:
5

1 
1
1 5

1 5
cos x  5  z    5  C5k z 52k  5  C5k  cos  5  2k  x  i sin  5  2k  x 
z
2 
2 k 0
2 k 0
5



1

5

1

C k cos  5  2k  x   cos5 x  5cos3 x  10cos x  10cos   x   5cos  3 x   cos  5 x  
5  5
32

2 k 0
1
  cos5 x  5cos3 x  10cos x 
16

Ta cũng có:
5

1 5
1

1
k
sin x  5  z    5   1 C5k z 52k
z
2 k 0
2 
5




5

1
5

2

  1

k 0

k

C5k  cos  5  2k  x  i sin  5  2k  x 

5

i


  1

k

C5k sin  5  2k  x

 2i  k 0
1
  sin 5 x  5sin 3 x  10sin x  10sin   x   5sin  3 x   sin  5 x  
32
1
  sin 5 x  5sin 3 x  10sin x 
16

IV.

5

Các bài toán về nhị thức Newton.
- Phương pháp giải tổng quát của các bài toán này đều là khai triển  x  y  , biến đổi và sử dụng thêm
n

phép lấy đạo hàm và tích phân nếu cần thiết. Sau đó thay x, y bởi các số phức thích hợp, kết hợp với cơng
thức Moivre để tìm lũy thừa của dạng lượng giác.
Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

Trang 16



Chương II. Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích

1. Khai triển.
- Ta lưu ý về các lũy thừa của i :
1. i 0  1, i1  i, i 2  1, i3  i.
2. i n  i r , với r  n mod 4.
Bài toán 7. Với a, b  , n  *, tính các tổng sau:

1. A 

n
 2 

  1

k 0

2. B 

 n1 
 2 



k 0

k

Cn2k a n2k b 2k


 1k Cn2k 1a n2k 1b2 k 1

Phương pháp.
Trong khai triển  x  y  
n

 a  bi n 

n

 Cnk a nk  bi 

n

 Cnk x nk y k , thay

x  a, y  bi, ta được:

k 0

k



k 0

n
 2 

 Cn2k a n2k  bi 


2k



 n1
 2 

k 0



n
 2 

 i 

2 k

k 0



n
 2 

  1

k 0


k



k 0

Cn2k a n2k b2k 

Cn2k a n2k b 2k

Cn2k 1a n2k 1  bi 

2 k 1

 n1
 2 

2 k 2 k 1 n2 k 1 2 k 1

i
Cn a
b
i


k 0

  n1

  2 


k
    1 Cn2k 1a n2k 1b 2k 1  i
 k 0


 A  Bi
Mặt khác, ta chuyển z  a  bi về dạng lượng giác và áp dụng công thức Moivre, thu được:
n

n

 a  bi n   a 2  b2  cos   i sin    a 2  b2  cos n  i sin n 
 a b
2

2

n

 2 2n

cos n   a  b sin n  i

n

2
2
 A  a  b cos n
Suy ra: 

n
 B  a 2  b 2 sin n


Ví dụ:

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

Trang 17


Chương II. Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích

1
3
5
93
1. C93
 C93
 C93
 ...  C93
 12  12

93

 
sin  93   246
 4


Trong ví dụ này, ta thấy a  1, b  1, n  93.
0
2
4
6
2018
2. C2018
 3C2018
 32 C2018
 33 C2018
 ...  31009 C2018
2

4

0
2
4
 C2018
 3 C2018
 3 C2018
 ...  3

 1  3
2

2

2018


2018 2018
C2018



cos  2018   22017
3


Trong ví dụ này, ta thấy a  1, b  3, n  2018.
Bài tốn 8. Tính tổng

A  Cn0

 Cnk

 Cn2k

n
 k
 ...  Cn k  .

Phương pháp.
Như đã biết, 1 có k căn bậc k phân biệt tạo thành tập hợp 1,  ,  2 ,...,  k 1
Ta lưu ý rằng  t    k   1 với t  . Ta sẽ chứng minh 3 mệnh đề sau là đúng:
k

t

1 1     2  ...   k 1  0


 2  1   m   2   ...   k 1   k nếu m k
m

m

 3 1   m   2   ...   k 1   0 nếu m  k
m

m

Vì   1  0, ta có ngay: 1    1 1     2  ...   k 1   0
  k 1  0   k  1

Rõ ràng vì  là căn bậc k của 1 nên  k  1 , suy ra 1 là đúng.
Nếu m k , rõ ràng  m   2   ...   k 1   1, suy ra  2  là đúng.
m

m

Nếu m k , ta có: 1   m   2   ...   k 1   1m   m   m   ...   m 
m

2

m






1   m 
1 

k

m

1   k 
1  m

k 1

(vì m k   m  1  1   m  0)

m



1  1m
1  m

0

n
Đối với bài 4, ta xét khai triển 1  x   Cn0  xCn1  x 2Cn2  ...  x nCnn

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân


Trang 18


Chương II. Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích
Thay x lần lượt bởi các phần tử tập 1,  ,  2 ,...,  k 1. Ta thu được các đẳng thức:

