TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÀI CHÍNH – MARKETING
KHOA KINH TẾ - LUẬT

TIỂU LUẬN HỌC PHẦN

TỐN CAO CẤP

TIỂU LUẬN MƠN TỐN CAO CẤP

SV:

SOUTHAMMAVONG LINA

Lớp:

16DBH3

GVHD
:

Phạm Thị Thu Hiền

Tp Hồ Chí Minh tháng 7 năm 2020


MỤC LỤC
PHẦN 1. GIỚI THIỆU..................................................................................................1
PHẦN 2. NỘI DUNG....................................................................................................2
2.1. Mơ hình cân đối liên ngành (input - output ) của Leontief..................................2
2.1.1. Giới thiệu mơ hình........................................................................................2
2.1.2. Giải mơ hình..................................................................................................3

2.1.3. Ví dụ.............................................................................................................. 4
2.2. Mơ hình IS – LM.................................................................................................5
2.2.1. Giới thiệu mơ hình........................................................................................5
2.2.2. Giải mơ hình..................................................................................................5
2.2.3. Ví dụ.............................................................................................................. 6
2.3. Mơ hình cân bằng thu nhập quốc dân..................................................................7
2.3.1. Giới thiệu mơ hình........................................................................................7
2.3.2. Giải mơ hình..................................................................................................8
2.3.3. Ví dụ.............................................................................................................. 8
2.4. Áp dùng tích phân tính thặng dư của nhà sản xuất (PS) và thặng dư của người
tiêu dùng (CS)............................................................................................................9
2.4.1. Giới thiệu mơ hình........................................................................................9
2.4.2. Ví dụ............................................................................................................ 10
2.5. Xác định quỹ vốn và lao động để tối đa hóa lợi nhuận......................................11
2.5.1. Giới thiệu mơ hình.......................................................................................11
2.5.2. Ví dụ............................................................................................................11
2.6. Xác định cơ cấu sản phẩm để tối thiểu hóa chi phí, tối đa hóa doanh thu, lợi
nhuận........................................................................................................................ 12
2.6.1. Giới thiệu mơ hình......................................................................................12
2.6.2. Phương pháp giải.........................................................................................13
2.6.3. Ví dụ............................................................................................................ 14
2.7. Tối đa hóa lợi ích trong điều kiện ràng buộc về ngân sách dành cho chi tiêu....14
2.7.1. Giới thiệu Mơ hình......................................................................................14
2.7.2. Giải pháp mơ hình.......................................................................................15
2.7.3. Ví dụ............................................................................................................ 16
2.8. Tối đa háo sản lượng trong điều kiện ràng buộc về ngân sách dành cho sản xuất
.................................................................................................................................. 17
2.8.1. Giới thiệu mơ hình......................................................................................17
2.8.2. Ví dụ............................................................................................................ 17



PHẦN 3. KẾT LUẬN..................................................................................................19


PHẦN 1.

GIỚI THIỆU

Phát triển kinh tế là mục tiêu của tất cả các nước trên thế giới. Để đạt được
mục tiêu đó thì địi hỏi các nước phải có sự kết hợp hài hòa việc phát triển của
tất cả các ngành khác nhau. Trong quá trình phát triển kinh tế đó thì tốn học
là một yếu tố có ứng dụng rất quan trọng. Việc ứng dụng tốt các mơ hình kinh
tế vào trong nền kinh tế đòi hỏi các nước phải có một cơ sở tốn học vững
chắc. Bằng chứng là các mơ hình kinh tế từ trước đến nay như mơ hình ISLM ,mơ hình tăng trưởng SOLOW dấu ấn của tốn học trong đó.
Ngày nay vai trị của tốn học được thể hiện qua nhiều khía cạnh khác
nhau từ giảng dạy nghiên cứu đến chính sách kinh tế. Nhiều người cho rằng
toán học là phần tương ứng lý thuyết của kinh tế lượng một ngành có mục
đích phân giải các hiện tượng kinh tế bằng các phương pháp thống kê. Trên
bình diện chính sách kinh tế thì các mơ hình kinh tế tốn và kinh tế lượng
được các viện nghiên cứu và các cơ quan chính phủ sử dụng rộng rãi và
thường xuyên trong việc đánh giá và du báo ảnh hưởng của các chu trình, xu
hướng kinh tế hay các chính sách kinh tế cơng.

