C” hương

_ PHƯƠNG TRÌNH
HỆ PHƯƠNG TRÌNH

$5. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬU0 NHẤT NHIÊU ẨN
“

#*wx—=—=———-

HE PHUONG TRINH BAC NHAT HAI AN:
®

Định nghĩa:
Hệ

phương

trình bậc

nhất 2 ấn

x

và

là hệ

có

dạng

(0):

a,x+b,y=c,

(1)

a,x+b,y=c,

(2)

VỚI

a, +b; #0
a; +b; #0
Cap s6 (x,;y,) déng thoi thoa ca 2 phuong trình (1) và (2) được gọi là nghiệm của hệ.

®_

Cơng thức nghiệm: Quy tắc Crame.
2

Đ:A

a,

Ob

Ky higu: D=|"


| "|=a,b,-a,b,,

A,

2

b

Cy

b,

,'|=c,b,-c,b,,

D, =|"

"|=a,c, -4,¢,.

A,

2

Xét D

Két qua

Dz0

He co nghiem duy nhat x=—~, y=.


D, z0

D=0

c,

D, =|"

^

hoặc

D

D,=D,=0

-

z0

f

oN

DI

D

D


Hệ vơ nghiệm.

Hệ có vơ số nghiệm.

Để giải hệ phương trình bậc nhất hai an ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương
pháp thê, phương pháp cộng đại sơ.

®

Biểu diễn hình học của tập nghiệm:
Nghiệm (x;) của hệ (7) là toa dé diém M(x;y) thuộc cả 2 đường thăng:
(d,):a,x+b,y=c, va (d,):a,x+b,y=c,.
e«_

Hệ (I) có nghiệm duy nhất = (d,) va (d,) cat nhau.

se.

Hệ (ï) vô nghiệm = (d,) va (đ,) song song với nhau.

ô_ H (I) cú vụ s nghim â (,) v (đ,) trùng nhau.

thị
a,

Am —D G

0b,

a,

y

b,

mh _G

Cc,

a,

i

Vô nghiệm

Cc,

y
:

Nghiệm duy nhất

b,

(4,)

Vô số nghiệm

HE BA PHUONG TRINH BAC NHAT 3 AN

Trang 1/15



Hệ có dang:

ax+by+c,z=d,

4a,x+b,y+c,z=d,-

Mot nghiém của hệ là bộ 3 86 (x,;y,;z,) thda ca 3

a,x +b,y +¢,z=d,

phương trình của hệ. Ngun tắc chung dé giải các hệ phương trình nhiều ân là khử bớt

an đê đưa vê các phương trình hay hệ phương trình có sơ ân ít hơn. Đê khử bớt ân, ta
cũng có thê dùng các phương pháp cộng đại sơ, phương pháp thê như đơi với hệ phương
trình bậc nhât hai ân.

$6. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬ0 HAI HAI ẨN SỐ
7

WWWĐ

©

HỆ GƠM 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ 1 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
2

mer


Dang tong quat:

by =

1

)

y=

(2)

dx? texy+ fy? +exthy =i

Phương pháp giai: Tu phuong trinh bac nhat (1), rat x theo y (hoac y theo x) va thé

vào phương trình cịn lại (2) để giải tìm x (hoặc tìm y).

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƠI XÚNG LOẠI I
Dấu hiệu nhân dang: Khi thay đổi vị trí x và

cho nhau thì hệ khơng thay đổi và trật tự

các phương trình cũng khơng thay đổi.
Phương pháp giải: Biến đồi về dạng tổng và tích 2 biến.
Dat S=x+y, P=xy.

Giải hệ với ân 5, P với điều kiện có nghiệm (x;y) 1a S? >4P.
Tìm nghiệm (x;/) băng cách thế vào phương trình X? -SX+P=0.
Một số biến đổi để đưa về dạng tổng — tích thường gặp:

°

+ “+

=(x+y) —2xy =S? —2P.

0

o

(x-y)y =(x+y)
—4xy =S* —4P.

°

ty? =(x+y) —3xy(x
+ y)=S° -3SP.

+* +” =(A) +2} -2x?w?)=S°-4S°P+ 2P”.
°

“+

°+x 2ˆ =(x)-xu+

)(+xu+

)=----

HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐƠI XÚNG LOẠI II

Dấu hiệu nhân dạng: Khi thay đổi vị trí x và

cho nhau thì hệ phương trình khơng thay

đổi và trật tự các phương trình thay đổi (phương trình này trở thành phương trình kia).
Phương pháp giai: Lay về trừ về và phân tích thành nhân tứ, lúc nào cũng đưa được về
dạng (x-1/).ƒ(x) =0, tức luôn có x= .
Lưu ý: Đối với hệ đơi xứng loại II chứa căn thức, sau khi trừ ta thường liên hợp.

