1

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH

-------------------------

CAO TÚ CƢỜNG

VỀ MƠĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH
BIỂU DIỄN ĐƢỢC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An, 2011


2

MỤC LỤC
MỤC LỤC ……………………………………………………………………………...........1
LỜI NÓI ĐẦU……………………………………………………………………………….2
CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ…………………………………………………….5
1.1 MÔĐUN ARTIN……………………………………………………………………..5
1.2 BIỂU DIỄN THỨ CẤP VÀ MÔĐUN BIỂU DIỄN ĐƢỢC……………..6
1.3 GIỚI HẠN THUẬN, GIỚI HẠN NGƢỢC……………………………..........6
1.4 HÀM TỬ DẪN XUẤT TRÁI…………………………………………………….9
1.5 HÀM TỬ DẪN XUẤT PHẢI…………………………………………………10
1.6 MÔĐUN MỞ RỘNG………………………………………………………...10
1.7 TÍCH TEXƠ CỦA HAI MƠĐUN…………………………………………11
1.8 MƠĐUN PHẲNG…………………………………………………………….12

1.9 MƠĐUN ĐỊA PHƢƠNG HÓA……………………………………………12
1.10 I ĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT, GIÁ CỦA MƠĐUN……........13
CHƢƠNG 2. MƠĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH BIỂU DIỄN ĐƢỢC………..15
2 .1 MƠĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH……………………………………...15
2 .2 TÍNH BIỂU DIỄN ĐƢỢC CỦA HOMR ( F ; M ) …………………………19
2. 3 ĐỐI ĐỊA PHƢƠNG HÓA………………………………………………….24
KẾT LUẬN…………………………………………………………………………………31
TÀI LIỆU THAO KHẢO………………………………………………………………..32


3
LỜI NÓI ĐẦU
Năm 1942, S. Leschetz đƣa ra khái niệm khơng gian vectơ compắc tuyến
tính nhằm nghiên cứu các khơng gian vectơ vô hạn chiều. Năm 1953, D.
Zelinsky đã mở rộng khái niệm này thành khái niệm môđun compắc tuyến tính.
Từ đó đến nay, lớp mơđun compắc tuyến tính đã đƣợc nhiều nhà toán học trên
thế giới quan tâm nghiên cứu. Chú ý rằng, lớp mơđun compắc tuyến tính rất
rộng, chứa nhiều lớp môđun quan trọng trong Đại số giao hốn. Thậm chí một
lớp mơđun con của mơđun compắc tuyến tính đó là mơđun compắc tuyến tính
nửa rời rạc cũng chứa thực sự các mơđun Artin; hơn thế nữa nó cịn chứa các
mơđun Noether trên vành địa phƣơng đầy đủ.
Khái niệm phân tích đối ngun sơ cho các mơđun Artin đƣợc nghiên cứu
bởi D. G. Northcott năm 1972, D. Kirby năm 1973. Sau đó I. G. Macdonald [9]
đã trình bày khái niệm này một cách tổng quát cho môđun tùy ý và ơng gọi đó là
biểu diễn thứ cấp để khỏi nhầm lẫn với khái niệm phân tích nguyên sơ đã đƣợc
định nghĩa cho các mơđun Noether. Có thể nói biểu diễn thứ cấp là đối ngẫu với
phân tích nguyên sơ. Mọi mơđun Artin đều có biểu diễn thứ cấp và mọi mơđun
Noether đều có phân tích ngun sơ. Một R - môđun N  0 đƣợc gọi là thứ cấp
nếu với mọi x  R , phép nhân bởi x trên N là toàn cấu hoặc lũy linh. Trong
trƣờng hợp này Rad(Ann R N ) là một iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p, và ta gọi N

là p-thứ cấp. Một biểu diễn thứ cấp của R -môđun M là một phân tích
M  M1  M 2  ...  M n thành tổng của hữu hạn các môđun con pi- thứ cấp M i . Nếu
M  0 hoặc M có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn được.

Một trong những vấn đề thú vị xuất hiện khi nghiên cứu các môđun Artin
là mơđun đối địa phƣơng hóa. Cho R là một vành giao hốn có đơn vị và M là
một R - môđun. L. Melkersson và P. Schenzel [12] đã định nghĩa đối địa phƣơng


4
hóa HomR ( RS ; M ) của mơđun M tƣơng ứng với tập nhân đóng S trong R . Khi
M là Artin họ chỉ ra rằng cấu trúc của HomR ( RS ; M ) có nhiều tính chất hay, chẳng

hạn, HomR ( RS ; M ) là biểu diễn đƣợc và HomR ( RS ; ) là hàm tử khớp từ phạm trù
các R - môđun Artin đến phạm trù các RS - môđun. Tuy nhiên họ cũng chứng
minh rằng HomR ( RS ; M ) thƣờng không là RS - môđun Artin ngay cả khi vành R là
địa phƣơng đầy đủ. Nhƣ vậy, việc mở rộng nhiên cứu ra phạm trù các mơđun
compắc tuyến tính là thực sự cần thiết vì khơng những nó giữ đƣợc rất nhiều tính
chất tốt của mơđun Artin mà cịn làm cho hàm tử đối địa phƣơng hóa đóng. Năm
2001, N. T. Cƣờng và L. T. Nhàn [5] đã mở rộng các kết quả của L. Melkersson
và P. Schenzel tới lớp tất cả các mơđun compắc tuyến tính biểu diễn đƣợc. Lớp
mơđun này thực sự chứa tất cả các môđun Artin. Thêm nữa, thay cho hàm tử đối
địa phƣơng hóa, N. T. Cƣờng và L. T. Nhàn [5] xét hàm tử HomR ( F ; ) với F là
R - môđun phẳng. Họ đã chỉ ra rằng HomR ( F ; ) là hàm tử đóng trong phạm trù

các R - mơđun compắc tuyến tính biểu diễn đƣợc. Đây chính là câu trả lời khẳng
định tới câu hỏi của L. Melkersson [11] cho các mơđun compắc tuyến tính khơng
nhất thiết có chiều Goldie hữu hạn.
Mục đích của Luận văn là trình bày lại một cách chi tiết và rõ ràng kết quả
nói trên của N. T. Cƣờng và L. T. Nhàn trong [5].

