Bài tập thực hành
XÁC SUẤT THỐNG
KÊ
Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG
Học kì III, năm học 2008 - 2009


Bài 4
Biến ngẫu nhiên

4.1 Hai loại biến ngẫu nhiên
IV.1. Xác định trường hợp nào sau đây là hàm phân phối xác suất
1.

X
-1 0
1
p(x) 0.2 0.6 0.2

2.

X
1/2 3/4 1
p(x) -1 0 2

3.

X
2
4
6

p(x) 0.25 0.35 0.5

4.

X
0.1 0.7 0.8
p(x) 2/5 1/5 2/5

IV.2. Xét phân phối xác suất như sau
X
0
1
2
3
p(x) 0.25 0.45 0.2 0.1
Tìm trung bình và phương sai của X.
IV.3. Tung lần lượt hai con xúc xắc, gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ tổng số chấm
xuất hiện ở hai mặt trên. Xác định hàm phân phối xác suất của X.
IV.4. Năm người phụ nữ và 5 người đàn ông được xếp thứ tự dựa vào điểm
trong một cuộc thi. Giả sử điểm của hai người bất kỳ là khác nhau và 10! trường
hợp xếp thứ có khả năng xảy ra như nhau. Gọi X là thứ hạng cao nhất đạt được
bởi một phụ nữ (chẳng hạn X = 2 thì người đứng đầu là nam và người thứ hai
là nữ). Tính xác suất P (X = i) với i = 1, . . . , 10.


Bài 4. Biến ngẫu nhiên

IV.5. Gọi X là chênh lệch giữa số mặt sấp và ngửa khi tung một đồng xu n lần.
Cho biết những giá trị có thể có của X.
IV.6. Trong bài tập trên, nếu đống xu cân đối, và n = 3, xác suất để X nhận

những giá trị có thể có là bao nhiêu?
IV.7. Cho biến ngẫu nhiên X nhận các giá trị 1, 2, 3, 4 với khả năng như nhau.
Tìm kỳ vọng và phương sai của X.
IV.8. Một công ty bảo hiểm bán một bảo hiểm nhân thọ với giá 20000 đô la và
số tiền khách hàng phải đóng hàng năm là 300 đô la. Những bảng thống kê bảo
hiểm cho thấy, một người mua bảo hiểm có thể chết trong một năm với xác suất
0.001. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ lợi nhuận của công ty trên mỗi bảo hiểm
bán ra trong một năm.
1. Cho biết phân phối xác suất của X
2. Tìm lợi nhuận kỳ vọng trên mỗi bảo hiểm của công ty.
3. Nếu không có giả thiết số tiền khách hàng phải đóng hàng năm là 300 đô
la thì số tiền công ty phải thu của khách hàng mỗi năm là bao nhiêu để lợi
nhuận kỳ vọng trên mỗi bảo hiểm lớn hơn 0?
IV.9. Giả sử hai người cùng chơi nhiều lần một trò chơi (trong mỗi lần chơi
luôn có người thắng cuộc và người còn lại thua cuộc). Trò chơi sẽ kết thúc nếu
có một người thắng i lần. Các lần chơi là độc lập với nhau và xác suất người
A thắng trong mỗi lần chơi là p. Tìm trung bình của số lần chơi giữa hai người
biết i = 2. Chỉ ra rằng giá trị đó lớn nhất khi p = 0.5.
IV.10. Thời gian sửa chữa một chiếc máy tính cá nhân (đơn vị: giờ) là biến
ngẫu nhiên có hàm mật độ như sau



f (x) =

1/2, 0   x   2
0,
trường hợp còn lại

?