HE PHUONG TRINH DANG CAP BAC HAI
Dang

tong

quat:

|

ax? +b,xy+c,y° =d,
a,x’ +b,xy+c,y° =d,

Phương pháp giai: (7) =|

d,(a,x° +b,xy+c,y*) =d,.d,
d,(a,x° + b,xy +c,y°)=4d,.d,

(i
(1)
(2)


Lay (1)-(2)> (ad, —a,d,)-x° +(b,d, —b,d,)-xy
+ (c,d, —c,d,)-y’ =0. Day 1a phuong trinh dang
cap bậc hai nên sẽ tìm được mối liên hệ +, y.

Trang 2/15


*

Fin(X7Y) =a
F0cy) = 09)

Lưu ý: Dạng

vol fy), fry), fy)

la cac biểu thức đắng cấp bậc

m,n, k thoa man m+n=k. Khi do ta sé str dung k¥ thuat déng bac dé gidi. Tuc bién déi hé

lal = f,,(xy)

¬

=> f(xy): f,acy)=af,(x;y) va đây là phương trình đăng cap bậc

eit

đ- ƒ,(X;1)=- ƒ,(X;U)


k.
Cau 1.

Nghiệm của hệ:

2x+y=l

L.

V2xty=1

3x+V2y =2

A. (V2 -2;2./2-3).

B. (V2 +2;2V2-3).

C. (2-V2;3-2V2).

D. (2-V2;2V2 -3).
Lời giải

Chon C.

=y=3-2/
=x=2-2
Tacé: y=1-V2x => 3x+V2(I-V
2.
2x)
=2

Cau 2.

`

`

.
:
sau có bao nhiêu nghiệm
Hệ A phương trình

B. 1.

A. 0.

(x;y):

Lời giải

Chọn A.

2x+3y=5

4x+6y=10
D. Vơ số

C. 2.

Ta có : 4x+6y= 10 ©2x+3y =5. Vậy phương trình có vơ số nghiệm.
Cau 3.


3x+4y=l

Tìm nghiêm cua hê phương trinh:

A. sa]
3° 23

2x-5y=3

B. [~s;= ]
23723

Lời giải

Chọn A.
Ta có: y=
Cau 4.

_3

-Ị

ax-fey-Z

D.

Si]
2323


.

0,3x—0,2y—0,33=0
1,2x+0,4y—0,6=0
B. (0,6;—0,7).
C. (0.7:—0,6).
Lời giải

Tìm nghiệm (x; y) cua hé :

A. (-0.7:0,6).
Chon C.
Taco:
Cau 5.

2x5

C. Í-a]}
23” 23

a

`
Ộ
Hệ phương trình:
A. 0.

=12x10,4

x+2y=l

3x+6y=3

-0,6=0

>x=0,7

D. Vơ nghiệm.

= y=-0,6.

„
`
LẠ
có bao nhiêu nghiệm ?

B. 1.

C. 2.

D. Vô số nghiệm.

Lời giải
Chon D.

Trang 3/15


Taco:

1

2
1
-=—=-—
3
6
3

—> Hệ phương trình có vơ số nghiệm.
2x+y=4
Câu 6.

Hệ phương trình : + x+2z = + 2A2

có nghiệm là?

y+z=2+42

A. (2:22)

B. (2:0:2)

C. (—k6:V2).

D. (I:2:.2).

Lồi giải
Chon D.
Ta có : Thể y=4—2x
Giải hệ


vào phương trình y+z= 2+2

~2x+z=-2+W2
*

Ý2

x+2z=I+242

2

Câu 7.

Cho hé phuong trinh ‘
A. Thay

y=8§—x

durgc x=l:z=2
4,2 —

16

y gS
x+y=

ta được -2x+z=—2+42

=> y=2.


7

Dé giai hé phuong trinh nay ta dùng cách nào sau day ?

vào phương trình thứ nhất.

C. Trừ về theo về.

B. Đặt § =x+ y,P=xy.
D. Một phương pháp khác.

Lời giải
Chọn A.

Hệ gơm một phương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai nên ta rút một ấn từ phương
trình bậc nhât thê vào phương trình bậc hai.
Câu 8.

Hệ phương trình {!xy ợ

có nghiệm là:

A. (15;6),(6;15).

B. (—15;-6),(-6;-15).

C.(15; 6).(—6:—15).

D. (15:6).(6:15).(—15:—6).(—6:—15).


Lời giải

Chon C.

Tacé: y=x-9 > x(x-9)=90
= x -9x-90=0 = x=15;x=-6
x=15> y=6
x=-6>
Câu 9.

y=-15.

Nghiệm của hệ phương mi

A. (1-5)
Chon D.

(V2 +1)x+ y= 2-1 là:

2x-(ý2-1]y=2x2

B. (-15

.