Với mục đích đó ngồi phần Mở đầu và phần Kết luận, Luận văn đƣợc
chia làm hai chƣơng.
Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị. Trong chƣơng này, chúng tơi trình bày
về lý thuyết biểu diễn thứ cấp, môđun biểu diễn đƣợc và một số kiến thức cơ sở
của Đại số giao hoán, Đại số đồng điều nhằm phục vụ cho việc trình bày kết quả
chính của Luận văn ở chƣơng sau.


5
Chƣơng 2. Mơđun compắc tuyến tính biểu diễn đƣợc. Trong chƣơng
này, chúng tơi trình bày lại một cách chi tiết và rõ ràng kết quả của N. T. Cƣờng
và L. T. Nhàn trong [5].
Luận văn đƣợc hoàn thành vào tháng 11 năm 2011 dƣới sự hƣớng dẫn,
chỉ dạy tận tình của cô giáo, TS. Nguyễn Thị Hồng Loan. Nhân dịp này tơi xin
bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến cơ, ngƣời đã hƣớng dẫn nhiệt tình, chu đáo và
nghiêm khắc trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Đồng thời cũng xin
đƣợc cảm ơn các thầy giáo, cô giáo khoa Toán, khoa Sau đại học trƣờng Đại học
Vinh, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trong
q trình học tập.
Trong q trình học tập, nghiên cứu và viết Luận văn, tơi cũng đã cố gắng
rất nhiều song chắc chắn vẫn còn những thiếu sót, rất mong nhận đƣợc sự góp ý,
chỉ bảo chân thành của các thầy, cô và của các bạn để luận văn này đƣợc hoàn
thiện hơn.
Vinh, tháng 11 năm 2011
Tác giả


6

CHƢƠNG 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chƣơng này chúng tôi sẽ trình bày (khơng chứng minh) các kiến
thức cơ sở cần thiết dùng cho chứng minh ở chƣơng sau. Trong tồn bộ luận văn
ln giả thiết vành R là giao hốn có đơn vị 1  0 .

1. 1. Mơđun Artin
1. 1. 1. Định nghĩa. (i) Một R – môđun M đƣợc gọi là môđun Artin nếu mọi
dãy giảm các môđun con của M đều dừng, tức là nếu
M1  M 2  ...  M n  ...

là một dãy giảm các mơđun con của M . Khi đó tồn tại số tự nhiên n0 sao cho
M n  M n0 với mọi n  n0 .

(ii) Vành R đƣợc gọi là vành Artin nếu R là một R – môđun Artin.
1. 1. 2. Định lý. Giả sử M là một R - môđun. Các điều kiện sau là tương đương:
(i) M là Artin;
(ii) Mọi tập khác rỗng các mơđun con của M đều có phần tử tối tiểu theo
quan hệ bao hàm;
(iii) Đối với mỗi tập hợp  Ai | i  I    những môđun con của M tồn tại
một tập con hữu hạn I0 của I sao cho
I

Ai 

I0

Ai .

1. 1. 3. Hệ quả. Nếu môđun M là tổng hữu hạn của những môđun con Artin thì
M Artin.



7

1. 2. Biểu diễn thứ cấp và môđun biểu diễn đƣợc
Trong mục này, chúng tơi trình bày khái niệm biểu diễn thứ cấp theo thuật
ngữ của I. G. Macdonald [9]. Khái niệm này có thể đƣợc xem là khái niệm đối
ngẫu với khái niệm phân tích nguyên sơ.
1. 2. 1. Định nghĩa. 1) Một tập con khác rỗng R - môđun M đƣợc gọi là thứ cấp
nếu với mọi r  R , phép nhân bởi r trên M là toàn cấu hoặc lũy linh. Trong
trƣờng hợp này

AnnR M là iđêan nguyên tố, chẳng hạn p, ta gọi M là p - thứ

cấp.
2) Cho M là R – môđun. Một biểu diễn thứ cấp của M là một phân tích
M  M1  M 2  ...  M n

thành tổng của hữu hạn các môđun con pi- thứ cấp. Nếu M  0 hoặc M có một
biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn được. Biểu diễn này đƣợc gọi là tối
thiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đơi một khác nhau và khơng có hạng tử M i
nào thừa.
1. 2. 2. Mệnh đề. ổng tr c tiếp hữu hạn và môđun thương của các môđun p –
thứ cấp khác 0 là p – thứ cấp.
1. 2. 3. Mệnh đề. Linh hóa tử của một môđun p – thứ cấp là một iđêan p –
nguyên sơ.

1. 3. Giới hạn thuận, giới hạn ngƣợc
1. 3. 1. Giới hạn thuận. Một tập hợp V với quan hệ thứ tự bộ phận  đƣợc gọi là
tập định hướng nếu với bất kỳ t , s V , r V sao cho t  r; s  r. Chẳng hạn tập các
số nguyên dƣơng là tập định hƣớng.

Một họ M t ; ftr  gồm các R - môđun M t , t V và các đồng cấu
ftr : M t  M r , t  r


8
đƣợc gọi là hệ thuận trên V nếu thỏa mãn các điều kiện sau đây ftt  id M và
t

f sr . fts  ftr với t  s  r. Khi các đồng cấu f tr đã đƣợc xác định, ta có thể ký hiệu

gọn hệ thuận ở trên là M t  .
Cho hai hệ thuận các R - môđun M t , ftr  và M t' , ftr'  trên cùng một tập
định hƣớng V . Một đồng cấu của các hệ thuận M t , ftr   M t' , ftr'  là một họ các
R - đồng cấu t : M t  M t'  thỏa mãn fts' .t  s . fts với t  s . Giới hạn thuận của hệ

thuận M t , fts  đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Trên môđun tổng trực tiếp T   M t
tV
đồng nhất mơđun M t với ảnh đồng cấu chính tắc của nó trong T , ta có thể xem
M t nhƣ là một môđun con của T . Gọi C là môđun con của T sinh bởi tập tất cả

các phần tử dạng xt  ftr ( xt ), t  r, xt  M t . Môđun thƣơng T / C đƣợc gọi là giới hạn
thuận của hệ thuận M t , ftr  và ký hiệu bởi lim M t .
t

1. 3. 2. Giới hạn ngƣợc. Cho V là một tập định hƣớng. Một họ M t , ftr  gồm các
R - môđun M t , t V và các đồng cấu

f rt : M r  M t , t  r; t , r  V

đƣợc gọi là hệ ngược trên V nếu thỏa mãn các điều kiện sau. ftt  id M và

t

f st . f rs  f rt với t  s  r.