1


PHẦN 1. NỘI DUNG
1.1. Mơ hình cân đối liên ngành (input - output ) của Leontief
1.1.1. Giới thiệu mơ hình
Trong một nền kinh tế hiện đại, việc sản xuất một loại sản phẩm hàng hóa

nào đó (output) địi hỏi phải sử dụng các loại hàng hóa khác nhau để làm nguyên
liệu đầu vào (input) của quá trình sản xuất và việc xác định tổng cầu đối với sản
phẩm của mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế là quan trọng , nó bao
gồm :
-Cầu trung gian từ phía các nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho q
trình sản xuất.
-Cầu cuối cùng từ phía những người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng hoặc
xuất khẩu , bao gồm các hộ gia đình, Nhà nước, các tổ chức xuất khẩu ...
Xét một nền kinh tế có n ngành sản xuất, ngành 1,2,...,n . Để thuận tiện cho
việc tính chi phí cho các yếu tố sản xuất , ta phải biểu diễn lượng cầu của tất cả các
loại hàng hóa ở dạng giá trị, tức là đó bằng tiền . Tổng cầu về sản phẩm hàng hóa
của ngành i (i=1),2,....,n) được kí hiệu và xác định bởi

ở đây :
là giá trị sản phẩm của ngành i mà ngành k cần sử dụng cho quá trình sản xuất
của mình ( giá trị cầu trung gian )
là giá trị sản phẩm của ngành i dành cho nhu cầu tiêu dùng và xuất khẩu ( giá trị
cầu cuối cùng )
Tuy nhiên trong thực tế, ta thường khơng có thơng tin về giá trị cầu trung gian
,nhưng người ta lại chủ động trong việc xác định tỉ phần chi phí đầu vào sản xuất .
Kí hiệu là tỉ phần chi phí đầu vào của ngành k đối với sản phẩm của ngành i nó
được tính bởi cơng thức :
( i , k =1,2,...,n )
2


Chú ý rằng: 0, và ở đây , giả thiết là cố định đối với mỗi ngành sản xuất i,
(k=1,2,..,n ). Người ta cịn gọi là hệ số chi phí đầu vào ma trận
A=()n được gọi là ma trận hệ số chi phí đầu vào ( hay ma trận hệ số kĩ thuật )
Giả sử =0,3 có nghĩa là để sản xuất ra 1 đồng giá trị sản phẩm của mình , ngành k

đã phải chi 0,3 đồng để mua sản phẩm của ngành i phục vụ cho quá trình sản xuất.
Đặt :

X=

Ta gọi X là ma trận tổng cầu và b là ma trận cấu cuối cùng. Khi đó , từ đẳng thức
(*), thay chúng ta có :

Hay biếu diễn dưới dạng ma trận :

Tức là

1.1.2. Giải mơ hình
Từ (**) , ta có
ở đây, I là ma trận đơn vị cấp n , nếu ( I-A ) không suy biến thì:
(***)
Cơng thức (***) được gọi là thức tính ma trận tổng cầu.
Ma trận (I-A) được gọi là ma trận Leontief . Như vây, nếu chúng ta biết ma trận hệ
số kĩ thuật A và ma trận cầu cuối cùng thì sẽ xác định được giá trị tổng cầu của các
ngành sản xuất.

1.1.3. Ví dụ
Giả sử trong một nền kinh tế có hai ngành sản xuất : ngành 1 và ngành 2 có ma
trận
hệ số kĩ thuật là :
A=

3



Cho biết giá trị cầu cuối cùng đối với sản phẩm của ngành 1 và ngành 2 thứ tự là
10, 20 tỷ đồng . Hãy xác định giá trị tổng cầu đối với mỗi ngành.
Bải giải:
Kí hiệu: là ma trận tổng cầu
Với: là giá trị tổng cầu của ngành 1
là giá trị tổng cầu của ngành 2
Theo giả thiết ma trận cầu cuối b có dạng
Theo cơng thức tính ma trận tổng cầu (***), ta có:

Vậy ma trận tổng cầu là:

Hay: Giá trị tổng cầu của ngành 1 là x1 = 25 tỷ đồng.
Giá trị tổng cầu của ngành 2 là x2 = tỷ đồng

1.2. Mơ hình IS – LM
1.2.1. Giới thiệu mơ hình
Trong mơ hình IS-LM để phân tích trạng thái cân bằng của nền kinh tế ,
chúng ta xem xét cả hai thị trường hàng hóa và tiền tệ . Một trong những yếu tố
quan trọng
ảnh hưởng tới cả hai thị trường này là lãi suất r . Mục tiêu của chúng ta là phải xác
định được mức thu nhập quốc dân và lãi suất ở trạng thái cân bằng.
Xét thị trường hàng hóa dịch vụ với các yếu tố gồm chi tiêu chính phủ G  G0 . Chi
tiêu hộ gia định C=aY+b () (hoặc C=a(1-t )Y+b) ( t – thuế suất thu nhập ), đầu tư
I=k-lr ( k ,1 ) . phương trình cân bằng của thị trường hàng hóa dịch vụ là :

(Phương trình đường IS )
4


Xét thị trường tiền tệ với các yếu tố :

Lượng cầu tiền L = L(Y,r) = mY-nr (m,n và lượng cung tiền M=(được định trước) .
Phương trình cân bằng của thị trường tiền tệ có dạng:
(Phương trình đường LM)

1.2.2. Giải mơ hình
Để xác định mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng và chúng ta thiết lập hệ
gồm 2 phương trình 2 ẩn Y và r (mơ hình IS-LM)

Giải hệ bằng quy tắc Cramer, chúng ta có:

Vậy mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng là:

1.2.3. Ví dụ
Xét mơ hình IS-LM với : C = 0,6Y +35

a) Sử dụng quy tắc Cramer, xác định mức thu nhập quốc dân và lài suất cân bằng
b) Tính khi G0=70; M0=1500 (nghìn tỷ VNĐ)
Giải
a)Phương trình đường IS:
Y = C + I + G0 = 0,6 Y+ 35 + 65 – r + G0 ↔ 0,4Y + r = 100 + G0
Phương trình đường LM:
L = M0 ↔ 5Y-50r =M0
Chúng ta xác định thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng từ hệ 2 phương trình 2 ẩn
Y và r
5


Vậy mức thu nhập quốc dân và lãi suất cân bằng là:

b) Với G0 = 70; M0 = 1500, chúng ta có:


1.3. Mơ hình cân bằng thu nhập quốc dân
1.3.1. Giới thiệu mơ hình
Xét mơ hình cân bẳng thu nhập quốc dân ở dạng đơn giản với các kí hiệu: Y
là tổng thu nhập quốc dân , G là chi tiêu chính phủ ,I là đầu tư và C là tiêu dùng của
các hộ gia đình.
Ở đây, chúng ta giả thiết chỉ tiêu chính phủ và đầu tư là cố định G =và I=,
cịn chỉ tiêu hộ gia định có dạng tuyến tính: C = aY+b (0 < a < 1, b > 0)
Mơ hình cân bằng thu nhập quốc dân có dạng hệ phương trình tuyến tính
gồm 2 phương trình 2 ẩn Y và C:

Tiếp theo ,xét mơ hình trong trường hợp thu nhập chịu thuế với thuế suất t%
( thường biểu diễn dưới dạng thập phân ), khi đó thu nhập sau thế là:
Và hàm chi tiêu khi đó có dạng:
Ngồi ra, chúng ta cũng xem xét mơ hinh với ảnh hưởng các yếu tố xuất khẩu X và
nhập khẩu N. Khi đó,mơ hình có dạng:

Chú ý: Hai yếu tố xuất khẩu (X) và nhập khầu (N) có thể cho dưới dạng hàm của
thu nhập Y hoặc là giá trị cố định cho trước.
6


Chúng ta vấn biển đổi đưa mơ hình về hệ gồm 2 phương trình, 2 ẩn Y và C .

1.3.2. Giải mơ hình
Giải hệ (*) bẳng quy tắc Cramer, chúng ta xác dịnh được mức thu nhập cân bằng và
mức tiêu dùng cân bằng của nền kinh tế.

