Khóa luận tốt nghiệp.

ỨNG DỤNG PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI PHƯƠNG
TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM
Chun ngành: Cử nhân Tốn - Tin
SVTH: Trần Thị Thanh Tâm
Giáo viên hướng dẫn: TH.S Phan Đức Tuấn
Đà Nẵng, 05/2012

Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012

1 / 32


Phương trình tích phân Fredholm

Phương trình tích phân Fredholm

Phương trình tích phân tuyến tính Fredholm:
b

x(t) = f (t) + λ

K (t, s)x(s)ds
a

Phương trình tích phân phi tuyến Fredholm:

b

F (x(t)) = x(t) − f (t) − λ

K (t, s, x(s))ds
a

Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012

2 / 32


PHƯƠNG PHÁP NEWTON

Phương pháp Newton
Định nghĩa 2.1 (Đạo hàm Frechet)
Cho X , Y : Khơng gian tuyến tính định chuẩn.
F : U

→ Y ; U ⊂ X , U mở.

F khả vi mạnh tại x0 ∈ U nếu:

F (x0 + h) − F (x0 ) = Ah + w(x0 , h)
||h||
1

∀h ∈ X ,
x +h ∈U

(2.1)

0

trong đó: A ∈ L(X , Y );

||ω(x0 ; h)||
→ 0 khi h → 0
||h||

Thì:
F (x0 ) = A : gọi đạo hàm Frechet của F tại x0 .
Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012

3 / 32


PHƯƠNG PHÁP NEWTON

Phương pháp Newton
Định nghĩa 2.1 (Đạo hàm Frechet)
Cho X , Y : Khơng gian tuyến tính định chuẩn.
F : U


→ Y ; U ⊂ X , U mở.

F khả vi mạnh tại x0 ∈ U nếu:

F (x0 + h) − F (x0 ) = Ah + w(x0 , h)
||h||
1
∀h ∈ X ,
x +h ∈U

(2.1)

0

trong đó: A ∈ L(X , Y );

||ω(x0 ; h)||
→ 0 khi h → 0
||h||

Thì:
F (x0 ) = A : gọi đạo hàm Frechet của F tại x0 .
Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012

3 / 32



PHƯƠNG PHÁP NEWTON

Phương trình phi tuyến:
F (x) = 0

(2.2)

Khi F khả vi, phương trình tiếp tuyến tại (x0 , F (x0 )) :
F (x) = F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) + η(x, x0 )

(2.3)

F (x ∗ ) = 0, (2.3) ⇒ F (x0 ) + F (x0 )(x ∗ − x0 ) = −η(x ∗ , x0 )
F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) = 0 ⇒ x1 = x0 − [F (x0 )]−1 F (x0 )
Tổng quát:
xm+1 = xm − [F (xm )]−1 F (xm )

Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

(2.4)

Đà Nẵng, 05/2012

4 / 32



PHƯƠNG PHÁP NEWTON

Phương trình phi tuyến:
F (x) = 0

(2.2)

Khi F khả vi, phương trình tiếp tuyến tại (x0 , F (x0 )) :
F (x) = F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) + η(x, x0 )

(2.3)

F (x ∗ ) = 0, (2.3) ⇒ F (x0 ) + F (x0 )(x ∗ − x0 ) = −η(x ∗ , x0 )
F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) = 0 ⇒ x1 = x0 − [F (x0 )]−1 F (x0 )
Tổng quát:
xm+1 = xm − [F (xm )]−1 F (xm )

Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

(2.4)

Đà Nẵng, 05/2012

4 / 32


PHƯƠNG PHÁP NEWTON


Phương trình phi tuyến:
F (x) = 0

(2.2)

Khi F khả vi, phương trình tiếp tuyến tại (x0 , F (x0 )) :
F (x) = F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) + η(x, x0 )

(2.3)

F (x ∗ ) = 0, (2.3) ⇒ F (x0 ) + F (x0 )(x ∗ − x0 ) = −η(x ∗ , x0 )
F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) = 0 ⇒ x1 = x0 − [F (x0 )]−1 F (x0 )
Tổng quát:
xm+1 = xm − [F (xm )]−1 F (xm )

Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

(2.4)

Đà Nẵng, 05/2012

4 / 32


PHƯƠNG PHÁP NEWTON

Phương trình phi tuyến:
F (x) = 0


(2.2)

Khi F khả vi, phương trình tiếp tuyến tại (x0 , F (x0 )) :
F (x) = F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) + η(x, x0 )

(2.3)