C. (12).

D. (1;—2).

Lời giải


Tacé: y=V2-1-(y2+1)x = 2x—(V2-1)(v2-1-(V2+1)x) =2v2
=>=x=l>y=-2.
Câu 10.

\
.
;
Tìm điêu kiện của tham sơ m đê hệ phương trình sau có đúng một nghiệm:
A. m#3 hay m#-3.
C. m3.

3x—my

=]
>
—mx+3y=m—4

B. m#3 va m#-3.
D. m#-3.
Trang 4/15


Loi giai
Chon B.
Tass:

D-|

3


—m

—m

=9-m

3

Phuong trinh cé dung mét nghiém khi D4#O GO m#33.
Cau 11.

Với giá trị nào của m thì hai đường thăng sau tring nhau (d,): (m? -1)x- y+2m+5=0

và

(đ,):3x—y+1=0
A. m=-2.

B. m=2.

C. m=2

hay m=-2.

D. Khong co gia tri m.

Loi giai
Chon A.
2


Ta có : Hai đường thắng đ, và đ, trùng nhau khi = =
&

Cau 12.

ea
2m+5=1

a>

p5

—]

1

om=-?2.

m=—2

.
x+
Đê hệ phương trình : |

x.y=

A. S“—P<0.

__-1_„ 2m13


p

có nghiệm , điều kiện cần và đủ là :

B. S”—-P>0.

C. S”—-4P<0.

D. S“—-4P>0.

Lời giải

Chon D.

Ta có : x, y là nghiệm phương trình X*—SX +P=0
Hệ phương trình có nghiệm khi A= S“ˆ—4P>0.
Cau 13.

`
`
Hệ phương trình

xy+x+y=[l
x

y+xy* =30

A. có 2 nghiệm (2;3) và (135).


B. có 2 nghiệm (2;I) và (3;5).

C. có 1 nghiệm là (5;6).

D. có 4 nghiệm (2;3).(3;2). (1:5).
(5: 1).
Lời giải

Chon D.

Dat S=x+y,P=xy

(S*-4P2>0)

Hệ phương trình tương đương

S+

P=II

P=30

—=5(I1I-S)=30 >-—S” +11

-30 =0

>S$=5;S =6

Khi S =5 thì P=6


suy ra hệ có nghiệm (2;3).(3;2)

Khi § =6

suy ra hệ có nghiệm

thì P=5

2 4

Cau 14.

Hệ phương trình (

2

=]

y
y=x+m

A. m=A2.

(1;5),(5;1).

có đúng I nghiệm khi và chỉ khi :

B. m=—N2.

C. m=NV2 hoac


m=—A|2.

D. m tùy ý.

Lời giải
Chon C.
Ta có : x° +(x+m)

=1 2x?

+2mx+m’ -1=0

(*)

Hệ phương trình có đúng 1 nghiệm khi phương trình (*) có đúng 1 nghiệm
—=A'=m°~2m?+2=0<>zm= +22.
Trang 5⁄15


Câu 15.

2(x+y)+3(x-y)=4

Hệ phương trình :
A.

1,13
2 2


. Có nghiệm là

(x+y)+2(x-y)=5

.

B.

I--3]
2
2

C.

(2.3)
2 2

Lời giải
Chọn B.
Dat u=x+y,v=x-y

..„

|2w+3v=4

Ta có hệ

x+y=-7
>
x-y=6


=>
Câu 16.

ut+2v=5

`

=>2(5-2y)+3v=4

>v=6

>u=-7

1
1
= y¢x-6=—Jox--toy--8.
2
2
`

|x-l|+y=0

Hé phuong trinh:

2x-y=5

A. x=-3;y=2.

,


oa

có nghiệm 1a ?

B. x=2;y=-l.

Œ. x=4;y=-—3.

D. x=-4;y
=3.

Lời giải
Chọn B.
x—l=5-2x

Ta có : |x-l|+2x-5=0 ©5-2x>0“
Câu 17.

tA

Z

.

oy

re

A


<©x=2

x—l=-5+2x
2

x

Phương trình sau có nghiệm duy nhât với giá trị của m là:
3

A. m#1.
C. m#1

—>y=-].

mx+3y

=

2m—

Ì

x+(m+2)y=m+3

B. m#-3.
hoac m#-3.

D. m4#1 va


m#-3.

Loi giai
Chon D.
Ta có : D=m(m+2)—3= m +2m—3
Phương trình có nghiệm duy nhất khi D0
Câu 18.

mx+(m+
4) y=2

Cho hệ phương trình :

<>

. Đề hệ này vơ nghiệm, điều kiện thích hợp cho tham

m(xt+y)=l-y

SỐ 7: là :
A. m=0
C. m=-1

;m#1 và m3.