Cho hai hệ ngƣợc các R -môđun M t , f rt  và M t' , f rt'  (trên cùng một tập
định hƣớng V ). Một đồng cấu của các hệ ngƣợc
 : M t ; f rt   M t' ; f rt' 

là một họ gồm các đồng cấu t : M t  M t'  thỏa mãn f rt' .r  t . f rt với mọi t  r .
Giới hạn của hệ ngƣợc M t , f rt  đƣợc định nghĩa nhƣ sau: Trên R - mơđun tích
trực tiếp

M
t

t

ta lấy môđun con D gồm tất cả các phần tử ( xt ) thỏa mãn


9
f rt ( xr )  xt , t , r V ; t  r .

Khi đó D đƣợc gọi là giới hạn ngƣợc của M t , f rt  và ký hiệu bởi lim M t .
t

1. 3. 3. Một số tính chất của giới hạn thuận và giới hạn ngƣợc
a, Giới hạn thuận là hàm tử khớp trên phạm trù các R - môđun. Nghĩa là nếu
0  M t    Nt   Pt   0


là dãy khớp ngắn các hệ thuận R - mơđun thì
0  lim M t  lim Nt  lim Pt  0
t

t

t

là dãy khớp.
b, Giới hạn ngƣợc là hàm tử khớp trái trên phạm trù các R - mơđun. Nói chung
nó khơng là hàm tử khớp, nghĩa là nếu
0  M t    Nt   Pt 

là dãy khớp các hệ ngƣợc các R - mơđun thì
0  lim M t  lim Nt  lim Pt
t

t

t

là dãy khớp.
c, Một hệ ngƣợc M t , f rt  các R - môđun đƣợc gọi là thỏa mãn tiêu chuẩn Mittag
– Leffler (ML) nếu với mỗi t , dãy giảm các R - môđun con  f rt (M r ) | r  t của
M t là dừng. Nói cách khác, với mỗi t, tồn tại t0  t sao cho: nếu r , r '  t0 thì
f rt (M r )  f r 't (M r ' ) .

Cho dãy khớp ngắn các hệ ngƣợc của các R - môđun
0  M t    Nt   Pt   0 .


(i) Nếu  Nt  thỏa mãn tiêu chuẩn (ML) thì Pt  cũng thỏa mãn tiêu chuẩn (ML).
(ii) Nếu M t  thỏa mãn tiêu chuẩn (ML) thì ta có dãy khớp sau
0  lim M t  lim Nt  lim Pt  0 .
t

t

t

d, Cho M t  là một hệ thuận các R - mơđun. Khi đó


10
HomR (lim M t ; N )  lim Hom R ( M t ; N )
t

t

với mọi R - môđun N .

1. 4. Hàm tử dẫn xuất trái
1. 4. 1. Định nghĩa. Cho F : R  mod  R  mod là một hàm tử hiệp biến, cộng
tính, khớp phải trên phạm trù các R  mod . Cho M là một R - mơđun, khi đó tồn
tại lời giải xạ ảnh

P 
M

ta có phức
F ( P ) :...  F ( Pi 1 )  F ( Pi )...  F ( P1 )  F ( P0 ) .


Hàm tử dẫn xuất trái L F của F là họ các hàm tử L F  Li Fi 0 đƣợc xác định


bởi Li F  Hi ( F ( P )) , trong đó Hi ( F ( P )) là môđun đồng điều thứ i của phức F ( P ) .
1. 4. 2. Tính chất. (1). Li F (M ) không phụ thuộc việc chọn lời giải xạ ảnh của
M.

(2). Nếu M là một R - mơđun xạ ảnh thì Li F (M )  0, i  0.
(3). L0 F  F .
(4). Giải sử 0  M '  M  M ''  0 là một dãy khớp ngắn các R - mơđun. Khi đó
ta có dãy khớp dài:
...  Li 1 ( F (M '' ))  Li ( F (M ' ))  Li ( F (M ))  Li ( F (M '' ))  …
...  L1 ( F (M '' ))  L0 ( F (M ' ))  L0 ( F (M ))  L0 ( F (M '' ))  0 .

1. 5. Hàm tử dẫn xuất phải. Cho

F : R  mod  R  mod là một hàm tử hiệp

biến, cộng tính, khớp trái. Cho M là một R - môđun với lời giải nội xạ

M 
 I

ta có phức
F ( I  ) : 0  F ( I 0 )  F ( I 1 )  ...


11
nói chung khơng khớp. Khi đó hàm tử dẫn xuất phải, R F của F là họ các hàm

tử R F  Ri F i 0 đƣợc xác định bởi


Ri F (M )  H i ( F ( I  )) .

1. 6. Môđun mở rộng
1. 6. 1. Lời giải nội xạ. Cho M là một R - môđun. Ký hiệu hàm tử
F  HomR (M , ) : R  mod  R  mod .

Ta có F là hàm tử cộng tính, khớp trái. Khi đó hàm tử dẫn xuất phải của F là
R F  Ri F 



i 0

đƣợc gọi là hàm tử mở rộng của M . Ký hiệu
Ri F ( N )  Ext iR (M , N )

gọi là môđun mở rộng thứ i của M và N .
1. 6. 2. Một số tính chất cơ bản của mơđun mở rộng
(i) Ext 0R (M , N )  HomR (M , N ) .
(ii) Ext iR (M , I )  0, i  0 khi I là nội xạ.
(iii) Từ dãy khớp ngắn các R - môđun:
0  N '  N  N ''  0

ta có dãy khớp dài các R - môđun
0  Hom R ( M , N ' )  Hom R ( M , N )  Hom R ( M , N '' )



 Ext1R ( M , N ' )  Ext1R ( M , N )  Ext1R ( M , N '' )  ....