1  1n  C 0  C1  C 2  ...  C n
n
n
n
n

n
1     C 0   C1   2C 2  ...   nC n
n
n
n
n

...

k 1 n
0
k 1 1
k 1 2 2
k 1 n n
1     Cn   Cn     Cn  ...     Cn
k 1
n
n

t
t

  1   t   kCn0   1   t    2   ...   k 1   Cnt
t 0

t 1

Sử dụng 1 ,  2  ,  3 , ta sẽ có



k 1

n

 
t n

1


 k  Cn0  Cnk  Cn2k  ...Cn k 


k

t 0
k 1


Suy ra A 

 1   t 


  kA


n

t 0

k

0
3
3k
99
Ví dụ. Tính A  C100
 C100
 ...  C100
 ...  C100
.

Giải.
Ta thấy ở đây k  3.
100
0
1
2

100
 xC100
 x2C100
 ...  x100C100
Thay x trong khai triển 1  x   C100
bởi các căn bậc 3 của đơn vị

1;  ;  2, thu được:
1  1100  C 0  C1  C 2  ...  C100
100
100
100
100


100
0
1
2 2
100 100
1     C100   C100   C100  ...   C100

100
2 2
100 100
0
1
1   2   C100
  2C100
   2  C100

 ...   2  C100
 2100  1   

100

2

100

 1   2 

100

     3A  2
2

Bài toán 9. Tính tổng

100

A  Cnt

 3 A  2100    2 

100

   

100


 3A

1
3 1
3
2100  1
 
i 
i  3A  A 
2 2
2 2
3

 Cnk t

 Cn2k t

 nt 

 k t
 ...  Cn k  ,

với t  k.

Phương pháp.
Ta lưu ý rằng Bài toán 8 là một trường hợp nhỏ của Bài toán 9, ứng với t  0.
n
Thực hiện tương tự như bài toán 8, ta khai triển 1  x   Cn0  xCn1  x 2Cn2  ...  x nCnn , nhân hai vế với

x k t ta thu được:


Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

Trang 19


Chương II. Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích

x

k t 

1 x  x
n

k t

Cn0

 ...  x

k

Cnt

 ...  x

 r 1k


Cnrk t

 ... 

  nt  
nt 
1k 

 k t
 k  


x
Cn k 

 ...  x nk t Cnn

Và sau đó thay x lần lượt bởi các phần tử tập 1,  ,  2 ,...,  k 1 , thực hiện tương tự như bài tốn 8.
1
4
3n1
100
Ví dụ. Tính tổng A  C100
 C100
 ...  C100
 ...  C100
.

Giải.
Ta lưu ý rằng ở đây k  3, t  1.

Ta thay x trong khai triển x2 1  x 

100

0
1
2
100
 x2C100
 x3C100
 x4C100
 ...  x102C100
bởi các căn bậc 3 của

đơn vị 1;  ;  2  , thu được:
12 1  1100  C 0  C1  C 2  ...  C100
100
100
100
100

 2
100
2 0
3 1
4 2
102 100
 1      C100   C100   C100  ...   C100

2

100
2 0
3 1
4 2
102 100
  2  1   2     2  C100
   2  C100
   2  C100
 ...    2  C100
 2100   2 1   

100

  1   2 

100

 2100     2  3 A  2100 

 3 A  2100   2   2 

100

    

100

 3A

1

3 1
3
2100  1

i 
i  3A  A 
2 2
2 2
3

2. Đạo hàm.
- Trong phạm vi của luận văn, ta chỉ nghiên cứu các bài toán áp dụng đạo hàm cấp 1. Thực ra các bài toán
áp dụng đạo hàm cấp cao hơn 1 cũng được thực hiện bằng các phương pháp tương tự như các phương pháp
được trình bày dưới đây.
Bài toán 10. Với a, b  , n  *, tính các tổng sau:

1. A 

n
 2 

  1

k

k 0

2. B  A 

 n1

 2 



k 0

 n  2k  Cn2k a n2k 1b 2k

 1k  n  2k  1 Cn2k 1a n2k 2b 2k 1

Phương pháp.
Khai triển:  x  y  
n

n

 Cnk x nk y k

k 0

Đạo hàm hai vế theo biến x, ta thu được: n  x  y 

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

n1



n


 (n  k )Cnk x nk 1 y k

k 0

Trang 20


Chương II. Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích
Thay x  a, y  bi, ta sẽ có đẳng thức:
n1
n  a  bi 


n

 (n  k )Cnk a nk 1 bi 

k

k 0



n
 2 

  n  2k  Cn2k a n2k 1  bi 

2k




 n1
 2 

k 0



n
 2 

 i2 

k

k 0



n
 2 

  1

k
2 k 1
  i 2   n  2k  1 Cn2k 1a n2k 2 bi 


k 0

 n  2k  Cn2k a n2k 1b 2k 

k

k 0

 n  2k  Cn2k a n2k 1b 2k

 n1
 2 

k
 i 2   n  2k  1 Cn2k 1a n2k 2b2k 1i

k 0

  n1

  2 

k
    1  n  2k  1 Cn2k 1a n2k 2b 2k 1  i
 k 0


 A  Bi
Mặt khác, ta chuyển z  a  bi về dạng lượng giác và áp dụng công thức Moivre, thu được:


n  a  bi 

n1

 n  a 2  b2  cos   i sin  
 n a b
2

2

 n a 2  b2

n1

n1

cos  n  1  i sin  n  1 

n1

n1


cos  n  1  n a 2  b 2 sin  n  1  i

n1

2
2
cos  n  1

A  n a  b
Suy ra: 
n1
 B  n a 2  b 2 sin  n  1


Ví dụ:
1
3
5
99
1. C100
 3C100
 5C100
 ...  99C100
 100 12  12

99

 
sin  99   100.249
 4

Trong ví dụ này, ta thấy a  1, b  1, n  100.
0 50
2 49
4 48
100
2. 101C101
3  99C101

3  97C101
3  ...  C101
100

0
 101C101
3

 101

2

2
 99C101
3

100

3 1

2

98

100
 ...  C101
3

0




cos 100   101.249
6


Trong ví dụ này, ta thấy a  3, b  1, n  101.
Bài toán 11. Với a, b  , n  , m  , tính các tổng sau:
Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

Trang 21


Chương II. Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích

1. A 

n
 2 

  1

k 0

2. B 

 n1
 2 




k 0

k

 n  m  2k  Cn2k a nm2k 1b 2k

 1k  n  m  2k  1 Cn2k 1a nm2k 2b 2k 1

Ta lưu ý rằng Bài tốn 10 chính là Bài toán 11 trong trường hợp m  0.
Phương pháp.
Khai triển:  x  y  
n

n

 Cnk x nk y k

k 0

 n
 n
n
Nhân hai vế với x m , được đẳng thức: x m  x  y   x m   Cnk x nk y k    Cnk x nmk y k
 k 0
 k 0

Đạo hàm hai vế theo biến x, ta thu được:


mx m1  x  y   nx m  x  y 
n

n1



n

 (n  m  k )Cnk x nmk 1 y k

k 0

Thay x  a, y  bi, ta sẽ có đẳng thức:

ma m1  a  bi   na m  a  bi 
n

n1



n

 (n  m  k )Cnk a nmk 1 bi 

k

k 0




n
 2 

  n  m  2k  Cn2k a nm2k 1  bi 

2k



 n1
 2 

k 0



n
 2 

 i2 

k

k 0



n

 2 

  1

k

k 0



k 0

 n  m  2k  Cn2k a nm2k 1b 2k 

 n  m  2k  Cn2k a nm2k 1b 2k

 n  m  2k  1 Cn2k 1a nm2k 2  bi 2k 1

 n1
 2 

k
 i 2   n  m  2k  1 Cn2k 1a nm2k 2b 2k 1i

k 0

  n1

  2 


k
    1  n  m  2k  1 Cn2k 1a nm2k 2b 2k 1  i
 k 0


 A  Bi
Mặt khác, ta chuyển z  a  bi về dạng lượng giác và áp dụng công thức Moivre, thu được:

ma m1  a  bi   na m  a  bi 
n

 ma

m1 

n1
n

m
2
2


 a  b  cos   i sin    na  a  b  cos   i sin  
2

2

n1


n
n1




 ma m1  a 2  b2  cos n  i sin n   na m  a 2  b2  cos  n  1  i sin  n  1 

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

Trang 22


Chương II. Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích
n
n1


  ma m1 a 2  b2 cos n  na m a 2  b2 cos  n  1 

n
n1


  ma m1 a 2  b2 sin n  na m a 2  b2 sin  n  1  i
n
n1

m1

a 2  b 2 cos n  na m a 2  b 2 cos  n  1
 A  ma
Suy ra: 
n
n1
 B  ma m1 a 2  b 2 sin n  na m a 2  b 2 sin  n  1