B. m=1 hay m=2.
1
D. m=—— hay m=3.
2


1
hay m=-.
2
Loi giai

Chon A.
Ta có : Hệ trở thành

Câu 19.

mx+(m+4)y=2
mx+(m+l)y=1

Hé v6 nghiém
> D=0

> m=0

Cho hệ phương trình (

» 9
x+y=

=> D=m(m+1)—m(m+4)=-3m

Thứ lại thây zz=0 thoả điều kiện.
“—yˆ+6x+2y=0
T147”


Từ hệ phương trình này ta thu được phương trình

sau đây ?

A. x°+10x+24=0.

B.x°+16x+20=0.

C. x°4+x-4=0.

D. Một kết quá khác.
Trang 6/15


Lời giải

Chon D.

Tacé: y=8—x = x°—-(8—x) +6x+2(8—x)=0 = 20x-48=0.
Cau 20.

Hé phuong trinh

x’ —3xy+ y°+2x+3y-6=0
2x-y=3

A. (231).

B. (3;3).


có nghiệm là:

C. (2;1),(3;3).

D. V6 nghiém.

Lời giải
Chon C.
Tacé:

y=2x-3>x

—=_-x +5x-6=U

~3x(2x—3)+(2x-3)" +2x+3(2x-3)-6= 0

—=x=2;x=3

x=2—y=l
x=3>
Cau 21.

y=3.

x+y=I
Hệ phương trình + „ ˆ„,

x+y

A. 1.


=5

có bao nhiêu nghiệm ?

B. 2.

Œ. 3.

D. 4.

Lời giải
Chọn B.

Ta có: y=l—x=>+?+(I—x)} =5=—24Ì-2x-4=0 =x=-l;x=2
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm.
23213
Cau 22.

Hé phuong trinh

3

)

có nghiệm là:

;} =—.

Cau 23.


Hé phuong trinh
A.

x=3
y=7

1
Œ.x=-—-;y=-.

D. Hệ vơ nghiệm.

x+y=l0
¬
có nghiệm là:
x+y =58

.

B.

x=7
y=3

.

C.

x=3
y=7


,

|x=7
y=3

.

a,

kaa,

D. Một đáp sơ khác.

Lời giải

Chon C.

Dat S=x+y,P=xy(S?-4P
20)
Ta có :

S=10
S* -2P =58

=> P=2I

(nhận).

Khi đó : x, y là nghiệm của phương trình X”—10X +2l=0 © X =7;X =3

Vậy nghiệm của hệ là (7;3).(3: 7).
Trang 7/15


Câu 24.

.

+y=
“125
x+ay=l

Tim a dé hé phuong trinh
A. a=1.

B. a=1

2

vệ nghiệm:

hoac a=-1.
Loi giai

C. a=-1.

D. Khong co

a.


Chon C.
Tacé:

D=a’-l,

D

=z-I

,D, =a-a

Hệ phương trình vơ nghiệm >

D=O0@a=+1

a=1 =D,=D, =0 = Hệ phương trình vơ sơ nghiệm.
a=-1

>D.=-2

= Hệ phương trình vơ nghiệm.
X+y+z=9

Câu 25.

Nghiệm của hệ phương trình :

1
1
+ +—+—=l

xX

y

Z

xy+ yZz + zx = 27

A. (1:1).

B. (1;2;1).

Chon D.

C. (2;2;1).

Lời giải

1
1
1
Ta có: —+—+—=Ïlx y Zz

D. (3;3;3).

> xyz
= 27

= x,y,z la nghiém của phuong trinh X° -9X*+27X -27=0

<>X =3

Vậy hệ phương trình có nghiệm (3;3;3).
Câu 26.

x+y+xy=S5

Hệ phương trình | >

x+y

A. (2:1).

=5
B.

có nghiệm là:

(1; 2).

C.

(2:1).(I: 2).

D. Vơ nghiệm.

Lời giải
Chon C.

Dat S=x+y,P=xy(S?-4P
20)
S+P=5

5

Tacó: 4 _„

S?-2P=5

S =-5
=> P=10

=> S*—2(5-S)=5
>

5

S*+2S-15=0
58 =-5;S8 =3

(loại)

s=3—P-=2(nhận)

Khi đó: x, y là nghiệm của phương
Vậy hệ có nghiệm

Câu 27.

Hé phuong trinh

A. (3;2);(—2;1).

trình X”—3X +2=0<>X =l;X =2

(2;1).(1;2).
x+y+xy= I
h có nghiệm là:
2
2_ 3
xy+xyˆ=
5

B. (0;1).(1;0).

C. (0;2),(2;0).

D. (2:5 } (4:2

Loi giai
Chon D.