Nếu hàm tử F '  HomR (, M ) thì F ' là hàm tử hiệp biến và tƣơng tự nhƣ trên
ta cũng có các mơđun mở rộng Ext iR (M , N ) thỏa mãn các tính chất sau:
(i) Ext 0R ( N , M )  HomR ( N , M ) ;
(ii) Ext iR ( P, M )  0, i  1, khi P là xạ ảnh;
(iii) Từ dãy khớp ngắn các R -môđun:
0  N '  N  N ''  0


12
ta có dãy khớp dài các R - mơđun
0  Hom R ( N '' , M )  Hom R ( N , M )  Hom R ( N ' , M )
 Ext1R ( N ' , M )  ....

1. 7. Tích tenxơ của hai mơđun
Cho M và N là các R - mơđun. ích tenxơ của M và N là cặp T ,  ở đó
T là một R - mơđun và  : M  N  T là một ánh xạ song tuyến tính có tính chất:

với mỗi R - mơđun T ' và một ánh xạ song tuyến tính f : M  N  T ' , tồn tại duy
nhất một đồng cấu R -môđun f : T  T ' sao cho f   f , tức là biểu đồ

M  N 
T
f

f

T


'

giao hốn.
Tích tenxơ M và N đƣợc kí hiệu là M R N , hoặc M  N .
Chú ý rằng, nếu  : M  M ' và  ' : N  N ' là những đồng cấu R -mơđun
khi đó tƣơng ứng :
  ' : M  N  M '  N ' ,

xác định bởi (   ' )( x  y)   ( x)   ' ( y) , với mọi x  M và y  N là một đồng cấu
và gọi là tích tenxơ của các đồng cấu  và  ' .

1. 8. Môđun phẳng
1. 8. 1. Định nghĩa. Một R – môđun M đƣợc gọi là phẳng nếu với mỗi đơn cấu
R – môđun f : N '  N , đồng cấu cảm sinh
id M  f : M  N '  M  N

cũng là đơn cấu.


13
1. 8. 2. Mệnh đề. Một R – môđun M là phẳng nếu và chỉ nếu với mọi dãy khớp
ngắn các R – môđun
f
g
0
0 
 N ' 
 N 
 N '' 
0 ,


dãy cảm sinh
idM  f
idM  g
0 
 M  N ' 
 M  N 
 M  N '' 
0

cũng là dãy khớp ngắn.
1. 8. 3. Mệnh đề. Mọi môđun t do đều là môđun phẳng.

1. 9. Mơđun địa phƣơng hóa
1. 9. 1. Vành các thƣơng. Cho S là tập nhân đóng của vành R . Trên tích Đề các
R  S ta xét quan hệ hai ngôi:  r , s 

 r , s   t  S : t  rs  sr   0 . Khi đó 
'

'

'

'

là quan hệ tƣơng đƣơng trên R  S . Với (r, s)  R  S , ký hiệu r / s là lớp tương
đương chứa (r , s) và S 1R là tập thương của R  S theo quan hệ tƣơng đƣơng :
S 1R  r / s | r  R, s  S .


Trên S 1R trang bị hai phép toán là phép cộng và phép nhân, khi đó S 1R trở
thành một vành và gọi là vành các thương của R theo tập nhân đóng S .
Mỗi iđêan của vành R có dạng S 1I  a / s | a  I , s  S , trong đó I là iđêan của
R . Ta có S 1I  S 1R  I  S   . Do đó S 1 I là iđêan thực sự của S 1R khi và chỉ

khi I  S   .
Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R . Khi đó S  R \ p là một tập nhân
đóng của vành R . Vành S 1R trong trƣờng hợp này là vành địa phƣơng, ký hiệu
1
là Rp , với iđêan cực đại duy nhất pRp  S p  a / s ap, sR \ p nên đƣợc gọi là

vành địa phương hoá của vành R tại iđêan nguyên tố p .
1. 9. 2. Mơđun các thƣơng. Cho S là tập nhân đóng của vành R . Khi đó ta có
vành các thƣơng S 1R . Trên tích Đề các M  S ta xét quan hệ hai ngôi:


14

 m, s 

 m , s   t  S : t  ms  sm   0 . Khi đó  là quan hệ tƣơng đƣơng
'

'

'

'

trên M  S . Do đó M  S đƣợc chia thành các lớp tƣơng đƣơng, ta ký hiệu tập

thƣơng của M  S theo quan hệ tƣơng đƣơng  là S 1M và ký hiệu lớp tƣơng
đƣơng chứa (m, s) là m / s . Nhƣ vậy S 1M  m / s | m  M , s  S .
Trên S 1M trang bị phép cộng và phép nhân với vô hƣớng:
m / s  m / s '  (s 'm  sm' ) / ss' , m / s; m' / s  S 1M

và r / t.m / s  rm / ts, r / t  S 1R, m / s  S 1M . Khi đó S 1M có cấu trúc là một S 1 R môđun và gọi là môđun các thương của M theo tập nhân đóng S . S 1M cũng có
thể xem là một R -mơđun với phép nhân vô hƣớng nhƣ sau: r. x / s  rx / s , với
mọi r  R, x / s  S 1 M .
Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R và S  R \ p. Khi đó mơđun
S 1M đƣợc gọi là mơđun địa phương hoá của M tại iđêan nguyên tố p , ký hiệu

là Mp . Nhƣ vậy Mp có thể xem nhƣ là Rp -môđun hoặc là R -môđun.

1. 10. Iđêan nguyên tố liên kết, giá của môđun
1. 10. 1. Định nghĩa. (i) Cho M là một R - môđun. Một iđêan nguyên tố p của R
đƣợc gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x  M , x  0 sao cho
p  AnnR ( x).