Chi phí sửa chữa phụ thuộc vào thời gian theo công thức 40 + 30 x trong đó
x là thời gian sửa chữa chiếc máy. Tìm chi phí kỳ vọng để sửa chữa một chiếc
máy tính cá nhân.
IV.11. Mười quả bóng được chọn ngẫu nhiên từ một chiếc bình có 17 quả bóng
trắng và 23 quả bóng đen. Gọi X là số bóng trắng được lấy ra. Tính EX.
2

Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG


4.2. Một số loại biến ngẫu nhiên đặc biệt

4.2 Một số loại biến ngẫu nhiên đặc biệt
R cung cấp một số hàm tương ứng với những biến ngẫu nhiên đặc biệt để
tính hàm phân phối (P (X ¤ x)), hàm mật độ xác suất, hàm phân vị (với xác
suất p cho trước, xác định giá trị nhỏ nhất x sao cho P (X ¤ x) ¡ p) và mô
phỏng phân phối.
Phân phối
Nhị thức
Khi - bình phương
Mũ
F
Chuẩn
Poisson
Student (t)
Đều

Tên trong R
binom

chisq
exp
f
norm
pois
t
unif

Tham số
size, prob
df
rate
df1, df2
mean, sd
lambda
df
min, max

Để có hàm mật độ, hàm phân phối (tích lũy), hàm phân vị và hàm mô phỏng ta
thêm vào trước tên của các phân phối những chữ cái "d", "p", "q", "r"
tương ứng.

Phân phối nhị thức
dbinom(x, size, prob,...)
pbinom(q, size, prob, lower.tail = TRUE, ...)
qbinom(p, size, prob, lower.tail = TRUE, ...)
rbinom(n, size, prob)
Trong đó
x, q
một véc tơ những giá trị

p
một vec tơ những giá trị xác suất
size
số phép thử
prob
xác suất thành công trong mỗi phép thử
lower.tail tham số kiểu logic, nếu TRUE xác suất là P (X ¤ x), ngược lại P (X
n
số phần tử trong mẫu cần lấy
Giả sử ta có biến ngẫu nhiên nhị thức X ∼ B(10, 0.2). Tức là, hai tham số của
phân phối size là 10 và prob bằng 0.2.
Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG

3

¡ x)


Bài 4. Biến ngẫu nhiên

Chẳng hạn ta cần tính P (X = 5)
> dbinom(5, 10, 0.2)
[1] 0.02642412
Hay P (X = 3), P (X = 5), P (X = 7)
> dbinom(c(3, 5, 7), 10, 0.2)
[1] 0.201326592 0.026424115 0.000786432
Vậy ta có P (X = 3) = 0.201326592, P (X = 5) = 0.026424115, P (X = 7) =
0.000786432.
Nếu ta muốn tính xác suất P (1 ¤ X ¤ 8), ta có thể làm như sau
> sum(dbinom(1:8, 10, 0.2))

[1] 0.8926216
Hoặc,
> pbinom(8, 10, 0.2)-pbinom(0,10,0.2)
[1] 0.8926216
Để tính xác suất P (X ¡ 8) ta có thể dùng công thức 1
P (X ¤ 8) hoặc dùng
tham số lower.tail với giá trị FALSE như sau
> 1-pbinom(8, 10, 0.2)
[1] 4.1984e-06
hoặc
> pbinom(8, 10, 0.2,lower.tail=F)
[1] 4.1984e-06
Hàm phân vị qbinom dùng để tìm một số x nhỏ nhất sao cho P (X ¤ x) ¡ p
trong đó p cho trước trong đoạn [0, 1]. Đối với những phân phối liên tục trên
đây, x sẽ thỏa mãn công thức P (X ¤ x) = p.
> qbinom(0.5,10,0.2)
[1] 2
như vậy P (X ¤ 2) gần với 0.5 nhất so với P (X ¤ 3), P (X ¤ 4), . . .
Đối với X ∼ B(10, 0.2) ta có thể lập bảng phân phối xác suất cho X và
minh họa trên đồ thị như sau
> XacSuat= dbinom(0:10, 10, 0.2)
> round(XacSuat, 3)
[1] 0.107 0.268 0.302 0.201 0.088 0.026 0.006 0.001 0.000 0.000
0.000
> data.frame(X= 0:10, p = round(XacSuat, 3))