Dat S=x+y,P=xy(S?-4P
20)
Trang 8/15


Khi S=l;P=_—~

7

Khi $=2;P=1

5

5

=> %,P là nghiệm của phương trình X”——
X +—=0<> X =l;X ==

222

[Cai

sp-

2[Cx

Ta có :

S+P=2

2

(loại)
thi x, y langhiém cua phuong trinh X'-ŠX

+l=0<>X=2,X

=.

Vậy hệ phương trình có nghiệm (2:5) (5 : 2}

Câu 28.

X+ytxy=5
Hé phuong trinh | ¬
x+y

+xy=7

có nghiệm là:

A. (2;3) hoặc (3;2).

B. (1;2) hoặc (2;1).

C. (—2;-3) hoặc (-3;—2).

D. (—I;-2) hoặc (—2;-1).

Lời giải

Chọn B.

Đặt S=x+y,P=xy(S?~4P
>0}
S+P=5

Tacó: 4 „

S°-P=7

Khi § =3=

P=2

Khi S=2>P=3

5

=> S*-(5-S)=7

5

>S*+S-12=0>8=3,S
=-4

thi x,y là nghiệm của phương trình X”—3X +2=0<> X =l1;X =2
(loại)

Vậy hệ có nghiệm là (I;2) hoặc (2:1).
Câu 29.

Hệ phương trình ‘i ty+yềH
có nghiệm là :
x+y? +3(x+ y) = 28

A. (3;2),(2;3).

B. (-3;-7),(—7;-3).

C. (3;2);(-3;-7).

D. (3;2),(2;3),(-3;-7),(-7;-3).
Loi giai

Chon D.

Dat S=x+y,P =xy(S?-4P 20)

Ta có:

S+P=Il
S* —~2P+3S =28

Khi S=5=> P=6

—=$“-2(11-S)+3S
=28 > S*+5S-50=0 > S=5;S =-10

thi x,y langhiém cia phương trình X”—5X +6=0<>X =2;X =3

Khi $ =—10=> P=21

thi x, y langhiém cua phuong trinh

X”+10X+2l=0<>X =-3;X =-7
Vậy hệ có nghiệm (3;2).(2;3).(—3;—7).(—7:~3).

Câu 30.

Hé phuong trinh

= 3x4 8y co nghiém 1a (x;y) voi x#0 va y#0 la:

y =3y+8x

A. (-Vii:—Vi1);(Vivi1).

B. (0;-Vi1);(Vi1;0).

c. (-Vi1:0).

Ð. (11:0).
Trang 9/15


Lời giải
Chọn A.
Ta có : D

3

= 3x4 By => x-y
y°=3y+8§z

=-5x+ấy =(x-y)(x°+xy+y?+5)}=0

x=y

x +xy+y°+5=0

=>

Khi x= y thì x—1lx=0<>x=0;x=+V11I

1) tay
3 t5=0 (phương trình vơ nghiệm)

Khi t taytg)+5=0|xk

Vậy hệ có nghiệm (—VI1;—vIT]:(NI1:⁄H1).
Câu 31.

eo

hi oa cds cate

GHI

Thế

(aie ha

Hãy chỉ ra các cặp nghiệm khác 0 của hệ phương trình:

A. (3:3).
C.

In

yˆ=5y-2x

B. (2;2);(3:1):(—3;6).

(1:1).(2: 2).(3:3).

D.

(—2;—2),(1;-2),(-6;3)

Loi giai
Chon A.
2

rac:

|

=5x-2
ox
” =x#—y?=7x—7y
yˆ=5y-2x

=(x—y)(x+y~7)=0

Khi x= y thì x-3x=0<>x=0;x=3
Khi y=7—x thì x”— 7x+14=0 (phương trình vơ nghiệm).
Vậy hệ phương trình có nghiệm (3; 3) .
Câu 32.

ˆ

_,

|x ty=6

Hé phuong trinh

|

y+x=6

A. 6.

.

a

có bao nhiêu nghiệm ?

B. 4.

Œ. 2.

D. 0.

Lời giải

Chon C.

Taco:

24 yy
rn

=x

y +x=6

Khi x= y

-y+y-x=0>(x—-y)(x+y-1)=0

thi x°+x-6=O0@x=-3;x=2

Khi y=I— x thi x° —x+7=0 (phuong trinh v6 nghiém)
Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm (—3;-3) và (2;2).
Câu 34.

x? =3x-

Hé phuong trinh

” có bao nhiêu cặp nghiệm (x; y) 2

y =3y-x

A. 1.

B. 2.

Chọn B.
2

_

Ta có : fe

—

Lời giải

> => x°—y? =4x-4yX

yo =3y-x

C, 3.

