BÀI GIẢNG: CỰC TRỊ HÀM ĐA THỨC BẬC BA CHỨA M – TIẾT 2
CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
MƠN TỐN LỚP 12
THẦY GIÁO: NGUYỄN CƠNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM
A. PHƢƠNG PHÁP LÀM BÀI
DẠNG 3. TÌM M ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC ĐẠI, CỰC TIỂU THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƢỚC
I. TÌM m ĐỂ HÀM SỐ CĨ HAI ĐIỂM CỰC TRỊ x1 ; x2 THOẢ MÃN MỘT HỆ THỨC CHO TRƢỚC
1. Phƣơng pháp
Cho hàm số f  x, m   ax3  bx2  cx  d  a  0 
Bước 1: TXĐ: D  R
y '  3ax2  2bx  c  Ax2  Bx  C

Bước 2: Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi
A  0
a  0
 2
 m  D1

b  3ac  0
 ' y '  0

Bước 3: Gọi là hai nghiệm của PT . Khi đó, theo định lý Vi-et:
S  x1  x2  

B
2b
C
c
  ; P  x1.x2  
A
3a

A 3a

Bước 4: Biến đổi hệ thức đề bài về dạng chứa S ; P . Từ đó giải tìm được m  D2
Bước 5: Kết luận m  D1  D2 thoả mãn ycbt
Chú ý.
+ Nhẩm nhanh ra nghiệm đẹp khi nhận thấy A  B  C  0 hoặc A  B  C  0 hoặc  ' y ' là bình phương khơng
âm. Khi đó ta thay trực tiếp nghiệm vào hệ thức đề bài đặc biệt các hệ thức không đối xứng x1 ; x2 .
+ Một số hệ thức thường gặp: S  x1  x2 ; P  x1.x2
x12  x22   x1  x2   2 x1.x2  S 2  2 P
2

x13  x23   x1  x2   3x1.x2  x1  x2   S 3  3PS
3

 x1  x2 

2

1

  x1  x2   4 x1.x2  S 2  4P
2

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


x1  x2  S 2  4 P 


A


2. Bài tập áp dụng

1
Câu 13: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  x3  mx 2  x  m  1 có hai điểm cực trị x1 ; x2 thoả
3
mãn x12  x22  2 .
A. m  1

C. m 

B. m  0

2
2

D. m  1

Hƣớng dẫn giải
+ TXĐ: D  R
+ Ta có: y '  x2  2mx  1
+ y '  0  x 2  2mx  1  0 1
+ Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x1 ; x2
 1 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2   '  0  m2  1  0 luôn đúng m .

+Theo Vi- et: S  x1  x2  2m; P  x1.x2  1
+ Từ gt x12  x22  2  S 2  2P  2  4m2  2  0  m  0
Chọn B.






Câu 14: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  x3  3 .m  1 x 2  3 m2  3m x  7 đạt cực đại , cực
tiểu tại x1 ; x2 thoả mãn x12  x22  8 .
A. m  1; m  2

C. m  2

B. m  1; m  2

D. m  1

Hƣớng dẫn giải
y '  3x 2  6  m  1 x  3  m2  3m 

y '  0  x 2  2  m  1 x   m2  3m   0
 m  1   m2  3m   0
 '  0

ycbt   2

2
2
S  2P  8

4  m  1  2  m  3m   8
2

2


Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


m  1
m  1  0

 2
   m  1 l   m  2
 2m  2m  4  0
m  2


Chọn C.
Câu 15: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  x3  3mx 2  3  m  1 x  1 đạt cực trị tại x1 ; x2 thoả
mãn 3  x1  x2   4 x1 x2  16  0 .
A. m  2

B. m  2

C. m  3

D. m  3

Hƣớng dẫn giải

y '  3x 2  6mx  3  m  1
y '  0  x 2  2mx  m  1  0
m2  m  1  0
m2  m  1  0

 '  0

ycbt  


 m  2
3S  4 P  16  0
3.2m  4  m  1  16  0
10m  20  0


Chọn A.





Câu 16: Số giá trị nguyên của m để hàm số y   x3  3x 2  3 m2  1 x  1 đạt cực trị tại x1 ; x2 thoả mãn
x1  x2  2 .