F (x ∗ ) = 0, (2.3) ⇒ F (x0 ) + F (x0 )(x ∗ − x0 ) = −η(x ∗ , x0 )
F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) = 0 ⇒ x1 = x0 − [F (x0 )]−1 F (x0 )
Tổng quát:
xm+1 = xm − [F (xm )]−1 F (xm )

Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

(2.4)

Đà Nẵng, 05/2012

4 / 32


PHƯƠNG PHÁP NEWTON

Phương trình phi tuyến:
F (x) = 0

(2.2)


Khi F khả vi, phương trình tiếp tuyến tại (x0 , F (x0 )) :
F (x) = F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) + η(x, x0 )

(2.3)

F (x ∗ ) = 0, (2.3) ⇒ F (x0 ) + F (x0 )(x ∗ − x0 ) = −η(x ∗ , x0 )
F (x0 ) + F (x0 )(x − x0 ) = 0 ⇒ x1 = x0 − [F (x0 )]−1 F (x0 )
Tổng quát:
xm+1 = xm − [F (xm )]−1 F (xm )

Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

(2.4)

Đà Nẵng, 05/2012

4 / 32


PHƯƠNG PHÁP NEWTON

b

Xét:

x(t) = λ


K (t, s, x(s))ds

(2.5)

a
b

Đặt: F (x) = x(t) − λ

K (t, s, x(s))ds
a

b

b

K (t, s, x(s))ds ⇒ φ (x)h =

φ(x) =
a

Kx (t, s, x(s))h(s)ds
a

b

Do đó:

F (x)h = h − λ


Kx (t, s, x(s)) h(s) ds

(2.6)

a

Lại có: từ (2.4) ⇒ F (xm )(xm+1 − xm ) = −F (xm )
Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012

5 / 32


PHƯƠNG PHÁP NEWTON

b

Xét:

x(t) = λ

K (t, s, x(s))ds

(2.5)

a
b


Đặt: F (x) = x(t) − λ

K (t, s, x(s))ds
a

b

b

K (t, s, x(s))ds ⇒ φ (x)h =

φ(x) =
a

Kx (t, s, x(s))h(s)ds
a

b

Do đó:

F (x)h = h − λ

Kx (t, s, x(s)) h(s) ds

(2.6)

a


Lại có: từ (2.4) ⇒ F (xm )(xm+1 − xm ) = −F (xm )
Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012

5 / 32


PHƯƠNG PHÁP NEWTON

b

Xét:

x(t) = λ

K (t, s, x(s))ds

(2.5)

a
b

Đặt: F (x) = x(t) − λ

K (t, s, x(s))ds
a


b

b

K (t, s, x(s))ds ⇒ φ (x)h =

φ(x) =
a

Kx (t, s, x(s))h(s)ds
a

b

Do đó:

F (x)h = h − λ

Kx (t, s, x(s)) h(s) ds

(2.6)

a

Lại có: từ (2.4) ⇒ F (xm )(xm+1 − xm ) = −F (xm )
Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012


5 / 32


PHƯƠNG PHÁP NEWTON

Phương pháp Newton cho phương trình tích phân phi tuyến Fredholm:



x
(t) = xm (t) + hm (t)

 m+1
b



h (t) = λ

 m

(2.7)

Kx (t, s, xm (s))hm (s)ds + εm (t)
a

với:

b


K (t, s, xm (s))ds − xm (t)

εm (t) = λ

(2.8)

a

Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012

6 / 32


PHƯƠNG PHÁP NEWTON

Ví dụ 2.1
1

tsx(s)2 ds −

x(t) =

5
t +1
12


0

1
Nghiệm: x ∗ (t) = 1 + t, xấp xỉ ban đầu: x0 (t) = 1.
3
1

tsx0 (s)2 ds −

ε0 (t) =

5
1
t + 1 − x0 (t) =
t.
12
12

0

K = tsx(s)2 ⇒ Kx = 2tsx(s)
1

2tx0 (s)sh0 (s)ds + ε0 (t) ⇒ h0 (t) =

h0 (t) =

1
t

4

0
Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012

7 / 32


PHƯƠNG PHÁP NEWTON

Ví dụ 2.1
1

tsx(s)2 ds −

x(t) =

5
t +1
12

0

1
Nghiệm: x ∗ (t) = 1 + t, xấp xỉ ban đầu: x0 (t) = 1.
3

1

tsx0 (s)2 ds −

ε0 (t) =

5
1
t + 1 − x0 (t) =
t.
12
12

0

K = tsx(s)2 ⇒ Kx = 2tsx(s)
1

2tx0 (s)sh0 (s)ds + ε0 (t) ⇒ h0 (t) =

h0 (t) =

1
t
4

0
Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp


Đà Nẵng, 05/2012

7 / 32


PHƯƠNG PHÁP NEWTON

1
Nên x1 (t) = x0 (t) + h0 (t) = 1 + t
4
x2 (t) = h1 (t) + x1 (t) = 1 + 0, 325t
Bảng sai số:
i

xi (t)