Vậy mức thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng là:


1.3.3. Ví dụ
Cho: C = 0,80Yd + 250; G = G0; Yd = (1- t ).Y (t là thuế suất thu nhập)
a) Sử dụng quy tắc Cramer, hãy xác định mức thu nhập quốc dân và chi tiêu cân
bằng.
b) Tình mức thu nhập quốc dân và chỉ tiêu cân bằng với I0=150, G0 =500 (đơn
vị: tỉ VND ) và t =0,15 (15%)
Giải :
Đầu tiên ta xác định mơ hình cân bằng:

a) Vậy mức thu nhập quốc dân và chi tiêu cân bằng là:
b)Với I0 = 150; G0 = 500, t=0,15 ta có

1.4. Áp dùng tích phân tính thặng dư của nhà sản xuất (PS) và thặng dư
của người tiêu dùng (CS)
1.4.1. Giới thiệu mơ hình
Trong mơ hình thị trường , hàm cầu QD = D(P) ho biết lượng hàng hóa QD mà người
mua bằng lòng mua ở mỗi mức giá P (ở đây QD là lượng cầu của toàn bộ thị
trường). Khi biểu diễn bằng đồ thị mối liện hệ giữa giá và lượng cầu , các nhà kinh
7


tế thường sử dụng trục tung để biểu diễn giá P và trục hoành biểu diễn lượng Q. Với
cách biểu diễn như vậy thì đường cầu là đồ thị của hàm cầu đảo P=(QD ( hàm ngược
của hàm cầu QD =D(P)).
Giả sự điểm cân bằng của thị trường là (P0.Q0) và hàng hóa được bán với giá P0 trên
thị trường . Khi đó những người mua lẽ ra bằng lịng trả giá P1 > P0 được hưởng một
khoản lợi bằng P1 - P0 đối với mỗi đơn vị hàng hóa mua theo giá thị. Tổng số hưởng
lợi của tất cả những người tiêu dùng bằng diện tích của tam giác cong AEP0.

Các nhà kinh tế gọi đó là thặng dư của người tiêu dùng ( Consumers’ Surplus ).

Thặng dư của người tiêu dùng được tính theo cơng thức :

Hàm cung QS = S(P) của thị trường cho biết lượng hàng hóa QS mà các nhà sản xuất
bằng lịng bán ở mỗi mức giá P. Đường cung là đó thị của hàm cung đảo P= (QS).
Nếu hàng hóa được bán trên thị trường ở mức giá cân bằng P0 thì những nhà sản
xuất lễlẽ ra bằng lòng bán ở mức giá P1 < P0 được hướng một khoản lợi bằng P1 - P0
đối với mỗi đơn vị hàng hóa bán theo giá thị trường. Tổng số hưởng lợi của tất cả
các nhà sản xuất bằng diện tích của tạm giác cong AEP0 .Các nhà kinh tế gọi đó là
thặng dư của nhà sản xuất (Producers’ Surplus ) .

8


Thặng dư của nhà sản xuất được tính theo cơng thức:

1.4.2. Ví dụ
Cho biết hàm cầu và hàm cung đối với một loại sản phẩm:
1)Tìm điểm cân bằng thị trường.
2)Tính thặng dư của nhà sản xuất và thặng dư của người tiêu dùng.
Giải
a)Sản lượng cân bằng Q0 là nghiệm dương của phương trình:

b)Thặng dư nhà sản xuất:
Thặng dư người tiêu dùng:

1.5. Xác định quỹ vốn và lao động để tối đa hóa lợi nhuận.
1.5.1. Giới thiệu mơ hình
Một doanh nghiệp có hàm sản xuất là Q = f (K,L),trong đó K > 0 là vốn, L > 0 là
lao động. Giá bán một đơn vị sản phẩm là P >0 , giá một đơn vị vốn và lao đồng lần
lượt PK, PL.Xác định K , L để doanh nghiệp lợi nhuận cực đại .