A. 0

C. 2

B. 1

D. 3

Hƣớng dẫn giải
Cách 1:

y '  3x 2  6 x  3  m2  1

y '  0  x 2  2 x   m2  1  0
2

 '  0
m  0
m  0
ycbt   2
 2

 m  1
 2
2
S  4P  4
m  1  0

2  4  m  1  4

Cách 2:
y '  3x 2  6 x  3  m2  1
y '  0  x 2  2 x   m2  1  0
 '  m2  0  m  0

Khi đó: x1  1  m; x2  1  m thay trực tiếp vào gt:

3

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!



x1  x2  2  1  m  1  m  2  2m  2  m  1

Cách 3: SD CTGN
y '  0  x 2  2 x   m2  1  0
 '  m2  0  m  0

Khi đó: x1  x2  2 


 2  2m  2  m  1
A

Chọn C.
Câu 17: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  x3  3x2  3mx  2 đạt cực trị tại x1 ; x2 thoả mãn
2 x1  x2  5 .
A. m  3

B. m  3

C. m  1

D. m  1

Hƣớng dẫn giải
y '  3x2  6 x  3m
y '  0  x 2  2 x  m  0 1

+ Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x1 ; x2
 1 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2  '  0  1  m  0  m  1*


Gọi là hoành độ các điểm cực trị.
Theo Vi- et: S  x1  x2  2; P  x1.x2  m
 x1  3
 x1  x2  2


+ Kết hợp với gt, ta có: 2 x1  x2  5   x2  1
 x .x  m
 x .x  m  3 tm
 
 1 2
 1 2

Vậy m  3
Chọn B.
Câu 18: Số các giá trị nguyên của m để hàm số y  2 x3  3  m  1 x 2  6mx  1 đạt cực trị tại x1 ; x2 thoả mãn
4 x12  x1  x22  19 .

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hƣớng dẫn giải

y '  6 x 2  6  m  1 x  6m


4

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


x  1
y '  0  x 2   m  1 x  m  0 1   x  1 x  m   0  
x  m

+ Để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị  m  1*
TH1: x1  1; x2  m
Thay vào gt: 4m2  m  1  19  4m2  m  18  0  m  2; m 

9
 tm 
4

Vậy có 4 giá trị thực của m thoả mãn.
Chọn D.





1
1
Câu 19: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y   x3   2m  1 x 2  m  m2 x  1 có cực đại, cực
3
2

2
2
tiểu thoả mãn 3xCT  xCD  1 .

1

A. m   ;  
2


1

 1 
B. m   ;   1;   C. m    ;1
2

 2 

1 
D. m   ;1
2 

Hƣớng dẫn giải
y '   x 2   2m  1 x   m  m2 
y '  0  x 2   2m  1 x  m 2  m  0 1
   2m  1  4  m2  m   1  0m
2

Suy ra hàm số ln có cực đại, cực tiểu m .
+ Gọi x1 ; x2 là hai nghiệm của 1

Ta có: x1  m; x2  m  1
+ Do hệ số a  0 nên xCT  xCD
Suy ra xCT  m  1; xCD  m
2
2
+ Theo gt 3xCT
 xCD
 1  3  m  1  m2  1  4m2  6m  2  0 
2

1
 m 1
2

Chọn D.
II. TÌM m THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN VỀ DẤU CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ; SO SÁNH HAI ĐIỂM CỰC TRỊ
VỚI MỘT SỐ THỰC VÀ QUAN HỆ CÙNG PHÍA, KHÁC PHÍA SO VỚI MỘT ĐƢỜNG THẲNG.
1. Phƣơng pháp
a. Điều kiện để hai điểm cực trị cùng dấu, trái dấu