4

Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG



4.2. Một số loại biến ngẫu nhiên đặc biệt

0.20
0.15
0.10
0.05
0.00

p
0.107
0.268
0.302
0.201
0.088
0.026
0.006
0.001
0.000
0.000
0.000

p

X
0
1
2
3
4
5

6
7
8
9
10

0.25

0.30

Phan phoi XS cua BNN nhi thuc
n=10, p=0.2

0

2

4

6

8

10

X

Phân phối Poisson
Phân phối Poisson có một tham số là λ. Các hàm xác suất, xác suất tích lũy,
phân vị, mô phỏng của phân phối Poisson trong R như sau:

dpois(x, lambda, ... )
ppois(q, lambda, lower.tail = TRUE, ... )
qpois(p, lambda, lower.tail = TRUE, ... )
rpois(n, lambda)
Trong đó
x
một véc tơ những giá trị (số nguyên không âm)
q
một vec tơ những giá trị
p
một vec tơ những giá trị xác suất
lambda
giá trị trung bình của biến ngẫu nhiên
lower.tail tham số kiểu logic, nếu TRUE xác suất là P (X ¤ x), ngược lại P (X
n
số phần tử trong mẫu cần lấy
Phân phối đều
dunif(x, min=0, max=1, ... )
punif(q, min=0, max=1, lower.tail = TRUE, ... )
qunif(p, min=0, max=1, lower.tail = TRUE, ... )
runif(n, min=0, max=1)
Trong đó
Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG

5

¡ x)


Bài 4. Biến ngẫu nhiên


x, q
p
min, max
lower.tail
n

một véc tơ những giá trị
một vec tơ những giá trị xác suất
cận dưới (mặc định là 0), cận trên (mặc định là 1) của phân phối
tham số kiểu logic, nếu TRUE xác suất là P (X ¤ x), ngược lại P (X
số phần tử trong mẫu cần lấy

¡ x)

Phân phối chuẩn
Phân phối chuẩn có hai thma số là trung bình (mean) và độ lệch chuẩn (sd).
dnorm(x, mean = 0, sd = 1, log = FALSE)
pnorm(q, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
qnorm(p, mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE, log.p = FALSE)
rnorm(n, mean = 0, sd = 1)
Trong đó
x, q
một véc tơ những giá trị
p
một vec tơ những giá trị xác suất
mean
giá trị trung bình (mặc định là 0)
sd
giá trị độ lệch chuẩn (mặc định là 1)

lower.tail tham số kiểu logic, nếu TRUE xác suất là P (X ¤ x), ngược lại P (X
n
số phần tử trong mẫu cần lấy

¡ x)

Phân phối mũ
Phân phối mũ có một tham số là λ (rate) là nghịch đảo của giá trị trung
bình.
dexp(x, rate = 1, ... )
pexp(q, rate = 1, lower.tail = TRUE, ... )
qexp(p, rate = 1, lower.tail = TRUE, ... )
rexp(n, rate = 1)
Trong đó
x, q
một véc tơ những giá trị
p
một vec tơ những giá trị xác suất
rate
giá trị λ
lower.tail tham số kiểu logic, nếu TRUE xác suất là P (X ¤ x), ngược lại P (X
n
số phần tử trong mẫu cần lấy
Chi tiết về các hàm nói trên và một một số hàm phân phối không được giới
thiệu trên đây, các bạn có thể dùng help() để tìm hiểu.
IV.12. Màu mắt của một người được xác định bởi một cặp gen, trong đó gen
quy định màu mắt nâu trội hơn so với gen quy định màu mắt xanh. Điều này có
6

Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG


¡ x)