Ta có :
9


Hàm doanh thu của doanh nghiệp TR=P.Q=P.f(K,L)
Hàm chi phí của doanh nghiệp TC =PK.K + PL.L
Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp: = Pf(K,L)- PK.K - PL.L
Mơ hình bài tốn:
Ta cần tìm (K,L) sao cho max← = Pf(K,L)- PK.K - PL.L

1.5.2. Ví dụ
Cho hàm sản xuất của một doanh nghiệp biết giá thuê một đơn vị vốn K
bằng 0.03, giá thuê một đơn vị lao động bằng 2, giá sản phẩm bằng 4. Hãy xác định
mức sử dụng K, L để hãng thu được lợi nhuận tối đa.
Giải
Lợi nhuận của hãng = Tổng doanh thu – Tổng chi phí

Khi đó, bài tốn trở thành:
Tìm mức sử dụng K và L sao cho:
Ta có:

Bên cạnh đó, ta tính được:
Do đó:
Ta được:
Vậy khi thì lợi nhuận của doanh nghiệp sẽ đạt tối đa.

1.6. Xác định cơ cấu sản phẩm để tối thiểu hóa chi phí, tối đa hóa doanh
thu, lợi nhuận
1.6.1. Giới thiệu mơ hình
Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa bán trong điều kiện cạnh tranh

hồn hảo với các mức giá P1, P2,…, Pn. Hàm chi phí C = C (Q1 Q2,… Qn) với
10


Qi(i=1,n) là mức sản lượng thứ i mà doanh nghiệp sản xuất . Tìm các mức sản lượng
Q1, Q2,…, Qn mà doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại.

Giả sử doanh nghiệp sản xuất n loại hàng hóa bán trong điều kiện độc quyền với
các mức giá P1, P2,…, Pn. Hàm chi phí C = C (Q1 Q2,… Qn) với Qi(i=1,n) là mức sản
lượng thứ i mà doanh nghiệp sản xuất . Tìm các mức sản lượng Q 1, Q2,…, Qn mà
doanh nghiệp cần sản xuất để lợi nhuận cực đại.

1.6.2. Phương pháp giải

Gọi Q1, Q2,…, Qn là các mức sản lượng cần tìm
Doanh thu:
Chi phí: C = C(Q1, Q2,…, Qn )
Lợi nhuận:

Xét trường hợp doanh nghiệp độc quyền sản xuất hai loại sản phẩm với hàm
chi phí kết hợp TC = TC(Q1,Q2)
Doanh nghiệp độc quyền định giá sản phẩm của mình căn cứ vào chi phí sản
xuất và cầu thị trường .
Giả sử cầu của thị trường là :

Hàm lợi nhuận có dạng:
Căn cứ vào cầu của thị trường ta có thể biểu diễn tổng lợi nhuận theo Q1 và Q2 :

Theo phương pháp tìm cực trị của hàm 2 biến số ta xác định được mức sản
lượng là để đạt cực đại, từ đó sẽ suy ra giá tối ưu

11


1.6.3. Ví dụ
Giả sử hàm tổng chi phí của doanh nghiệp cạnh tranh là :

Và giá sản phẩm là p1 = 60, p2 = 34 . Hãy xác định mức sản lượng tối ưu ( cho
lợi nhuận tối đa )
Giải: Hàm tổng lợi nhuận sẽ là:
Điều kiện cần để đạt lợi nhuận tối đa là :

Ta lại có với mọi Q1, Q2
Suy ra do đó lợi nhuận sẽ lớn nhất nếu doanh nghiệp sản xuất 4 đơn vị sản
phẩm thứ nhất và 3 đơn vị sản phẩm thứ hai.

1.7. Tối đa hóa lợi ích trong điều kiện ràng buộc về ngân sách dành cho
chi tiêu
1.7.1. Giới thiệu Mơ hình
Một gia định dùng số tiền M đề mua hai loại sản phẩm có đơn giá lần lượt là
.Hàm lợi ích cảu gia định ứng với hai sản phẩm trên là :
TU = TU() hãy xác định số lượng sản phẩm ,sao cho làm lợi ích đạt giá trị cao
nhật .
Mơ hình hóa:
Tủ các u cầu trên , ta có mơ hình của bài toán :
Xác định số lượng sản phẩm sao cho :
TU = TU()max
Thỏa điểu kiện : +=M