(ii) Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là Ass R M
(hoặc AssM ).
1. 10. 2. Mệnh đề. 1) p là iđêan nguyên tố liên kết của M khi và chỉ khi tồn tại
một môđun con N của M sao cho N  R / p.
2) Gọi



  Ann( x) | x  M , x  0 .

thì p AssM .


Khi đó nếu p là phần tử c c đại của


15
3) Cho S là một tập nhân đóng của R . Khi đó
Ass R (S 1M )=Ass R M

P  SpecR | P

S   .

1. 10. 3. Hệ quả. Nếu N là một môđun con của R -môđun M thì AssN  AssM
1. 10. 4. Định nghĩa. Cho M là R -mơđun. Khi đó tập hợp
Supp R M  p SpecR | M p  0

đƣợc gọi là giá của R - mơđun M .

CHƢƠNG 2. MƠĐUN COMPẮC TUYẾN TÍNH
BIỂU DIỄN ĐƢỢC
Năm 1942, S. Leschetz đƣa ra khái niệm khơng gian vectơ compắc tuyến
tính nhằm nghiên cứu các khơng gian vectơ vô hạn chiều. Năm 1953, D.
Zelinsky đã mở rộng khái niệm này thành khái niệm môđun compắc tuyến tính.


16
Từ đó đến nay, lớp mơđun compắc tuyến tính đã đƣợc nhiều nhà toán học trên
thế giới quan tâm nghiên cứu. Chú ý rằng, lớp mơđun compắc tuyến tính rất
rộng, chứa nhiều lớp môđun quan trọng trong Đại số giao hốn. Thậm chí một
lớp mơđun con của mơđun compắc tuyến tính đó là mơđun compắc tuyến tính
nửa rời rạc cũng chứa thực sự các mơđun Artin; hơn thế nữa nó cịn chứa các

mơđun Noether trên vành địa phƣơng đầy đủ.
Mục đích của chƣơng này là trình bày lại một cách chi tiết các kết quả của
N. T. Cƣờng và L. T. Nhàn trong [5] về mơđun compắc tuyến tính biểu diễn
đƣợc. Các kết quả trong bài báo này là một mở rộng của các kết quả trong bài
báo [12] của L. Melkersson and P. Schenzel.

2. 1. Mơđun compắc tuyến tính
Sau đây, chúng tơi trình bày khái niệm mơđun compắc tuyến tính theo
thuật ngữ I. G. Macdonald [8].
Một R  mơđun M đƣợc gọi là môđun tôpô nếu M là một khơng gian tơpơ
và các phép tốn trên mơđun M là liên tục. R  môđun tôpô M đƣợc gọi là
Hausdorff nếu giao của tất cả các lân cận của 0 bằng 0 .
2. 1. 1. Định nghĩa. Cho R là vành tơpơ giao hốn và M là R -mơđun tơpơ. Ta
hiểu một cơ sở lân cận của M là một cơ sở lân cận của phần tử 0  M .
(i) M đƣợc gọi là mơđun tơpơ tuyến tính nếu M có một cơ sở lân cận M
gồm các mơđun con mở thỏa mãn điều kiện: Cho trƣớc x  M và N  M, tồn tại
lân cận U của phần tử 0 của R sao cho Ux  N .
(ii) R -mơđun tơpơ tuyến tính Hausdorff M đƣợc gọi là compắc tuyến tính
nếu M có tính chất sau đây: Nếu F là một họ các lớp kề của các mơđun con đóng
trong M có tính chất giao hữu hạn (tức là giao của mỗi họ con gồm hữu hạn


17
phần tử của F đều khác rỗng) thì giao của tất cả các lớp kề trong F là khác
rỗng.
Sau đây chúng tơi trình bày một số tính chất của các mơđun compắc tuyến
tính thƣờng sử dụng trong chƣơng này.
Bổ đề sau đƣợc chứng minh trong [8].
2. 1. 2. Bổ đề. (i) Cho M là một R - môđun compắc tuyến tính và N là một
mơđun con của M . Khi đó N là đóng nếu và chỉ nếu N là compắc tuyến tính.

(ii) Nếu M , N là các R -mơđun tơpơ tuyến tính Hausdorff, trong đó M là
compắc tuyến tính và f : M  N là đồng cấu liên tục thì f (M ) là compắc tuyến
tính và do đó f là ánh xạ đóng.
(iii) Nếu M là R -mơđun tơpơ tuyến tính Hausdorff và N là mơđun con
đóng của M thì M là compắc tuyến tính nếu và chỉ nếu N và M / N là compắc
tuyến tính.
(iv) ích tr c tiếp của các mơđun compắc tuyến tính là compắc tuyến tính.
(v) Giới hạn ngược của một hệ ngược các mơđun compắc tuyến tính với
các đồng cấu liên tục là compắc tuyến tính.
(vi) Nếu M là mơđun tơpơ tuyến tính Hausdorff và N1 ,..., Nr là các mơđun
con compắc tuyến tính của M thì N1  ...  Nr là compắc tuyến tính.
2. 1. 3. Bổ đề. Cho M t  là hệ ngược các môđun compắc tuyến tính với các đồng
cấu liên tục. Khi đó với mọi i  0 ta có
lim(i ) (M t )  0 ,
t

trong đó lim(i ) () là hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử giới hạn ngược.
t

Giả sử P là một R -môđun tự do với cơ sở  xi iI và M là một R -mơđun
tơpơ tuyến tính. Chúng ta có thể trang bị cho HomR ( P; M ) một tơpơ tuyến tính


18
nhƣ là tơpơ tích của M I thơng qua đẳng cấu HomR ( P, M )  M I . Mặt khác ta có
nếu f : P  P'

là đồng cấu giữa hai R -mơđun tự do thì đồng cấu cảm sinh

f* : HomR ( P' , M )  HomR ( P, M ) là liên tục.