5

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


Khi đó PT y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn:
+ 2 nghiệm cùng dấu:   0; P  0
+ 2 nghiệm cùng dương:   0; P  0; S  0
+ 2 nghiệm cùng âm:   0; P  0; S  0
+ 2 nghiệm cùng dấu: P  0 (có thể bỏ   0 )

b. Điều kiện để hai điểm cực trị lớn hơn hoặc nhỏ hơn 
Khi đó PT y '  0 có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mãn:
+ x1    x2   x1    x2     0  x1 x2    x1  x2    2  0
 x1  x2  2
+ x1  x2    


 x1    x2     0


 x1  x2  2
+   x1  x2  
2 nghiệm cùng âm:   0; P  0; S  0
x


x



0




2
 1

c. Điều kiện để hai điểm cực trị nằm cùng phía , khác phía so với một đƣờng thẳng.
Cho A  x1; y1  ; B  x2 ; y2  và ĐT  : ax  by  c  0

+   A .  B   0 thì A, B nằm khác phía so với 
+   A .  B   0 thì A, B nằm cùng phía so với 
2. Bài tập áp dụng
Câu 20: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  x3  3  m  1 x 2  6mx  2 có hai điểm cực trị x1 ; x2
đều dương và thoả mãn
A. m  8

x1  x2  10 .
B. m  2

C. m  2

D. m  4

Hƣớng dẫn giải

y '  3x 2  6  m  1 x  6m
y '  0  x 2  2  m  1 x  2m  0 1

+ Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x1 ; x2 cùng dương  1 có hai nghiệm dương phân biệt

6

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


2
2
 '  0  m  1  2m  0 m  1  0m





  S  0  2  m  1  0
 m  1
m0
P  0
 2m  0
m  0




+ Khi đó gọi x1 ; x2 là hồnh độ các điểm cực trị
Theo gt, ta có:
x1  x2  10  x1  x2  2 x1.x2  10  2  m  1  2 2m  10
 2m  2
 2m  2 2m  8  0  
m2
 2m  4  l 

Chọn C.
Câu 21: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  x3  3mx 2  3  2m  1 x  1 có hai điểm cực trị x1 ; x2
trái dấu và thoả mãn

x1 x2
  6 .
x2 x1

A. m  1


B. m  1

C. m  1

D. m  

1
2

Hƣớng dẫn giải

y '  3x2  6mx  3  2m  1
y '  0  x 2  2mx  2m  1  0 1

+ Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x1 ; x2 trái dấu
 1 có hai nghiệm trái dấu  ac  0  2m  1  0  m  

1
2

+ Khi đó gọi x1 ; x2 là hoành độ các điểm cực trị.
Theo Vi-et: S  x1  x2  2m; P  x1.x2  2m  1
Theo gt, ta có:
x1 x2
x 2  x22
S 2  2P
  6  1
 6 
 6

x2 x1
x1 x2
P


4m 2  2  2m  1
 6  4m2  8m  4  0  m  1
2m  1

Chọn B.

7

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


Câu 22: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  x3  3mx2  3x  1 có cực đại, cực tiểu với hồnh độ
tương ứng x1 ; x2 thoả mãn x1  1  x2 .
A. 1  m  1

B. m  1

C. m  1

 m  1
D. 
m  1

Hƣớng dẫn giải
y '  3x 2  6mx  3

y '  0  x 2  2mx  1  0 1

+ Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x1 ; x2
 m  1
 1 có hai nghiệm phân biệt   '  0  m2  1  0  
*
m  1

+ Khi đó gọi x1 ; x2 là hồnh độ các điểm cực trị.
Theo Vi-et: S  x1  x2  2m; P  x1.x2  1
Theo gt, ta có:
x1  1  x2   x1  1 x2  1  0  x1 x2   x1  x2   1  0
 1  2m  1  0  2m  2  0  m  1**

Kết hợp * và ** ta được m  1
Chọn C.
Câu 23: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  x3 
tiểu với hoành độ đều lớn hơn 4 .
A. m  1; 4 

3
 4m  1 x2  3 5m2  m  x  1 có cực đại, cực
2

B. m  ; 1   4;   C. m  1; 4

1  1 

D. m   1;      ; 4 
6  6 



Hƣớng dẫn giải
y '  3x 2  3  4m  1 x  3  5m2  m 
y '  0  x 2   4m  1 x   5m2  m   0 1

+ Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị x1 ; x2  1 có hai nghiệm phân biệt