4.2. Một số loại biến ngẫu nhiên đặc biệt

nghĩa là nếu một người có hai gen lặn thì có màu mắt xanh, còn khi có ít nhất
một gen trội thì có màu mắt nâu. Khi môt cặp vợ chồng có con, cặp gen của
người con nhận được một cách ngẫu nhiên một gen trong cặp gen của bố và của
mẹ. Nếu một cặp vợ chồng có mắt màu nâu và có đứa con đầu mắt xanh thì xác
suất để có đúng hai trong số 4 đứa con của họ có mắt xanh là bao nhiêu (cho biết
trong gia đình không có những đứa trẻ sinh đôi).
IV.13. Một vệ tinh nhân tạo gồm 4 bộ phận hoạt động tốt khi ít nhất 2 trong 4
bộ phận trong điều kiện làm việc. Nếu các bộ phận này độc lập, và đều trong
điều kiện làm việc với xác suất 0.6 thì xác suất đệ vệ tinh hoạt động tốt là bao
nhiêu?
IV.14. Một nguồn truyền tín hiệu truyền đi các con số 0 và 1. Tuy nhiên theo
thống kê, một con số nhận về không chính xác với xác suất 0.2. Giả sử ta cần
truyền đi một tin nhắn gồm một số nhị phân. Để làm giảm sai sót người ta truyền
00000 thay cho 0 và 11111 thay cho 1. Tín hiệu nhận được sẽ được giải mã là 0
nếu ít nhất có 3 số không trong tin nhắn nhận được và là 1 trong những trường
hợp còn lại. Tính xác suất tin nhắn sau khi giải mã không chính xác. Cần có
những giả thiết gì?
IV.15. Cho X là biến ngẫu ngiên nhị thức với EX = 3, V X = 2.1. Tính
P (X = 7), P (X ¡ 5), P (X ¡ 15).
IV.16. Nếu bạn mua 50 vé xổ số và cơ hội trúng thưởng của mỗi vé số là 1/100.
Tính xác suất để bạn trúng ít nhất một giải, đúng một giải, ít nhất hai giải.
IV.17. Số lần một người bị cảm lạnh trong một năm tuân theo phân phối Poisson
với trung bình là λ = 3. Tính xác suất để một người không bị cảm lạnh, và xác
suất để một người bị cảm lạnh không quá 2 lần trong một năm.

IV.18. Giả sử một người có mặt tại bến xe buýt lúc 10 giờ sáng, cho biết thời
điểm xe buýt đỗ tại bến tuân theo phân phối đều giữa 10h và 10h30. Tính xác
suất người đó phải đợi trên 15 phút. Nếu lúc 10h15 xe buýt vẫn chưa tới bến,
xác suất để người đó phải đợi thêm 5 phút nữa là bao nhiêu?
IV.19. Cho X là biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với tham số µ = 8, σ 2 = 25,
tính

¡ 5)
2. P (2   X   6)
3. P (X   15)
1. P (X

Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG

7


Bài 4. Biến ngẫu nhiên

4. P (X

¡ 10)

IV.20. Giả sử lượng mưa hàng năm (mm) của một địa phương tuân theo phân
phối chuẩn với trung bình là 1800, độ lệch chuẩn là 100. Tính xác suất để có 2
năm trong 4 năm có lượng mưa không quá 1600 mm. Giả thiết rằng lượng mưa
trong các năm khác nhau là độc lập.
IV.21. Giả sử tuổi thọ của một chiếc đèn hình màu trong tivi tuân theo phân
phối chuẩn với trung bình 8.2 năm và độ lệch chuẩn 1.4 năm. Tính xác suất để
một chiếc đèn hình màu có tuổi thọ

1. trên 10 năm
2. ít hơn 4 năm
3. từ 4 đên 10 năm.
IV.22. Chỉ số IQ của người tuân theo phân phối chuẩn với trung bình 100 và
độ lệch chuẩn 14.2. Nhóm 10% những người có chỉ số IQ cao nhất có chỉ số IQ
nằm trong phạm vi nào?
IV.23. Số lần động đất tại một địa phương có phân phối Poisson với tỷ lệ 5 trận
mỗi năm
1. Xác suất có ít nhất 3 vụ động đất trong nửa năm đầu tiên của năm 2010 là
bao nhiêu?
2. Giả sử sự kiện trên xảy ra, xác suất không có động đất ở địa phương trong
năm 2011 là bao nhiêu?
3. Mới có một vụ động đất vào tháng 5 năm 2010. Tính xác suất để ít nhất
một năm nữa không có vụ động đất nào.
IV.24. Giả sử số dặm (nghìn dặm) một chiếc ôtô đi được cho đến khi không sử
dụng được nữa tuân theo phân phối mũ với tham số λ = 1/20. Một người mua
một chiếc ôtô cũ đã đi được 10 nghìn dặm, xác suất để anh ta có thể sử dụng nó
để đi tiếp đựoc 20 nghìn dặm nữa là bao nhiêu?

4.3 Phân phối chọn mẫu

8

Bộ môn Toán - ĐẠI HỌC THĂNG LONG