Cho F là R -mơđun phẳng. Khi đó tồn tại hệ thuận {Ft} các R -môđun tự
do hữu hạn sinh sao cho F  lim Ft . Theo lập luận ở trên, HomR ( Ft , M ) có dạng là
t

một hệ ngƣợc các R -mơđun tơpơ tuyến tính với các đồng cấu liên tục. Vì thế
lim Hom R ( Ft ; M ) là R - mơđun tơpơ tuyến tính. Do đó chúng ta có thể định nghĩa
t

một tơpơ tuyến tính trên HomR ( F ; M ) cảm sinh từ tôpô của giới hạn ngƣợc
lim Hom R ( Ft ; M ) thông qua các đẳng cấu
t

HomR ( F ; M )  HomR (lim Ft ; M )  lim HomR ( Ft ; M ) .
t

t

Trong trƣờng hợp này chúng ta nói rằng mơđun tơpơ HomR ( F ; M ) được định
nghĩa bởi hệ thuận Ft  .
Nhìn chung, tồn tại hệ ngƣợc các mơđun tơpơ tuyến tính với các đồng cấu
liên tục mà giới hạn ngƣợc của chúng là các môđun đẳng cấu (đại số) với nhau,
nhƣng các tôpô định nghĩa bởi tôpô của giới hạn ngƣợc tƣơng ứng thì lại khơng
tƣơng đƣơng. Chẳng hạn, gọi ( R, m) là vành địa phƣơng đầy đủ. Ta xem R là
vành với tôpô rời rạc. Xét ( R / mt ) và { Rt } với Rt  R là các hệ ngƣợc của các
R - môđun với tôpô rời rạc. Khi đó giới hạn của hệ ngƣợc thứ nhất là R với tơpơ

m-adic, trong khi đó giới hạn của hệ ngƣợc thứ hai là R với tôpô rời rạc. Tuy
nhiên chúng ta sẽ thấy dƣới đây rằng tôpô của HomR ( F ; M ) đƣợc định nghĩa nhƣ
ở trên không phụ thuộc vào cách chọn hệ thuận {Ft} với F  lim Ft .

t


19
2. 1. 4. Định lý. Cho F là một R - môđun phẳng, M là một R - môđun compắc
tuyến tính. Giả sử {Ft }tK là một hệ thuận các R -môđun t do hữu hạn sinh sao
cho F  lim Ft . Khi đó ta có
tK

(i) R -mơđun tơpơ tuyến tính HomR ( F ; M ) định nghĩa bởi hệ thuận {Ft }tK là
compắc tuyến tính và tơpơ của nó độc lập với cách chọn hệ thuận này.
(ii) Ext iR ( F ; M )  0 , với mọi i  0 .
Chứng minh. (i). Rõ ràng HomR ( F ; M ) là compắc tuyến tính theo Bổ đề 2.1.2,
(iv), (v). Gọi {Fs' }sK ' là hệ thuận thứ hai các R - môđun tự do hữu hạn sinh sao
'
cho F  lim Fs . Gọi L  HomR ( F ; M ) là R - môđun tôpô định nghĩa bởi hệ thuận
sK '

thứ nhất và L'  HomR ( F ; M ) đƣợc định nghĩa bởi hệ thuận thứ nhất. Chúng ta cần
'
'
chứng minh L đồng phôi với L' . Đặt T   Ft và T   Fs . Khi đó T và T ' là
sK '

tK

các R - môđun tự do. Chú ý rằng F là ảnh đồng cấu của T và nó cũng là ảnh
đồng cấu của T ' . Vì thế tồn tại biểu đồ giao hốn
g
f

T1 
 T 
 F 
0

h

k

g
f
T1' 
 T ' 
 F 
0
'

'

trong đó các dịng là khớp với f , f ' là các toàn cấu ở trên, T1 và T1' là các R môđun tự do và h, k là các đồng cấu nâng của ánh xạ đồng nhất của F . Từ đây
chúng ta nhận đƣợc biểu đồ giao hoán
'

'

f
g
0 
 L' 
 Hom R (T ' ; M ) 

 Hom R (T1' ; M )

k

h

f
g
0 
 L 
 Hom R (T ; M ) 
 Hom R (T1; M )

với các dòng khớp là các đồng cấu cảm sinh h , k , g' , g là liên tục. Vì thế ánh xạ
đồng nhất L  L' phải liên tục. Hồn tồn tƣơng tự chúng ta có thể chỉ ra rằng
ánh xạ đồng nhất L'  L là liên tục. Vậy L đồng phôi với L' .


20
(ii). Ta có dãy phổ
( p)

E2 p ,q  lim Ext q R ( Ft ; M )  Ext i R (limFt ; M ) .
tK

tK

Vì Ft là mơđun tự do nên E2 p,q  0 với mọi q  0. Do đó dãy phổ này sinh ra đẳng
cấu
(i )


i
lim Hom R ( Ft ; M )  Ext R ( F ; M )

tK

□

Vì thế Ext iR ( F ; M )  0 với mọi i  0 theo Bổ đề 2.1.3.

Nhắc lại rằng đối với mỗi tập đóng nhân S của R , hàm tử HomR ( RS ; ) là
khớp trên phạm trù các môđun Artin [12, Mệnh đề 2.4]. Hệ quả tức khắc dƣới
đây của Định lý 2.1.4 mà rất hay đƣợc sử dụng trong chƣơng này là mở rộng của
kết quả trên.
2. 1. 5. Hệ quả. Cho 0  M '  M  M ''  0 là dãy khớp các R - mơđun compắc
tuyến tính. Khi đó, với mỗi R - môđun phẳng F , dãy sau là khớp
0  HomR ( F ; M ' )  HomR ( F ; M )  HomR ( F ; M '' )  0 .