D. 4.

=>(x-y)(x+y-1)=0

Khi x= y thì x—2x=0<>x=0;x=2
Trang 10/15


Khi y=4-x

thì x-4x+4=0

©x=2

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (0;0).(2;2).
Câu 34.

x+y=4
Cho hé phuong trinh | >.
5 =m 4 - Khang dinh nao sau day là đúng ?
X

+y

A. Hệ phương trình có nghiệm với mọi 7.

B. Hệ phương trình có nghiệm
< |rn| > V8.
C. Hệ phương trình có nghiệm duy nhat< lm| >2.
D. Hệ phương trình ln vơ nghiệm.
Lời giải
Chọn B.
x+y=4
3 » 3
3 =>44-2P=m
x+y =m

Tacs: |

>P=

16-m

6—m
2

=> S* -4P =16-2(16-m’)
= 2m -16>0 © |m|> x8.
Câu 35.

3x° —4xy+2y* =17
Cho hé phuong trinh : | 7
. Hé thie biéu dién x theo y rút ra từ hệ phương
y -—x =16
trình là ?

A. x=

hay ye te
2
2
y-l
yt+l
C. x =——
hay x=——.

2

B. x=2— hay x=313,
2
2
5
3

D. x=—y hay x=—

M2

BS

Loi giai

Chon.
Ta có :
3x° —4xy+2y* =17
| 3
ae >
y —=* =

= 16(3x* —4xy + 2y?)=17(9? - x7)

©(I13z-5y)(5x—3y)=0
Cau 36.

xa sy
mx+

hay _

y=3
»
x+my=2m+1

Cho hé phuong trinh :

65x? —64xy4 15y’ =0

,
.Cac gia tri thich hop cia tham s6 m

,
dé hé phuong

trình có nghiệm ngun là :
A. m=0,m=-2.

B. m=1,m=2,m=3.

C. m=0,m=2.

D. m=1,

m=-3,m=4.

Lời giải
Chọn A.
Tacó:

D=mm —1,

D.=m-1,

D,

= 2m’ +m-—3

Hệ phương trình có nghiệm x = _
yo
= aml
D m+l°
D
m+l
Hé phuong trinh co nghiém nguyén khi m=0;m =-2.
Cau 37.

Các cặp nghiệm

(x; y)

)

của hệ phương trình :

x|l+2|y|=
h|+2l|=3,.

3

7x+5y=2

Trang 11/15


A. (131) hay (a=

19°19
C.

(

(1;-1)

B. (—1;—1) hay Gar
19°19

11

23

19

=)

hay | -—;— |.

)

v[

D.

(

(-1;1)

)

hay

11

23

| —;— |.

'Ín

=

Loi giai
Chon C.

;

Khi x,y>0

BA

tz

hàn

JT+2y=3

thì hệ trở thành

.
Câu 38.

_

7x+5y=2

9

' BÀ

ra

hàn

JX 2y=3

' BÀ

tra

thàn

| X+2y=3

thì hệ trở thành

Nghiệm của hệ phương trình: +

A. (1:2),(2:1).

(loại)

~~? 7 xa?
y= 3 đoại)

Khi x>0, y<0 thì hệ trở thành
Khi x<0,y>0

19...

—x-2y=3

Khi x,y <0 thihé
tro thanh
;

II

& x=-—;y=—
7x+5y=2
9
9
9

<>x=l;y=—I

7x+5y=2

.

(nhận)

I1

23,

19

19

& x=-—; y=—

7x+5y=2

xy+x+y=5
„
3
xy+yx=6

(nhận)

là:

B. (0:1),( 0).

C. (0; 2),(2:0).

iD. (2:5 } (522

Lời giải

Chọn A.

Đặt S=x+y,P=xy(S?~4P
>0}
Ta có :

P+S=s5

PS=6

= $,P là nghiệm của phương trình X”—5X +6=0<>X =2;X =3
Khi S=2,P =3

(loại)

Khi S=3,P=2 thì x,y là nghiệm phương trình X”—3X +2=0

© X =l;X =2

Vậy nghiệm của hệ là (I;2).(2;1)..
Cau 39.

Cho hệ phương trình :

(02) (v8N2).

A. (1;2),(V2;V2).

2x° + yy? +3xy
=12
2(x+ y)}- y' =14

. Các cặp nghiệm dương của hệ phương trình là:

2
BB. (231),(W3;v3).C. | 2:3],

B25).

(v2 |.
V3,2 |] De | 1)31 |.) 4343

(3:3) (8-55)

Lời giải

Diệng

Chọn A.
_ J2x +y +3xy=l2
Taco:
Axt+y)-y =14

&

2x° + yy? +3xy =12

>xy=2>y=-

2x° +y? +4xy=14
2

—=212+-2+6=12 ©2x!~6x2+4=0
Xx

=|

x

=]
=2

2
x

> x=thx=+/2

Vậy cặp nghiệm dương của hệ phương trình là (1;2), (V2 -/2 }

ˆ

Cau 40.