Sai số

1

1 + 0, 250000000t

0, 0481125

2

1 + 0, 325000000t

0, 4811252.10−2


3

1 + 0, 333231707t

5, 8673798.10−5

4

1 + 0, 333333317t

0, 9122134.10−8

···

···

···

Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012

8 / 32


PHƯƠNG PHÁP NEWTON


1
Nên x1 (t) = x0 (t) + h0 (t) = 1 + t
4
x2 (t) = h1 (t) + x1 (t) = 1 + 0, 325t
Bảng sai số:
i

xi (t)

Sai số

1

1 + 0, 250000000t

0, 0481125

2

1 + 0, 325000000t

0, 4811252.10−2

3

1 + 0, 333231707t

5, 8673798.10−5

4


1 + 0, 333333317t

0, 9122134.10−8

···

···

···

Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012

8 / 32


PHƯƠNG PHÁP NEWTON

1
Nên x1 (t) = x0 (t) + h0 (t) = 1 + t
4
x2 (t) = h1 (t) + x1 (t) = 1 + 0, 325t
Bảng sai số:
i

xi (t)


Sai số

1

1 + 0, 250000000t

0, 0481125

2

1 + 0, 325000000t

0, 4811252.10−2

3

1 + 0, 333231707t

5, 8673798.10−5

4

1 + 0, 333333317t

0, 9122134.10−8

···

···


···

Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012

8 / 32


PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NHÂN BẰNG NHÂN SUY BIẾN

Phương pháp xấp xỉ nhân bằng nhân suy biến

Nhân suy biến có dạng:
n

K (t, s) =

gj (t)hj (s)

(3.1)

j=1

trong đó gj (t), hj (s) thuộc L2 (a, b) .

Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)


Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012

9 / 32


PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NHÂN BẰNG NHÂN SUY BIẾN

Phương pháp xấp xỉ nhân bằng nhân suy biến

Nhân suy biến có dạng:
n

K (t, s) =

gj (t)hj (s)

(3.1)

j=1

trong đó gj (t), hj (s) thuộc L2 (a, b) .

Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012


9 / 32


PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NHÂN BẰNG NHÂN SUY BIẾN

Phương trình với nhân suy biến:
Xét :

b

x(t) = f (t) + λ

K (t, s)x(s)ds

(3.2)

a

K (t, s) suy biến:
b

n

x(t) = f (t) + λ

gi (t)
i=1

Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)


hi (s)x(s)ds

(3.3)

a

Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012

10 / 32


PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NHÂN BẰNG NHÂN SUY BIẾN

Phương trình với nhân suy biến:
Xét :

b

x(t) = f (t) + λ

K (t, s)x(s)ds

(3.2)

a

K (t, s) suy biến:

b

n

x(t) = f (t) + λ

gi (t)
i=1

Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

hi (s)x(s)ds

(3.3)

a

Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012

10 / 32


PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NHÂN BẰNG NHÂN SUY BIẾN

Phương trình với nhân suy biến:
Xét :

b


x(t) = f (t) + λ

K (t, s)x(s)ds

(3.2)

a

K (t, s) suy biến:
b

n

x(t) = f (t) + λ

gi (t)
i=1

Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

hi (s)x(s)ds

(3.3)

a

Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012


10 / 32


PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NHÂN BẰNG NHÂN SUY BIẾN

Hay:
n

x =f +λ

hi , x gi

(3.4)

ci gi

(3.5)

cj hi , gj

(3.6)

i=1

Đặt: ci = hi , x
(3.4) thành:
n

x =f +λ

i=1

Thế (3.5) vào x của ci :
n

ci = hi , f + λ
j=1

Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012

11 / 32


PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ NHÂN BẰNG NHÂN SUY BIẾN

Hay:
n

x =f +λ

hi , x gi

(3.4)

ci gi


(3.5)

cj hi , gj

(3.6)

i=1

Đặt: ci = hi , x
(3.4) thành:
n

x =f +λ
i=1

Thế (3.5) vào x của ci :
n

ci = hi , f + λ
j=1

Trần Thị Thanh Tâm (ĐHSP-Đà Nẵng)

Khóa luận tốt nghiệp

Đà Nẵng, 05/2012

11 / 32