8

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


   0   4m  1  4  5m2  m   0  36m2  12m  1  0
2

  6m  1  0  m  
2

1
 *
6

+ Khi đó gọi x1 ; x2 là hoành độ các điểm cực trị.
Theo Vi-et: S  x1  x2  4m  1; P  x1.x2  5m2  m
Theo gt, ta có:


 x1  4
 x1  x2  8

 x1  x2  8





 x2  4
 x1  4  x2  4   0
 x1 x2  4  x1  x2   16  0
9
9


4m  1  8
m  
m  



4
4  1  m  4 **
2
5m  m  16m  4  16  0
5m2  15m  20  0

1  m  4


1  1 


Kết hợp * và ** ta được m   1;      ; 4 
6  6 


Chọn D.
Câu 24: Số các giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y  x3  3x2  m  1 có hai điểm cực trị nằm khác phía
so với trục hoành.
A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

Hƣớng dẫn giải
y '  3x 2  6 x
 x  0  y  m  1  A  0; m  1
y'  0  
 x  2  y  m  3  B  2; m  3

+ Để A; B nằm khác phía so với trục hồnh thì yCD . yCT  0   m  1 m  3  0  1  m  3
+ Do m  Z  m 0;1;2
Chọn C.
Câu 25: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y  x3  3mx2  4 có hai điểm cực trị nằm cùng
phía so với đường thẳng  d  x  2 y  2  0 là:
A.  ;1

B.  0;1


C. m  ;0    0;1

D. 1;  

Hƣớng dẫn giải

y '  3x 2  6mx  3x  x  2m 

9

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


x  0
y'  0  
 x  2m

+ Để hàm số có hai điểm cực trị  2m  0  m  0
+ y  0   4  A  0;4 
y  2m   4m3  4  B  2m; 4m3  4 

+ Để A; B nằm khác phía so với  d  x  2 y  2  0
  0  8  2   2m  8m3  8  2   0  8m3  2m  6  0  m  1

Chọn C.
III. TÌM M ĐỂ ĐỒ THỊ HÀM SỐ CĨ HAI ĐIỂM CỰC TRỊ THOẢ MÃN ĐIỀU KIỆN HÌNH HỌC
NÀO ĐÓ.
1. Phƣơng pháp
Gọi hai điểm cực trị là A  x1; y1  ; B  x2 ; y2 
+ Độ dài AB 


 x2  x1    y2  y1 
2

2

+ Khoảng cách từ M đến  : ax  by  c  0 : d  M ,   

axM  byM  c
a 2  b2

+ ABC vuông tại A  AB. AC  0
+ S ABC 

1
ad  bc với AB   a; b  ; AC   c; d 
2

+ PTĐT qua 2 điểm cực trị khi biết toạ độ:

x  x1
y  y1

x2  x1 y2  y1

+ PTĐT AB : y  h  x  với h  x  là dư của y : y '
2. Bài tập áp dụng
Câu 26: Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y  x3  3mx 2  2m3 có hai điểm cực trị
A; B sao cho AB  OA 5 biết A  Oy; O là gốc toạ độ.


A. m 0; 1

B. m  1

C. m  0;1

D. m  1

Hƣớng dẫn giải

y '  3x 2  6mx  3x  x  2m 

10

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


x  0
y'  0  
 x  2m

+ Để hàm số có hai điểm cực trị  2m  0  m  0
+ y  0   2m3  A  0; 2m3  ; y  2m   2m3  A  2m; 2m3 
+ Theo đề bài:
m  0  l 
AB  OA 5  AB 2  5OA2  4m2  16m6  5.4m6  4m2  4m6  m2 1  m4   0  
 m  1

Chọn B.
Câu 27: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y   x3  3mx  1 có hai điểm cực trị A; B sao cho

OAB vuông tại O với biết O là gốc toạ độ.
A. m  

1
2

C. m 

B. m  1

1
2

D. m  1

Hƣớng dẫn giải
y '  3x 2  3m  3  x 2  m 
y'  0  x   m

+ Để hàm số có hai điểm cực trị  m  0
+ Khi đó toạ độ 2 điểm cực trị của ĐTHS là:



 

+ A  m ;1  2m m ; B

m ;1  2m m




+ Theo đề bài: OAB vuông tại O
 OA.OB  0  m  1  4m3  0  4m3  m  1  0  m 

1
 tm 
2

Chọn C.
Câu 28: Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để đồ thị hàm số y  x3  3mx2  3m3 có hai điểm cực trị A; B sao
cho OAB có diện tích bằng 48 với biết O là gốc toạ độ.
A. 1

B. 3

C. 4

D. 2

Hƣớng dẫn giải

y '  3x 2  6mx  3x  x  2m 
y'  0  x   m

11

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!