2. 2. Tính biểu diễn đƣợc của HomR ( F ; M )
Cho M là R - mơđun. Nhƣ đã trình bày trong Chƣơng 1, một biểu diễn
thứ cấp của M là một phân tích M  M1  M 2  ...  M n thành tổng của hữu hạn
các môđun con pi- thứ cấp M i . Nếu M  0 hoặc M có một biểu diễn thứ cấp thì
ta nói M là biểu diễn được. Biểu diễn thứ cấp này đƣợc gọi là tối thiểu nếu các
iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và khơng có hạng tử M i nào là thừa. Dễ
thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể quy về tối thiểu. Tập hợp

p1 , p2 ,..., pn  là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối thiểu của
p1 , p2 ,..., pn  đƣợc gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của

M . Vì thế


M và ký hiệu bởi


21
Att R ( M ) . Các hạng tử M i , i  1,..., n , đƣợc gọi là các thành phần thứ cấp của M .

Nếu pi là tối thiểu trong Att R (M ) thì M i đƣợc gọi là thành phần thứ cấp cô lập.
2. 2. 1. Bổ đề. Cho F là R -môđun phẳng và M là R -mơđun compắc tuyến tính.
Nếu M là p – thứ cấp thì HomR ( F ; M ) hoặc bằng 0 hoặc là p – thứ cấp.
Chứng minh. Giả sử HomR ( F ; M )  0 . Lấy x  p . Thế thì xn M  0 với một số
nguyên dƣơng n nào đó. Do đó xn HomR ( F ; M )  0 . Lấy x  p . Khi đó xM  M . Vì
M là Hausdorff nên 0 là mơđun con đóng của M . Do phép nhân bởi x trên M

là liên tục nên (0 : xR)M là môđun con đóng của M . Vì thế nó là compắc tuyến
tính theo Bổ đề 2.1.2, (i). Do đó ta có dãy khớp các R -mơđun compắc tuyến tính
x M 
0 
(0 : xR) 
 M 
0 .
M

Do đó, theo Hệ quả 2.1.5, ta có dãy khớp
x
0 
 HomR  F ;  0 : xR M  
 HomR  F ; M  
 HomR  F ; M  
0 .


Vậy phép nhân bởi x trên HomR ( F ; M ) là toàn cấu.

□

2. 2. 2. Bổ đề. Cho M là R -mơđun compắc tuyến tính và N là môđun con của
M . Nếu N là p – thứ cấp thì bao đóng N của N cũng là p – thứ cấp.

Chứng minh. Lấy x  p tùy ý. Khi đó xn N  0 với một số ngun dƣơng n nào
đó. Vì thế ta có (0 : xn R)M  N . Vì (0 : xn R)M là mơđun con đóng của M và chứa
N nên (0 : x n R) M  N . Do đó

x n N  x n (0 : x n R)M  0
Lấy x  p . Khi đó xN  N . Vì N là mơđun con đóng của M nên theo Bổ đề
2.1.2, (ii) ta có xN cũng là mơđun con đóng của M . Lại vì xN  xN  N nên
xN  N . Do đó ta có xN  N .

□


22
2. 2. 3. Hệ quả. Cho M là R - mơđun compắc tuyến tính biểu diễn được. Khi đó
M có một biểu diễn thứ cấp tối thiểu sao cho mọi thành phần thứ cấp của nó

đều là compắc tuyến tính.
Chứng minh: Gọi M  M1  M 2  ...  M n là biểu diễn thứ cấp tối thiểu của M ,
trong đó M i là pi-thứ cấp với i  1,...., n . Khi đó Att R M  p1 ,..., pn  . Ký hiệu M i là
bao đóng của M i với i  1,...., n . Theo Bổ đề 2.1.2, (i) các môđun con M i là
compắc tuyến tính. Lại theo Bổ đề 2.2.2, với mọi i  1,...., n , các môđun con M i
cũng là pi-thứ cấp vì

M 1  ...  M n  M1  ...  M n  M

nên M  M 1  ...  M n là biểu diễn thứ cấp mà mọi thành phần thứ cấp Mi với
i  1,...., n đều là compắc tuyến tính. Nhƣ vậy ta chỉ còn phải chứng minh biểu

diễn này là tối tiểu. Giả sử rằng nó khơng tối tiểu. Vì các pi là đơi một phân biệt
nên phải có một thành phần thứ cấp M i là thừa, tức là M i   M j với i nào đó.
j i

□

Vì thế M   M j . Theo Bổ đề 2.2.2, pi  Att R M . Mâu thuẫn.
j i

2. 2. 4. Hệ quả. Cho M là một R -mơđun compắc tuyến tính biểu diễn được và p
là một phần tử của Att R M . Khi đó tồn tại ảnh đồng cấu B của M sao cho B là
compắc tuyến tính p – thứ cấp.
Chứng minh. Theo Hệ quả 2.2.3, ta có thể chọn đƣợc một biểu diễn thứ cấp tối
thiểu M  M1  M 2  ...  M n của M sao cho mọi thành phần thứ cấp M i đều là
compắc tuyến tính. Giả sử M i là p – thứ cấp. Chọn B  M /  M j . Khi đó B là
j i

compắc tuyến tính theo Bổ đề 2.1.2. Thêm nữa, dễ dàng kiểm tra đƣợc B là p –
thứ cấp

□


23
Với mỗi R – môđun biểu diễn đƣợc M , ta biết rằng các thành phần thứ

cấp cô lập của M không phụ thuộc vào biểu diễn thứ cấp tối thiểu của M (xem
[9]). Vì thế theo Hệ quả 2.2.3. Chúng ta có ngay kết quả sau đây.
2. 2. 5. Hệ quả. Cho M là R - môđun compắc tuyến tính biểu diễn được. Khi đó
mọi thành phần thứ cấp cơ lập của M đều là compắc tuyến tính.
2. 2. 6. Định lý. Cho F là R - môđun phẳng và M là R - mơđun compắc tuyến
tính biểu diễn được. Khi đó HomR ( F ; M ) là R - mơđun compắc tuyến tính biểu diễn
được.
Chứng minh. Theo Hệ quả 2.2.3, chúng ta có thể chọn đƣợc một biểu diễn thứ
cấp tối thiểu M  M1  M 2  ...  M n của M sao cho mọi thành phần thứ cấp M i với
i  1,..., n, đều là compắc tuyến tính. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n . Khi

n 1,

định lý đƣợc chứng minh theo Bổ đề 2.2.1, Với n  1 , đặt

N1  M1; N2  M 2  ...  M n . Khi đó N 2 là compắc tuyến tính theo Bổ đề 2.1.2, (vi).