1.7.2. Giải pháp mơ hình
Tìm cục trị của hàm số:


12


W=f()=f(x)với điều kiện : g()=g(x)=b
Lập hàm phụ Lagrange.
Điều kiện cần :Giá sử các hàm f và g có các đạo hàm riêng liên tục trong một lân
cận của điểm ()và tại điểm đó ít nhất một trong các đạo hàm riêng của g khác 0.
Nếu W=f(x) với điều kiện g (x)=b đạt cực trị tại thì tồn tại một giá trị của nhân từ
lagrange sao cho là nghiệm của hệ phương trình:
( i=1,2,..,n )
Điều kiện đủ : Giả sử các hàm f và g có các đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại
điểm và điểm là một điểm dùng của hàm số Lagrange. Lập trận :

Trong đó
; (i,j,k=1,2,...,n)
Các định thức con chính cấp k (k=2,3,...,n )là

i)
ii)

Nếu (với thì hàm W=f(x) với điểu kiện g(x)=b đạt giá trí đại tại điểm .
Nếu với thì hàm W=f(x) với điều kiện g(x)=b đạt giá trị cực tiểu tại
điểm .

1.7.3. Ví dụ
Giả sử hàm lợi ích đối 2 sản phẩm là U(x,y)=Inx+Iny trong đó X là lượng hàng thứ
nhất ,y là lượng hàng thứ hai. Giasuwr người tiêu dùng có thu nhập f phải dùng hết
để mua hai sản phẩm trên , và lần lượt là đơn giá của hai mạt hàng . Bài tốn đạt ra
là cần tìm X và Y để cực đại hóa U với ràng buộc

( điều kiện của bài toán ): I ; I
Hàm Lagrange của bài toán :
L=Inx+Iny+(IĐiều kiện cấp 1:
13


Hesian bao:

=
=
Vậy U đạt cục đại toàn cục với ràng buộc g(x,y)=I tại
x== và y = =
khi đó U=In + In = In

1.8. Tối đa háo sản lượng trong điều kiện ràng buộc về ngân sách dành
cho sản xuất
1.8.1. Giới thiệu mơ hình
Sản xuất – cực đại về sản lương
Đặt vấn đề :
Doanh nghiệp có hàm sản xuất Q=f() và đơn giá các yếu tố đầu vào là . cho là
tổng kính phí doanh nghiệp đùng để mua các yếu tố đầu vào . xác định mức sử
dừng các yếu tố đầu vào sao cho doanh nghiệp sản xuất được nhiều nhất.
Mơ hình hóa :
Ta có tổng chí phí các yếu tố đầu vào là :

Khi đó mơ hình của bài tốn là :
Tìm mức sử dụng các yếu tố đầu vào sao cho
Q=f(max
Thỏa điển kiện : =


14


1.8.2. Ví dụ
Gọi tạo độ của vecto x trong cơ sở B là = ()
x=

Vậy tạo độ của vecto X =( 1,2,-1 ) trong cơ sơ B là :

15


PHẦN 2. KẾT LUẬN
Đây là một số ứng dụng của tốn trong kinh tế. Tốn đóng một vai trị rất quan
trọng, có thể nói lả khơng thể thiếu, trong bộ mơn kinh tế. Vai trị này có xu hướng
tăng dần theo thời gian, mặc dù vẫn cịn sự phê bình, chống đối việc dùng tốn làm
một phương pháp chính để phân tích, thơng hiểu một hệ thống nhân văn phức tạp
như hệ thống kinh tế. Nói chung, tốn đã giúp kinh tế, nhất là kinh tế lý thuyết, tiến
triển rất nhiều. Dĩ nhiên, toán hoá đã và đang làm thay đổi bản chất và phạm vi của
bộ môn kinh tế. Toán cũng ảnh hưởng rất lớn đến sự truyền đạt ý niệm và đề xuất
kinh tế, không những giữa các nhà kinh tế với nhau, mà còn giữa các nhà kinh tế và
dân chúng, và giữa các nhà kinh tế và các nhà làm chinh sách.

16


TÀI LIỆU THAM KHẢO
/>%C4%90%C3%81P_%C3%81N_M%C3%94_H%C3%8CNH_TO
%C3%81N_KINH_T%E1%BA%BE
Tài liệu mơn học tốn cao cấp

Tài liệu mơn học tốn ứng dụng trong kinh tế của trường đại học kinh tế - đại
học Đà Nẵng

17


18