+ Để hàm số có hai điểm cực trị  2m  0  m  0
+ Khi đó toạ độ 2 điểm cực trị của ĐTHS là:
+ A  0;3m3  ; B  2m; m3 
Cách 1: Ta thấy A  Oy  OA  Oy  d B;OA  d B;Oy   2 m
1
+ Theo đề bài: SOAB  48  OA.d B;OA  48  3 m3 .2 m  48  m4  16  m  2  tm 
2

Cách 2: SD CTGN
OA   0;3m3  ; OB   2m; m3 
SOAB 

1
0  6m4  3m4
2

+ Theo đề bài: SOAB  48  3m4  48  m4  16  m  2  tm 
Chọn D.
B. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  x3  3mx 2  6mx  m có hai điểm cực trị.
Đáp số: m  ;0    2;  
Bài 2. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y 

m 3 2
x  x  x  2021 có cực trị.
3

Đáp số: m  ;1
Bài 3. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y   m  3 x3  2mx2  3 khơng có cực trị.
Đáp số: m  0






1
1
Bài 4. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  x3   3m  2  x 2  2m2  3m  1 x  4 có hai điểm
3
2
cực trị là x  3 và x  5 .
Đáp số: m  2





1
Bài 5. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  x3   m  1 x 2  m2  3 x  1 đạt cực trị tại x  1 .
3
Đáp số: m  0
Bài 6. Cho hàm số y  2 x3  bx 2  cx  1 C  . Biết điểm M 1; 6  là điểm cực tiểu của  C  . Tìm toạ độ điểm

N là điểm cực đại của  C  .

12

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!



Ta có: y '  6 x 2  2bx  c  y ''  12 x  2b

 y '  0  6 x 2  2bx  c  0 *
 y 1  6
2  b  c  1  6


Đồ thị hàm số có điểm cực tiểu M 1; 6    y ' 1  0  6  2b  c  0

12  2b  0

 y '' 1  0
b  3
b  3

 c  12

 y  2 x3  3b2  12 x  1
c  12
12  2b  0

x  1
 y '  6 x 2  6 x  12  0  
 x  2
Vậy N  2; 21










Bài 7. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  x3  3mx 2  3 m2  1 x  5 đạt cực đạị tại x  1 .
Đáp số: m  2

1
Bài 8. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  x3  mx 2  m2  4 x  5 đạt cực tiểu tại x  1 .
3
Đáp số: m  3





Bài 9. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  x3  3mx 2  3 m2  1 x  m đạt cực trị tại x1 ; x2 thoả
mãn x  x  x1 x2  7 .
2
1

2
2

Đáp số: m  2
Bài 10. Gọi x1 ; x2 là hai điểm cực trị của hàm số y  4 x3  mx 2  3x . Tìm tất cả các giá trị thực của m để
x1  4 x2  0 .
Ta có: y  4 x3  mx2  3x  y '  12 x2  2mx  3

 y '  0  12 x 2  2mx  3  0 *

Hàm số có hai điểm cực trị x1 , x2  * có hai nghiệm phân biệt
  '  0  m2  36  0 m

 * ln có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2 với mọi m.

13

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


m

 x1  x2   6 1
Áp dụng hệ thức Vi-et ta có: 
 x x   1  2
 1 2
4
Theo đề bài ta có: x1  4 x2  0  x1  4 x2

 1  4 x2  x2  

m
6

m
m
 x2 
6
18
2m

 x1  
9
2m m
1
  2  
. 
9 18
4
2
m
1
81

  m2 
81 4
4
9
 m    tm  .
2
 3 x2 

Đáp số: m  

9
2

Bài 11. Gọi x1 ; x2 là hoành độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  2 x3  3  2m  1 x 2  6m  m  1 x  2 . Tính
P  x1  x2 .