.

iu JX 3V =y

Hệ phương trình

x°+y°=27

3y

Ủ

¬

pea

có bao nhiêu nghiệm ?

Trang 12/15


A. 1.

B. 2.

C, 3.

D. 4.

Lời giải
Chon.
Ta có : x`~3x= y`~3y©(x-

y)(x° +ay+>y?)~3(x— y)=0

=(x-y)(x°+axy+y°~3)=0

=|

Khi x= y thì hệ có nghiệm

x=y

x +xy+y `-3=0

sf)

Khi xỞ+xy+ yˆ—3=0<>xÝ + yˆ =3—xy, ta có
x°+y°=27
<=> 3(xy)

3

(x

+?)

—x y" +y*)=27 =6-x)|6-x}
i

+27xy=0<

(xy)

=-9

-3#2y? Ì= 27

(vo li).

Vậy hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm.
Câu 41.

Hé phuong trinh

2x+4jy-—I

=]

2y+Ax-I=I

A. 1.

có bao nhiêu cặp nghiệm (x; y) ?

B. V6 nghiém.

C. 2.

D. 3.

Lời giải
Chọn A.
Điêu kiện: x, y>I

Ta có :

2x+dy

=]

BE

I=I

—>2x— 2y+Jy-

-'x-lI=0>2(x-y}+——————
de —-1=0
) Vy-

1
Han

Khi x= y thì 2x+Vx—-l=l—Vx-l=l-2x<

Khi ly-l+x-

=.

2

-I=(I-2x)} `

thì 2412y+=22x+ty=Ẻ

oS

1
2

[4x°-5x=0

©x=0

(vơ nghiệm vì x, y>l)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (0:0) .
Câu 42.

Cho hệ phương trình

x+y=m+l

`

x*®y+ y x= 2m” -m~—3

và các mệnh đê :

() Hệ có vơ số nghiệm khi zø„=-—1 .
(II) Hệ có nghiệm khi m > . .
(II) Hệ có nghiệm với mọi z7: .
Các mệnh dé nao dung ?
A. Chi (I).

B. Chi (I).

Œ. Chỉ (HI).

D. Chi (1) va (ID).

Loi giai
Chon D.
Khi m=—1

x+y=0

thi h¢ tro thành + „,
5
xy+yx=0

,

— hé co v6 s6 nghiém=> (7) đúng.

Trang 13/15


x+y=m+l

Ta có:

2

xy+y

3

3
x=2m-m—3

=> xy(m+1)=2m

2

—m— 3 —> xy= 2m- 3

=$9?~4P=(m+1} —4(2m—3)= mẺ—6m+13>0,Vm đúng.
Cau 43.

2xy+y“-4x—-3y+2=0

Hệ phương trình

we
3
xy+3y“—2x—14y+16=0

có nghiệm là :

A. x bat ky, y=2:x=1,y
=3
1
2y = Tai

B. x =3, y=2Zx=3,y=bx=
C.

X=S,y=x=Ly=3x=5,

1

y=2.

D. x=4,y=2x=3,yohe=2y=s,

Lời giải
Chọn A.

2xy+y”-4x-3y+2=0

Ta có :

3
*
>
>
xy+3y“ -2x—l4y+l6=0

2xy+y°-4x-3y+2=0

3
2xy+6y

>

—4x-28y+32=0

=>5y? —25y+30=0

>y=3;y=2

Cau 44.

Khi y=3

th x=l.

Khi y=2

thì
x tuỳ ý.
x+y=2a+I

Cho hé phuong trinh | >
x+y

=a

. Giá trị thích hợp của tham s6

—2a+3

a sao cho hệ có

nghiệm (x; y) và tích x.y nhỏ nhất là :

A. a=].

B. a=-—].

C. a=2.

D. a=-2.

Loi giai
Chon B.

Dat S=x+y,P=xy(S?-4P
20)
Taco:

S=2a+l
S?-2P=a’ —-2a+3

=> P=

3a”+6a—2
2

Hệ phương trình có nghiệm khi S*-4P >0.<>(2a+1)° -2(3a” +6a—2)>0
<> 5a’ -8a-2>0
p=2

2

a°+2a+L

2)

=

2

(a+)

-~

2

>_3

4

Đăng thức xảy ra khi z=—1 (nhận).
Cau 45.

Cho hệ phương

trình :

(a+b)x+(a—b)y=2

__—M.....
.. .é +b?)

Với a#+b,

ab#0, hệ có nghiệm duy nhất băng :
1

1
y=
a+b » a—b

A.x=a+b,y=a-b.
*

B. x=

C.x=—
y=
p .
a+b
a+b

D.x=—^
y=
p .
a—b
a—b
Trang 14/15


Lời giải

Chọn B.