Vì thế, theo Bổ đề 2.1.2, môđun N1 N2 , N1  N2 là compắc tuyến tính. Sử dụng
tính chất khớp của hàm tử HomR ( F ; ) trong Hệ quả 2.1.5 vào dãy khớp các R mơđun compắc tuyến tính

0  N1 N2  N1  N2  N1  N2  0
ta có
Hom R ( F ; N1  N 2 )  Hom R ( F ; N1  N 2 ) / Hom( F ; N1

N2 )

 (Hom R ( F ; N1 )  Hom R ( F ; N 2 ) / Hom R ( F ; N1 ) Hom R ( F ; N 2 )
 Hom R ( F ; N1 )  Hom R ( F ; N 2 ).

Vì thế


HomR ( F ; N1  N2 )  HomR ( F ; N1 )  HomR ( F ; N2 ) ,


24
trong đó HomR ( F ; N1 ) và HomR ( F ; N2 ) đƣợc xét nhƣ các môđun con của
HomR ( F ; M ) . Sử dụng giả thiết quy nạp cho mơđun N 2 ta có điều cần chứng

□

minh.

2. 2. 7. Chú ý. Tính biểu diễn đƣợc của lớp các mơđun có chiều Goldie hữu hạn
đã đƣợc nghiên cứu bởi L. Melkersson [11] (một môđun đƣợc gọi là có chiều
Goldie hữu hạn nếu nó khơng chứa tổng trực tiếp của vô hạn các môđun con).
Trong lớp các mơđun này, ơng đã đặc trƣng tính biểu diễn đƣợc bằng đối đồng
điều địa phƣơng. Tuy nhiên, với mỗi R - môđun phẳng F và mỗi R - môđun biểu
diễn đƣợc có chiều Goldie hữu hạn M , ơng vẫn chƣa thể nói gì về tính biểu diễn
đƣợc của mơđun HomR ( F ; M ) chỉ vì HomR ( F ; M ) khơng nhất thiết có chiều
Goldie hữu hạn. Vì thế Melkersson đã đƣa ra câu hỏi: Cho F là một R - môđun
phẳng và M là một mơđun biểu diễn được có chiều Goldie hữu hạn. HomR ( F ; M )
có là mơđun biểu diễn được hay không?
Định lý 2.2.6 là câu trả lời khẳng định đối với câu hỏi trên cho mọi môđun
compắc tuyến tính biểu diễn đƣợc M khơng nhất thiết có chiều Goldie hữu hạn.
Chú ý rằng tồn tại các môđun (thậm chí trên vành địa phƣơng đầy đủ) là compắc
tuyến tính biểu diễn đƣợc nhƣng khơng có chiều Goldie hữu hạn. Thật vậy theo
S. Lefschetz [7], tồn tại các không gian véc tơ compắc tuyến tính có chiều vơ
hạn. Vì thế các khơng gian này khơng có chiều Goldie hữu hạn. Rõ ràng rằng
mọi không gian véc tơ đều là 0 – thứ cấp nên nó biểu diễn đƣợc. Tuy nhiên N. T.
Cƣờng and L. T. Nhàn [5] đã chỉ ra ở ví dụ sau một lớp rất rộng các mơđun

compắc tuyến tính biểu diễn đƣợc nhƣng khơng có chiều Goldie hữu hạn.
2. 2. 8. Ví dụ. Gọi ( R, m) là vành địa phƣơng với dim R  2 . Chọn p¹ m là iđêan
ngun tố của R có độ cao lớn hơn 1 . Gọi M là R -môđun compắc tuyến tính
biểu diễn đƣợc sao cho M chứa một môđun con đẳng cấu với bao nội xạ E của


25
R / m . Khi đó HomR ( Rp; M ) là compắc tuyến tính biểu diễn đƣợc nhƣng khơng có

chiều Goldie hữu hạn.
Chứng minh. Theo Định lý 2.2.6, HomR ( Rp; M ) là compắc tuyến tính biểu diễn
đƣợc. Mặt khác, theo [12, Bổ đề 4.1] ta có
AssRp (HomR ( Rp; M ))  AssRp (HomR ( Rp; E))  Spec( Rp ) .

Vì p có độ cao lớn hơn 1 nên dimR ( Rp )  1 . Ta đã biết rằng một vành địa phƣơng
p

có hữu hạn các iđêan nguyên tố khi và chỉ khi nó có chiều Krull khơng vƣợt q
1 . Do đó Rp là vành có vơ hạn các iđêan ngun tố. Vì thế AssRp (HomR ( Rp; M )) là

tập vô hạn. Từ đây ta có thể dễ dàng suy ra đƣợc HomR ( Rp; M ) là Rp - mơđun
khơng có chiều Goldie hữu hạn và vì thế nó cũng là R – mơđun khơng có chiều
Goldie hữu hạn. Đặc biệt, nó khơng là mơđun Artin.

□

2. 3. Đối địa phƣơng hóa
Khái niệm đối địa phƣơng hóa đƣợc L. Melkersson và P. Schenzel đƣa ra
năm 1995 trong [12].
2. 3. 1. Định nghĩa. Đối địa phương hóa của R – mơđun M tƣơng ứng với tập

đóng nhân S của R là RS - mơđun HomR ( R; M ) .
Chú ý rằng khi A là Artin, Hom( RS ; A) hầu nhƣ không là RS - mơđun Artin,
trong khi đó với M là R - mơđun compắc tuyến tính biểu diễn đƣợc, Hom( RS ; M )
luôn luôn là R – môđun compắc tuyến tính biểu diễn đƣợc. Do đó việc nghiên
cứu hàm tử đối địa phƣơng hóa trên các mơđun compắc tuyến tính biểu diễn
đƣợc là thực sự có ý nghĩa.
2. 3. 2. Bổ đề. Cho S tập đóng nhân của R và M là R – mơđun compắc tuyến
tính. Giả sử
 : HomR ( RS ; M )  M