Đáp số: P  1


1
1
Bài 12. Gọi x1 ; x2 là hoành độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số y  x3   m  1 x 2  x  2 . Tìm tất cả các
3
2
giá trị thực của m để x13  x23  18 .
Đáp số: m  4
Bài 13. Gọi x1 ; x2 là hai điểm cực trị của hàm số y 
A  x1 x2  2  x1  x2  đạt giá trị lớn nhất.

2 3
x   m  1 x 2   m2  4m  3 x . Tìm m để biểu thức
3

Giải
TXĐ: D 

.

Ta có: y '  2 x2  2  m  1 x  m2  4m  3 .
Xét y '  0  2 x2  2  m  1 x  m2  4m  3  0 .
Để hàm số có 2 điểm cực trì thì phương trình y '  0 phải có 2 nghiệm phân biệt

14

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


 '  0

  m  1  2  m 2  4m  3  0
2

  m 2  6m  5  0
 m 2  6m  5  0
 5  m  1
 x1  x2  m  1

Khi đó x1 , x2 là 2 nghiệm phân biệt của phương trình y '  0 , áp dụng ĐL vi-ét ta có: 
m 2  4m  3 .
 x1 x2 

2

Ta có:

A  x1 x2  2  x1  x2 
A

m 2  4m  3
 2.   m  1
2

A

m 2  4m  3  4m  4
2

A


m 2  8m  7

2
m  8m  7
2

 m 2  8m  16  9
  m  4  9
2

Vì 5  m  1  1  m  4  3

 0   m  4  9
2

 9   m  4   9  0
2

 0   m  4  9  9
2

 A

9
2

Đáp số: m  4;max A 

9
.

2

1
Bài 14. Cho hàm số y  x3  mx 2   m  2  x  1 . Có bao nhiêu giá trị nguyên của m  2021;2021 để hàm
3
số có hai điểm cực trị nằm trong khoảng  0;  
Ta có: y '  x2  2mx  m  2

 y '  0  x2  2mx  m  2  0 *

15

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


Hàm số có hai điểm cực trị nằm trong khoảng  0; 

 * có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thỏa mãn  0  x1  x2
m  2

m 2  m  2  0
 '  0
  m  1



  x1  x2  0  2m  0
 m  0  m  2
x x  0
m  2  0

m  2
 1 2




m 
 m  3; 4;......;2020; 2021
Lại có: 

m   2021; 2021

Vậy có 2019 giá trị m thỏa mãn bài tốn.
Bài 15. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y  x3  3x2  3mx  1 có các điểm cực trị nhỏ hơn 2
Đáp số: m  0;1
Bài 16. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y  2 x3  3  m  1 x 2  6mx  m3 có hai điểm cực trị
A; B thoả mãn AB  2

Ta có: y '  6 x 2  6  m  1 x  6m
 y '  0  6 x 2  6  m  1 x  6m  0
 x 2   m  1 x  m  0 *

Hàm số có hai điểm cực trị  * có hai nghiê có 2 nghiệm phân biệt x1 , x2

   0   m  1  4m  0   m  1  0  m  1.
2

2

m 1 m 1


m
 x1 
2
Khi đó ta có: 
x  m 1 m 1  1
 2
2

 Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị là: A  m; 3m2  và B 1; m3  3m  1
Lại có: AB  2  AB2  2

16

Truy cập trang để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!


  m  1   m3  3m  1  3m 2   2
2

2

2

2
3
  m  1   m  1   2  0




  m  1   m  1  2  0 1
6

2

Đặt  m  1  t  t  0 
2

 1  t 3  t  2  0  t  1  tm 
  m  1  1
2

 m  2  tm 
m  1  1


 m  1  1  m  0  tm 

Vậy m  0 hoặc m  2 .
Bài 17. Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số y  x3  3mx2  2 có hai điểm cực trị A; B sao cho
A; B và M 1; 2  thẳng hàng.

Đáp số: m   2 .
Bài 18. Cho hàm số y  x3  3mx  1 và điểm A  2;3 .Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số trên
có hai điểm cực trị B; C sao cho  ABC cân tại A .
Đáp số: m 

17

1

2

Truy cập trang để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!