Ta có:

D =(a+b)(a’ -b)-(a° +b°)(a-b) = 2ab[a? —b’)

D= 2(a’ -b`)-2{z” +Ð?)(a—b)= 2ab(a—b)
D, =(a-b)2(a° +b°)—2(a’ —b*) = 2ab(a+b)
Hệ có nghiệm
Câu 46.

D
x=—>*=
D

1

D,
1
;ÿy=——=
.
a+b
D
a-hbh

2x-y=2mở}
“
x+2y=a+l

Cho hệ phương trình |

.

bã
. Các giá trị thích hợp cua tham sO a dé tong binh

phương hai nghiệm của hệ phương trình đạt giá trị nhỏ nhất :
A. a=1.

B. a=-l.

C.a=t.
2

D.a=-2.
2

Loi giai
Chon C.

_

Taco:

|2x-y=2-a
x+2y=a+l

or+y-(2

—N?

5

3

=>

„34

_5-a

4x-2y=4-2a

=>

x+2y=a+I
2

_ 10a

25

2

vs

a+

5

3a
yr
5

<1 (0g? -2a+5)=+

25

5

5

V2a—-—L

2

42)

„2

2]

5?

10

Dang thtre xay ra khi a = ` .
mxT— (m+])y = 3m
Câu 47.

Cho hệ phương trình : 4 x—2zmy=mm+2

. Để hệ phương trình có nghiệm, giá trị thích hợp

x+2y=4

của tham số zn là
A. m=Š.
2

B.m=—Š.

C. m=2.
5

2

D. m=--—.
5

Loi giai
Chon C.

Ta có: D=-2m”+m+l,

D =-5m+3m+2,

Hệ phương trình có nghiệm khi D#0€>m
.
D
Nghiệm
của hệ là x=—* = SH TẾ
D

-2m+]
kos

`

Thê vào phương trình x+ 2y
= 4 ta được
Câu 48.

Cho hé phuong trinh : |

mx+(m+2)y=5

x+my
= 2m+3

D, =m —m

# lim # =7
D
D

8

m
-2m+]l

—5m+ 2

2m

—2m+1

—-2m+]

=4

om=-.
5

. Để hệ phương trình có nghiệm âm, giá trị cần tìm

của tham sơ zz là :

A. m<2 hay

m>>,

B. 2
Trang 15/15


C. m<->

2

hay m>-—2.

D. ~S

2
Lời giải

Chon D.

Ta có: D=mm -m-—2, D =-2m`—2m—Ĩ6,

D,=

2m +3m—5

Hệ phương trình có nghiệm khi D z O0 <>m # —];?m
#2
ny
TA
—2im” —2m—6
—= +3m—5
y = 2m’
Hệ có nghiệm x = —.———_,
m

—m—2

m

Hệ phương trình có nghiệm âm khi |

—m—2

m —m-2>0

&

2m” +3m— 5 < 0Ư

ns

5

f*——
m>2

2

5
©-—=2
Câu 49.

Cho hệ phương trình : |

2x +xy—y

=0

. Các cặp nghiệm (x;y) sao cho x,y đều

x -xy- y`+3x+7y+3=0

là các số nguyên là:

A. (2;-2).(3:-3).

B. (—2;2),(-3;3).

C. (1;—1).(3;-3).

D. (-1;1).(-4,4).

Lời giải
Chon C

Phương trình (1) © (x+ y)(2x- y)=0 © oe
Truong hop 1: x=—y

.
x

thay vao (2) taduge x°-4x4+3=00

3 Suy ra hệ phương trình

có hai nghiệm là (1;—I), (3;-3).
Trường hợp 2: 2x= y thay vào (2) ta được -5xˆ +17x+3=0 phương trình nay khơng có
nghiệm ngun.
Vậy các cặp nghiệm

Câu 50.

(x; y) sao cho x, y đều là các số nguyên là (1;-1)

Nếu (+x: y) là nghiệm của hệ phương trình: |

x -4xyty =1
y—4Axy =2

va (3; -3).

. Thì xy băng bao nhiêu 2

A. 4.

B. -4.

Œ. 1.

D. Không tồn tại gia tri cua xy.

Lời giải
Chọn D.
Ta có :
(2)

=...

y—-3xy=4

(x-y)

=l+2xy

(x+ y)

—1+6xy

&(x+ y)—(x-y)-8xy-4=0

©(x+y)-(x+y} -(~y)~(x-y)} ~2=0 Slxtz-2]

2

2

t[xy#z) +5=0 khơng có

giá trị của x, y thỏa nên khơng tơn tại xy.

Trang 16/15