Ví dụ:
0
2
4
76
1. A  3C77
 5C77
 7C77
 ...  79C77

1
3
5
1
Ta lưu ý rằng: A  79C77
 77C77
 75C77
 ...  3C77



38


  1

k

k 0

2 k 1 782 k 2 k 1
 79  2k  C77
.1
.1
(ta thấy a  1, b  1, m  3)

 3.12. 12  12

77

76
 
 
sin  77   77.13. 12  12 sin  76   3.238
 4
 4

1
3
5
77
2. B  4C77
 6C77

 8C77
 ...  80C77

0
2
4
76
Ta lưu ý rằng: B  80C77
 78C77
 76C77
 ...  4C77



38

  1

k

k 0

2 k 792 k 2 k
80  2k  C77
.1
.1 (ta thấy a  1, b  1, m  3)

 3.12. 12  12

Bài toán 12. Tính tổng


A  tCnt

77

76
 
 
cos  77   77.13. 12  12 cos  76   80.238
 4
 4

 k

 t  Cnk t

  2k

 t  Cn2k t

n

n
   k t
 ...     k  t  Cn k  , với k là số
k 


nguyên tố lớn hơn 2, t  k.
Phương pháp.

Lưu ý rằng bài tốn này có phát biểu khá giống Bài toán 9. Phương pháp thực hiện cũng dựa trên Bài
toán 9: từ Bài toán 9 để trở thành Bài toán 12 ta chỉ tiến xa hơn một bước là đạo hàm.
n
Khai triển và đạo hàm hai vế 1  x  , ta được:

n 1  x 

n1

 Cn1  2 xCn2  ...  kxk 1Cnk  ...  rkx rk 1Cnrk  ...  nx n1Cnn

Nhân 2 vế với x k t 1 suy ra:

nxk t 1 1  x 

n1

 xk t 1Cn1  2 xk t 2Cn2  ...  txk Cnt  ...   rk  t  x rk Cnrk t  ...  nx k t nCnn

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

Trang 23


Chương II. Ứng dụng số phức trong Đại số, Lượng giác, Giải tích
Và sau đó thay x lần lượt bởi các phần tử tập 1,  ,  2 ,...,  k 1 , thực hiện tương tự như bài tốn 9.
2
5
3k 2

83
Ví dụ. Tính tổng A  2C84
 5C84
 ...   3k  2  C84
 ...  83C84
.

Giải.
Ta khai triển và đạo hàm như sau:
0
1
2
84
1  x 84  C84
 xC84
 x 2C84
 ...  x84C84
1
2
3k  2
84
 C84
 2 xC84
 ...   3k  2  x3k 1C84
 ...  84 x84C84

 84 1  x 

83


 84 x 2 1  x 

83

1
2
3k  2
84
 x 2C84
 2 x3C84
 ...   3k  2  x3k 3C84
 ...  84 x86C84

Ta thay x bởi các căn bậc 3 của đơn vị 1;  ;  2  , thu được:

84.12 1  183  C1  2C 2  ...   3k  2  C 3k 2  ...  84C 84
84
84
84
84


83
2
2 1
3 2
3 k 3 3 k  2
84
C84  ...  84. 85C84
84. 1      C84  2 C84  ...   3k  2  


2
83
2 1
3k 3 3k  2
85 84
84.   2  1   2    2  C84
 ...   3k  2   2 
C84  ...  84.  2  C84
83 
83
83
83 


 84  283   2 1      4 1   2    3 A  84 283   2   2         3 A

 84 283  1  1  3 A  A  28.283
3. Nguyên hàm.
- Khi lấy nguyên hàm hai vế của một đẳng thức theo biến nào đó, ta lưu ý điều chỉnh hằng số tự do hai vế
sao cho chúng bằng nhau.
Bài toán 13. Với a, b  , n  *, tính các tổng:

1. A 

n
 2 
 1k




k 0

2. A 

Cn2k a n2k 1b 2k
n  2k  1

 n1
 2 
 1k



k 0

Cn2k 1a n2k b 2k 1
n  2k

Phương pháp.
Khai triển:  x  y  
n

n

 Cnk x nk y k .

k 0

Lấy nguyên hàm hai vế theo biến x, ta được:


 x  y n1
n 1



Cnk x nk 1 y k y n1


n 1
k 0 n  k  1
n

Thay x  a, y  bi, ta sẽ có đẳng thức:

Giảng viên hướng dẫn: Phan Thị Quản
Sinh viên: Lê Minh Quân

Trang 24